Содержание к диссертации
Введение
1. Максимальные унипотентные подгруппы групп Шевалле 15
1. Основные обозначения 15
1.1. Группы Шевалле 15
1.2. Максимальные унипотентные подгруппы 17
2. Метод орбит 20
2.1. Метод орбит для конечных групп 20
2.2. Примеры коприсоединённых орбит 24
2.3. Полупрямое разложение и метод Г. Макки 29
2. Орбиты, ассоциированные с ортогональными подмножествами систем корней 31
3. Общие результаты 31
3.1. Определения и основная теорема 31
3.2. Системы корней с простыми связями 37
3.3. Системы корней с кратными связями 52
4. Классические системы корней 63
4.1. Поляризации для канонических форм 63
4.2. Формула для размерности 75
4.3. Размерности неприводимых представлений группы U(q) 83
3. Субрегулярные характеры унитреугольной группы 87
5. Определения и примеры 87
5.1. Пример: характеры основной серии 87
5.2. Субрегулярные орбиты 104
6. Формула для характеров 108
6.1. Классы сопряжённости 108
6.2. Основная теорема: формулировка 117
6.3. Основная теорема: доказательство 124
Список литературы 150
- Максимальные унипотентные подгруппы
- Системы корней с кратными связями
- Размерности неприводимых представлений группы U(q)
- Основная теорема: формулировка
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из самых важных и красивых областей современной алгебры является теория представлений. В начале XX века её роль сводилась к изучению представлений конечных групп и конечномерных ассоциативных алгебр, но постепенно круг проблем, изучаемых теорией представлений, расширялся в связи с задачами анализа, геометрии и физики. В настоящее время теория представлений имеет обширные приложения в теории групп и алгебр Ли, теории алгебраических групп, гармоническом анализе, квантовой механике.
Одним из интереснейших классов с точки зрения теории представлений являются конечные унипотентные группы (точнее, максимальные унипотент-ные подгруппы в группах Шевалле над конечными полями); именно им и посвящена настоящая работа. Основным инструментом в теории представлений таких групп является созданный А.А. Кирилловым в 1962 г. метод орбит.
Первоначально этот метод использовался для описания неприводимых (бесконечномерных) унитарных представлений вещественных нильпотентных групп Ли в гильбертовых пространствах. Первые общие результаты о таких представлениях были получены Ж. Диксмье. Решающим продвижением стала статья Кириллова1, в которой было показано, что неприводимые представления связной односвязной нильпотентной группы Ли однозначно соответствуют орбитам её коприсоединённого представления (сопряжённого представления к присоединённому представлению группы Ли в своей алгебре Ли). Позже выяснилось, что метод орбит работает — с некоторыми поправками — и для других типов групп Ли, а с помощью коприсоединённых орбит можно построить множество примеров интегрируемых систем.
В 1977 г. Д. Каждан доказал2, что метод орбит позволяет описывать неприводимые конечномерные комплексные представления максимальных унипотентных подгрупп в группах Шевалле над конечными полями. Изучению орбит тех или иных унипотентных групп над конечным полем посвящено огромное число работ; отметим хотя бы статьи3' , где обсуждаются различные асимптотические задачи, связанные с числом орбит данной размерности.
Кириллов А.А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли. // УМН, т. 17, 1962, с. 57-110.
2Kazhdan D. Proof of Springer's hypothesis. Israel J. Math., v. 28, 1977, p. 272-286.
3Kirillov A.A. Variations on the triangular theme. AMS Transl., v. 169, 1995, p. 43-73.
4Kirillov A.A., Melnikov A. On a remarkable sequence of polynomials. Publ. SMF, no. 2, 1996, p. 35-42.
Дело в том, что задача описания всех неприводимых представлений, будучи переформулированной в терминах орбит, не становится от этого проще. Описание множества коприсоединённых орбит в общем случае неизвестно и представляется чрезвычайно трудной проблемой. С другой стороны, некоторые специальные серии орбит изучены достаточно хорошо.
Так, например, ещё в 1962 г. Кирилловым было получено описание всех орбит максимальной размерности (так называемых регулярных орбит) унит-реугольной группы с7п(М) — группы всех унипотентных нижнетреугольных вещественных матриц; оно остаётся верным и над конечным полем, когда характеристика основного поля достаточно велика. Орбиты предмаксимальной размерности этой группы (мы будем называть их субрегулярными) были полностью описаны А.Н. Пановым в 2007 г. В статьях5'6 К. Андре и A.M. Нето развивается теория базисных характеров, или суперхарактеров максимальных унипотентных подгрупп классических матричных групп над конечными полями. В частности, из полученных там результатов вытекает описание регулярных орбит максимальной унипотентной подгруппы симплектической группы и элементарных орбит (орбит одного корневого ковектора) для всех классических систем корней. Упомянем ещё работу7 И.М. Айзекса, в которой речь идёт о характерах подгрупп Un(q) специального вида.
Оказывается, что почти все упомянутые выше орбиты (и вообще почти все орбиты, сколь-нибудь полно изученные к настоящему времени) укладываются в единую схему: все они относятся к орбитам, ассоциированным с теми или иными ортогональными подмножествами в системах корней. Изучение этого класса орбит и является одной из основных задач диссертационной работы.
С другой стороны, даже если известно полное описание какого-либо класса коприсоединённых орбит, явное вычисление неприводимых характеров, соответствующих этим орбитам, представляет отдельную вычислительную проблему. К примеру, формула для характеров, соответствующих регулярным орбитам Un(q), была получена Андре лишь в 2001 г. Вторая часть диссертационного исследования посвящена вычислению характеров, соответствующих субрегулярным орбитам этой группы.
