Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Поведение интегралов типа темлякова-баврина I рода с фиксированной точкой в случае пространстве С2 9
1. Предварительные сведения 9
2. Дифференциальные свойства интегралов типа Темлякова в случае бицилиндра 15
3. Свойства интегралов типа Темлякова-Баврина I родя I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра 21
ГЛАВА II. Структура определяющих множеств при различных характеристиках 37
4. Интеграл с нулевой характеристикой у = 0 37
5. Структура определяющих множеств в общем случае 50
ГЛАВА III. Исследование интегралов типа темлякова-баврина I рода точкой методом линейных однородных дифференциальных операторов 60
6. Свойства оператора 61
7. Операторная связь интегралов в случае нулевой и бесконечной характеристики 68
8. Операторная связь интегралов в общем случае 78
ГЛАВА ІV. Класс функций, порождённый интегро-дифференциальными операторами в случае бицилиндра 85
9. Решение некоторых функциональных уравнений и краевых задач в случае бицилиндра 85
10. Класс функций, порождённый интегро-дифференциальными операторами в случае бицилиндра 97
11. Краевые задачи для уравнений с особыми плоскостями .105
Литература 113
- Свойства интегралов типа Темлякова-Баврина I родя I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра
- Структура определяющих множеств в общем случае
- Операторная связь интегралов в случае нулевой и бесконечной характеристики
- Класс функций, порождённый интегро-дифференциальными операторами в случае бицилиндра
Введение к работе
Теория функций многих комплексных переменных - сравнительно молодая область математики,но уже имеющая богатые связи со многими её разделами. Нашла эта теория и приложения,например,в квантовой теории поля (см. [ill )»в математической статистике (см. [17]).
Интегральные представления играют важную роль в комплексном анализе. Они являются основным аппаратом для исследования свойств голоморфных функций и решения краевых задач. В теории функций многих комплексных переменных известны интегральные представления Мартинелли-Бохнера,А.Вейля и другие. Однако это не снимает задачу получения интегральных представлений и исследования их для специальных классов областей. Так,для функции двух комплексных переменных, аналитических в полных двоякокруговых областях,А.А.Темляковым (см. 1.331 - \3б] ) были получены интегральные представления,которые в математической литературе носят его имя (см. [38] , 431 ).
Внутренний интеграл в интегральных представлениях Темлякова есть интеграл Коши одного комплексного переменного. Поэтому интеграл Темлякова и интегралы типа успешно применялись при изучении экстремальных свойств функций (см.работы И.И.Баврина \_4] , [5І ), для изучения граничных свойств функций двух комплексных переменных (см.работы Л.А.Айзенберга [і] ),для решения краевых задач для функций двух комплексных переменных (см.работы В.И.Боганова, Г.Л.Луканкина [ю] , \її\ ) и дифференциальных уравнений в частных производных (см.работы В.Я.Ольхина [.301 ).
В работах Л.А.Айзенберга (см. [21 ),Ли Че Гона (см. [l9J ), Опяля и Сичака (см. [44J ),И.И.Баврина (см. \.б] - [8І ) интегральные представления Темлякова получили распространение на случай
П(Пт>) комплексных переменных.
И.И.Бавриным [б] - [8І был разработан операторный метод в теории интегральных представлений. Благодаря этому методу удалось решить ряд важных задач в теории интегральных представлений Темлякова. Так (см [9J ) получены обобщённые интегральные представления, восстанавливающие функцию,голоморфную в области по значениям довольно общих операторов от неё на границе или её части (см. [б] , [7] , [83 ). Эти представления хотя и сохранили тесную связь с интегралом Коши,ещё более подчинены специфике определяющей области. Кроме того,поведение интегралов типа,образованных на основе интегральных представлений,входящих в общее интегральное представление Темлякова-Баврина,имеет качественные отличия от поведения интегралов типа Темлякова (см,,например, [I3J - [І4І ).
Исследования интегралов типа Темлякова-Баврина велись как в направлении увеличения порядка (см. [203 ),так и в направлении расширения классов определяющих областей. Так,интегралы типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина с определяющими неограниченными областями изучались в работах [І5І , [21] .
Интегральные представления Темлякова сохраняются и для функций, аналитических в бицилиндре (см. [i] ). Интегралы типа Темлякова хорошо изучены в случае двоякокруговых областей,а именно областей типа ( Т ),учениками Темлякова,например,методом линейных дифференциальных операторов (см. [411 ). Бицилиндр не принадлежит к типу областей ( Т ) в смысле .-определения из [Ґ] и интегралы типа Темлякова не были изучены для случая бицилиндра.
