Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О некоторых свойствах нелинейного интегрального оператора 12
1. Обозначения, понятия, предворительные сведения 13
2, Условия непрерывности нелинейного интегрального оператора 17
3 Некомпактность одного класса нелинейных интегральных операторов 23
4. Критерии липшицевости нелинейного интегрального оператора в пространстве непрерывных функций 26
5. Уплотняемость нелинейного интегрального оператора 42
ГЛАВА II. О неподвижных точках нелинейного интегрального оператора
1. Нелинейный интегральный оператор, оставляющий инвариантный конус в пространстве измеримых функций 55
2. К вопросу о существовании решения одного класса интегро дифференуиальных уравнений 67
Литература 82
- Условия непрерывности нелинейного интегрального оператора
- Некомпактность одного класса нелинейных интегральных операторов
- Уплотняемость нелинейного интегрального оператора
- К вопросу о существовании решения одного класса интегро дифференуиальных уравнений
Введение к работе
Интегральные операторы являются важным и часто встречающимися в приложениях классом операторов» Основы теории нелинейных интегральных операторов были заложены в трудах М.А.Ляпунова, Л.Лихтенштейна, Э.Шмидта, П.С.Урысона, А.Гаммерштейна.
Дальнейшее развитие теория нелинейных интегарльных операторов получила в работах Н.Н.Назарова, В.В.Немыцкого [29] » М.А.Красносельского и его учеников [19 - 24J , П.П.Забрейко [10 - ІЗ] , М.Отелбаева и А.Г.Суворченковой [34] , Р.Ойнарова и М.Отелбаева [32] , Р.Ойнарова [3IJ , Т.К.Нурекенова [30j и многих других авторов.
Следует отметить, что здесь перечислены наиболее близкие к теме работы, которые в разное время вносили ощутимый вклад в теорию нелинейных интегральных операторов.
Нелинейные интегральные операторы
1Л Ш, VAs)) dju/s )
рассматриваемые в данной работе, интересны тем, что многочисленные задачи физики, астрофизики и других отраслей науки описываются нелинейными уравнениями с операторами jC ( распределение выходящего излучения в задачах переноса поляризованного рассеивающегося света в атмосфере; удлинения полимерных волокон или пластин под действием силы, приложенной к их концам; встречаются в задачах связанных с многоэнергетическим уравнением стационарного переноса нейтронов в плоском случае и т.д.) [27, 39 - hi] . Поэтому настоящая работа посвящена свойствам нелинейного интегрального оператора 0^ с ядром
Это объясняется тем, что основным методом доказательства
- If -
существовании решения у уравнения
является применение принципов неподвижных точек. Наиболее часто употребляемые в анализе принципоя неподвижных точек являются принцип Банаха - сжатых отображений и принцип Шаудера, а также принцип Садовского, которое в последнее время часто применяется для анализа уравнений более общего вида , уравнений с уплотняющими операторами. При использовании этих принципов специфика конкретного уравнения выражается лишь в общих свойствах ( непрерывность, компактность, сжимаемость, уп-лотняемость и др.) интегральных операторов уравнения
Хч + 4 =.и, . .
Рассмотрим краткое содержание работы.
Диссетация состоит из двух глав и списка цитируемой литературы. Глава I содержит пять параграфов. В первом праграфе даны определения нелинейного интегрального оператора, рассматриваемого в данной работе, в частности интегрального оператора Урысона и нелинейного оператора суперпозиции, также перечислен ряд известных свойств нелинейных интегральных операторов, известные утверждения.
В последующих параграфах рассмотрены свойства нелинейного интегрального оператора
(%и>)&) - /оЄЯ ?, UM, Ws))dfts) ^ ( ! )
где ( Е ,/^)- пространство с полными " - конечными мерами, а функция
iC(4,s,g:}^) : ErEtkU -у K = f- =—, «-=)
суперпозиционно . flf/ fll -измерима.
Основным результатом параграфа 2 является теорема 2.1, где доказана непрерывность оператора ( I ), имеющего "непрерывную
мажоранту", из Lf(w в L^ /w ( %* **- <=а-"~ ) Далее, для оператора
(ї»№ - F(l, иш, №U,S, Ufs))d^ti>) (2 >
доказана теорема: пусть функции
удовлетворяют условиям Каратеодоири. Если оператор Урысона $
с ядром sL C~tr,f,U} регулярен [22J из Lp в Ь^уи
( Л ^ j? ^ *=-=> ,-/^51^ ^-=- ) и нелинейный оператор
Р{4}1СШ}УШ) действует из L^/Z^ в Ь^
С ^ ^ ^ -^ ^=^ )» то оператор ( 2 ) действует из простран
ства L р в пространство L ^ ^ и непрерывен.