5 Andre С.A.M. The basic character table of the unitriangular group. J. Algebra, v. 241, 2001, p. 437-471.
6 Andre C.A.M., Neto A.M. Super-characters of finite unipotent groups of types Bn, Cn and Dn. J. Algebra,
v. 305, 2006, p. 394-429.
7Isaacs I.M. Characters of groups associated with finite algebras. J. Algebra, v. 177, 1995, p. 708-730.
Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, находятся в контексте современной теории представлений унипотентных алгебраических групп над конечными полями.
Цель работы. Целью работы является изучение орбит коприсоединённо-го представления максимальных унипотентных подгрупп в группах Шевалле над конечными полями, ассоциированных с ортогональными подмножествами в системах корней, а также получение точной формулы для субрегулярных характеров унитреугольнои группы.
Методы исследования. Используются методы алгебраической геометрии и теории представлений конечных групп. Доказательства фактов, касающихся орбит, ассоциированных с ортогональными подмножествами, чаще всего основаны на индукции по рангу системы корней. При изучении субрегулярных характеров унитреугольнои группы ключевую роль играет метод полу прямого разложения Г. Макки.
Основные результаты. В диссертационной работе получены следующие результаты:
Получена оценка сверху в терминах группы Вейля на размерности ко-присоединённых орбит максимальных унипотентных подгрупп в группах Шевалле над конечными полями, ассоциированных с ортогональными подмножествами с системах корней.
Для классических систем корней получена точная формула для размерности таких орбит. Как следствие, описаны все возможные размерности неприводимых комплексных представлений максимальных унипотентных подгрупп в классических группах над конечными полями. Кроме этого, построены поляризации для канонических форм на орбитах.
Полностью описаны субрегулярные характеры унитреугольнои группы: найдены уравнения, задающие произвольный класс сопряженности, на котором значение данного характера отлично от нуля, как аффинное многообразие, и вычислено это значение.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором лично.
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть применены в теории представлений конечных групп и в дальнейших исследованиях по методу орбит; они могут представлять интерес для специалистов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Санкт-Петербургского государственного университета, Самарского государственного университета, Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
Апробация работы. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Самарского государственного университета (рук. проф. В.Е. Воскресенский), на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д.К. Фадде-ева ПОМП им. В.А. Стеклова РАН (рук. проф. А.В. Яковлев), на семинаре "Алгебраические группы" кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета (рук. проф. Н.А. Вавилов), на семинарах кафедры высшей алгебры Московского государственного университета "Группы Ли и теория инвариантов" (рук. проф. Э.Б. Винберг, проф. А.Л. Онищик, доц. И.В. Аржанцев, доц. Д.А. Тимашёв) и "Избранные вопросы алгебры" (рук. доц. И.А. Чубаров), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007 г.), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007 г.), на Между народной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша (Москва, 2008 г.), на Летней школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Самара, 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Работы [1], [2] опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 60 наименований. Первая глава состоит из двух параграфов, вторая и третья — из трёх параграфов. Объём диссертации — 156 страниц.
Максимальные унипотентные подгруппы
Рассмотрим в д подалгебру Ли и, порождённую над к всеми еа, а Є Ф+. Поскольку характеристика поля к достаточно велика, корректно определено экспоненциальное отображение ехр г и — G. Его образ мы будем обозначать через U. Хорошо известно, что U — максимальная унипотентная подгруппа G а и — её алгебра Ли. Более того, отображение ехр: и — U является взаим но однозначным и выполняется формула Кэмпбелла-Хаусдорфа [57, р. 115]. А именно, для любых х, у Є и где т(х,у) Є [t), о] (здесь t) — любая подалгебра Ли в и, содержащая оба элемента хну, a [d, о] — подалгебра Ли в о, порождённая над к всеми векторами вида [u,v], и, v Є t)). В частности, (exp(rr))-1 = ехр(—х). Обратное к ехр отображение мы, конечно, будем обозначать через In: U — и. В дальнейшем нам потребуются матричные представления алгебры и в случае, когда Ф — классическая система корней. Договоримся через еа обозначать стандартную матричную единицу (матрицу, (а, Ь)-ьт элемент которой равен единице, а остальные — нулю), а через 1п — единичную матрицу размера п X п. Для Ф = Ап-\ алгебра и состоит из всех нильпотентных нижнетреугольных матриц в $1п(к) (то есть порождена над к матрицами е -, I г j п), a, U — Um = Um{k) = ln + и — унитреугольная группа, состоящая из всех унипотентных треугольных матриц из GLn(k). Для остальных классических систем корней мы будем придерживаться варианта, описанного, к примеру, в [25]. А именно, пусть Ф имеет тип Вп, п 2, Сп, п 3, или Dn, п 4. Определим число т = га(Ф) по правилу 2п -Ь 1, если Ф = Вп, 2п, если Ф = Сп или Dn. Договоримся нумеровать строки и столбцы произвольной матрицы разме ра тхт индексами 1,2,..., п, 0, —п,..., —2, —1, пропуская индекс 0 для чёт ного 77г. Алгебра Ли и может быть реализована как подалгебра в діт(к), по рождённая над к корневыми векторами еа, а Ф+, где (Мы воспользовались вложениями Ф С M.N из пункта 1.1.) Укажем также матричные представления группы U для классических систем корней. Пусть J — это матрица размера п х п, у которой на1 побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы — нули.
