Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Классы подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон неймана 19
1. Предварительные сведения 19
2. Описание классов подпространств с помощью ортопроекторов в пополнении 29
3. Совпадение классов подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана 35
Глава 2. Классы подпространств в пространстве представления 39
4. Классы подпространств в случае алгебры с бициклическим вектором 39
5. Алгебра В(Н) в пространстве представления, ассоциированного с точным нормальным состоянием 43
6. Пространство представления алгебры фон Неймана, ассоциированного с весом: общая конструкция 51
7. Алгебра В(Н) в пространстве представления, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом 54
8. Случай полуконечного веса с ограниченной производной Радона-Никодима 61
Глава 3. Меры на классах подпространств 69
9. Меры:основные понятия и определения 69
10. Задание меры на KM{S) ПО мере на МУ 72
11.0 поднятии меры с Км(З) Д меры на M.w 73
Литература 79
- Описание классов подпространств с помощью ортопроекторов в пополнении
- Алгебра В(Н) в пространстве представления, ассоциированного с точным нормальным состоянием
- Алгебра В(Н) в пространстве представления, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом
- Задание меры на KM{S) ПО мере на МУ
Введение к работе
В работе вводятся и изучаются классы ортозамкнутых и расщепляющих подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана.
Алгебраические, топологические и порядковые свойства подпространств унитарного пространства (не обязательно полного) уже достаточно давно являются предметом детального изучения. Дж. фон Нейман в работе 1932 года [52] при математическом обосновании квантовой механики использовал аппарат подпространств (замкнутых линеалов) гильбертова пространства. Поскольку вместе с каждым унитарным пространством можно рассматривать и гильбертово пространство, являющееся пополнением этого унитарного, представляет интерес изучение замкнутых подпространств унитарного пространства.
Также в 30-х годах прошлого столетия появились классические ныне работы Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея [49] - [51], [53], положившие начало теории операторных алгебр. Эта теория, в особенности ее часть, связанная с алгебрами фон Неймана, была достаточно хорошо разработана во второй половине двадцатого столетия.
В данной работе объединяются указанные направления исследований, основоположником которых являлся Дж. фон Нейман. Работа посвящена изучению подпространств унитарного пространства в контексте теории алгебр фон Неймана.
Обратимся к основным объектам исследования.
Пусть S — вещественное или комплексное унитарное пространство со скалярным произведением (>) Для любого X С S положим
X1 = {xeS\(x,y) = 0 V2/GX}.
Придерживаясь терминологии работ А. Двуреченского [27] - [29], [33], определим для замкнутого подпространства X из S
E(S) = {Х С S\XXL = S}-
множество всех расщепляющих подпространств S и
F(S) = {X С S | X = Х-1-1} -
множество всех ортозамкнутых подпространств S.
Следует отметить, что имелись и другие обозначения и терминология. Так Г. Гросс и Г. Келлер в [40] множество расщепляющих подпространств называли множеством ортогональных слагаемых, обозначая это множество через Ls(S), а множество ортозамкнутых подпространств через Lj_j_(5).
На протяжении нескольких последних десятилетий значительный интерес вызывали характеризации гильбертовых пространств с помощью топологических и алгебраических свойств подпространств. Так в [61] под гильбертовым пространством понимается унитарное пространство, для которого любое ортозамкнутое подпространство является расщепляющим.
С полнотой унитарного пространства тесно связаны порядковые свойства классов подпространств. И. Амемия и X. Араки в [20] дали первую алгебраическую характеризацию полноты: унитарное пространство S полно тогда и только тогда, когда F(S) - ортомодуляр-ная решетка, из чего легко следует, что S полно тогда и только тогда,
когда E(S) = F(S) [34]. Были получены также критерии полноты и в терминах расщепляющих подпространств. Так в работе [40] Г. Гросса и Г. Келлера утверждается, что унитарное пространство S полно тогда и только тогда, когда E(S) - полная решетка, Ж. Кат-танео и Д. Марино в [21] установили, что для полноты S достаточно того, чтобы класс E(S) образовывал а-решетку. А. Двуреченский в [27] доказал, что для полноты S необходимо и достаточно выполнения для E(S) следующего условия:
+оо
V Х{ Є E(S) ({Хі} С E(S), XiLXj, і ф j).
Другими словами, класе E(S) обязан образовывать квантовую логику в смысле [60]. Другие алгебраические характеризации полноты унитарного пространства можно встретить, например, в работах С. Гаддера [41], [42] и С. Гаддера и С. Холланда [43].
Еще одна очень интересная характеризация полноты унитарного пространства в терминах состояния была получена Ж. Халмхалте-ром и П. Птаком ([46]) для сепарабельного унитарного пространства. Позднее эти результаты были обобщены в [30] - [32] и [35] - [38] А. Двуреченским и С. Пульмановой.
