Введение к работе
Актуальность темы. Теория устойчивости играет значительную роль в исследованиях по теории плоских и пространсі венных квазиконформных отображений. Первые теоремы устойчивости появились в работах М. А. Лаврентьева в связи с построением им основ теории плоских квазиконформных отображений. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в основном благодаря работам П. П. Белинского, Ю. Г. Решетняка и их учеников. Глубокие результаты, касающиеся оценок отклонения квазиконформного отображения от конформных отображений и их применений при изучении топологических свойств отображений, получены В. И. Семеновым.
Основное содержание теории составляют результаты, во первых, устанавливающие, что каждое (1 + е)-квазиконформное отображение в том или ином смысле близко к некоторому конформному отображению и, во вторых, оценивающие порядок отклонения квазиконформного отображения от класса конформных отображений в зависимости от близости коэффициента квазиконформности к единице. Различные способы измерения близости (в С-норме, в W'-нормах и др.) ведут к различным теоремам устойчивости.
Параллельная теория развивалась в теории квазиизометрических отображений, основы которой были заложены Ф. Джоном.
К указанному кругу вопросов тесно примыкают исследования Л. Г. Гурова по устойчивости класса лоренцевых отображений и класса псевдоизометрий.
Дальнейшее развитие теория устойчивости получила благодаря созданию А. П. Копыловым концепции устойчивости классов отображений в С-норме и построению им на этой основе теории устойчивости классов голоморфных отображений нескольких переменных.
Квазнрегулярные отображения, или отображения с ограниченным искажением, играют с момента их введения Ю. Г. Решетняком фундаментальную роль в теории пространственных отображений и различных вопросах геометрии и геометрической теории функций. Глубокая связь квазирегулярных отображений с теорией пространств с обобщенными производными выявлена в работах В. М. Гольдштейна и С. К. Водопьянова.
Уравнения Бельтрами являются одним из основных средств изучения плоских квазирегулярных функций. Начиная с работ Л. Аль-форса, Л. Берса, Б. В. Боярского и И. Н. Векуа уравнения Бельтрами широко используются в теории эллиптических уравнений и систем
уравнений с двумя независимыми переменными. Хорошо известна их роль и в теории интегрирования почти комплексных структур на многообразиях (А. Нюлендер, Л. Ниренберг). В работах С. Дональдсона, Д. Сулливана, Т. Иванека и Г. Мартина уравнения Бельтрами получили приложения к теории пространственных квазиконформных и квазирегулярных отображений чётномерных пространств.
Цель работы состоит в построении основ теории устойчивости в С-норме классов решений систем уравнений в частных производных, изучении свойств решений уравнений типа Бельтрами, связанных с произвольным эллиптическим оператором первого порядка и построении основ теории квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных.
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
найдены необходимые условия устойчивости в С-норме класса решений полиномиальной системы уравнений в частных производных,
найдено необходимое и достаточное условие устойчивости в С-норме класса решений линейной системы уравнений в частных производных,
изучен класс решений систем уравнений типа Бельтрами, построенных по произвольному эллиптическому оператору первого порядка с постоянными коэффициентами,
доказана устойчивость класса сепаратно-конформных отображений нескольких пространственных переменных,
введены и изучены классы квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных.
Все перечисленные результаты являются новыми.
Методика исследований базируется на концепции А. П. Ко-пылова устойчивости классов отображений в С-норме. Используются методы вещественного и комплексного анализа, включая элементы теории квазиконформных отображений и отображений с ограниченным искажением, теории голоморфных функций, сингулярных интегральных операторов и т.п.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в геометрической теории функций, теории отображений в вещественных пространствах и теории уравнений в частных производных.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Московском и Новосибирском госудярстт5сиж»и университетах, в Институте математики СО РАИ, Институте прикладной математики и механики АН Украины, Институте математики АН Польши; ряде школ по теории операторов в функциональных пространствах: IX (Тернополь, 1984), X (Новосибирск, 1985), XII (Тамбов, 1987); Всесоюзной конференции по геометрии в целом (Новосибирск, 1987); Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988); Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989); Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике, посвященной памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, 1994).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-11], список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 117 наименований. Обший объем работы 190 страниц.