Для произвольной квадратной матрицы х будем через х1 обозначать транспонированную к ней; если х обратима, то положим также х г = (ж-1) = (ж )-1. Тогда Наконец, для любого а Є Ф+ и любого t Є к положим xa(t) = exp(tea). В частности, для классических групп Подгруппа Ха = {a;a(/;),t Є к} называется корневой подгруппой. Как известно [30, Corollary 2.5.17], U единственным образом представляется в виде U = ПаєФ+ - Q!? гДе корни а берутся в любом фиксированном порядке. Аналогично, стартуя с конечного поля Fg, можно определить подалгебру u(q) С 0(g) и максимальную унипотентную подгруппу U(q) = expu(g) в G(g). Подчеркнём, что u(g) = 5 аЄф+ 9еа — Fg-подпространство в алгебре u, a U(q) — подгруппа в U, однозначно представимая в виде ПаєФ+ XQ{q), где, как и выше, Xa(q) = {xa(t),t Є Fg} — корневые подгруппы. Отображения exp: u(g) — U(q) и In: U(q) —» u(g) корректно определены, взаимно обратны, и выполняется формула Кэмпбелла-Хаусдорфа (1.1). Кроме того, u (g) = {А Є и \{и) Є F9 для всех и Є u(g)} = (u(g))\ Отметим также, что [/(g) — силовская р-подгруппа G(q). Более точно, 17(д) = д» »-1)/2 при Ф = Ап-и \U(q)\ = qn при Ф = Вп или Ф = Сп и [17(g) = д» -1) при Ф = Dn [25, р. 395]. Основным объектом нашего изучения будут неприводимые конечномерные комплексные представления группы U(q) (чуть позже мы поясним, как они связаны с группой U). Идеальным вариантом было бы, конечно, полное описание всех классов попарно неизоморфных представлений; другими словами, построение таблицы неприводимых (комплексных) характеров группы U(q). (Для произвольной конечной группы Q условимся множе-ство классов изоморфных неприводимых представлений обозначать через Q, а множество её неприводимых характеров — через Irr Q.) В такой постановке задача до сих пор не решена и представляется чрезвычайно сложной. В то же время, имеется замечательная геометрическая интерпретация этой задачи, называемая методом орбит и являющаяся сейчас, пожалуй, наиболее мощным инструментом в описании неприводимых представлений группы U(q). Метод орбит был первоначально создан А.А. Кирилловым в 1962 году для описания унитарных неприводимых представлений нильпотентных групп Ли (над полем вещественных чисел) в комплексных гильбертовых пространствах [13] и адаптирован Д. Кажданом для конечных групп [44]. (Оригинальная версия метода орбит подробно изложена в книге [14]; по поводу метода орбит для конечных групп см., например, [45], [57] или статьи [27], і [28], [29], где изложение ведётся в контексте -адических пучков.) Мы в этом параграфе приводим основные конструкции метода орбит, которые постоянно будем использовать в дальнейшем. А именно, группа U естественно действует на своей алгебре Ли и с по- мощью присоединённого представления (над полем к): если g = ехр(ж) Є U, у Є и, то, по определению, Adgy = (expadx)(у). (Поскольку ad : у - [х,у] — нильпотентный оператор на пространстве и, а характеристика поля к достаточно велика, отображение ехрас!ж: и— и корректно определено.) Определение 2.1.
Сопряженное представление группы U в пространстве и называется коприсоединённым. Мы будем обозначать результат коприсоединённого действия элемента g Є U на линейную форму / Є и через g.f; понятно, что для g = ехр(гс) Аналогично определяется коприсоединённое представление (над полем Fg) группы /7(g) в пространстве u (q). Обратим внимание, что если / Є u (q) С и , то мы можем рассматривать орбиту / как относительно коприсоединённого представления группы U(q), так и относительно коприсоединённого представления всей группы U. Будем обозначать эти орбиты через П/(д) и Qf соответственно (по определению, ftf{q) С u (q) и Qf С и ). Вообще, для произвольной орбиты Q(q) С u (q) коприсоединённого представления группы U{q) будем через Q С и обозначать орбиту произвольного элемента из Г2(д) относительно коприсоединённого представления группы U (ясно, что Q не зависит от выбора этого элемента, причём Cl(q) С Q). Поскольку любая коприсоединённая орбита U является неприводимым аффинным многообразием (это орбита унипотентной группы на аффинном пространстве, см. [19, предложение 8.2] и [58, Proposition 2.5]), для неё корректно определена размерность (над полем &). Известно, что dim О всегда четна, причём \Q(q)\ = gdimn [44, p. 274]. Суть метода орбит в следующем: коротко говоря, существует взаимно однозначное соответствие между множеством IiTU(q) неприводимых комплексных характеров группы U(q) и множеством её коприсоединённых ор-бит u (q)/U(q), причём многие задачи теории представлений допускают естественную трактовку в терминах орбит. Более подробно, выберем и зафиксируем какой-либо нетривиальный гомоморфизм 9: q — С (подчеркнём, что слева стоит аддитивная группа поля Wq, а справа — мультипликативная группа поля комплексных чисел; нетривиальность означает, что образ в состоит не только из единицы). Любой такой гомоморфизм имеет вид 6{с) = е2тшТї(Ьс)/р дЛЯ некоторого Ъ Є IF где с Є Fg и, по определению, для любого t Є Fg (здесь, напомним, q = pr) [15, теорема 5.7]. і Для произвольной коприсоединённой орбиты l(q) С u (q) рассмотрим функцию х — Xsi(q) U(q) — С, действующую по правилу (Поскольку dim Г2 = 2Z для некоторого целого неотрицательного , то в зна- менателе этой формулы стоит целое число -у/Г2(д) = ql.) Теорема 2.2. [44, Proposition 1] Функция % является характером некоторого неприводимого конечномерного комплексного представления группы U(q).