В параграфе 3 установлена некомпактность оператора ( I ), действующего из Lp в L«^ при условии, что
Ш, % Щ (Ц 1ds))ds f №l+, % 4JH, Ш*))(к
ъ *
для некоторых и^Щ , %^14г) ИЗ ^ /> и если оператор Урысона
( здесь функция фиксированная из пространства
- б -
компактно действует из Ь« в L ^ ,
Пусть ядро j6 (;>$; Я>У) оператора (І) непрерывено
по совокупности переменных - -Ь , S ^ S ,
_ о— < 9С, ij ^. «=—== ж Тогда имеет место
Теорема 4.1. Для того чтобы оператора /
(№) Ц) - J&tt, S, ІЩ ursUs р
был липшицевым из ^іол в іо<~\ необходимо и дос-
таточно
р> ши і flu
Ш,!,*,*) J fall
причем константа Липшица равна числу \\
Если через // обозначим множество натуральных чисел или его ограниченное подмножество и мера /^ любой точки из М ( как подмножества У ) равно единице, то дискретный аналог оператора (I), рассматриваемый в пространстве числовых последовательностей, имеет вид
В параграфе 4 доказаны критерии липшицевости оператора (3) в л. с^ : пусть функции % fetif) непрерывны по совокупности переменных — «=х=» ^ & , Ч ^. «-=- и оператор (3) действует из /<=«=, в -<=—
Тогда оператор (3) дявляется липшицевым в Л <=-=-
— n _
тогда и только тогда, когда
М- hu> ім> ZJ~'tuf )ГІ.І (a. + f} c+d) --CtJfa,c)l + —
причем константа Липшица I '-j =* ' '
Условия уплотняемости, ( t , у7 )- ограниченности оператора (І) в пространствах суммируемых функций даны в параграфе 5.
Теорема 5.1. Пусть оператор Урысона
Г "
( ъ , І ) - ограничен из ^^ в ь *„ при любой
фиксированной из / -
Г)
II | Ім/л«',^)^й) - Ita^vjH^isHmll
Тогда оператор
( JC -h t ,/)- ограничен из L p в Ь ^.
Теорема 5.2. Пусть интегральный оператор /yw -**—)
(J V-)(-t)^ feti,S,3oW,Ws9cl/Ufs)
действует из L-;ft в ^,/и и регулярен при любой
%оЩбІрґ)1<~, пУсть для любого Я >
существует К ^ О , такое, что
<Л _r> II, п (.. „\ ^ П
где $,p(Yo у К) - шар в Р, /w с центром в
V0(+)e- Lp д, радиуса Ц > й , Пусть, наконец, для
любого ^ ^ ^ существует -с > О
'4"Г)/»
ь І ІІи<-іьІ
. Тогда оператор (І), при Y { І ^- ^ , X - уплот-
няющий из пространства L ^ w в пространстве ^ %. г* t
где гр ^) * мера некомпактности Хаусдорфа множества
Л в Ьг?уи [I, 25 , 35/./'^Л2 ^~)
Условия непрерывности нелинейного интегрального оператора
В отличие от линейных интегральных операторов и операто -ров суперпозиции, нелинейные интегральные операторы действующие в пространствах суммируемых функций, могут не об - . ладать свойством непрерывности. Действительно, рассмотрим интегральный оператор где оператор суперпозиции Н,ЦМ)) действует из 1Р с ядром О , если или / -/ где о (4) == с? - 18 & , если jrCT - " jz 7 J О , если . z. —-- или г г . і. ... . jn, С =1,2,...,) также действует из L? в L, . Г 22 1 . Но как показано в [ 22] , оператор . Jr. нулевую функцию преобразует в нулевую, а каждую функцию W-0 , удовлетворяющую неравенствам О . иЛ?) - /,, в такую Функцию (JV-Jf-i) . f что // J-U l = / . Поэтому one ратор ./ разрывен в нулевой точке пространства р Тогда в нулевой точке пространства Lр имеет раз рыв и оператор, . 1 , хотя действует из Теорема 2.1. Пусть функции j[4,S} X,lf)t &(-6,S,yC,if) удовлетворяют условиям Каратеодори, Пусть ( 4 ,S Є Є X , - X , у -= ), причем интегральный оператор действует из . /- / в L (і p, = )и непрерывен. Тогда интегральный оператор также действует из пространства р - в. пространство и и непрерывен. -(Здесь " - множество конечной лебеговой меры конечномерного пространства. - 19 Доказательство. Тот факт, что оператор - - действует из Lp в L следует из неравенства (2.1). Пусть последовательность функций / сходится по.норме пространства Lp СБ) к Функции Mottf. ( 1 Е ). Последовательность функций (ІЧп.) (І) - сходится к функ ции .(К М-р) №) по норме пространства L (Б) и1, следовательно, сходится по мере к (Яи9) f-i) .Поэтому можно выбрать подпоследовательность /» (ъ ) , что функ. ции (Я-М-Нг) №) сходятся к (Ли,) { ) при всех зна чениях . -Ь - из подмножества. . А р .. полной меры. . Можно считать, что последовательность индексов /t была выбрана так, что СХОДЯТСЯ К UefZ) почти всюду на , т.е. U ft) сходятся к- Мр/Р) при всех 4 Б/ , , тгз f В \ F/J = СР. . Функция И fJ, 5,..2:, у J почти при всех . 4 t.S /