В 30-х годах прошлого столетия зародилось еще одно интереснейшее направление исследований: начала развиваться теория операторных алгебр. Основополагающими работами по алгебрам операторов можно считать, как уже отмечалось, работы Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея [49] - [51], [53]. Теория алгебр фон Неймана получила свое развитие и обобщение в работах Ж. Диксмье [26], Ш. Сакаи [56] и М. Такесаки [58]. Следующим этапом в развитии алгебр фон Неймана стала теория Томита - Такесаки [59], [57], [55], позволившая
изучать алгебры фон Неймана с помощью нормальных состояний и ассоциированных с ними представлений, а также установившая тесную связь между алгеброй фон Неймана и ее коммутантом. Вслед за этим в работах Ф. Комба [23], [24], У. Хаагерупа [45] и Г. Педерсена, М. Такесаки [54] была развита теория нормальных весов. Понятие веса, включающее в себя понятия состояния и следа, вместе с теорией Томита - Такесаки позволило рассматривать многие интересные объекты. В частности, возникла конструкция пространства представления алгебры фон Неймана, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом. Кроме того, немаловажную роль стал играть линеал веса [14], [15], [25].
Начало еще одному направлению исследований, имеющих отношение к данной работе, было положено в 1957 г. А. Глисоном [39]: были описаны состояния на множестве замкнутых подпространств се-парабельного гильбертова пространства над полем действительных или комплексных чисел (за исключением пространства размерности два). Из этой фундаментальной работы возникло достаточное число задач, в частности, так называемая проблема линейности (проблема Макки): имеется конечно-аддитивная мера на квантовой логике замкнутых подпространств гильбертова пространства, отвечающих ортопроекторам из алгебры фон Неймана, действующей в этом гильбертовом пространстве; возможно ли продолжение этой меры до ограниченного линейного функционала на алгебре фон Неймана?
Задачами, близкими к теореме Глисона, в разных формулировках занималось достаточно большое число авторов. Первоначальные обобщения были сделаны Д. Аарнес в [18], [19] и Д. Гансоном в [44]. Проблема Макки была решена в 1982 - 1985 гг. Е. Кристенсеном [22],
Ф. Иедоном [62], [63] и М.С. Матвейчуком [7] - [12]. Следует отметить также относящуюся к этой тематике работу А.А. Лодкина [4]. Достаточно полно эта тематика изложена в работе С. Маеды [48]. Различные вопросы, связанные с мерами на алгебрах фон Неймана, рассматривались в работах Г.Д. Луговой и А.Н. Шерстнева [5], [6], Н.В. Трунова и А.Н. Шерстнева [13], а также в работах А. Н. Шерстнева [16], [17].
Итак, как уже отмечалось ранее, рассмотрение классов расщепляющих и ортозамкнутых подпространств унитарного пространства, мер на этих подпространствах (в смысле определения [46]) не является продуктивным. Интерес вызвали подпространства унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана, действующей в пополнении этого унитарного пространства. При этом рассматриваются подпространства, также присоединенные к алгебре фон Неймана. В такой ситуации, позволяющей соединить несколько направлений исследований, возникают не просто новые классы подпространств, но и появляются новые задачи и свойства.
Итак, вместе с унитарным пространством S рассматривается его пополнение - гильбертово пространство Н. В этом случае на S можно смотреть как на некоторый плотный в Н линеал. Рассматривается также алгебра фон Неймана .М, действующая в Н. Требуется, чтобы линеал S был присоединен к Л4, то есть инвариантен относительно любого оператора из коммутанта алгебры Л4. Изучаются классы подпространств (L^(5)), ортозамкнутых (Fm(S)) и расщепляющих (Em(S)) подпространств пространства 5, присоединенных к алгебре фон Неймана М.
Отметим, что рассматриваемые ранее "стандартные" классы за-
мкнутых, ортозамкнутых и расщепляющих подпространств унитарного пространства вкладываются в рассматриваемую схему, если в качестве алгебры фон Неймана взять алгебру В(Н) всех ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н.
В рамках рассматривамой конструкции возникают следующие вопросы:
Как охарактеризовать классы ортозамкнутых и расщепляющих подпространств пространства S, присоединенных к Л4, с помощью ортопроекторов из Л4?
Как охарактеризовать унитарные (неполные) пространства 5, для которых Em{S) = Fm(S) = Lm(S)'?
Как, имея меру на ортопроекторах алгебры фон Неймана .М, задать меру на рассматриваемых классах подпространств?
Возможно ли "поднятие" меры с классов подпространств унитарного пространства S до меры на ортопроекторах алгебры М. ?
Результаты, изложенные в работе, позволяют (в значительной степени) ответить на поставленные вопросы.
В ходе исследований получено описание классов ортозамкнутых и расщепляющих подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана в терминах ортопроекторов этой алгебры. С помощью этого описания исследуется вопрос о совпадении указанных классов подпространств. Приводятся конструкции алгебр фон Неймана и унитарных (неполных) пространств, для которых имеет место равенство:
EM(S) = FM(S) = LM{S). 9
Особое внимание уделяется изучению случая алгебры фон Неймана с бициклическим вектором, который часто возникает как результат представления алгебры, ассоциированного с точным нормальным состоянием. В результате возникает алгебра, изоморфная исходной (как W*-алгебре), но, вообще говоря, не пространственно изоморфная. Детально исследуется конструкция представления алгебры всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. Полученные результаты обобщаются на случай представления алгебры, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом. Подробно иследуется линеал веса в пространстве стандартного представления алгебры всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом. Описана конструкция, позволяющая отождествлять элементы линеала веса с операторами Гильберта-Шмидта, действующими в исходном гильбертовом пространстве.