Системы корней с кратными связями
Докажем теперь основную теорему 3.3 для неприводимых систем корней с кратными связями (multiply laced), то есть для таких систем корней, в которых встречаются корни двух разных длин: длинные и короткие. Точнее говоря, в этом пункте мы ограничимся рассмотрением случаев F± и(?2. Дело в том, что для всех систем корней с кратными связями уже не удаётся дать единообразные доказательства. В то же время, случаи Вп и Сп полностью рассмотрены в следующем параграфе в рамках общей схемы для классических систем корней. (Мы даже будем использовать часть результатов из следующего параграфа; разумеется, они никак не зависят от наших рас-суждений в этом пункте.) Изучим сначала совсем простой случай Ф = G2. Напомним, что где аі2 = 1, о:2І2 = 3 и угол между «і, а2 равен 57г/6 (см. пункт 1.1). Каждое ортогональное подмножество содержит, разумеется, не больше двух корней. Если D = 1, то доказывать нечего: О. — элементарная орбита (см. пример 2.9), значит, dimQ = (/?), где D = {/3}. Тривиально проверяется, что в каждом случае 1(a) — s(a) тоже совпадает с (/?) (здесь а = гр). В G2 ровно три ортогональных подмножества мощности два; рассмотрим их по отдельности. Отметим, что в каждом случае а — центральная симметрия, поэтому 1(a) = 6 и 1(a) — s(a) = 6 — 2 = 4. Будем писать D = {(Зі,/32}. і) Pi = скі, / = 3ai-b2a!2. Корень / = ai — базисный, поэтому S((3\) = 0. С другой стороны, /?2-сингулярные корни имеют вид Положим М = {a2,ai + OL2}, 7 = Ф+\Л4ир = 2aGVkea. Понятно, что р С и — изотропное подпространство (см. определение 2.4), так как из каждой пары Д-сингулярных корней, г = 1,2, У содержит ровно один. Более того, если х не лежит в р, то Supp(z) содержит хотя бы один из корней 7i = &2,72 = 1 Таким образом, р — максимальное (по включению) изотропное подпро странство, поэтому, ввиду (1.6), размерность орбиты Q не зависит от выбора отображения и равна dimO = 2 codimup = 4 = Z(o-) — s(cr). Заметим, что У, очевидно, является замкнутым подмножеством Ф+, поэтому р — подалгебра, а значит, поляризация для / (хотя это не имеет значения для вычисления размерности О). Положим Л4 = {&i} и определим У, р, как выше. Очевидно, что р — изотропное подпространство.
В то же время, если х = X\eQi + ... р, х\ Ф О, то /([ж, еа2]) = / #1 iVajag т 0, поэтому р — максимальное изотропное подпространство (и даже поляризация для /, так как У — замкнутое подмножество Ф+), а значит, размерность fi не зависит от и равна ііі) (Зі = Q25 / = 2ai+0:2- Корень / = a2 — базисный, поэтому 5(/) = 0; с другой стороны, 5(/) = {«і, «і + а2}. Положив М. = {ai} и определив З5 и р, как выше, получим, как и на предыдущем шаге, что р — поляризация для /, поэтому размерность ft не зависит от и равна Перейдём теперь к более сложному случаю Ф = F±. Напомним, что Ft = {єг, г ± j (єі (знаки независимы). , При этом базисные корни имеют вид где {єг}г=і стандартный базис R4 (см. пункт 1.1). Обозначим для удобства Ф+ = {єг, J±J, 1 г j 4} и В = Ф+\Ф+. Имеем очевидный изоморфизм систем корней Ф = Ді, где Предположим сначала, что D С Ф+. Обозначим через W группу Вейля системы корней Ф и через а — инволюцию в W, соответствующую подмножеству D. Ясно, что !s(a) = s(a) = \D\ и 1(a) = 1(&). Точнее говоря, (здесь мы для краткости обозначили & = 1(a) — s(a) и З = 1(a) — (а)). Обозначим для краткости її = Х)аеФ+ еа5 пусть также и# = аєВ еа (тем самым, и = її 0 ив как векторные пространства) и b = аП ив- Положим / = /In Є її = Еаєї + е« с u & = ехРФ)- Пусть П С її — орбита / относительно коприсоединённого представления группы U. Пусть также a = tat u/, о = rat u/. Из теоремы 4.13 следует, что diniQ = IF—2$, где # зависит только от D (но не от ). Следующие два утверждения близки по смыслу к утверждению 3.12 и лемме 3.13 для систем корней с простыми связями. Утверждение 3.16. Подалгебра а распадается в прямую сумму своих подпространств a = a Доказательство. Пусть ж Є її, а: Є Supp(x). Если корень 7 лежит в Ф+, то /([ж, е7]) = 0, ибо а — радикал / = / на пространстве її. Если жв у Є В, то и а + 7 Є В, поэтому f([ea, е7]) = 0. Следовательно, f([x, е7]) = 0 для лю бого 7 Є Ф+5 то есть ж а. Это показывает, что aca. ; С другой стороны, пусть х = у + z Є а: у Є и, z ив, а Є Supp(2;) и 7 Є Ф+. Тогда a + 7e i поэтому f([z, e7J) = 0, а значит, и f([y, е7]) = 0, і то есть у Є а С а. Поэтому и г Є о, то есть z є а П ив = Ь и, тем самым, a = a + b. Но а П b = 0, поэтому сумма прямая. і Утверждение 3.17. Имеет место равенство Ь = (еа,а Є В \ аа 0}&. Доказательство. Пусть В = {cv Є В ста 0}. Изучим возможные случаи расположения корней из D. Предположим сначала, что в D нет корней Єї, Єї ± j, і = 2,3,4. Тогда для любого а Є В имеем аа = і/2 ± ... 0, то есть В = В. Но в этом случае ни один корень из В не является сингулярным ни для какого корня из D, а потому b = ив, как и должно быть. Пусть теперь р = Єї Є D. Тогда, разумеется, в D нет корней вида є\ ± Sj, j = 2,3,4, поэтому аа = —\/2 ± ... 0 для любого а Є В. Значит, В = 0. С другой стороны, если а Є В, то j = /З—а будет сингулярен ровно для одного корня из D: для (3. Значит, f{[x, е7]) = р ха JVa7 О при я; = хаеа + ... Є u#. Тем самым, Ь = 0, как и должно быть.