В непрерывна по " . " Я , У z = . Поэтому она будет непрерывной при каждом 4 из В0 9 /n&s(F\El ) = Р почти при всех.. . 5 6 В по &л U (- — , —« ! Отсюда следует, что при каждом из Е0 Ґ) Е0 Л „ Функции &№,s, U C+J, U fs-j) сходятся к Функци-и H(4,S, ttpfeS, Kcff J) почти при всех S В Тогда из теоремы 1.3 следует, что при каждом ? /1 FQ А Ер = Hf4,SfUo 06J, U0fs))fih e где Є - любое измеримое подмножество множества Отсюда и из теоремы 1.4 получаем, что интегралы при каждом " .«" " равностепенно абсолют но непрерывны [28J . ...... Из неравенства (2.1) вытекает тогда, что при каждом і из Ео Л с0 Л Е» интегралы / JM,S. uhjH, иПґ U))(k ( 2.2 ) также равностепенно абсолютно непрерывны. Последовательность при каждом сходится к почти при всех S Е , так как в этом случае Функция удовлетворяет условиям. Каратеодори ПО . S f . __ t r, / С % U л c=-=. щ Ид утке . доказанной равностепенной абсолютной непрерывности интегралов (2.2) и из теоремы 1.5 вытекает, что Функции сходятся к С#и.) ft) при каждом т.е. сходятся к (УиР) ft) почти при всех Е , а значит функции f Un) ft) сходятся к С#к ) ft) по мере. Из равностепенной абсолютной непрерывности нормы в ь . последовательности функций f n-jftj и из неравенства (2.1) следует, что и норма Функций равно степенно абсолютно непрерывны. Поэтому последовательность сходится к - . Мы показали, что для каждой полседовательног.ти Unfo).. , сходящейся в. ,.можно указзть такую подпоследовательность # fc) t что Функции - 21 сходятся по норе к функции Значит, оператор /С непрерывен как оператор из L р в ь Теорема доказана. Рассмотрим оператор [F и) (tj = F Н, Ш 1, /#tf, Г, Ws))dfJ )) (2-3 Этот оператор является суперпозицией оператора Урысона f и нелинейного оператора Ffu (Ц v(t)) - F & Wn vte))
Пусть функции г 1-і.у И v) . , У- (ъ/$ и ) удовлет -. воряют..условиям Каратеодори tS 6 Ь t В t - . / . Теорема 2.2. Если оператор Урысона - с ядром rjC(i,S,U) регулярен [22Іиз 1 в Lg, (-/ / , j ± & =- и нелинеиный оператор A fltf), Vf)) . действует из 9 В- , ( 2- - ), ТО оператор (2.3) действует из пространства / /и в к пространство L . и непрерывен. Доказательство. Пусть UfxjeL ... Оператор Урысона -/ действует из LP в L р , т.е. JU І#„ . Следовательно, HFf4,UlH,(At}f )ll Пусть последовательность функций M-r fX-) сходится к функции Ucfe) по норге пространства Lp (yfl . Из вестно, что регулярный из L( , уи в L ру J» оператор - 22 J непрерывен из Lf в L ;// f22] . Поэтому сходятся к Нелинейный оператор r(icf)t vfi) t По условию теоремы непрерывен из Lf L 5 в - % и [22] . Поэтому, последовательность сходится к г (-Lу ЪСр(-6)) (-JrUe) {&)) по норме пространства Ц Теорема доказана. Замечание 2.1. Пусть. .JkE = ..Если функция . .. удовлетворяет- условиям Еаратеодори, тогда условие регулярности оператора Jt в теореме (2.2] можно заменить условиями ( 2Л ) "" Доказательство. Очевидноr т.к. условия (2.4) обеспечивают, непрерывность оператора Урысона -Я из Lf в Lp [ Зі] . Замечание 2.2. Пусть интегральный оператор Ш) И) = feu, S, wMjuh ) непрерывно действует из . L « , в L с , .. ij ) Тогда оператор. (2.3) непрерывно действует из пространства.. L с=— в пространство L = = в том и только в том случае, если функция - Г /т; #, J непрерывно по и равномерно относительно почти при всех - --... . . и. значений , I/ из каждого конечного промежутка.
