Введение к работе
Актуальность темы. Изучение двумерных интегральных уравнений Воль-терра второго рода с фиксированными особыми или сильно-особенными линиями теснейшим образом связано с теорией вырождающихся гиперболических уравнений и с теорией гиперболических уравнений с сингулярными или сверхсингулярными коэффициентами. Теории вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений посвящены работы выдающихся ученых А.В. Би-цадзе, А.И. Нахушева, М.С. Салахитдинова, Т.Д. Джураева, Е.И. Моисеева, Л.Г. Михайлова, З.Д. Усманова, М.М. Смирнова, В.Ф. Волкодавова, А.И. Ко-жанова, О.И. Репина, А.П. Солдатова, Н.Р. Раджабова, а также работы их учеников.
Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двумерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами.
Как известно, если в интегральном уравнении
a(x)(f(x) + / K(x}t)(f(t)dt = f(x)
а(х) обращается в нуль в какой-нибудь точке, то это уравнение называется интегральным уравнением третьего рода. Это уравнение, при помощи замены неизвестной функции и(х) = а(х)ср(х) 7 сводится к интегральному уравнению Вольтерра с граничной или внутренней неподвижной особой или сильно-особой точкой в ядре.
Аналогично, двумерное интегральное уравнение вида
х у
а{х,у)(р{х,у)+ Ki(x,y;t)(p{t,y)dt+ K2{x,y;s)(p{x,s)ds+
у + I dt K3(x,y;t,s)
где a(x,y) обращается в нуль на линиях х = а,у = 6, можно свести к двумерному интегральному уравнению Вольтерра с граничными или внутренними неподвижными особыми или сильно-особыми линиями в ядре.
Проблеме исследования одномерных сингулярных интегральных уравнений и разработке вычислительных методов для таких уравнений посвящены работы
Ф.Д. Гахова1, Н.И. Мусхелишвили2, СМ. Белоцерковского3, И.К.Лифанова3. Исследованию интегральных уравнений с ядром однородном степени-1 посвящены работы Л.Г.Михайлова5, Б.М.Бильмана6. Исследованию нового класса особого интегрального уравнения, которое появляется при исследовании эллиптических уравнений с сингулярной точкой и других задач, посвящена монография Л.Г.Михайлова7. Исследованию двумерных сингулярных интегральных уравнений с подвижной сингулярностью посвящены работы А.Д.Джураева8, Г.Джангибекова и их учеников.
Исследованию одномерных интегральных уравнений вольтерровского типа с неподвижной особой или сильно-особой точкой, которые возникают при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярной или сверхсингулярной точкой, посвящены работы Н.Гаджабова9.
В данной работе исследуются не изучавшиеся ранее двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными особыми и сильно-особыми граничными линиями в ядрах.
Основной целью настоящей работы является изучение двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа с особенностями на границе области интегрирования во всех возможных случаях, которые исследуются впервые. Особо важным является изучение модельного уравнения. Этот случай исследован полностью. Во всех возможных случаях решение найдено в явном виде. При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнения. В начале изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным образом, после изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой.
Подробно исследуется случай, когда ядра интегрального уравнения зависят от переменной интегрирования. Этот случай является интересным, так как он связан с немодельным гиперболическим уравнением второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями.
В работе также исследуются некоторые наиболее интересные случаи общего
:Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640с.
2Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
3Белоцерковский СМ., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985, 256 с.
3Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. М.: Янус, 1985, 520с.
5 Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром однородным степени -1. Душанбе.: Дониш, 1966, 47с.
6Бильман Б.М. Об интегральных уравнениях с переменными пределами интегрирования, ядра которых имеют особенность типа однородной функции степени -1 // В сб. «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами», Душанбе.: Дониш, 1969, с. 19-40.
7Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе.: Изд-во АН Тадж.ССР., 1963.
8Джураев А.Д. Методы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987.
9Раджабов Н. Общие интегральные уравнения типов Вольтерра с левой и правой неподвижной сингулярной точкой в ядре // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отд. физ.-мат., хим. и геологических наук, 2001, №1, с. 3-19.