Предположим, далее, что (3 = \ — Sj Є D для некоторого j и е\ + - .D. В этом случае аа 0 тогда и только тогда, когда а = {є\ + - ±.. .)/2. Если теперь 7ЄФ+,тоа: + 7ЄД поэтому /([бе,, е7]) = 0 автоматически, а если 7 В, то коэффициент при Sj в 7 не меньше —1/2, поэтому а + 7 7 /? 8 то же время, о; + 7 = Єї ± , поэтому а + 7 ( ) каким бы ни был /З Є D. Значит, еа Є b. Однако если ж Є ив и о; = (єі — є3 ± .. .)/2 Є Supp(x), то в D есть ровно один корень, для которого 7 = Р — OL будет сингулярным: это р. Если х = хаеа + ..., то /([ж, е7]) = /? жа iVa7 7 0, что невозможно. Следовательно, Ь = (e , а Є S)fc, как и должно быть. Аналогично, если Р = єі + Ej Є D, & Єї — Sj . D, то аа О равносильно тому, что а = (єі — є j ± .. .)/2, а значит, еа Є b. В то же время, любой і 7 = Р — ск, где a = (1 + j ± ...), сингулярен только для одного корня из D (для /3), поэтому /([ж, е7]) т 0, где 7 = Р — # а значит, х ф а, если ге Є u# и а Є Supp(rc). Итак, b = (еа, а Є #) ., как и должно быть. Пусть, наконец, Е\ — Sj, S\ + j Є D. Тогда аа = —Єї/2 ± ... О для любого а из В, поэтому В = 0. Но любой корень из В имеет вид a = (si + z j ± .. .)/2, z = ±1 (знаки независимы), а значит, будет сингулярным ровно для одного корня из D (для р = ei+z-6j); то же верно и для 7 = Р — OL. Рассуждая, как выше, мы получаем, что х не содержится в а при х ив и а Є Supp(:c). Значит, Ь — 0, как и должно быть. Утверждение доказано. Из (2.4) и двух только что доказанных утверждений мы получаем, что dim Q = codim ua = dim u — dim a = Ф+ - (dima + dim b) = Ф+ + \B\ - dim о — dim b = (Ф+ Таким образом, dim О не зависит от и не превосходит 3 , то есть теорема 3.3 верна для ортогональных подмножеств, целиком лежащих в Ф+. Рассмотрим оставшиеся ортогональные подмножества F. Итак, будем считать, что в D есть хотя бы один корень из В. Легко видеть, что из любых двух ортогональных корней из В один будет сингулярным для другого, поэтому можно считать, что D содержит ровно один корень из В (см. лемму 3.7). Ясно, что D не может содержать корней Є{, 1 г 4. Как известно, система корней F& двойственна сама себе. Возникает биек-ция ср: F± — і 4) которая положительные корни переводит в положительные и сингулярные — в сингулярные. Мы получаем, что (знаки независимы) и с/?(Ф) = С4 (ибо Ф = Д4). Для С можно вновь применить теорему 4.13, поэтому если D С /?(Ф+), то теорема 3.3 доказана. Пусть теперь i обозначает тот единственный корень из В, который содержится в D (знаки независимы); положим D = D\ {/3}.