Применение операторного метода позволило И.И.Баврину (см. [9J) получить интегральные представления с фиксированными точками для функций,аналитических в поликруге,которые достаточно полно отражают специфические особ-енности поликруга.В случае двух комплекс ных переменных для бицилиндра из общих интегральных представлений Темлякова-Баврина с фиксированными точками получается интегральное представление Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой.
Интегральные представления с фиксированной точкой в ядре ранее исследовались для некоторых областей (см,например, 30І ). Случай бицилиндра ранее не рассматривался. Поэтому исследование интегралов Темлякова и интегралов с фиксированной точкой Темлякова-Баврина для случая бицилиндра представляется актуальной задачей.
Цель диссертационной работы. Конкретные задачи исследования состояли в следующем:
Исследовать интеграл типа Темлякова для случая бицилиндра^ именно получить формулы для его вычисления вне области аналитичности и применить их для исследования дифференциальных свойств.
Установить зависимость свойств интеграла,полученных методом интегро-дифференциальных операторов для бицилиндра,от положе-ния фиксированной точки в С .
Получить формулы,представляющие интеграл типа Темлякова-Баврина вне области аналитичности.
Установить связь между интегралами типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина для случая бицилиндра.
Решить с помощью исследуемых интегралов некоторые краевые задачи с краевым условием в операторной форме.
Перейдем к изложению по главам основных результатов работы.
Первая глава ( I - 3) посвящена изучению интегралов типа Темлякова и интегралов типа Темлякова-Баврина I рода I порядка в бицилиндре Е и вне его.
В I приводятся основные сведения из теории интегральных представлений Темлякова,формулы,представляющие интеграл вне бицилиндра Е.
В 2 интеграл типа Темлякова I рода исследуется методом линейных дифференциальных операторов. Получено дифференциальное уравнение,которому удовлетворяет интеграл типа Темлякова.
В 3 строятся интегралы типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра. Выясняется поведение этих интегралов как в области Е,так и вне её. Установлено, что интеграл с фиксированной точкой в бицилиндре Е представляет аналитическую функцию в области Е. Если фиксированная точка расположена вне области Е,то при нулевой и бесконечнойхарактеристи-к.е в некоторых случаях аналитичность интеграла не теряется. В этом же параграфе установлены формулы,представляющие интеграл ( 3.2 ) вне бицилиндра Е,которые указывают на неголоморфный характер изучаемых интегралов.
Во второй главе ( 4 - 5 ) изучается структура определяю- щих множеств гч і ( l = 1,2,3,4) при различных характеристи- ках интеграла. ,2 2 )
В 4 изучается структура множеств IN і в случае ну- левой характеристики ( v =0). Установлено,что в разбиении прос-
2 ~~ транства С \Е на подобласти,в которых справедливо определённое интегральное представление,участвуют и аргументы фиксированной то- чки. Структура множеств >\ і не изменяется,если фиксиро- ванная точка принадлежит области Е. Здесь же установлена структу рі' (^ь гг> \ра множеств IN і для бесконечной характеристики (V =+<*?).
В 5 исследуется поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в общем случае,то есть характеристика 0< \) ± + оо. В разбиении пространства С \Ё на подобласти участвуют и аргументы и модули фиксированной точки.
Получены формулы,позволяющие вычислять интеграл вне бицилиндра Е.
В третьей главе ( 6 - 8 ) интегралы ( 3.2 ) исследуются методом линейных дифференциальных операторов.
В 6 вводится оператор который для интегралов с фиксированной точкой играет особую роль. Здесь же приводятся его свойства.
В 7 установлена дифференциальная связь между интегралами типа Темлякова-Баврина с фиксированной точкой и интегралами типа Темлякова для нулевой и бесконечной характеристики. Для исследова- ния вводится замена переменной -д~ »где {
А= |іг,І- wca/l *< ( А - ||*Г1- іаііслр/Н
В 8 получена операторная связь между интегралами с фиксированной точкой и интегралами типа Темлякова в общем случае,то есть характеристика ^ 0, у Ф +оо. Для исследования вводит-ся замена переменной Ь- т- ,где
I- 1<Г А - \i*?\-i*i\w^f г + |i*;i -itja»x 1* .
В четвертой главе ( 9 - II ) обобщённые интегральные представления,полученные с помощью интегро-дифференциальных операторов, специфических для бицилиндра (см. [9j ),применяются к решению некоторых функциональных уравнений и краевых задач.