Поскольку существует определенное соответствие между подпространствами унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана, и ортогональными проекторами из этой алгебры, возникает задача мероопределения на введенных классах подпространств и изучения связей между мерами на классах подпространств и мерами на ортопроекторах исходной алгебры фон Неймана. В работе предлагается топологический подход к определению меры на классах подпространств и показывается, как, имея меру на ортопроекторах алгебры фон Неймана, задать меру на классах подпространств, а также как продолжить (или "поднять") меру, заданную на одном из классов подпространств, до меры на ортопроекторах алгебры.
Перейдем к более детальному изложению основных результатов работы.
Диссертация состоит из введения, одиннадцати параграфов, объединенных в три главы, и списка литературы.
В первой главе ( 1 - 3) вводятся ортозамкнутые и расщепляющие подпространства унитарного пространства, присоединенные к алгебре фон Неймана, и изучаются свойства классов названных подпространств в терминах ортогональных проекторов из алгебры фон Неймана.
В 1 приводятся основные факты из общей теории алгебр фон Неймана, теории состояний и весов на алгебре фон Неймана. Кроме того, описывается конструкция, изучаемая в том или ином виде на протяжении двух первых глав работы: пусть S — плотный линеал в гильбертовом пространстве Я, присоединенный к алгебре фон Неймана Л4, действующей в Я. Вводятся следующие классы подпространств унитарного пространства S:
— класс подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана
М:
LM(S) = {XCS\X = X, Хт]М},
(замыкание берется в S)
— класс ортозамкнутых подпространств, присоединенных к алгеб
ре фон Неймана Л4:
FM(S) = {X С S\X = X11, XrjM},
— класс расщепляющих подпространств, присоединенных к алгеб
ре фон Неймана ЛІ:
EM(S) = {ХС S\X 0 Xх = 5, XrjM}.
Показано, что в общем случае имеет место следующая цепочка включений:
EM(S) С FM(S) С LM(S).
В этом параграфе описываются ортомодулярные свойсва классов подпространств, а также рассматриваются примеры линеалов, плотных в некотором гильбертовом пространстве и присоединенных к алгебре фон Неймана, действующей в этом гильбертовом пространстве. В частности, описывается случай алгебры фон Неймана с бицикличес-ким вектором.
Во втором параграфе приводится характеризация классов Em(S), Fm(S)i Lm{S) с помощью ортопроекторов из Ad. Особо выделены критерии принадлежности подпространства, присоединенного к алгебре фон Неймана, классам Ем{&) и Fm{S) в случае алгебры фон Неймана с бициклическим вектором.
3 посвящен изучению рассматриваемых классов подпространств в некоторых частных случаях в контексте исследования вопроса о совпадении классов подпространств.
Показано, что в случае коммутативной (Ad С Ad') алгебры фон Неймана Ad рассматриваемые классы подпространств совпадают, то есть имеет место равенство:
Em{S) — Fm(S) = Lm(S).
Естественным образом возникла задача построения в некотором смысле нетривиального примера гильбертова пространства Н, алгебры фон Неймана jM, действующей в этом гильбертовом пространстве, и плотного линеала 5, присоединенного к Ad, для которых каждое
включение в цепочке
EM(S) С FM(S) С LM{S)
было бы строгим.
Из этой задачи и "выросла" глава 2.
Описание классов подпространств с помощью ортопроекторов в пополнении
Данный параграф дает описание классов подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, в терминах ортопроекторов этой алгебры. Пусть S — плотный линеал в гильбертовом пространстве Н, присоединенный к алгебре Неймана .М, действующей в Н. Введем следующие классы подпространств: (Здесь и далее TZ(x) — область значений оператора ж.) Отметим следующее вспомогательное свойство : ЛЕММА 2.1. Пусть X — подпространство в S, такое что XrjM, р — ортопроектор на замыкание X в Н. Тогда р Є АЛ . Доказательство. Как известно, где L — подпространство в Н, а — ограниченный линейный оператор, действующий в Н, р — ортопроектор на L. Пусть f Є [X] = 7Z(p). Тогда существует последовательность (/„)С X, такая что /„ - / (п - +со). Для любого оператора и Є .M,tm u/n - и/. Поскольку XrjM, ufn Є X ( для любого натурального п и для любого оператора и Є .М,ШІ). Тогда для любого оператора и Є М ип uf Є 7(р). Таким образом, для любого и Є М. ип Так как из YrjM следует Y -rjAd, то Из (2.2) и (2.3) с учетом (2.1) следует, что ри = up Vu G М ип. Тогда, так как М = 1гп Л4 ип, ри = up \/и Є Л4 , то есть р Є .М". Поэтому р Є М. (так как .М = Л4"). Лемма доказана. Доказательство. LM{S) С LP (5): Пусть X Є L,vf(5). Тогда [X] - подпространство в Н. Пусть р - ортопроектор на это подпространство. В силу леммы 2.1 р Є Л рт. Нужно показать, что X = 7l(p)f)S. Действительно, I С 5, X С [X] = 1Z(p), следовательно, X С n(p)f]S. Обратно, пусть / Є 7г(р)П5. Тогда / Є Я(р), а значит существует последовательность (/„) С X, такая что /п — /. Так как X - замкнуто в S, то f Є X. Таким образом, 7(р) П С X . LPM(S) С LM(5): Пусть р Є .