Размерности неприводимых представлений группы U(q)
В этом пункте мы в качестве следствия теоремы 4.13 опишем все возможные размерности неприводимых конечномерных комплексных представлений группы U(q), используя связь между представлениями и орбитами, см. пункт 2.1. Напомним, что U(q) С U, u(q) Сии u (q) С и ; мы договорились для произвольного элемента / Є u (q) обозначать его орбиту относительно коприсоединённого представления группы U(q) через l(q) = /( ), а относительно коприсоединённого представления группы U — через Q = Г2/. При этом П(д) = qdimn и если Т — неприводимое представление U(q), соответствующее орбите О(), то dimeТ = qdim&/2 = y fi(g) (см. пункты 1.1 и 2.1). Положим Максимально возможная размерность коприсоединённой орбиты Г2 равна 2/i [25, Propositions 6.3, 6.6]. Следствие 4.21. Группа U(q) обладает неприводимым комплексным представлением размерности N тогда и только тогда, когда N = ql для некоторого 0 / fi. Доказательство. Ввиду предыдущих замечаний, достаточно для произвольного такого I предъявить орбиту относительного коприсоединённого представления группы U некоторого элемента из u (g), размерность которой равнялась бы 21. Теорема 4.13 сводит задачу к построению ортогонального подмножества D С Ф+, для которого 1(a) — s(a) — 2$ = 21 (на самом деле, для всех подмножеств, которые мы будем строить, # = 0). Для произвольного 1 j [ть/2] положим / = 62j-i + S2j и обозначим Sj — \S+(/3j)\. Несложный перебор показывает (см. (2.6) и (2.7)), что [п/2], если Ф = Вп или Сп, і Мы замечаем также, что если а Qij-iy a row(a) пробегает значения (в случае чётного га индекс 0 пропускается), то величина 15+(0:)1 пробегает значения 0,1,..., s3 соответственно. I Итак, пусть 0 І [і. Если I Si, то, как мы только что указывали, можно выбрать такой корень /З Є Сі, что 5+(/3) = I. Пусть D = {/?}, тогда Фа = ФГ/3. Но для произвольного а Є В любом случае, ФГа состоит ровно из 5(а:) 4- 1 = 2(5+(0:)1 + 1 корней, так что s(a) = 1, Если же I Si, то выберем такое г, что Как было замечено выше, обязательно найдётся корень /З Є С2І+1, для которого \S+ (/3) = I причём эти множества не пересекаются.
Значит, что завершает доказательство. Конечно, отсюда автоматически следует, что над алгебраически замкнутым полем возможные размерности коприсоединённых орбит группы U — это 0,2,..., 2/х. Вопрос о размерностях неприводимых представлений груп- пы U(q) (или, эквивалентно, о размерностях орбит группы U) изучался в разных контекстах в работах [41], [49], [54] и др. В 1974 г. Г. Лерер доказал, что максимальная размерность неприводимого представления унитреуголь-ной группы Un{q) равна q M [49, Corollary 6.2] (число /і(п) определяется в примере 2.5). Дж. Томпсон предположил (без ограничений на характеристику), что все возможные размерности неприводимых представлений данной группы — это числа вида ql, 0 I /л(п), см. [49, Conjecture 6.3]. В 1995 г. И.М. Айзеке доказал, что размерность неприводимого представления всегда есть степень q [41, Corollary В] (в любой характеристике). В книге [43] приводится доказательство гипотезы Дж. Томпсона. В 2001 г. в работе [54] было показано, что коприсоединённые орбиты группы Un(C) действительно могут иметь все (чётные) размерности от 0 до 2/х(п) включительно; впрочем, это следует и из результатов А.Н. Панова [16]. В 2006 г. К. Андре и А. Нето в статье [25] вычислили максимально возможную размерность коприсоединённой орбиты группы U и дали комбинаторное описание некоторых неприводимых характеров максимальной размер-ности (для Ф = Сп — всех таких характеров), см. [25, Section 6]. Поскольку в нашей ситуации (когда р достаточно велико) размерность неприводимого і представления U(q) всегда есть степень q, то основной результат этого пункта (следствие 4.21) можно коротко сформулировать так: группа U{q) имеет неприводимые представления всех возможных размерностей. Замечание 4.22. В заключение отметим, что предложения 4.9, 4.10, а значит, и сама теорема 4.5 в действительности верны не только для поля fe, но вообще для любого поля как достаточно большой положительной, і так и нулевой характеристики (ибо характеристика поля никак не используется в их доказательстве). В частности, это даёт способ построения по-ляризаций для орбит, ассоциированных с ортогональными подмножествами над полем вещественных чисел к = Ш, что играет важную роль в конструкции неприводимых унитарных представлений нильпотентных групп Ли (см., на-пример, [13, с. 182]). Как мы уже отмечали в первой главе (см. пункт 2.1), даже если известно полное описание какой-то серии коприсоединённых орбит группы U(q), явное вычисление соответствующих неприводимых комплексных характеров является отдельной (и зачастую далеко не простой) задачей. Понятна и одна из главных причин этому: чтобы найти значение характера на данном элементы группы по формуле (1-5), нужно суммировать значения линейной функции по всем точкам орбиты, а это уже при сравнительно небольших q и dimO представляет серьёзные вычислительные трудности. Таким образом, всегда желательно получить замкнутую формулу, позволяющую в явном виде (без суммирования по орбите) находить значение характера, соответствующего данной орбите, на произвольном элементе группы U{q).