двумерного интегрального уравнения с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования. Данные исследования основаны на результатах, полученных для модельных двумерных интегральных уравнений с граничными фиксированными особыми и сильно-особыми ядрами, а также на результатах, полученных для немодельных двумерных интегральных уравнений с граничными особыми и сильно-особыми ядрами, зависящих от переменной интегрирования.
Цели и задачи исследования.
Изучение и нахождение решений модельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования.
Изучение и нахождение решений немодельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами, зависящими от переменных интегрирования.
Изучение общих двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами.
Приложение полученных результатов для модельных гиперболических уравнений с сингулярными линиями.
Методика исследования. Используется метод, связывающий данное интегральное уравнение с соответствующим гиперболическим уравнением и представление главной части соответствующего гиперболического уравнения в виде произведения двух линейных дифференциальных операторов с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Впервые исследованы модельные, немодельные, а также общие двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области, для которых получена полная картина разрешимости. Установлено, что неоднородные интегральные уравнения типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми линиями всегда имеют решения и общее решение содержит четыре произвольные функции одной переменной в одном случае, две произвольные функций одной переменной в двух других случаях и выделяется случай, когда неоднородное уравнение имеет единственное решение.
Для модельного гиперболического уравнения с сингулярными линиями, на основе результатов, полученных для модельного интегрального уравнения с граничными особыми линиями в ядре, получено представление многообразия решений, исследованы задачи типа Дарбу и Коши.
Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Полученные результаты найдут применение в теории гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также
в теории вырождающихся гиперболических уравнений. Кроме того, предлагаемая методика может быть использована для дальнейшего развития теории многомерных интегральных уравнений вольтерровского типа с особенностями на границе и внутри области.
Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью интегральных уравнений вольтерровского типа и гиперболических уравнений в физике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
-научной конференции, посвященной 60-летию Т.Собирова "Дифференциальные уравнения и их приложения", 2000г., Душанбе.
-научной конференции "Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа", сентябрь 2000 г., Самарканд.
-Международной научной конференции, посвященной 10-ой годовщине независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М.А. Субхан-кулова "Методы теории функций и их приложения", май 2000г., Душанбе.
Всемирном конгрессе математиков ICM -2002, 20 — 28 августа 2002 г., Пекин.
Конференции ISAAC по комплексному анализу, дифференциальным уравнениям и родственным проблемам. 17-21 сентября 2002г., Ереван, Армения.
-Международной научно -практической конференции " 16 -ая сессия Шурой Оли Республики Таджикистан ", 27 — 28 октября 2003 г., Душанбе.
-Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и ее приложения", июнь 2003 г., Худжанд.
-Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики", 16 — 19 ноября 2004г., Ташкент.
-XII Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (МДОЗМФ -2005), 13 — 18 июня 2005г., Харьков -Херсон.
-Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа", 8 — 10 ноября 2005г., Душанбе.
-Международной научно-теоретической конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложений, посвященной 10 -летию РТСУ. 17 — 14 мая 2005г., Душанбе.
-семинарах кафедры "Математического анализа и теории функций" "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными", 1992-2008г., ТГНУ.
-научном семинаре "Сингулярные интегральные уравнения", научный руководитель проф. И.К. Лифанов, факультет ВМК МГУ, декабрь 2005г., Москва.
-научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию Независимости Республики Таджикистан, 27 октября 2006г., Душанбе.
-Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 28 мая -2 июня 2007 г., Новосибирск.
-6-ом Конгрессе ISAAC, 13 — 18 августа 2007г., Средне - Восточный технический университет. Анкара, Турция.
Международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию акад. АН РТ З.Д.Усманова, 24 августа 2007г., Душанбе.
International Conference «Inverse Problems: modeling and Simulation»; held on may 26-30, 2008 at Qludeniz, Ferhiye, Turkey.
Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», 24-28 июня 2008 г., Стерлитамак, РФ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] — [33]. Из работ, написанных совместно с Н. Раджабовым, в диссертации изложены результаты, полученные непосредственно автором диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 62 источника. Объем диссертации составляет 334 страницы машинописного текста.
