Содержание к диссертации
Введение
1. Неподвижные точки /г-вполне непрерывных многозначных отображений 35
1.1. Метрика Хаусдорфа. Пространство v(Y) 35
1.2. h-вполне непрерывные многозначные отображения. Основные свойства 38
1.3. Однозначные компактные аппроксимации /і-вполне непрерывных отображений 40
1.4. Неподвижные точки ^-вполне непрерывных отображений . 43
1.5. Топологическая степень и неподвижные точки 47
1.6. Об одном классе /^-непрерывных отображений 49
1.7. Уравнения с сюръективными операторами на сфере 57
2. Неподвижные точки отображений относительно фиксированного множества 60
2.1. Определение и простейшие свойства неподвижных точек 60
2.2. О неравенствах в пространствах с конусом 65
3. Квазинеподвижные точки 74
3.1. Существование квазинеподвижных точек у вполне непрерывных отображений 74
3.2. Существование квазинеподвижных точек у некомпактных отображений 76
4. Об одном обобщении понятия относительного вращения 82
4.1. О (/, /^-подчиненных отображениях 82
4.2. Относительная топологическая степень 84
Литература 93
- h-вполне непрерывные многозначные отображения. Основные свойства
- Топологическая степень и неподвижные точки
- О неравенствах в пространствах с конусом
- Существование квазинеподвижных точек у некомпактных отображений
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование новых классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений, традиционно включается в нелинейный функциональный анализ. При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, принципы неподвижных точек, принципы продолжения решений по параметру и топологические методы. В настоящее время существуют нелинейные задачи (теория экстремальных задач, математическая экономика, вариационные неравенства и т.д.) для исследования которых широко используется теория многозначных отображений.
Существенное место в теории многозначных отображений занимает исследование неподвижных точек, которые в различных задачах могут интерпретироваться как оптимальные стратегии, равновесные цены, оптимальные решения, точки покоя обобщенных динамических систем и т.д. Теоремы о неподвижных точках многозначных отображений используются также в теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других разделах современной математики.
Современная теория неподвижных точек многозначных отображений была построена в работах С. Какутани, С. Эйленберга и Д. Монтгомери, А. Гранаса, И. Яваровского, А.Д. Мышкиса, СБ. Надлера, Л. Гурневи-ча, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, В.В. Обуховского, Ю.Е. Гликлиха, М.И. Каменского и многих других. Отметим, что некоторые результаты работы Воронежской школы в этом направлении приведены в монографиях 1 . В настоящий момент теория неподвижных точек многозначных
^amenskii М., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces/ De Gruyter Ser. in Nonlinear Analysis and Appl. 7, Walter de Gruyter, Berlin-New York. - 2001. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений/ М: КомКнига (УРСС). -2005.
отображений с выпуклыми компактными образами развита также хорошо, как и теория однозначных отображений.
Однако, в большинстве существующих теорем, кроме принципа многозначных сжимающих отображений, предполагается, что образы многозначного отображения являются компактами. Изучение неподвижных точек многозначных отображений с некомпактными образами представляет значительную трудность и не может проводиться традиционными методами.
Цель работы. Целью работы является выделение нового специального класса многозначных отображений с некомпактными образами ( h-вполне непрерывных многозначных отображений) и доказательство теорем существования неподвижных точек для многозначных отображений из этого класса.
Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа и теории многозначных отображений.
Научная новизна. К главным можно отнести следующие результаты диссертации:
Изучение нового класса многозначных отображений с некомпактными образами (/г-вполне непрерывных отображений).
Доказательство теорем о неподвижных точках /г-вполне непрерывных отображений;
Применение полученных теорем к проблеме существования решений следующих задач: уравнений с сюръективными операторами на сферах банаховых пространств; неравенств в банаховом пространстве с конусом; вопросу о существовании квазинеподвижных точек однозначных отображений.
Построение нового топологического инварианта - относительной топологической степени вполне непрерывного отображения (относительно фиксированного отображения и фиксированного множества).
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Достоверность полученных результатов подтверждается математическими методами исследования. Все основные результаты диссер-
тации доказаны.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории многозначных отображений, теории дифференциальных уравнений, теории управляемых систем и математической экономике.
Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных научных конференциях: Колмогоровские чтения "Общие проблемы управления и их приложения"(ОПУ-2009), г. Тамбов, Тамбовский госуниверситет, - 2009 год.
На Воронежских зимних математических школах: "Современные методы теории функций и смежные проблемы. (ВЗМШ-2007)". Воронеж, ВГУ, -2007 год; "Современные методы теории функций и смежные проблемы. (ВЗМШ-2009)". Воронеж, ВГУ, - 2009 год. Отчетные конференции ВГУ, 2008-2009 годы. На семинаре В.В. Обуховского ( 2008-2009 годы).