Некомпактность одного класса нелинейных интегральных операторов
Действующий из пространства в пространство У оператор Л называется вполне непрерывным, если он одно . временно непрерывен и компактен. Операторы, которые обладают СВОЙСТВОМ вполне непрерывности (компактности) были бы удобны в приложениях. Пусть при некоторых фиксированных функциях "-І №) и sj. W из Lр {) существует такое число 0 и та кое множество Е0 - Е ненулевой меры, для которых \[iCU,i, ц,ш, ш) к - ІЯилхш, мЫ\ 9 г действующий из -/ в 1 ф , преобразует шар пространства р в.множество, которое некомпактно в Действительно, построим по индукции последовательные - 24 разбиения множества 0 . . на множества Vj ... и ( =1,2,...,), где каждый индекс V принимает.значения I или 2. Пусть. Е , и & - произвольные множества, удовлетворяющие условиям Ео 1 л , « Л А = . i f , н л = -ти9 . Если множества i j ... J- „ построены, то множества - j J" ЛГ Д UJi/, XrJs)),k -JXft,tt U, 1-і/, X,fs))di Следовательно, для -Ь &Ек = E- {/ /f Так как ../ $ А, г =%- .Є0 . , то отсюда и из (3.1) следует некомпактность последовательности fSf/J J fe) по мере. - 26 Поэтому оператор V/ некомпактен из... Lp в J- в силу леммы I.I [22] .Из определения оператора следует равенство ( Отсюда получаем, что оператор 1 .. некомпактен из Lp в , если учесть компактность оператора Ji ИЗ І. В L 4. Критерии липшицевости нелинейного интегрального оператора в пространстве непрерывных функций Оператор -» , действующий из банахова пространства . . л в банахово пространство У , называется липшицевым, если где константа не зависит от С1 и # из . ./ Наименьшая из констант . , ,, при которой выполнено (4.1), называется константой Липшица. Если -л = У . и константа Липшица . . .. - v / , то
В оператор называется сжимающим, а константа Липшица называется константой сжатия. ......... Теорема (Принцип сжимающих отображений) [іб, 20, 2lJ .... . Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метричес. ком пространстве, имеет.одну и только одну неподвижную точку. .Такий образом, если решения уравнения.есть неподвижная точка оператора уравнения, то вопрос существования и единст - 27 венностй решения.уравнения сводится к вопросу сжимаемости one ратора уравнения а этот вопрос в свою очередь к нахождению константы сжатия. Теорема 4.1. Пусть функция непрерывна по совокупности переменных & 4 S і, -=— яг v — . Тогда для того, чтобы оператор был.липшицевым из С в ССс, необходимо и достаточно причем константа Липшица равна, числу . ІУІ . Доказательство. Необходимость. Пусть оператор (4.1) Лип шиц евый из Сг в С- с константой П1 , т.е. для любых /#/ г %L( ) ИЗ . ,j . Тогда для произвольной фиксированной точки -і из С , ] имеем - 28 Vo.,j] ,На in - с" равных частей Ас О =1,2,3, ..., їїг ). Через U о бо значим, центр А і ,. =L 0 , J & - любые фиксированные числа. Тогда, в силу непрерыв ности функции X-.i t fS Я-, у / , & .f4,S9 с ) по совокупности переменнных, существуют числа Для достаточно малого числа ь0 о ,„ обозначим через .6 . интервал с длиной (l- Jr-j » концентрический _ с интервалом Д; . Введем функции / fs) , f /;j , t - равенствами \/±-($)=%-(t) hjk) при / / ;; если же /З,- /- /) О , то положим %{к)= -fa-Is)-9ffs) , К -к)-й- № &%- ) Щ;( Щ;Ь) при s А . Так как интервалы покрывают lo,A , пересекаясь только по границам, а Функции 4 -ft) \ , ) , .-АЛ , /A J ( -ь j -фиксированная точка из lo i] .) принадлежат, в /-) , то Функции U,. fs) , V .fs) будут . непрерывны на Iо, - ] . Положим U, Is) = U .[s) + V -fr) , \.s)- tiffs) . Из определения Функции W±Js) и К-ft) следует непрерывность - s) , tt-4 на ,- и равенство Тогда, в-силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, для любого числа V Р. можно подобрать ? 0 (Ґ так, чтобы было выполнено неравенство В силу непрерывно сьи jLU,S9X,y ) ._ по совокупности переменных, для любого о \ j. -1 найдутся числа /»а и , ItJ I ( ; =1,2,..., . ), такие что при tn а й: J Р і Следовательно, переходя в. (4.II) к пределу при т - с=— для любой Фиксированной точки -L из I ] имеем - 35 для всех /w j , Icl et .. в силу произ вольности чисел . , oLy-O t s о и