В 9,используя свойства интегро-дифференциальных операторов,решаются функциональные уравнения типа краевых задач,в которых известно не значение функции на остове бицилиндра Е,а значение некоторых операторов от функции. В этом же параграфе решаются краевые задачи с краевым условием в операторной форме. Решением таких задач являются обобщённые интегральные представления,получающиеся из интегральных представлений,построенных И.И.Бавриным.
В 10 рассматривается класс функций,порождённый интегро-дифференциальными операторами,специфическими для бицилиндра. Установлены дифференциальные и интегральные связи с интегралом типа Коши для случая двух комплексных переменных. Эти функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям,играющим такую же роль,как и условие Коши-Римана для аналитических функций.
В II,используя интегральное представление Темлякова I рода для бицилиндра, определяется значение функции Jfy^i) в области Е,если известно поведение дифференциального оператора на остове. Интегральное представление ( 3.1 Применяется к решению аналогичной задачи: по значениям на остове некоторого дифференциального оператора с фиксированной точкой восстановить значение функции в области.
Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа УГЛИ после окончания аспирантуры Московского областного педагогического института имени Н.К.Крупской. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [22] - [26J и доложены на научно-исследовательском семинаре по теории функций многих комплексных переменных при Московском областном педагогическом институте имени Н.К.Крупской,а также на научных семинарах в Казанском и Саратовском государственных университетах,во П Саратовской зимней школе по теории функций и приближений.
Свойства интегралов типа Темлякова-Баврина I родя I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра
Учитывая свойства функций а ( fi t 0 ) и tg ( ,1 ) и линейность функции i ( , Т ) по Т , получаем, что для всех [0,1] и [0,ІІ функция v& ( , Т ) - 0. Поэтому для 2 2 ) всех точек ( z. л, Z2 ) Е множество К 3 а пусто. 3. Свойства функции 3 ( РЛ \» I 1. JB , ! J3 J = & № Рассмотрим функции: При ІХ2І - і 2.1 Co J32 О в точке -Г7 1 z функция 3 ( »0) имеет максимум. Значение функции в точке (0) отрицательно, так как Следовательно, так как ( , ,0) 0 для всех Є [0,1] . В случае г - \ і2\ СОбрІ О функция 3 ( ,0) монотонна и для всех [0,1] отрицательна. Функция з (8 ,1): при I2,-l il COiJ},, О имеет в точке fi tt А минимум, причём, Л (0,1) «1 1 - I 0 и 5Й(І,І) -І2П -IX), следова-тельно, существует 3 (I), такое, что Уз ( j (D»D = 0. В случае Izfl - l"2.«i\Go-SJ3.f О функция Уд( ,1) монотонна, а именно возрастает, следовательно, существует 3(1), такое,что Если эта функция монотонна по , то функция з ( , t ) имеет один корень 3 ( ) а) если і 2? I - І їіі GO:? J3a О » то производная по функции ( Е ) для всех ( 5 ,13 отрицательна и функция Л ( » ) имеет один корень (Iу). Тогда структура множес-тва Kz имеет вид: б) если 1. — I а.1 Со:3 г, то для точек функция L ( с ) имеет минимум в точке S , являющейся корнем уравнения Z i ) = 0. Следовательно, структура множества г имеет вид: 4. Из пунктов 1-3 следует структура множества К , на пример, для ( "Z.4 , г) Е4, таких,что Для остальных областей доказательство аналогичное, резуль-таты приведены в таблице ІУ. В области Е4 между 2"/ и TJ ,,(2 ) и Sj (Т ) справедливы соотношения Т./ Т/ »6 ( ) g ( 4) Теорема доказана. Мы получили, что в случае, когда характеристика интеграла ( 3.2 ) отлична от нуля и бесконечности,в разбиении пространства С \ Е участвуют и аргументы и модули фиксированной точки.
Зная структуру множеств К. в каждой из подобластей Ек (к = 1,2,3,4,5), можно записать интеграл ( 3.2 ) в виде суммы повторных интегралов. Эти формулы необходимы в дальнейшем, например, для исследования интегралов ( 3.2 ) методом линейных однородных операторов и установления дифференциальной связи между интегралами типа Темлякова I рода и интегралами типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра в общем случае, когда характеристика V 0 или V 4 + о.