М " , а последовательность (/„) С 7Z(p)f)S такая, что /п -» / Є S. Так как (/„) С Л(р), а 7(р) - замкнуто, то / Є Я(р). Таким образом, TZ(p)f]S - замкнуто в S. Убедимся, что (1l(p) C\S)r]M. Действительно, поскольку р Є МУ, то upf = puf Є И(р) (для любого и Є М ип и для всякого / Є Н), то єсть и(И(р)) С %{р) (для любого u Є М ип). Таким образом, IZ rjM; кроме того, SrjM по условию. Тогда (7l(p)0S)r]M. Таким образом, LM(S) = LPM{S).Теорема доказана. Доказательство. FM(S) С FPM{S): Пусть X Є -Рм(). Тогда [X] - подпространство в Н. Рассмотрим р - ортопроектор на это подпространство. В силу леммы 2.1 р Є МУ . Убедимся, что X = 7l(p)f]S. Очевидно, что X С TZ(p)f]S. Обратно, пусть / Є TZ(p)f\S. Так как / Є 71(р), существует последовательность (/„) С X, fn — /. Поэтому для любого элемента д Є XL {fn,g) — 0 Vn, значит, {f,g} = 0 для любого элемента д Є XА-, то есть / Є XL\ но так как X Є FM (5), то / Є X. Итак, [7(p) C\S] = lZ(p). Кроме того, XL = 7(/ — р) П S, так как Пусть [Xі] = 7(g) (g Є Л4рт). Тогда в силу доказанного 7(р) П 5 = X = XLL = И(І — q)C\S, откуда q = І — р, а значит 71(1 — р) = [R(I-p)f]S]. FPM(S) С FM(S): Пусть X Є FPM(S). Тогда X = 7l(p)nS, где р Є МУ . Поскольку lZ(p)[)S плотно в 7(р), то X± = {feS\(fig) = Q VgenP)nS} = {feS\{f,g) = 0 ЧдвЩр)}, зі Аналогично, учитывая, что 1Z(I — р) = [71(1 — p)HC\S], получаем: то есть Убедимся, что XTJM., ТО есть (Т1(р) П S)rjM.. Действительно, пусть р Є M.w. Тогда upf = puf Є 7Z(p) для любого унитарного и Є .М , то єсть для любого унитарного и Є М! u{JZ(p)) С Л(р). Таким образом, Л(р)г]Л4. Поскольку SrjM по условию, то (7l(p) f) S)rjА4. Теорема доказана. Из определения EM{S) следует
Доказательство. EM(S) С EPM(S): Пусть X Є EM(S). Тогда [X] — подпространство в Н. Зададим р — ортопроектор на это подпространство. В силу леммы 2.1 р Є МУ . Поскольку X Є EM{S), то S = ХфХ1, то есть произвольный элемент / Є S в силу леммы 2.2 имеет вид: где fi Є X С [X], /г Є XL С [Х-1]. (2.4) - единственное представление / в Н (такое, что f\ Є [X]). Следовательно, pf = /і Є 71(р) П , то есть pS С 7(р) П S, а также р5 С X. С другой стороны, 7(р) П Q pS, поскольку для произвольного / Є 7Z(p) f\S f = pf Є p5. Таким обра зом, 71{р) C\S = pS. Кроме того, так как X С И(р) П S (по определению p),X = K{p)r\S = pS. EPM(S) С EM(S): Пусть X Є EPM(S), то есть X = TZ{p)C[S = pS, где р Є ЛІ1" . Тогда XL = 1Z(I — p)f]S. Таким образом, нужно показать, что Очевидно, (Щр) П 5) Є(7г(/-р) f]S) CS. Обратно, пусть / Є S. Тогда / Є Я, а значит / = pf + (/ - р)/, причем pf е pS = Щр) f\S, (I -p)fClS ( ибо 5 -линейно, a {I-p)f = f -pf). Тогда (I-p)f Є ft(J-р) П S. Поскольку pf ортогонален (І — р)/, то / Є ( (р) П 5) Ф(7(/ — р)П5),то єсть S С (Тг(р)П5)ф(7г(/-р)п5), а значит 5 = X фXL, гдеХ = 7г(р)п5. Наконец, (7(р) П S)TJM. , так как р Є Л4рг, 5т;Л4. Теорема доказана. Пусть Н — гильбертово пространство, Л4 — алгебра фон Неймана с бициклическим вектором, действующая в этом гильбертовом пространстве, S = М! /о = {ж /о ж Є Л4 } — плотный в Н линеал, присоединенный к Л4. Пусть р Є M.w. Рассмотрим следующее множество: Из самого вида X следует, что XrjM.] кроме того X — 7l(p)C\S, значит множество вида (2.5) принадлежит классу LM(S). Очевидно также, что любое подпространство из L M(S) имеет вид (2.5). Таким образом, любое подпространство в 5, присоединенное к .М, имеет вид (2.5), где р Є MP7. Доказательство. Достаточность: Пусть р/о Є 5, то есть Р/о = z fo (z1 Є М ). Тогда K(p)f)S С р5, ибо / = x f0 Є 7г(р)П5 можно записать в виде / = рж /о Є pS. Для доказательства обратного включения достаточно проверить, что pS С S. Для произвольного элемента S вида х /о и р Є -М 7" : p# /o = ж р/о = x z fo Є 5. Но тогда р5 С Щр) П 5. Таким образом, X = 72.(р)П5 = р5, р Є .М1""; следовательно, в силу теоремы 2.3, X - расщепляющее. Необходимость: Пусть подпространство X - расщепляющее. Тогда Щр) C\S = pS (теорема 2.3), то есть pS С S. В частности, р/о Є S. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Подпространство X С S вида (2.5) орто-замкнуто тогда и только тогда, когда для любого элемента / Є Н существует последовательность (x nfo) С X такая, что Доказательство. Необходимость: Пусть X — ортозамкнуто. Тогда [Щр) ПS] = 7г(р), [7г(/ - р) П 5] = ЩІ - р) (теорема 2.2), то есть для любого элемента f Є Н где рй/о Є 5, (/ - p)z nf0 Є 5. Тогда (/ - PK/O = (/- p)(pj/n + (/- p)z n)f0 = (/- p)4/o Є 5. Необходимость доказана. Достаточность: Каждый элемент / Є Н можно представить в следующем виде: / = 1ітж „/0, причем px nfQ Є S, (I - p)xrnf0 Є S Vn. Тогда pf = limpz n/0, где рж п/о Є Щр) f]S Vn, a (/ - p)f = lim(/ - p)x nfQ, где (/ — р)ж п/о Є H{I — p)f]S Vn. Это означает, что [Щр) П 5] = 7г(р), [7г(/ - р) П S] = Тг(/ - р), то есть X — ортозамк-нуто (теорема 2.2).
