Введение к работе
Актуальность темы исследования. Диссертационная работа относится к классическому направлению теории конечных групп — исследованию подгруппового строения групп лиева типа. Она посвящена задаче описания свойств примитивных параболических подстановочных представлений конечных простых классических групп. В ней определяются параметры подстановочных представлений на смежных классах по параболическим максимальным подгруппам всех конечных простых классических групп.
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами. Понятие группы с одной стороны формально просто, а с другой — очень универсально. Оно отражает всеобщую закономерность природы — симметрию. Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в качестве рабочего, а некоторые проблемы, благодаря переходу на этот язык, получили исчерпывающее решение.
Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Изучение конечных групп в зависимости от их арифметических свойств является важным направлением в теории конечных групп, имеющим богатую историю. Классификация конечных простых групп (ККПГ) во многом сводит это изучение к случаю почти простых групп.
Другое направление исследований, восходящее еще к Эвари-сту Галуа, связано с изучением арифметических свойств примитивных подстановочных представлений конечных простых групп. Простыми группами называются неединичные группы без собственных нормальных подгрупп.
Простые группы занимают особое место среди конечных групп. Интерес к свойствам известных конечных простых групп вызван прежде всего их значением в ККПГ. С одной стороны, классификация зависит от знания большого числа различных свойств известных простых групп. С другой стороны, эти группы интересны сами по себе, и мы далеки от полного понимания их строения.
Одни свойства конечных простых групп изучены лучше (автоморфизмы, централизаторы инволюций), другие — хуже (обыкновенные и модулярные представления, максимальные подгруппы). Отмеченные в качестве примеров свойства важны независимо от классификационной программы. Изучение свойств конечных простых групп остается актуальным и после завершения их классификации. Это связано с применениями ККПГ, с необходимостью ее ревизии, с установлением связей конечных простых групп с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о простых группах, на которые классификация не дает ответа.
Конечные неабелевые простые группы подразделяются на группы лиева типа, знакопеременные группы и 26 спорадических групп. Группы лиева типа составляют основной массив конечных простых групп. Они распадаются на классические группы лиева типа, имеющие естественные представления группами автоморфизмов векторных пространств над конечными полями, и исключительные группы. Группы лиева типа делятся также на группы Шевалле нормального типа и группы скрещенного (скрученного) типа.
Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгруппового строения данной группы. Изучение неабелевых простых групп практически невозможно без их представлений в виде групп подстановок, групп автоморфизмов векторного пространства, матричных представлений. Ин-
формация о представлениях групп подстановками используется для классификации различных типов групп и, в частности, для исследования подгрупп групп лиева типа.
Группы подстановок — важный и исторически первый пример группы. Они были введены в науку Эваристом Галуа для изучения условий разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Группы подстановок возникают всюду, где изучаются симметрии объектов. Они являются инструментом для исследований геометрических, алгебраических и комбинаторных симметрии. Группы подстановок интересны не только сами по себе, но еще и потому, что, согласно известной теореме Кэли, любая группа изоморфна некоторой группе подстановок.
В постклассификационной теории конечных групп актуальными стали исследования их подгрупп и представлений (подстановочных и линейных). М. Ашбахером в [10] намечена базирующаяся на ККПГ программа описания примитивных подстановочных представлений конечных простых групп. К настоящему времени получен (при помощи ККПГ или без нее) ряд крупных общих результатов о подстановочных представлениях конечных групп лиева типа:
описание флаг-транзитивных представлений [19],
классификация 2-транзитивных подстановочных представлений [12,21],
классификация подстановочных представлений ранга три [14,17],
классификация примитивных представлений нечетной степени [8,9,13,16].
Особо отметим завершение классификации точных подстановочных представлений минимальной степени для конечных простых групп лиева типа в работах Б. Куперстейна [11],
М. Либека и Я. Саксла [18], Б. Клейдмана и М. Либека [15], В. Д. Мазурова [7], В. Д. Мазурова и А. В. Васильева [4], А. В. Васильева [1-3], М. А. Гречкосеевой [5].
Важный класс подстановочных представлений конечных групп лиева типа составляют их параболические представления, т. е. представления на смежных классах по параболическим подгруппам. В известном обзоре А. С. Кондратьева [6] о подгруппах групп Шевалле обосновано и указано на необходимость исследований параболических подстановочных представлений групп лиева типа. Для этого есть несколько причин:
во-первых, параболические представления часто возникали в упомянутых выше исследованиях, в частности, подстановочные представления минимальной степени как правило параболические;
во-вторых, как заметил Г. Зейц в [20], примитивные представления фиксированного ранга конечной группы лиева типа над достаточно большими полями являются параболическими;
в-третьих, существует тесная связь между параболическими представлениями группы лиева типа и ее действием на своем билдинге (см. [23]).
В приложениях часто нужно знать подстановочное представление более детально. Достаточно полную информацию о подстановочном представлении конечной группы дают следующие параметры:
степень,
ранг,
подстепени,
строение стабилизатора точки,
строение двойных стабилизаторов.
В упомянутых выше работах В. Д. Мазурова и А. В. Васильева эти параметры изучены для точных подстановочных представлений минимальной степени всех конечных простых групп лиева типа. В кандидатской диссертации автора [34] получено описание всех примитивных параболических подстановочных представлений исключительных групп лиева типа неминимальной степени (см. также [24-29]). Указанные выше параметры были получены для подстановочных представлений групп F4(g), E6{q), E7(q), E8(q), 2i%), 2E6(q2), 3D4(q3) на смежных классах по параболическим максимальным подгруппам. В группе G2(q) с точностью до сопряжения две параболические максимальные подгруппы. Обе являются максимальными собственными подгруппами наименьшего индекса и подстановочные представления группы 6^) по ним исследованы А. В. Васильевым в [1].