Достаточность. Пусть выполнено условие теоремы (4.3) и ПуСТЬ LL J - произвольные- Функции из /?ад . Положим А% -Ц,,!!с = , 7/ 4 -/ Тогда - 36 Отсюда №,- 0Єи,//с МІЧ-цЛ Значит, константа Липшица М1 J . Это вместе с (4.12) дает равенство. П 1 П Теорема доказана. .. . Рассмотрим-дискретный аналог нелинейного интегрального оператора (4.2), имеющий следующий вид в пространстве числовых последовательностей. Здесь / - 37 множество натуральных чисел или его ограниченное подмножество. Предположим, что функции Jtj fa, у ) непрерывны по совокупности переменных — « = . 1С , Ч = =» Теорема.4.2. Пусть оператор (4.13) действует из - . , Тогда оператор (4.13) является липшицевым в тог -да и только тогда, когда причем константа Липшица Доказательство. Необходимость Цусть.оператор (4.13) яв ляется липшицевым в 1е«- , т.е. для всех Ui , из JL о » выполнено неравенство Тогда для произвольного Фиксированного / &У В силу непрерывности функции jC %tlf)- по сово.-., купности переменных - «= X , Ч с =? , для произвольного где #.-..= с- ., 4j - djj (см. определение оператора с (4.13)). Определим последовательности V; - { К,- j,- /V - 39 следующим образом: если = / то из (4.15), (4.16) в силу произвольности чисел ?( с? t J & получаем Достаточность. Пусть для любых / о , в с? и /&/ - , Ы , /с/ -/ , Ы1 JoL/ . ct имеет место - 41 Для любых У І , из положим Тогда ІбгУ fah. 14 It. JLp Г. к I с . fa +/ cU)- Х, -ґа,с)І Откуда, в силу (4.17), следует їш І[Уи ). - fMj -Mill/, M, Следовательно,-оператор (4.13) является липшицевым в. » с константой Липшица . Неравенство . /4 и вместе с неравенством /. .—//j , полученное в конце доказательства необходимости теоремы» дает П -i i . Теорема доказана. Следствие 4.1. Пусть выполнены.условия теоремы 4.1. Тогда интегральный оператор (4.2) является сжатием в С.мі в том и только.в том. случае, если величина И.. , определяемая формулой (4.3), строго меньше.единицы, причем константа сжатия равна числу \Лav
Уплотняемость нелинейного интегрального оператора
Определение [Г, 23, 35 J . Пусть каждому ограниченному множеству Л из пространства % приписано неотри дательное число , причем ffu?M) = VV и из сМj Ці следует Тогда функция ( Л1) называется мерой некомпактнос ти множества еД ( здесь & «Д „ выпуклая оболочка множества Л X Определение [і, 23, 35 J . Пусть в банаховых прострэн ствах Л. и J ... заданы меры некомпактности со значениями в некотором частично упорядоченном множестве С й.. , - ) . Непрерывный оператор .. г. , деист вующий из. 3)(F) - % в У , ., называется ( У , - уплотняющим, если из неравенства вытекает, что сД . (замыкание множества &U ) компактно ( JA (F) ). . Будем называть оператор г ( f , --)--- уплотняю щим собственном смысле, если для любого, множества . .М Н, замыкание которого некомпактно,.выполняется неравенство УІШ)] j . [ і, 23, 35].. . . . Пусть в WL.. . . определено умножение на неотрицательные ... скаляры Непрерывный оператор, г.. будем называть. ( % , У , У )- ограниченным, если для любого множества где - область, определения оператора l . Если... X = У и У = /" , то мы будем говорить просто " уплотняющий" и "( , f ) - ограниченный". Если , _ 43 то С % » )- ограниченный оператор в этом І случае называется -уплотняющим с константой .. №ероя некомпактности ХаусдорФа t fu ) [і, 23, 35] множества М, В метрическом пространстве % называется точная нижняя граница тех . о , при которых « . .