Введение к работе
Актуальность теїчі. Теория алгебр операторов, действукгдик г, гильбертовом пространство. возникла р 30-годн б работа?: Фон Неіімзнз :: Уюрроя исходя из потребностей физики: наблпдаегл.ю Фісзітческсй системи отождествлялись с огрзніташпд::'. самоеопрязхеїипд.іи операторами, з состояния физической системі: - о пслоїпіт^льнмми нормированными „таейннми функционал.? (состояниями) на алгебре операторов. ОН НеЙМОЛ II Мюрреп подробно изучили структуру семейства алгебр, кеторію теперь называют алгебрами фок Неймана, или її* - злгебрзмп. Значительно позже бил выяснен тот факт, что з физических приложениях' появляются исключительно тэте называемые иньективкые алгебры фон Неймзнз.
Понятие инъективности било введено в 1967 году в работе Хзйеды и Токиямн (Hakeda J. .їояііуааа J. On some extension properties of yon Neumann algebras. Tohoku Math. J., 1957. 19. N3, p.315-323.). Позднее оно неоднократно переформулировквздось, и били введены близкие ' определения: аменабельность к г.олудискретность. позволявшие, с рззличглЕС сторон исследовать структуру таких алгебр.
Одним из значительшес результатов теории алгебр фон Неймана
является результат Кокна о эквивалентности этих четырех
определений для. алгебр фон Неймана над сеп-зрабельяьш гильбертовым
пространством. (Qonnes A. Glassiilcatlon ол* Infective factors
санез II., Л.ІОТЛІІЯ,?.^1 )- Ann. Hath.,1976. 104, N1. p.73-115.)
Причем при доказательстве связи полудискретлости и
гиперфндитности ему пришлось использовать сложную
технику. Впоследствии доказательство К.оняд 'бкдп упрощено
Вассерманом (Wasseraan S. Infective W* - algebras. Math. Proc. Canbridge Phll.Soc. 1977,82,N.1, p.25-41) и Когерупом (Haagerup U.A.. New Proof of the Equivalence of Inactivity and Hyperfinlteness for Factors on a Separable Hilbert Space. (Preprint, і 984,N4 ,Math.Inst.Odense Unlversltet.)
В 1976 году б вышеуказанной работе Кони доказал", что инъективный фактор типа П1А, 0<Л<1 над сепарабелышм гильбертовым пространством единственен к, соответственно
В 1939 году Хогерупом (Haafgerup U. A.The infective factors ol type Шл, oa<1. Pacific Journal of KatheiEatics. vol. 137. No. 2, 1989. p.265-310) o'ltno дано другое доказательство единственности иньективкого фактора типа III,, 0<Л.<1 , которое следует из единственности ияъектившк факторов типа II и 11ю и заменяет использованный Конном анализ классов внешней сопряженности автоморфизмов на более длинный, но относительно простой механизм, вклотамций в себя вполне положительные отображения. Доказательство сводится к доказательству того факта, что инъективность эквивалентна гиперфиниткости для факторов тіша IIt ив этом случае следовое состояние заменяется Х-состо.чнием. (Это точное нормальное состояние <р на факторе типа Ш^, для которого о* =Ш, где tD=-2«/log?.)*"
Отсвда возникла необходимость построения вещественных (.{акторов ІІаузрса и получения аналога теоремы Хогерупа для. вещественных факторов типа III.. Одновременно. было бы полезно построить конкретно зти вполне, положительные отображения. Но необходимо ' отметать, что существуют дез класса неизоморфных к«цості;вііних илъектиышх факторов типа 111^, 0<\<1. Один из них порс'їдіїегсн кнюлютивкым *-антизвтоморфизмом с иой(а)=1, а другой i:-';o*-'"-'-;vcfl, инволх/гизным "--энтиавтоморфизмом с nod(a)=/3C.
(Giordano 5?. Antiautomorphismes involutlfs des facteurs de von Neumann inject Ш'. I,II // I J. Operator theory. 1983. V 10.N 2P 252-287// II J.Funct.Anal., 1983. V 51. N 3P 326-360) Для построения вещественного фактора Пзузрса и для доказательство аналога теореми Хогерупа мы будем рассматривать. случай, когда таЗ(а)=1.
В отличие от теории комплексній инъектиЕнж алгебр фон Неймана, теория вещественных кніективяшс алгебр фон Неймана покз еще слабо развита. Поэтому представляется актуальным рассмотрение этих свойств алгебр для вещественных алгебр фон Неймана.
Цель работа- подучить аналог теореми їСонна о эквивалентности этих свойств (аменабельность, полудискретнссть,' кньективность. пшерфинитность) для вещественных алгебр фон Неймана, а также построить веществзннкз факторы Пзузрса над полем вещественных чисел и над телом кватернионов и построить изоморфизм между инъектиБным фактором типа Шх, 0<А.<1 и вещественным фактором Пзузрса.
Общая методика исследования.
При изучении понятия ' инъективности.' аменабельности, полудкскретноста и гкперфинитности для еєвдєстеєнннх алгебр фон Неймана и при построения изоморфизма между вещественным иньектквнш фактором типа ШХ_.0<А.<1 и вещественным фактором Пауэрса используются методы теории операторных алгебр. В частности, систематически применяются методы У. Хогерупа из вшеукэззнннх статей.
Научная новизна. Все результата диссертации являются новими. В работе получены следующие основные результата:
- доказано, что. для любых вещественных алгебр фон Неймана над
сепзрабе.тьним птльбертовмм пространством киест место импликации:
кїП>еггпїЕНСсть . +- яос2(а)=1 " <—> аменабельность , <==>
полі'дискретность <—> ґиішрфішитность;
построены вещественные факторы Паузрса над полем вещественных чисел и над телом кватернионов, доказана их
- доказано, что ннъективный вещественный фактор типа III , Аля которого коі(а)=1, изоморфен вещественному фактору Паузрса.
-- построены вещественные вполне положительные отображения, которые задают конкретный вид изоморфизма между ннъектиЕннм фактором типа III с raod(a)=1 и вещественным фактором Пауэрса;
Теоретическая и практическая з н а ч и и о с т ь. Результаты и ?^ето^п ^иссеотацни motvt быть использованы при исследовании операторных алгебр и при решении ряда задач квантовой статистической механики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на городском семинаре при кафедре функционального анализа в ГаиГУ (I99I-I935 гг.), на семинаре "Операторные алгебры и их приложения" в Институте математики им.В.И.Романовского АН РУ. (1990-1996 гг.), на Республиканской научной конференции молодых учених в Намангане (1994- г.), на . ежегодных конференциях молодых ученых Института математики АН РУ (I9S0-I9S5 гг.)
Публикации.'
Основные результаты. диссертации опубликованы , в работах
[1-41. Работа [23 подробно изложена в [1]. В работе [4]
Ш.М.Усманову принадлежит идея доказательства; диссертантом
полупена ее реализация. , '.. ' .'
Структура и о бьен.работы.
Диссертация состбит из введения, двух глав, разбитых на десять параграфов, и списка литературы из 4Є наименований. Общий объем работы - 97 страниц машинописного текста.