Таким образом, незавершенным оставалось описание примитивных параболических подстановочных представлений конечных простых классических групп. Классическая группа — это линейная, симилектическая, ортогональная или унитарная группа над полем, а простая классическая группа — это группа, изоморфная (единственному) неабелеву композиционному фактору одной из классических групп.
Цель работы. Целью диссертационной работы является доказательство следующей теоремы.
Основная теорема. Если G — конечная простая классическая группа, то степень, ранг, подстепени, стабилизатор точки и двойные стабилизаторы точек подстановочного представления на правых смежных классах по каждой параболической максимальной подгруппе группы G известны.
Для исключительных групп лиева типа аналогичная теорема
доказана в кандидатской диссертации автора [34]. Таким образом, впервые получено полное описание примитивных параболических подстановочных представлений всех конечных простых групп лиева типа.
Методы исследования. Для изучения параболических подстановочных представлений привлекаются методы общей теории групп, методы теории подстановочных представлений, геометрические методы, метод BN-nap. Под геометрическими методами понимаются классические методы линейной алгебры и проективной геометрии, связанные с геометрией классических групп как групп преобразований линейных или проективных пространств. Понятие BN-пары (системы Титса), формализовавшее некоторые существенные свойства строения групп лиева типа, было введено Ж. Титсом [22]. Метод BN-nap — это метод изучения подгрупп группы лиева типа в терминах ее системы корней. В этом случае исследование подгруппы сводится к изучению действия группы Вейля на соответствующей системе корней.
Как показали исследования параболических представлений групп лиева типа, метод BN-nap хорошо работает, если лиев ранг группы фиксирован или ограничен. В исключительных группах самый большой лиев ранг у группы Eg(q). Нахождение подстепеней для этой группы привело к вычислениям большого объема и потребовало достаточно больших и человеческих, и компьютерных усилий. Один из восьми подстановочных рангов оказался равным 1437. Из-за большого объема полностью весь результат о примитивных параболических представлениях группы ,) не был включен в текст [34], а был депонирован [26]. Одно лишь выписывание параметров заняло несколько десятков страниц. В классических группах лиев ранг не фиксирован. Применение метода BN-nap приводит к вычислениям
еще большого объема. Это показывает теорема В, доказательство которой построено на использовании системы корней типа А\ и соответствующей группы Вейля. Возникла идея для классических групп рассматривать геометрический метод, а именно использовать эти группы как группы автоморфизмов векторных пространств и в, частности, в их естественных матричных представлениях.
Метод, развиваемый в диссертации, мы назовем методом пересечений и выделим его как один из основных подходов к изучению примитивных параболических представлений классических групп. Он позволяет не только определять параметры изучаемых представлений, но и строить в явном виде матрицы двойных стабилизаторов, соответствующие подорбитам данной классической группы. Применение метода пересечений позволяет выписывать параметры примитивных параболических подстановочных представлений для любых классических групп над конечными полями. Размер лиева ранга уже не имеет значения. В этом случае доказательство проводится в терминах линейных преобразований и билинейных или квадратичных форм.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований как в теории групп, так и в ее приложениях. Методы, разработанные и используемые в диссертации, могут быть применены для изучения подгруппового строения конечных простых групп и решения других теоретико-групповых проблем. Результаты диссертации позволяют для произвольного лиева ранга I
определять параметры (степень, ранг, подстепени, строе-
ниє стабилизатора точки, строение двойных стабилизаторов) примитивных параболических подстановочных представлений конечных классических групп;
выписывать коммутаторные соотношения для параболических максимальных подгрупп и двойных стабилизаторов примитивных параболических подстановочных представлений групп Ai(q)]
выписывать минимальные ( по длине ) представители двойных смежных классов при разложении группы Вейля системы корней типов А/, В^ Сі и Di на двойные смежные классы по параболической максимальной подгруппе.
Все результаты диссертации получены без использования классификации конечных простых групп.
Апробация работы. Основные результаты диссертации в период с 2001 по 2010 годы были представлены на конференциях в Екатеринбурге (международный семинар по теории групп, 2001), Москве (международная алгебраическая конференция, 2008), Новосибирске (международная конференция "Мальцев-ские чтения", 2008, 2009, 2010), Нальчике (международная школ а-конференция по теории групп, 2008, международная алгебраическая конференция, 2009), Красноярске (международная конференция "Алгебра и ее приложения", 2007) и Челябинске (международная школа-конференция по теории групп, 2008) (см. также [42-47]). В частности, автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации на международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А. И. Кострикина (Нальчик, 2009). Результаты работы докладывались на алгебраических семинарах Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Института математики и механики Уральского отделения РАН, Челябинского и Южно-Уральского госуниверситетов.
Публикации. Основные результаты опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук. Все работы автора по теме диссертации [35-47] приведены в списке литературы. Из них статьи [35-41] опубликованы в журналах, которые на момент публикации входили в перечень ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии. Она изложена на 195 страницах, библиография содержит 77 наименований. Нумерация теорем, лемм и следствий в каждой главе своя, например, теорема 3.4 — четвертая теорема третьей главы. Главы делятся на параграфы, которые иногда делятся на разделы. В начале каждой главы приводится краткое содержание этой главы и основных результатов.