обладает в % . конечной «сетью. Теорема 5.1. Цусть оператор Урысона ( /,7 )- ограничен из lf f jf) в Lj, ( ,/ ) при любой фиксированной % () из L и Л да,гл м, vis))djuh)- J жадм, tiMffin%f при любой Фиксированной V0(t)eLp . Пусть /IW -Wo// -н с? при /2- — . из о .... , получаем Jpf ) ez )JffM). Теорема доказана. . Замечание 5.1. В теореме 5.1 пространства . Lр ч ., 1 «.. можно заменить другими банаховыми пространствами. Например, из теоремы 5.1 следует, что нелинейный интегральный оператор 37 (см. 2 главы II). Здесь J (М ) - внутренняя мера некомпактности Хаусдорфа множества . Ж , определение которой отличается от }%(Ж) лишь тем, что рассматриваемые. - сети должны лежать в самом множестве Л [ 36 J . - 46 Следствие 5.1 fl] . Если в теореме 5.Г оператор действует из Lp., в L rtfH вполне непрерывен, то оператор оператора (5.9) и из условие (5.II).Также из непрерывности оператора J- получаем Отсюда,.в силу произвольности ..- & , и следует ( 11 t Ї Ограниченность оператора Р из Ь в І--9. ju
Предложение, доказано. Замечание 5.2, Пусть выполнены условия теормы 4.1 главы I. Тогда интегральный оператор решения интегро-дифференциального уравнения . Напомним принцип Садовского [і, 23, 35J : пусть мера некомпактности - каждого ограниченного.множества не меняется от присоединения к нему одной точки. Пусть. .у уплотняющий.оператор JC . преобразует в-себя ограниченное выпуклое и замкнутое множество .сМ ..Тогда оператор /УС имеет на М , по крайней мере одну, неподвижную точку. Если оператор.уплотняет относительно.внутренной меры не.-компактности Хаусдорфа, то и на нее распространяется сФорму -лированный выше принцип неподвижной точки \ЪЬ\ . - 55 I. Нелинейный интегральный оператор, оставляющий инвариантным конус в пространстве измеримых Функция Пусть с - некоторые множество, на.котором задана полная. (з - конечная мера у . Тогда существует . нормирующая J и эквивалентная J4 мера /f0 [ 101 , т.е. мера Мо , для которой А и равенства U0 = ? , JUE — Р.. равносильны. . . Пусть Si В ) . пространство измеримых на Е функ ций. Напомним, что конусным отрезком.. life) , Vfa) , где .%Ы) , Vfe), - некотрые функции из является множество Функций Wfr) SfB) удовлетворяющих неравенствам ZCfr) Wfo) . l faj в SfB) . . .
Через обозначается множество Функций W/ocJ из Л(В) » удовлетворяющих неравенствам -1 Wfa)l . Пусть функция для любого ЗС ё ( _ « , f с= ) и К - суммируемых при почти всех, . -Ь.& Е Теорема I.I. Пусть интегральный оператор Тогда интегральный оператор . ... имеет, на отрезке J , по крайней мере, одну, неподвижную точку. Доказательство. Из условия теоремы следует, что оператор УС определен на и ,.действует в L и ограничен. Покажем, что . 0 , как опещтор в L, и на С/ непрерывен. . определен на и , действует в 1-ГО и ограничен при любой Фиксированной V0 №) из С/ Sf) ( Г. 2 ) Это следует из ограниченности оператора (%) Ш = /##,Л ##/, bLf?))JLju/s) из 7 в L »« и.из (1.1). . Пусть 3) - Е t из Сі. 2) вытекает Отсюда, в силу леммы 1.2 Сглава I), имеем для Ufo)j J/0W/.W,WJ))- y.u,t,v,w,o)\ljith) І - 58 Ikf \ Jc&V, VoW,u(s)U/x(s) (I-3) - ##Л / /, tLjufs) \ ±4c ... Известно, что если для интегрального оператора Урысона / с.ядрос %ti,S,U) выполняется условие (1.3), то он регулярен [із] . Поэтому оператор регулярен из J .в - LA р -. при любой У0Щ .3: Тогда .непрерывность его является следствием теоремы I.I главы II - .. . Следовательно, если возьмем пункцию . U0 (4 J t то последовательность [J-y lln.) (+) . сходится к (JtuU»)te) в V, А .. - t а значит сходится по мере. _ .. -... Учитывая это и сходимость последовательности [ оКп) ) по мере к нулю получаем, что Функции сходятся к J t-lj lU Ш, 1 fofs))dAfft ) по мере. Это и равенство it hi hf //J tffy UW\\lis))iflt)\lf ,H) = 0 которое следует из инвариантности единичного отрезка У и - 59 (U0 E = 1 , дает непрерывность оператора % из Теперь покажем, что интегральный оператор - 7 уплотняющий В Lj р .