В этой главе мы предъявим такую формулу для характеров унитреугольной группы Un(q), соответствующих орбитам предмаксимальной размерно-сти (мы будем называть эти характеры, как и сами орбиты, субрегулярными). В примере 2.7 отмечалось, что некоторые субрегулярные орбиты на самом деле ассоциированы с ортогональными подмножествами; увы, не все субрегу- I лярные орбиты можно получить таким образом. Структура изложения такова. В этом пункте мы на примере регулярных орбит продемонстрируем, как применить описанный в пункте 2.3 метод Мак-ки полупрямого разложения для вычисления соответствующих характеров. В следующих двух пунктах вводятся необходимые определения и формулируется теорема классификации, субрегулярных орбит, впервые доказанная в [5]. Наконец, в параграфе 6 мы, используя метод Макки и индукцию по пг получаем явную формулу для субрегулярных характеров. Сначала мы введём обозначения, которые в случае унитреугольной груп пы представляются более удобными чем ранее использовавшиеся. Напом ним, что унитреугольная группа U. = Un (соотв., U(q) = Un(q)) состоит из всех нижнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали, элемен ты которых, лежат в поле А; (соотв., в поле F9). Её алгебра Ли и — U — 1п (соотві, u(q) — U(q) — 1п) состоит из всех нижнетреугольных матриц с ну лями на главной диагонали с элементами из нужного поля. Здесь и далее 1П обозначает единичную матрицу размера n х п. . ,-.. Группа U (соотв., U(q)).является максимальной унипотентной подгруппой односвязной группы Шевалле G — SLn(&) (соотв., G(q) = SLn(F5)). Её си стема корней имеет тип Ф = Ап-\. Как ив пункте 1.1, мы будем отождеств лять Ф+ с множеством {бг — ji 1 г j п} С Ш.п; при этом; корневой вектор e.-j — это просто матричная единица е .- Чтобы избавиться от пу таницы с.индексами, введём множество . ..-[ находящееся в очевидном взаимно однозначном соответствии; с Ф+. Назовём & {п) мнооюёством полооюителъных корней и будем для краткости писать a = (i,j) Є & (п) вместо а = Sj — Є{ Є Ф+; таким образом, положительный корень — это просто пара.(г, j). Более того, поскольку мы дальше.будем иметь дело только с положительными.корнями, будем называть их просто корнями. По аналогии с (2.5), для любых 1 г, j-. -n множества ! будем называть г-ой. строкой и j-ым столбцом & {п) соответственно.
Основная теорема: формулировка
Теперь, единообразия ради, положим т$ = т при 8 1 и, конечно, т$ = т\ при 5 = 1 (аналогично, rj- = т 1 при 8 1 и т]- = т\ при J = 1). Далее, пусть Vs(q) = V(q) при 8 1, Vj(g) = ИМ при 5 - 1 (и здесь ко всем обозначениям можно применить tj). Пусть, кроме того, д$ = д, д$ = д при 5 1 и gs = gi, Q = д\ при 8=1. Наконец, обозначим &s{ri) = & (п) при Рассмотрим орбиту D S(Q) С и _2((?) коприсоединённого представления группы Un-2(q), и отображению (ri) о 1 = п (п) ($)-1. Понятно, что она будет регулярной орбитой при 6 = 1 и ( 5 — 1)-субрегулярной при 8 1. Обозначим через х, Xі1 соответствующие неприводимые характеры Vs{q), V$(q). Обратим внимание что при # = 1 характеры х и Xі5 действуют тривиально на вторых сомножителях групп Vi(q) и V (q) соответственно (каждая из групп, напом-ним, изоморфна Un-2(q) х q). Вспомним ещё раз (см. пункт 2.3), что для любой конечной группы Q, представимой в виде полу прямого произведения своих подгрупп Q = А Xі В, где А — абелева, и любых характеров к Є Irr А, ф Irr Вк корректно определены характеры ко = ко -к и фо = ф о тт к группы АВК. При этом любой неприводимый характер группы Q имеет вид Ы6 Вккофо для некоторых к. Є Irr А, ф Є Irr Вк. В частности, корректно определены характеры (та) о = Ч о У( к и (г )о = г507Гг/п г групп /о(зОИ(#) и U (q)Vg(q) соответственно, а также характер Хо = $ } группы #о(д)б$(д). С характером хо при 5=1 нужно быть осторожнее: дело в том, что корень (2,1) = (8 -hi, 5) никогда не лежит в @, а корень (п, п — 1) = (п — 5 -Ь 1, п — 8) может и лежать. Поэтому правильно будет определить характер Хо группы Uo(q)Vs(q) формулой (здесь мы формально полагаем n-i n = 0 при (n, п — 1) ; ср. с определением характеров Ті и т{ в (3.27)). Важную роль в доказательстве основной теоремы играет следующее предложение (ср. с предложением 5.12): Предложение 6.13. Пусть % — субрегулярный характер унитреуголъ-ной группы U(q) = Uo(q) и Un-i(q) = U q) х U -iiq), соответствующий 5-субрегулярной орбите Q(q) = Qg iq), а характеры (T)Q, (т$)о, хо, Хо определены, как выше. Тогда = Indul9Ws{q)(Ts)oXo = Ind ) (g)(r 0 -Доказательство.