Этот метод применялся для исследования интегралов типа Темля-кова с определяющей областью из класса ( Т ) А.Т.Хвостовым (см. [39] - [411 ). Далее В.А.Гусаковым (см. С НІ ) получены соотношения, связывающие интегралы типа Темлякова и интегралы типа Те-млякова-Баврина с определяющей областью SD . Интегралы типа Темлякова с неограниченной определяющей областью методом дифференциальных операторов впервые исследовал А.В.Гуляев (см. [15 \ ). В.А.Лит-винюк (см. [2l3 ) установил операторную связь интегралов типа Темлякова с интегралами типа Темлякова-Баврина с неограниченными областями. Исследование интегралов, в ядро которых входит фиксированная точка, проводилось А.В.Нелаевым (см. [29І ).
В этой главе метод дифференциальных операторов впервые применяется для исследования интегралов с фиксированной точкой в случае бицилиндра. Введем в рассмотрение оператор:
Структура определяющих множеств в общем случае
Решение краевой задачи с непрерывной на остове (Л, функцией J- ( fo » о Є будем искать в классе интегралов типа Темлякова-Баврина к-го порядка, полученных из общего интег-рального представления при к - , & = 0 (см. [9І ) где т ( "t » 5 в I »Т " искомая плотность, являющаяся граничным значением аналитической внутри Е и непрерывной в Е функции. Подставляя ( 9,15) в краевое условие ( 9.14 ) и учиты-вая, что операторы h,J\ и А,д взаимно обратны, получаем
В левой части этого уравнения стоит интеграл Темлякова II рода, следовательно, Уравнение ( 9.16 ) является многомерным уравнением Фредгольма IILZ7] рода, так как ядро уравнения для почти всех , І ограничено, В случае, если уравнение Фредгольма разрешимо при выполнении условий разрешимости ( 9.7 ), то решение краевой задачи III можно представить в виде интеграла типа Темлякова-Баврина к-го порядка. Задача ІУ. Найти функцию, бигармоническуго в Е, с краевым условием на остове бицилиндра Е: где С (Ъ , 9 ) удовлетворяет условиям разрешимости. Решение. Преобразуя краевое условие, получим эквивалентное ему А являющееся условием задачи Шварца. Решая задачу Шварца, получим, что всюду имеет место функциональное уравнение: Следовательно, соотношение ( 9.17 ) есть условие краевой задачи III и её решение определяется из формулы ( 9.15 ) отделением действительной части. Если к = 0, то краевое условие запишется в викоторое является краевым условием задачи Дирихле в классе бигармо-нических функций. Таким образом, интегральные представления Темлякова-Баврина к-го порядка позволяют ставить краевые задачи в случае бицилиндра, в которых краевое условие выражается в операторной форме, то есть на остове бицилиндра Е задаётся не значение функции, а значение некоторых операторов к-го порядка от функции. При к = 0 получаются классические задачи Дирихле, Шварца, которые в случае функции двух переменных разрешимы при выполнении специальных условий (см. [зД ). В работе ( 9І ), применяя интегро-дифференциальные операторы, получены обобщённые формулы Коши для поликруга. В случае бицилиндра будем рассматривать класс функций, представимьк интегралами: - любое действительное число. Интеграл 4u обладает следующими свойствами. Пусть фиксированная точка ( "Z , ї ) принадлежит бицилиндру Ей 3\ 0, Ог Д). Теорема ЮЛ. Функция \лл является аналитической в об-ласти Е и непрерывной во всём пространстве С . Доказательство. Аналитичность следует из того, что точки ( Z +(1- ) 2, , e.Sliz +(1- S 1 ) є Е, если ( г? , гГ)б Е и ( і , «.) Е, то есть «7; ( )l I (Z =1,2) и из леммы о голоморфной зависимости интеграла от параметра (см. ). Непрерывность функции f-K может нарушиться лишь при \Щ ( ) 1 = I. Но это соотношение не выполняется тождественно по на множестве ненулевой меры. Таким образом, 4-м непрерывна в С . Замечание ЮЛ, В случае Л = 0, Ог / 0 интеграл ( 10.1 ) принимает вид: поэтому фиксированная точка ( Z, , гг ) может располагаться вне Е в области 1" = { ( 2, ,«г ) : г, I, \ »\ i} . В случае 6\ / 0, 5j = 0 интеграл ( 10.1 ) принимает вид: і , . и фиксированная точка может располагаться вне области Е " = - ( Zi »"2 г ) ! 