Возьмем произвольно Фиксированное число о .Тогда существкет конечный І(М) 4- .. . - сеть И ) -_у « _ в L 4 м ограниченного некомпактного множества J t = У: Л Вр (о? JM+6 ) + I wc} Д Мы выше показали регулярность оператора.. . Поэтому из известной теоремы 1.2 (глава I) вытекает вполне непрерывность оператора из в . Ь.УЛ/ ( /- =1,2,..., / ), т.е. вполне непре рывность оператора J %Г4, Ґ, Wc ГЦ Ufs)) JL/ls) (/ =1,2,..., /і ) в L., ( Ufs) С/ ). Тогда,, в силу (I.I), существует компактный Ч( №) h - сеть-множества О : \%И,1} U(t},V(s))dLju(s) - J ##;Г; Wf4)tUfs))djifhmfo k - 60 где Н (Ms) - внутренняя мера некомпактности Хаусдорйа мно жества J/L в L., « и Отсюда, учитывая произвольность числа В о получаем Тогда У - уплотняемость оператора из 7 . в Ly л/р . является следствием свойства меры не ком пакт но с ти ХаусдорЪа, так как "Хм = j / се / І; Щ йб- /х;; и / А х М %л Таким образом оператор . Зс . из У в V л - уплотняющий. Поэтому оператор л. в имеет, хотя бы одну,- неподвижную точку. Теорема доказана. . . . Следствие I.I. Пусть оператор определен на ко нусном. отрезке сМ0 = - Шъ)\ V[ос) S f) t отображает М0 в себя и iuflM4, s, d4) Ji) - #/ S, UJ} p) - к, ti,s) /4-4/ для любых о/, , Jd ( - =« , \ причем Тогда уравнение - 61 имеет в Jlp , хотя бы одно, решение. Доказательство. Для доказательство следствие достаточно уметь свести случай произвольного конусного отрезка М0 =? - \\/{ъ)б SfB) : іШ) &. Wfa) г fa)] ,к частному случаю, когда - Wx) 2=--/ , vfa) = -1 . При этом будем счи тать, что V for). -U-fx). , . ж & В При выполнении этого условия, отображение у- \у( х) J +wfa) Twfa) -Ufa)-, —— vfr)
К вопросу о существовании решения одного класса интегро дифференуиальных уравнений
Пусть в интегро-дийференциальном уравнении [37] в пространство L? (її3) ( і ±Р с = ). Возьмем произвольно Фиксированную Функцию V ( ) из шара и уравнение (2.1) приведем к виду где Действительно, из ( , Ч ) - ограниченности интегрального оператора 0 из Wf (к1) в Lrf& J следует его ограниченность из шара , ,Bwi Lcf v) по норме пространства - Up (-3J , т.е. существует число Пусть У(-к) СГ (в5) .Тогда Следовательно, (у(і) 8 „ с.м)) при Л W, + /А Г ) - 73 В силу ( С , t ) - ограниченности нелинейного интегрального оператора ДЛЯ КаЖДОГО . & соответствует КОНечНЫЙ Л- /ir" s + + і - сеть \Vc ( Ч;_ і Lp iZ ) множества где ограниченное некомпактное множества с$ Д ,., / J Ну Тогда отсюда и из (2.4),(2.5) следует Таким образом, мы построили конечный / + ) „л?м)+ множества Поэтому оператор оператор имеет, хотя бы одну, неподвижную точку Vote) из шара &ь,і(/) по принципу Садовского [ I, 23, 35] .