Алгебра В(Н) в пространстве представления, ассоциированного с точным нормальным состоянием
В данном параграфе подробно рассматривается конструкция, изложенная в 4, применительно к алгебре В(Н) всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. В рамках описанной конструкции получены критерии расщепляемос-ти и ортозамкнутости подпространств в терминах ортопроекторов исходной алгебры фон Неймана, а также показано, что рассматриваемые классы подпространств различны. Пусть (р — точное нормальное состояние на алгебре В(Н) и гильбертово пространство $) — пополнение В(Н) по скалярному произведению Пусть 9Я = -к,р{В(НУ) — образ В{Н) при каноническом представлении, ассоциированном с р, = 1 — бициклический вектор для 9Л, S = ЇЇЇҐ. Пусть далее t — неотрицательный ядерный оператор в Н, однозначно определенный по состоянию (р равенством: (здесь го — стандартный след на В(Н)). ЛЕММА 5.1. Для ортопроекторов р , q Є ЙЛ " линеалы 9Я?р и 9Л д ортогональны тогда и только тогда, когда ptq = О, где (в соответствии с нашими соглашениями) тг (р) = jp j, (q) = jq j Доказательство. Ортогональность линеалов линеалы 9Я?р и 9Л д ортогональны тогда и только тогда, когда ptq = О, где (в соответствии с нашими соглашениями) тг (р) = jp j, (q) = jq j Доказательство. Ортогональность линеалов рассматривается конструкция, изложенная в 4, применительно к алгебре В(Н) всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. В рамках описанной конструкции получены критерии расщепляемос-ти и ортозамкнутости подпространств в терминах ортопроекторов исходной алгебры фон Неймана, а также показано, что рассматриваемые классы подпространств различны. Пусть (р — точное нормальное состояние на алгебре В(Н) и гильбертово пространство $) — пополнение В(Н) по скалярному произведению Пусть 9Я = -к,р{В(НУ) — образ В{Н) при каноническом представлении, ассоциированном с р, = 1 — бициклический вектор для 9Л, S = ЇЇЇҐ.
Пусть далее t — неотрицательный ядерный оператор в Н, однозначно определенный по состоянию (р равенством: (здесь го — стандартный след на В(Н)). ЛЕММА 5.1. Для ортопроекторов р , q Є ЙЛ " линеалы 9Я?р и 9Л д ортогональны тогда и только тогда, когда ptq = О, где (в соответствии с нашими соглашениями) тг (р) = jp j, (q) = jq j Доказательство. Ортогональность линеалов линеалы 9Я?р и 9Л д ортогональны тогда и только тогда, когда ptq = О, где (в соответствии с нашими соглашениями) тг (р) = jp j, (q) = jq j Доказательство. Ортогональность линеалов ЭДТ р и ffl q , очевидно, эквивалентна условию которое, в свою очередь, эквивалентно равенству Записав это равенство через след, имеем то и эквивалентно условию ptq = 0. Утверждение доказано. ЛЕММА 5.2. Для любого ортопроектора р Є ОУҐ1 7 существует q Є Wl,pr такой, что (Wp )L = Wl q . Доказательство. (Ш р %)1- Є 1/ (5), а значит, в силу предложения 4.2 найдется искомый ортопроектор q . ТЕОРЕМА 5.1. Следующие условия эквивалентны: Доказательство, (і) = (іі): Из условия (і) следует, что существует г Є Я7Т,рг такой, что Отметим, что Действительно, пусть q — ортопроектор на подпространство Кег {pi). Тогда ptq = 0 и в силу леммы 5.1 9JtVf Я (ЯЛУО"1"» то есть я г а значит, q г. Из равенства ріг = 0 следует, с другой стороны, что г q. Таким образом, первое равенство в (5.2) установлено. Аналогично устанавливается второе равенство. Достаточно установить, что Очевидно, 7Z(p) С {7Z(t) П 71(1 — p)}L. Для доказательства обратного включения отметим, что так что Пусть h Є {7l(t) П Щ1 - p)}1 и / Є H произволен. Тогда (так как trf Є 7() П 71(1 — p) и h ортогонален такому вектору). Из произвольности / следует, что rth = в, то есть h Є Кег (rt) = 7Z(p). (ii) = (iii): Пусть Щр) = {7l(t) П 7г(1 - p)}L. Требуется доказать: qth = 9= he Щр) (здесь 7l(q) = Кег (pt)). ДействительноЭДТ р и ffl q , очевидно, эквивалентна условию которое, в свою очередь, эквивалентно равенству Записав это равенство через след, имеем то и эквивалентно условию ptq = 0. Утверждение доказано. ЛЕММА 5.2. Для любого ортопроектора р Є ОУҐ1 7 существует q Є Wl,pr такой, что (Wp )L = Wl q . Доказательство. (Ш р %)1- Є 1/ (5), а значит, в силу предложения 4.2 найдется искомый ортопроектор q . ТЕОРЕМА 5.1. Следующие условия эквивалентны: Доказательство, (і) = (іі): Из условия (і) следует, что существует г Є Я7Т,рг такой, что Отметим, что Действительно, пусть q — ортопроектор на подпространство Кег {pi). Тогда ptq = 0 и в силу леммы 5.1 9JtVf Я (ЯЛУО"1"» то есть я г а значит, q г. Из равенства ріг = 0 следует, с другой стороны, что г q. Таким образом, первое равенство в (5.2) установлено. Аналогично устанавливается второе равенство. Достаточно установить, что Очевидно, 7Z(p) С {7Z(t) П 71(1 — p)}L. Для доказательства обратного включения отметим, что так что Пусть h Є {7l(t) П Щ1 - p)}1 и / Є H произволен. Тогда (так как trf Є 7() П 71(1 — p) и h ортогонален такому вектору). Из произвольности / следует, что rth = в, то есть h Є Кег (rt) = 7Z(p). (ii) = (iii): Пусть Щр) = {7l(t) П 7г(1 - p)}L. Требуется доказать: qth = 9= he Щр) (здесь 7l(q) = Кег (pt)). Действительно, qth = в влечет th Є {Кег (pt)}L = [JZ(tp)], а значит, th = 1ітф/п для подходящей последовательности /п Є #. Достаточно установить что (h,tf) = О для любых tf Є 72.(1 — р). ИмееЭДТ р и ffl q , очевидно, эквивалентна условию которое, в свою очередь, эквивалентно равенству Записав это равенство через след, имеем то и эквивалентно условию ptq = 0. Утверждение доказано. ЛЕММА 5.2. Для любого ортопроектора р Є ОУҐ1 7 существует q Є Wl,pr такой, что (Wp )L = Wl q . Доказательство. (Ш р %)1- Є 1/ (5), а значит, в силу предложения 4.2 найдется искомый ортопроектор q . ТЕОРЕМА 5.1. Следующие условия эквивалентны: Доказательство, (і) = (іі): Из условия (і) следует, что существует г Є Я7Т,рг такой, что Отметим, что Действительно, пусть q — ортопроектор на подпространство Кег {pi). Тогда ptq = 0 и в силу леммы 5.1 9JtVf Я (ЯЛУО"1"» то есть я г а значит, q г. Из равенства ріг = 0 следует, с другой стороны, что г q. Таким образом, первое равенство в (5.2) установлено. Аналогично устанавливается второе равенство. Достаточно установить, что Очевидно, 7Z(p) С {7Z(t) П 71(1 — p)}L. Для доказательства обратного включения отметим, что так что Пусть h Є {7l(t) П Щ1 - p)}1 и / Є H произволен. Тогда (так как trf Є 7() П 71(1 — p) и h ортогонален такому вектору). Из произвольности / следует, что rth = в, то есть h Є Кег (rt) = 7Z(p). (ii) = (iii): Пусть Щр) = {7l(t) П 7г(1 - p)}L. Требуется доказать: qth = 9= he Щр) (здесь 7l(q) = Кег (pt)). Действительно, qth = в влечет th Є {Кег (pt)}L = [JZ(tp)], а значит, th = 1ітф/п для подходящей последовательности /п Є #. Достаточно установить что (h,tf) = О для любых tf Є 72.(1 — р). Имеем: (т. к. і/Є7г(1-р)).