1 І» І аА І J , а именно, в области Е+ = в ( 2; , 2.) і І2иК І, \ г\ т- І } . В этих случаях аналитичность функции не нарушается. а) в области Е А 6 o,ll , при котором 1 1 ( . ) I I. Рассматривая промежутки знакопостоянства функций 4 ( Ь )» найдём множества , при которых [ ( )(« I и множества , при которых (Ч. ( )?1. Рассмотрим, например, функцию: Функция Ул( ) непрерывна при [0,і"\и ,(0) = lf,l-I 0 Ц і (І) =І2і\-І 0. Следовательно, по теореме Больцано-Коши существует такое л , что ( Є І) = 0 и +[() 0 при Є Є є С ОэЕО и Ц ( ) 0 при 6 ( ,1 ] . Это соответствует тому, что \14л ( )\ I при e[0,f,)n )гЛ, (Є )! І при (Ел ,lj . Функция 4 2. ( ) Для всех точек ( -, ,гг ) Е имеет один и тот же знак для всех 8 0,ll , а именно У г. ( в ) : 0, то есть I г ( ) 1 I при всех 0,1] .Поэтому сегмент 0,ІІ разбивается на два промежутка 0, \ ) и (Л ,1 ] и справедлива формула а). Неаналитичность следует из того, что не выполняются достаточные условия аналитичности, так как корни Єї ( і = 1,2) являются функциями от 12 Л ,2г\, ОЛ 2i , О Ч %г Доказательство остальных формул аналогично. Используя формулы а) - г), установим связь интегралов (10.1) с интегралами типа Коши в случае бицилиндра. Для этого рассмотрим оператор
Операторная связь интегралов в случае нулевой и бесконечной характеристики
Как указывалось во введении, И.И. Баврин, используя свой операторный метод, получил общее интегральное представление для функций, голоморфных в поликруге (см. теорему I [9] ). Из этого интегрального представления в случае бицилиндра получается следущее (Уі Oz - любые неотрицательные числа, такие, что o i 0 ( « 1 , г ) - некоторая фиксированная точка области Е. На основе интеграла (3.1 ) введем в рассмотрение интеграл 4 23Ї 4 где Ьм /jf) принадлежит классу }f , то есть непрерывная по совокупности переменных І , , 2 ИГ - периодическая по t , удовлетворяет условию Гельдера no jf » независимо от "Ь . Это интегральное представление назовём ( по аналогии с [ІЗІ ) интегралом типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра Е. Рассмотрим отношение -р- . Обозначим это отношение через у и назовём характеристикой интеграла ( 3.2 ). Впервые характеристик? для исследования интегралов типа Темлякова-Баврина были введены А.В. Латышевым (см. [20) ). Пусть характеристика интеграла ( 3.2 ) равна нулю ( У = 0 ).Тогда в ядре интеграла ( 3.2 ) функция IV имеет вид В случае, когда характеристика интеграла ( 3.2 ) равна бесконечно сти (V = + &)» то . і Рассмотрим свойства интеграла ( 3.2 ) в области Е. Теорема 3.1. Если функция ("Ь ) % фиксированная точка ( ., , 2 ) принадлежит области Е ( Е С/Е3 в случае V = 0; Е U Ej в случае V = + оо ), то интеграл ( 3.2 ) является аналитической функцией в области Е. Доказательство. Докажем, например, теорему для случая у 4 0, V 4 + оо . Другие случаи доказываются аналогично. Для интегралов типа Темлякова было показано, что, если точ ка ( 2?,, , "2.2) принадлежит области 0 ,то I /LL 1 I при всех О i и 0 - -1. Это утверждение справедливо и в случае бицилиндра Е. Так как для всех точек ( 2 , "22) Е, при 0 2 1,0 2 1, точки х . принадлежат Е (см. [9] ), то 2/2 (SJ ії, &)\ 4 , если фик-сированная точка ( Ху , -г) принадлежит области Е. При ( , , 2)Є Е функция fei itfCil) « bP y аналитическая в Е, непрерывная в замкнутой области Е. Функция fei,2-! -) ь}с) непрерывна по , і , при ( 2 , Іг) Е. При ( , 2-г ) Е имеем Следовательно, 3" ( , 2 ) голоморфна в области Е (см. теорему 3.15 [38] ). Непрерывность интеграла ( 3.2 ) может быть нарушена за счет скачка внутреннего интеграла типа Коши в том случае, если I " з I = I на множестве изменения параметров Т , t , ненулевой меры. Рассматривая равенств 24 заключаем, что это равенство не имеет места тождественно по Є на множестве изменения ненулевой меры. Следовательно, функция 