Эта неподвижная точка V,#; оператора .и будет решением уравнения (2Л). Таким образом мы доказали Лемма 2.1.Пусть нелинейный интегральный оператор Тогда, при достаточно больших Л о уравнение (2.1) имеет, хотя бы одно, решение причем II .Л Wo Ир. А с = . . . Замечание 2.1. Уравнение (2.1) имеет, хотя бы одно, решение из Lp /J3J , если интегральный оператор 2с ( k. , X ) - отраниченно действует из Lp ($ь) в Ц Гг3) ( У / (. - 75 Доказательство замечание 2.1 содержится в доказательстве леммы 2.1. . В качестве примера рассмотрим обобщенное уравнение Хартри /Є3 Поэтому уравнение Хартри имеет, хотя бы одно, решение. K J из шара ow4 (о, % ) , по принципу Садовского [ Зб] , причем Следовательно, уравнение Хартри имеет решение из пространства Wj1 fit3) [ 37J . 1. Ахмеров P.P., Каменский М.И», Потапов А.С., Садовский Б.Н. Уплотняющие операторы. В кн:,Итоги науки и.техники. Математи . ческий анализ., М.,1980, тЛ8, с.185 - 250. 2. Борисович Ю.Г., Сапронов Ю.И. К топологической.теории уп лотнящих.операторов. -Докл. АН СССР, 1968, т.183,М, . с. 18 - 20., 3. Вайнберг.М.М. Вариационный метод и метод монотонных опера-. торов. М., Наука, 1972, 415с. 4. Владимиров В С. Уравнения математической физики. М.,Наука, . 1976, -528. с. . . , 5. ДанФорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.І. Общая теория. . М.., Издательство ИЛ. 1962,- 859 с. . 6. Іумагалиева А.Е. Критерий липшицевости некоторого нелиней ного, оператора. - В сб.:Краевые задачи для дифференциаль ных- уравнений и их приложения в механике и технике. Алма , Ата,Л983, с.51.- 55. 7. Жумагалиева.А.Е. Непрерывность нелинейного интегрального оператора. - Тезисы докладов УІІІ республиканской межву зовской конференции по математике и механике,, посвященной 50 - летию Казахского Государственного Университета, ч.І, , Математика, Алма - Ата, 1984, с.23. 8. Жумзгалиева.А.Е__ 0 разрешимости одного класса нелинййных интегральных уравнений.. -Изв. АН КазССР. Серия йиз. - мат., 1984, № 5, с.68 - 69. - 83 9. Жумагалиева А.Е. Некоторые свойства-нелинейного интеграль-. ного оператора.. - Вестник АН КазССР, 1984, №..7,. с.70 - 72. Ю. Забрейко П.П. Идеальные пространства Функций, I. - Вестн. Яросл. ун-та., вып.8 (Качественные и приближенные методы . исследования.операторных уравнений). 1974, с.12 -.52. 11. Забрейко П.П. К теории интегральных операторов, I. - В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторных . уравнений..Ярославль. 1981, с.53 - 61. . .. 12. Забрейко П.П. К теории интегральных операторов, II. - В кн.: Качественные и приближенные методы исследования оператор . ных уравнений» Ярославль,, 1982, с. 80 -89. . ... 13. Забрейко П.П.,..Майорова Н.Л. 0. разрешимости, нелинейного интегрального уравнения Урысона. - В кн.: Качественные.и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1978, с.61 ,-73. ..... .- 14. Интегральные.уравнения (Забрейко П.П., Кошелов А.Н. ,Красно-. сельский.М.А. и др.) М., Наука,. 1968, - 448 с. 15. Иосида К. Функциональный анализ,. М., Мир, 1967,- 624 с. 16. Канторович Л.В., Акилов Г.П..Функциональный анализ. 2-изд. . переработанное и дополненное. М., Наука, 1977,- 744 с. . 17. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории Функций и функ ционального анализа. 4 -.изд. переработанноеи дополненное. . М., Наука,. 1976,- 544 с. , 18. Коротков В.Б. Интегральные операторы. - Новосибирск, изд. наука, 1983, - 224.с. 19. Красносельский М.А. Два замечания.о методе последователь ных приближений. - УМН 10:1, 1955, с.123-127. - 84 20. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нели нейннх интегральных уравнений. М.,Гостехиздат, 1956, - 392 с. 21. Красносельский М.А.. Положительные.решения операторных урав . нений. М.,Физматгиз, 1962, - 392 с. ...... ... 22. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., -Собо левский П.Е.. Интегральные операторы в пространствах сумми . руемых функций. 4Ь, Наука, 1966,.-499 с. . . . 23. Красносельский М.А. Забрейко. П.П. Геометрические методы . нелинейного анализа. М., Наука,.1975, 512 с 24.
Красносельский М.A.j Рутицкий Я.Б..Выпуклые функции и . пространства.Орлича. М., Физматгиз, 1958,,- 272 с. . . 25. Лататуев А.Н., Майорова Н.Л., Морозов М.К. О разрешимости системы нелинейных интегральных уравнений. - В кн.: Качественные.и-приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1981, с.88- 94. 26. Лялькина Г.Б. Некоторые вопросы теории, нелинейных . операторных уравнений с уплотняющими операторами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени . кандидат йиз,- мат.н. Свердловск, 1980, - 16 с. . _ . 27. Мельник A.M. О неотрицательных решениях одного нелинейного интегрального уравнения, -іЛатвийский математический ежегодник, 1979, ..62---68. 28. Натансон И.П. Теория-Функций вещественной переменной. М., . Наука, ІЄ74,.- 480 с. 29. Немыцкий В.В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений,- Математический сборник, 1934, т.41, № 3, с,421 - 452.