Алгебра В(Н) в пространстве представления, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом
В данном параграфе подробно исследуется линеал веса в пространстве стандартного представления алгебры всех ограниченных линейных операторов, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом. Описана конструкция, позволяющая отождествлять элементы линеала веса с операторами Гильберта-Шмидта, действующими в исходном гильбертовом пространстве. Пусть (р — точный нормальный полуконечный вес на алгебре фон Неймана В(Н) всех ограниченных линейных операторов в сепара-бельном гильбертовом пространстве Н. Пусть далее к О — самосопряженный оператор, присоединенный к В(Н), определенный равенством (Здесь TQ — стандартный след на В(Н).) Рассмотрим П(р = {х Є В(Н) ср(х х) +оо} = {х Є В(Н) т0(кх х) +оо}. Нам понадобится следующая ЛЕММА 7.1 [54].Пусть {hi} — неубывающая сеть положительных ограниченных операторов в Н. Тогда следующие условия эквивалентны: (і) Существует самосопряженный положительный оператор h, действующий в Н, такой, что hi / h. (И) Множество V — { Є #1іт(/іг) +оо} плотно в Н. Оператор h - единственен uV = V(hll2). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.1. Пусть (р — точный нормальный полуконечный вес на алгебре В(Н) и к — неотрицательный самосопряженный оператор, определенный равенством (7Л). Оператор х Є п тогда и только тогда, когда kl/2x Є {Н). (Здесь &2{Н) — множество операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Н.) Доказательство. Необходимость: Пусть х Є п . Покажем сначала, что V(k[ 2x ) = Н. Пусть / Є Н — произволен. Имеем: Тогда В силу леммы 7.1 x f Є (fc1/2), а значит / Є V{kll2x ). Итак, V(kl/2x ) = Н. Так как к1 2 замкнут, то — замкнут. Но замкнутый оператор, заданный на всем гильбертовом пространстве, ограничен. Пусть (ег) — ортонормированный базис в Н. Тогда для любого п Є N произвольности п следует, что а значит, kll2x — оператор Гильберта-Шмидта. Достаточность: Пусть к112х -оператор Гильберта-Шмидта. Рассмот рим Следовательно, (р(х х) = то(кх х) +оо, то есть х Є nv. Предложение доказано. ТЕОРЕМА 7.1. Отображение х — ж/г1/2 (ж Є п ,) определяет изометрический изоморфизм между гильбертовым пространством $) и гильбертовым пространством Сг операторов Гильберта - Шмидта в исходном пространстве Н. Доказательство. Поскольку ж/г1/2 = (kl/2x ) , из предложения 7.1 следует, что ж/г1/2 Сг» В силу определения скалярного произведения в пространствах ( и 9) и полноты этих пространств достаточно показать, что множество плотно в (. Поскольку любой оператор Гильберта-Шмидта аппроксимируется (по норме г) конечномерными операторами, достаточно показать, что оператор вида аппроксимируется по норме пространства ( операторами из Я. Поскольку П(к1/2) плотно в Н, то существует последовательность {Vn) С D{kll2), такая что k 2rjn - (п -» +оо). Положим ж = ( ,)77n- Тогда Теорема доказана. ЛЕММА 7.2.
Пусть h, к— самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н, причем 0 h к и h Є В(Н). Тогда существует х Є В{Н) такой, что /г1/2 = ж/г1/2. Доказательство. Следует для начала заметить, что для самосопряженных операторов h и к неравенство h к означает по определению: (и) ИЛ1/2/!!2 Р1/2/2 (fZD(kV )). В контексте условий леммы Оператор х корректно определен и ограничен. Действительно, х плотно задан и определен однозначно на плотном в Н линеале " (/г1/2) ф Ker/г. При этом для элемента /г1/2/ + р, такого что Ц/г1/2/ + g\\ = 1 (здесь / Є В этом случае х продолжается по непрерывности до ограниченного, всюду на Н определенного оператора, который будем обозначать той же буквой х. При этом ж 1/2І2?( 1/а) = Ь1/22 ( і/2), ТЕОРЕМА 7.2. DVw = тц,\ Доказательство. Пусть а Є Щ, и такой, что a = kll2y . Если Таким образом, п С D . Для доказательства обратного включения рассмотрим а Є -С . Тогда существует Л 0 такое, что Будем брать в качестве х одномерные ортопроекторы вида Тогда С другой стороны, Тогда из (7.2) следует, что а р2 Ap1/2 2 (д Є D(kl/2))y то есть (в смысле порядка в классе всех неотрицательных самосопряженных операторов) аа Л/с, или \а \2 Хк. Из леммы 7.2 следует, что найдется ограниченный оператор х Є В(Н) такой, что Если a = v\a \ — полярное разложение, то а — Xll2kll2x v Є Щ . Таким образом, любой элемент у Є S представим в виде ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.2. Любой линеал X в S, присоединенный к ЭДТ, имеет вид: где i p - левый идеал в В(Н). Доказательство. В силу теоремы 7.2 X представим в виде (7.3), где і р — некоторый линеал в В(Н). Таким образом, необходимо показать, что iv — левый идеал, то есть достаточно проверить, что элемент zx Є іірі если только х Є i p, z Є В(Н). Другими словами, требуется показать, что если к}І2х Є. X т z Є В(Н), то kll2(zx) = kl/2x z Є X. Пусть z Є В(Н) — произволен. Рассмотрим z = jir(p(z)j Є 9Л . Так как линеал X присоединен к 9Л, то z X С X. Тогда для любого х Є г 0-к )зк1 2х = jn xW2 = jzxW2 = (zxW ) = k1/2x z Є X.