37, 2) р непрерывна во всём пространстве С . В случае нулевой характеристики или бесконечнойхарактеристики \) при всех 0 -Т I, 0 I, 0 ± ± ± гОГ точки принадлежат области Е даже в случае, когда фиксированная точка ( з:\ , x.z ) принадлежит области Eg или Ej. Теорема доказана. Таким образом, в случае бицилиндра фиксированная точка может располагаться при некоторых условиях вне области Е, например, при V s 0 или V = + схэ , однако, это не влияет на свойство аналитичности интеграла ( 3.2 ) в бицилиндре Е. Рассмотрим поведение интеграла ( 3,2 ) вне области Е. Для этого необходимо получить формулы, представляющие интеграл ( 3.2 ) вне области Е. Для интегралов типа Темлякова I рода формулы приведены в I. Пусть ( гі , 2 ) - произвольная фиксированная точка пространства С , точка ( , 2. ) может как принадлежать области Е, так и не принадлежать ей. Зафиксируем произвольную точку ( 3:i f 2 ) и введём в рассмотрение множества К: ( L = 1,2,3:4 ):
Класс функций, порождённый интегро-дифференциальными операторами в случае бицилиндра
Эта теорема позволяет получить формулу, представляющую ин-теграл ( 3.2 ) в любой точке пространства С . В случае нулевой и бесконечной характеристик интеграла ( 3.2 ) в разбиении пространства С \ Е участвуют аргументы фиксированной точки ( 1 , 1 ). В случае нулевой характеристики фиксированная точка ( , , 22 ) может принадлежать области Eg, что не оказывает влияния на структуру определяющих множеств. ҐУ Q Если фиксированная точка ( / , z ) принадлежит области Ер или Ej в случае нулевой характеристики, то структура определяющих множеств изменяется. Таким образом, введение фиксированной точки в ядро интегра ла типа Темлякова-Баврина оказало влияние на его свойства. Так происходит дополнительное разбиение на подобласти с помощью фикси рованной точки, где справедливо определённое интегральное пред ставление. „— , _ „ Замечание 4.2. Структура множеств і ( с =1, 2,3,4 ) в случае V = + &о может быть получена из таблицы II, если в функциях v j ( , Т , /п t I 2, J t tf ) заменить С на Функция г ( , 2Ґ , 7) , 12-д!) при этом же отображении переходит в функцию - ф ( . , , п , 12 И ), где Функция з ( I I I I2J) при этом же отображении переходит в функцию - Й. ( , f , /? , /2» I), где Покажем, например, для функции иг. ( » » Лі / гі): при отображении Т -» I-С ,2,- 2 , -Z)0- 2/, tfi- dz функция 2( » » » J l ) переходит в функцию Так как функции - (С , , г, ,1) , #Г ) ( = 1,2,3) "т? «/, го определяют структуру множеств IN (б =1,2,3,4) для характеристики V = +с?о , становится ясным, как из таблицы II получить (&1, 2"а) структуру множеств Кч і ( б а 1,2,3,4). Например, выясним структуру множеств ! 2з в области Ео. При нашем отображении корни Є і переходят в Є 6 . Всюду в промежутках по вычитаем из I каждый из концов промежутков и изменяем ориентацию, кроме того, для множеств 2_ ; для множеств К нужно поменять индексы,для К 2 на 3,а для гС 3 на 2,, Замечание 4.3. Приведем пример функции, представимой интегралом ( 3.2 ). Пусть у =0, ( 2, , . ) Eg. В этой области интеграл ( 3.2 ) представим формулой 5. Структура определяющих множеств в общем случае О V г. н- о . Будем рассматривать интеграл ( 3.2 ) в общем случае, то есть характеристика 0 \) + оо . Пусть фиксированная точка ( і » 2 ) принадлежит области Е. В этом случае интеграл ( 3.2 ) является аналитической функцией в области Е и неаналитической, вообще говоря, вне её ( см. 3 ). Установим структуру множеств К (і =1,2,3,4), введённых в 3. Для этого разобьём пространство С2 \ Е на подобласти, заданные таблицей III: Теорема 5.1. Пусть характеристика 0 - V + оо и фиксированная точка (2, , 22 ) принадлежит области Е. Тогда, если ( Z, , "22 ) принадлежит области ER ( к = 1,2,3,4,5 ), то структура множеств К -L г ( і = 1,2,3,4 ) такова, как указано в таблице ІУ. Доказательство. Пусть характеристика 0 L . + со и точка (2, , 2 2 ) принадлежит области Е4. Рассмотрим
