Введение к работе
Ряд классических и современных задач как самой топологии, так и ее приложений, сводится к изучению пространств орбит свободных действий групп. В диссертации рассматриваются вопросы, в которых в качестве пространств орбит получаются квазиторических многообразия (первая глава) и классифицирующие пространства групп Артина (вторая глава).
Теория квазиторических многообразий в настоящее время представляет собой интенсивно развивающуюся область исследований на стыке топологии, комбинаторики и гомологической алгебры ([7]). Она возникла на основе теории торических многообразий, которая находится в центре внимания последние 30 лет благодаря открытым на ее основе глубоким связям между алгебраической геометрией и задачами, пришедшими из теоретической физики.
Согласно известной гипотезе Арнольда-Тома-Фама, классифицирующее пространство группы Артина может быть получено как пространство орбит свободного действия соответствующей группы Кокстера на пространстве дополнения к конфигурации гиперплоскостей. Эта гипотеза напрямую связана с другим актуальным вопросом алгебраической топологии: определить, обладает ли данная группа реализацией классифицирующего пространства как конечного клеточного комплекса.
Основными результатами первой главы являются классификационные теоремы для квазиторических многообразий в следующих двух случаях: 1) пространство орбит есть произведение конечного числа симплексов произвольных размерностей 2) пространство орбит есть многогранник размерности 3 с небольшим числом гиперграней.
Во второй главе диссертации доказано, что пространство орбит действия группы Кокстера на ассоциированном с ней дополнении к гиперплоскостям является классифицирующим пространством положительного моноида Артина. Центральным результатом этой главы является сведение проблемы Арнольда-Тома-Фама к вопросу о гомотопическом групповом пополнении этого моноида.
Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.
Квазиторическим многообразием называется гладкое ориентированное многообразие М2п размерности 2п с гладким действием п-мерного тора на нем, которое удовлетворяет следующим условиям: действие локально изоморфно стандартному действию Тп на С", и пространство орбит диффеоморфно как многообразие с углами простому выпуклому многограннику Рп. Каждое такое многообразие задается многогранником Рп вместе с указанием стабилизаторов орбит, соответствующих его гиперграням. Такое соответствие записывают в виде функции Л : Т — Ъп, называемой характеристической, где Т — множество гиперграней многогранника, а значение на гиперграни определяет стабилизатор — одномерный подтор в Тп. Данная функция называется характеристической. Условие, что многообразие М2п является неособым, накладывает некоторое комбинаторное условие на характеристическую функцию. Задача классификации квазиторических многообразий над заданным многогранником сводится к описанию всех характеристических функций на нем, удовлетворяющих этому условию.
В §1.1 собраны необходимые определения и факты о квазиторических многообразиях. Приведены известные результаты классификации квазиторических многообразий, включающие случай п — 2, и результаты из алгебраической геометрии о классификации неособых торических многообразий, которые являются частным случаем квазиторических.
В §1.2 построена модификация конструкции весов из [22] на симплициальном комплексе К, двойственном к многограннику Рп. Дополнительно введена новая функция є («раскраска»), определенная на симплексах максимальной размерности в К, со значениями в 2 - Определено действие группы Ъ™, где т — число вершин комплекса К, на весах и раскраске этого комплекса, которое задает отношение эквивалентности, соответствующее эквивариантным гомеоморфизмам квазиторических многообразий. При этом торическим многообразиям соответствуют системы весов с тождественно единичной раскраской. Дан критерий существования квазиторического многообразия с данной раскраской и системой весов.
В §1.3 качестве приложения результатов §2 вычислены все характеристические функции на простых трехмерных многогранниках с числом гиперграней не более 6.
§1.4 посвящен задаче классификации в случае многогранников, являющихся произведениями конечного числа симплексов. Для квазитори-ческих многообразий над такими многогранниками получен критерий эквивариантного расслоения этих многообразий с базой и слоем, также являющимися квазиторическими многообразиями. Критерий формулируется целиком в терминах раскрасок. В качестве следствия дана классификация квазиторических многообразий, соответствующих тождественно единичной раскраске на произведении симплексов (а, следовательно, и описание торических многообразий над такими многогранниками), которая поглощает случай, исследованный в [16], так как многогранник с числом гиперграней, на 2 большим его размерности, есть не что иное, как произведение двух симплексов.
Во второй главе изучаются пространства орбит свободных действий групп Кокстера на дополнении к конфигурациям гиперплоскостей. Как известно, каждой системе Кокстера (W, S) соответствует ее точное действие отражениями на пространстве Е = Rm) где т — мощность множества S (см. [1]). На открытом выпуклом конусе / С V, называемом конусом Титца, это действие является собственным, т.е. стабилизатор любой орбиты имеет конечный порядок. В комплексификации этого пространства выбирается область V®I, из которой удаляются комплек-сифицированные плоскости отражения. На этом дополнении Y группа W действует свободно. Согласно известной проблеме Арнольда-Тома-Фама, пространство орбит этого действия Tiw — Y/W является классифицирующим пространством группы Артина, соответствующей группе W.
Для каждой системы Артина (A, S) определен моноид А+, называемый положительным моноидом Артина, имеющий тот же набор образующих и соотношений, что и группа А. В §2.1 излагаются определения и известные факты о системах Кокстера и Артина, а также о положительном моноиде Артина.
В §2.2 приводится конструкция пространства дополнения к конфигурации гиперплоскостей, ассоциированной с данной группой Кокстера W. Изложены основные известные результаты в проблеме Арнольда-Тома-Фама.
§2.3 и §2.4 посвящены теории классифицирующих пространств дискретных групп и моноидов, а также частичных моноидов и их монои-дальных пополнений. Каждому частичному моноиду X сопоставляется топологический моноид СХ, называемый его гомотопическим монои-дальным пополнением. Приведено описание моноида СХ в виде конфигурационных пространства частиц на прямой с метками из X со следующей топологией на пространстве таких частиц: допускается слияние частиц с метками х\,... ,Xk в одной точке R1, если определено произведение причем при слиянии образуется частица с меткой, равной произведению меток.
Основным результатом этого параграфа является теорема о гомотопической эквивалентности классифицирующих пространств частичного моноида X и его пополнения СХ. В качестве следствия приведены результаты о конфигурационных пространств частиц в евклидовых пространствах с метками в коммутативных частичных моноидах.
В §2.5 с использованием геометрической техники, развитой в предыдущем параграфе, доказывается один из центральных результатов диссертации: пространство орбит 7iw из гипотезы Арнольда-Тома-Фама гомотопически эквивалентно классифицирующему пространству по-ложительного моноида Артина А+. Получены следующее важное следствие: эта гипотеза эквивалентна вопросу о гомотопическом групповом пополнении моноида Л+, а именно она верна тогда и только тогда, когда пространство петель QBA+ на классифицирующем пространстве моноида А+ гомотопически эквивалентно дискретной группе Л, то есть каждая его компонента связности стягиваема.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3] и [4].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. М. Бухштаберу за стимулирующие обсуждения, постоянное внимание и помощь в работе, доценту Т. Е. Панову за ценные советы и обсуждения, а также всем сотрудникам кафедры высшей геометрии и топологии МГУ за поддержку.