Задание меры на KM{S) ПО мере на МУ
Данный параграф посвящен изучению следующей проблемы: как, имея меру на ортопроекторах исходной алгебры фон Неймана .М, задать меру на классе Км{8). ЛЕММА 10.1. Пусть {ХІ}ІЄІ С LM{S) — семейство попарно ортогональных подпространств, X = 0 Х{. Определим р (соответ-ственно pi) как ортопроектор на замыкание X (соответственно Х{) в Н. Тогда Доказательство. Следует отметить, что в силу леммы 2.1 р, РІ Є Ad1"". Пусть Z — I pi J H — наименьшее подпространство в Vie/ / H, содержащее все [ХІ] (І Є і). Поскольку ХІ С 1ІП {ХІ І Є /} для любого і Є І, то [Х{] С [linc{Xi І і Є /}]. Так как [X] — [lin X; і Є І}], то Z С [X]. С другой стороны, X; С [Хі\ С Z Уі Є I, поэтому lin {Xi г Є 1} С Z, а значит [Hn jXj г Є /}] С Z (в силу замкнутости Z в Н). Имеем: [X] = Z. Лемма доказана. ТЕОРЕМА 10.1. Пусть т : МУ - R+ — мера (соответственно конечно-аддитивная, вполне аддитивная мера). Тогда равенство определяет меру (соответственно конечно-аддитивную, вполне аддитивную меру) на классе KM{S). Доказательство. Поскольку имеет место цепочка включений EM(S) Q РМІЗ) Q LM(S)I достаточно проверить утверждение для класса LM{S). Пусть {Х{} С LM(S) — семейство попарно ортогональных подпространств. Тогда рх- = р[Хі] {і Є І) — попарно ортогональные ортопроекторы в алгебре Л4. X; С [Хі\ С Z Уі Є I, поэтому lin {Xi г Є 1} С Z, а значит [Hn jXj г Є /}] С Z (в силу замкнутости Z в Н). Имеем: [X] = Z. Лемма доказана. ТЕОРЕМА 10.1. Пусть т : МУ - R+ — мера (соответственно конечно-аддитивная, вполне аддитивная мера). Тогда равенство определяет меру (соответственно конечно-аддитивную, вполне аддитивную меру) на классе KM{S). Доказательство. Поскольку имеет место цепочка включений EM(S) Q РМІЗ) Q LM(S)I достаточно проверить утверждение для класса LM{S). Пусть {Х{} С LM(S) — семейство попарно ортогональных подпространств. Тогда рх- = р[Хі] {і Є І) — попарно ортогональные ортопроекторы в алгебре Л4. При этом р = Т, Pi = Р\хь где ІЄІ 1 X = ф ХІ (лемма 10.1). Поэтому ІЄІ і =1 где второе равенство в (ЮЛ) справедливо для счетной (соответственно для конечной, произвольной) суммы, если т — мера (соответственно конечно-аддитивная мера, вполне аддитивная мера). Теорема доказано. Задача, заключающаяся в изучении условий, при которых мера (конечно-аддитивная мера, вполне аддитивная мера) на классе Kj {S) допускает "поднятие" до меры (соответственно конечно-аддитивной меры, вполне аддитивной меры) на ортопроекторах алгебры ЛІ, по всей видимости, не имеет столь простого и однозначного решения. В данном параграфе эта проблема исследуется в рамках конструкций, изученных в главе 1..
Если Дм(5) = LM(S) и [І — мера (конечно-аддитивная мера, вполне аддитивная мера) на Ем{3), то равенство определяет меру (соответственно конечно-аддитивную меру, вполне аддитивную меру) на МУ. Доказательство. В силу теоремы 2.3 отображение т : M.w — Ш+ определено на M.w корректно. Рассмотрим р = pi, г е/ PiPj = 0 (і Ф J)-) ГДе I — счетное (соответственно конечное, произвольное) множество. Поскольку (Е Pi)S — (ф piS), имеем Утверждение доказано. Пусть S — унитарное пространство, E(S), F(S) и L(S) — классы соответственно расщепляющих, ортозамкнутых подпространств и всех подпространств пространства S. Эти классы естественно отождествляются с классами EB{H)(S), F [H)(S) И L#(#)( S), где Н — гильбертово пространство, являющееся пополнением S. ТЕОРЕМА 11.2. Пусть S — бесконечномерное сепарабелъное унитарное пространство и fj, : /Се(я)() — IR+ — мера. При этом р = Т, Pi = Р\хь где ІЄІ 1 X = ф ХІ (лемма 10.1). Поэтому ІЄІ і =1 где второе равенство в (ЮЛ) справедливо для счетной (соответственно для конечной, произвольной) суммы, если т — мера (соответственно конечно-аддитивная мера, вполне аддитивная мера). Теорема доказано. Задача, заключающаяся в изучении условий, при которых мера (конечно-аддитивная мера, вполне аддитивная мера) на классе Kj {S) допускает "поднятие" до меры (соответственно конечно-аддитивной меры, вполне аддитивной меры) на ортопроекторах алгебры ЛІ, по всей видимости, не имеет столь простого и однозначного решения. В данном параграфе эта проблема исследуется в рамках конструкций, изученных в главе 1. ТЕОРЕМА 11.1. Если Дм(5) = LM(S) и [І — мера (конечно-аддитивная мера, вполне аддитивная мера) на Ем{3), то равенство определяет меру (соответственно конечно-аддитивную меру, вполне аддитивную меру) на МУ. Доказательство. В силу теоремы 2.3 отображение т : M.w — Ш+ определено на M.w. Пусть S — унитарное пространство, E(S), F(S) и L(S) — классы соответственно расщепляющих, ортозамкнутых подпространств и всех подпространств пространства S. Эти классы естественно отождествляются с классами EB{H)(S), F [H)(S) И L#(#)( S), где Н — гильбертово пространство, являющееся пополнением S. ТЕОРЕМА 11.2. Пусть S — бесконечномерное сепарабелъное унитарное пространство и fj, : /Се(я)() — IR+ — мера. Тогда су