Введём ещё ряд обозначений. Несложно проверить, что ЫРб и ЬіР — поляризации для канонической формы / на орбите l(q). Аналогично, gs(lnPs) и (1пР ) — поляризации для канонической формы на орбите fts(q) С u _2(g). При этом Р5 = Uo(q)Ps, Р = C/Q(Q)P . Более того, в качестве полной системы представителей левых смежных классов Uo(q)Vs(q)/Ps, UQ(q)Vg{q)/Pg можно выбрать множества Н$, Щ соответственно. Доказательство для разложения U{q) = U q) х U q) получается теперь дословным повторением доказательства предложения 5.12 с заменой Uo(q) на 02(g), V(q) на V5\q), Un-i{q) на t fe), Р на Р), Р на PJ!, Н на Н], г) на rft и на $ соответственно. Аналогично, доказательство для разложения U(q) = Uo(q) х Un-.\(q) получается дословным повторением доказательства предложения 5.12 с заменой V(q) на Vs(q), Р на Ps, Р на Р$ и Н на Н$ — за одним исключением. А именно, при 5=1 вместо равенства (3.6) мы получим r\ = СЫ = ОгОоЫ ХоЫ Далее, вместо равенства (3.7) мы получим, что для любого д Є — то есть в точности равенство (3.8). Далее доказательство точно такое же, как в предложении 5.12 (с упомянутой выше заменой обозначений). 6.3. Основная теорема: доказательство Цель данного пункта — доказать основной результат этой главы (теорему 6.9). Доказательство будет непосредственно следовать из ряда лемм. Все обозначения из предыдущих пунктов сохраняются. Мы будем действовать индукцией по п. База индукции получается прямой проверкой. А именно, ввиду наложенных ограничений на 5 (см. замечание 5.19), базу составляют значения п = 4 и п = 5, В обоих случаях есть ровно одна возможность: (5 = 1, причём если п = 4, то @ = 2)\ — @\ и корень (4, 2) лежит в 3 . Ниже мы изобразили множество Q) в каждом из случаев (символом g отмечены корни, которые обязательно лежат в , а символом — корни, которые могут как входить в , так и не входить, ср. с примерами в пункте 5.2): Будем для произвольного набора М многочленов от элементов матрицы д писать М = О, если значения всех многочленов из М равны нулю на д, и М ф О, если значение хоть одного из этих многочленов на д отлично от нуля. Непосредственно вычисляя значение характера х п0 формуле (1.5), мы получаем, что при п = 4 для произвольного элемента д &U(q) В обоих случаях теорема 6.9 выполняется. База индукции проверена. Теперь выберем и зафиксируем какое-нибудь п 5. Сначала рассмотрим технически более трудный случай 5 = 1. ; Лемма 6.14. Пусть п 5, 5 = 1, l(q) = Qg ig) —- \-субрегулярная орбита, f = / () — каноническая форма на ней и х соответствующий субрегулярный характер группы U(q). Пусть д Є U(q) и х(э) Ф 0.. Тогда существует такое 1-субрегулярное подмножество D С 3 (п) и такое отображение (р: D — Щ, что g Є 0CD( P) С ОС. (Другими словами, Supp(x) С ОС.) Более того, еслиn,n-i ф 0, то D — D\, а если gn;n-i = 0, то D = DQ. Доказательство. Выберем в качество полной системы представителей левых смежных классов U(q)/Uo(q)Vi{q), U(q)/UQ(q)V{(q) множества соответственно.
Согласно предложению 6.13 и определению характеров хо Хо (см. с. 122), Однако отображения тг й . И-ТГЩ$ l( устроены совсем просто: первое из них заменяет нулями все элементы ниже главной диагонали матрицы У Є Uo(q) Vi(q)i не лежащие в первом столбце, а второе — лежащие в первом столбце. Тем самым, Аналогично, отображение 7Г R, l w заменяет нулями все элементы ниже главной диагонали матрицы у Є Щ{д)У {д) лежащие в последней строке. Uk0(q) образ матрицы у 1, то элементы z находятся из системы уравнений С отображением 7Г , нужно быть осторожнее: если через z обозначить В частности, 4 n-i = Ущп-v Но Р е UO(Q)VI(Q) ТО 2/J.2 = Для всех 3 г та — 1,а значит, и z\2 = Уп2- Получаем, что и в этом случае Пусть А Є Гь j/ = /Г1 Є 17о(йИ(д) и у = TT$VI%). Тогда Легко видеть, что для любых д Є U(q), h Є Ті Мы знаем, что х Г — характер основной серии группы [7П_2(#). Обозначим через 3Creg С Vi(q) носитель характера %5 а через Ті — множество тех h Є Ті, для которых у = h lgh Є #0(0)) и у Є 3Creg, то есть х(у) 0. В таких обозначениях Раз у Є 3Creg, то найдётся такое подмножество С С і(та) и такое отображение рс С — Щі чт0 i( ) с - (72 " 2) — регулярное подмножество (та — 2) и Qi(y) Є c((pcQi1) (см- теорему 5.7). Отсюда, кстати, следует, что С\3%п есть регулярное подмножество &{п)\ обозначим его через D . Рассмотрим элемент хг {чр) Є U(q) (обозначим ограничение ірс на D через р). Из описания класса сопряжённости 0Cc( cQi) следует, в частности (см. утверждение 5.9), что для всех (г, j) Є Яр ) \ ( U n-iU „). Здесь Ду(г) = AD (z) для любого 2 Є 17(g), см. обозначение 5.8. Но из (3.28) сразу видно, что уу = г/у = ?у для каждого такого (г, j). Значит, если мы хотим, чтобы в сумме (3.29) было хоть одно ненулевое слагаемое (а иначе, разумеется, %(#) = 0), то нужно потребовать, чтобы для какого-то регулярного подмножества D С Ф(п) \ ( 1) )- Рассмотрим теперь "симметричное" полупрямое разложение группы U(q). Пусть Л Є 7 , у" = (Л1")-1 /) ) и у = { (в)( ) (напомним, уЧ получается из уЧ заменой всех элементов ниже главной диагонали, лежащих в п-ой строке, нулями). Тогда Легко видеть, что для любых д Є U(q), h Є ї} Мы знаем, что %Ч 0 ( )-1 — характер основной серии группы Un-2{g). Обозначим через Xjeg С V}(q) носитель характера %Ч, а через Т{ — множество тех tf Є Тг\ для которых у = (h gtf Є U$(q)V}(q) иу Є %\щ, то єсть 5д&) Ф О- В таких обозначениях Раз Є 0CSeg, то найдётся такое подмножество 6 С & \{п) и такое отображение (fck С\ —» F , что i(C ) С 5(п —2) — регулярное подмножество & {п — 2) и і( ) е СЦС СІ, (ei)-1) (см- теорему 5.7).