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти разбитых на пункты параграфов (первый из них называется нулевым) и списка литературы. Нулевой параграф работы является вспомогательным, он содержит необходимые в дальнейшем сведения из теории многозначных отображений и теории неподвижных точек. Библиография содержит 48 наименований.
h-вполне непрерывные многозначные отображения. Основные свойства
Пусть Y - подмножество нормированного пространства Е. Очевидно, что любое многозначное отображение F : X — Cv(Y) порождает однозначное отображение $ : X — г?(У), где #(а;) = F(x) Є v{Y). 1.2.1. Определение. Будем говорить что многозначное отображе ние F является h-непрерывным, если: (1) отображение $ : X — v(Y), порожденное отображением F, является непрерывным) т.е для любого є 0 и любого х Є X существует 5 = #(ж, є) 0 такое, что как только р(х, х ) S, то h(F(x), F(x )) є. Если кроме условия (1) отображение $ удовлетворяет следующиму условию: (2) для любого ограниченного множества D С X множество 3(D) является компактным множеством в Cv{E), то будем говорить что многозначное отображение F является h-вполне непрерывным. Рассмотрим пример /і-вполне непрерывного отображения. 1.2.2. Пример. Пусть X, Z — метрические пространства, / : X — Z - вполне непрерывное однозначное отображение, G : Z — Cv(E) - /i-непрерывное многозначное отображение. Нетрудно проверить, что многозначное отображение F = G о f : X — Cv(E) является /г-вполне непрерывным. Очевидны следующие свойства /г-вполне непрерывных отображений. 1.2.3. Предложение, (і) Пусть F : X — Cv(E) - произвольное h-вполне непрерывное многозначное отображение, X - фиксированное число, тогда многозначное отображение XF : X — Cv{E), (XF)(X) = XF(x), также является h-вполне непрерывным отображением. (и) Пусть F : X — Cv(E) - произвольное h-вполне непрерывное мно гозначное отображение, G : X — Kv(E) также h-вполне непрерывное отображение. Тогда многозначное отображение F + G, (F + G){x) F(x) + G(x), также является h-вполне непрерывным отображением. 1.2.4.
Предложение. Если многозначное отображение F : X — Cv(E) является h-непрерывным многозначным отображением, то оно полунепрерывно снизу. Доказательство. Пусть V произвольное открытое множество в Е, множество U = FZl{V) = [х Є X F(x) HV 0} является полным прообразом множества V. Покажем, что множество U открыто в X. Пусть точка Хо Є U, тогда существует точка у о Є (- ( о) П V). Так как V - открытое множество, то существует такое число SQ О, что Uo(yo) С V. Так как F является /г-непрерывным многозначным отображением, то существует 5 0 такое, что как только h(xQ,x) 6, то h(F(xo), F(x)) є. Следовательно, уо Є F(XQ) С Ue(F(x)) для любого х Є Us{xo). Тогда для любой точки х Є US(XQ). Таким образом U(XQ) С U, что и доказывает открытость множества U. Утверждение доказано. Пусть Е - нормированное пространство, X - метрическое пространство, F : X — Cv(E) - /г-вполне непрерывное многозначное отображение. Пусть А - ограниченное подмножество пространства X. 1.3.1. Теорема. Для любого є 0 существует непрерывное отображение /є : А — Е такое, что: (a) множество f(A) является компактным; (b) p(f(x).1F(x)) Е для любой точки х Є А. Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая лемма. 1.3.2. Лемма. Пусть К - компактное подмножество в v(E), тогда для любого є 0 существует непрерывное отображение ре : К — Е такое, что р(рЕ(В),В)) є для любого множества В є К. Доказательство. Пусть є - произвольное положительное число. Выберем в К конечную е-сеть т = {В\, J?2, -, Вп}: т.е. такой набор множеств из К, что для любого В Є К существует В і Є т такое, что h{B, ВІ) є. Очевидно, что эти функции непрерывны, и cti(B) О, тогда и только тогда, когда h{B, ВІ) є. І(В) tV- J, а Нг{ ) — обладают следующими свойствами Пусть ц(В) = ан(В), а &(В) = . Тогда функции & : К-+Е 1) для любого г = 1,2,..., п функции / непрерывны и принимают значе ния между нулем и единицей; 2) для любого множества В Є К справедливо равенство Y1 Рг(В) = 1; г=\ 3) для любого г = 1,2, ...,п функции $() 0, тогда и только тогда, когда h(B, Ві) є.
Выберем в каждом множестве ВІ произвольную точку у І И определим отображение рЕ : К —» Е по следующему правилу: Очевидно, что отображение рЕ является непрерывным компактным отображением. Проверим, что р(рє(В),В)) є для любого множества В Є п К. Для этого выбросим из суммы Ре(В) — Y Рг(В)уі нулевые слагаемые, тогда рЕ(В) = 2 (З (В)уг., где /3{.(В) О для любого j = 1,2, ...,т. Так как /3 (В) 0, то h(B,Bi,) є. Следовательно, существует точка т УІ. Є В такая, что \\щ - у \\ є. Рассмотрим точку у = J2 Рь(В)тг В силу свойств 1 и 2 функций / и выпуклости множества В точка у Є В. Тогда Лемма доказана. Доказательство теоремы 1.3.1. Пусть А произвольное ограниченное множество, принадлежащее X. Обозначим К — $(А) С v(E). Так как отображение F является /ьвполне непрерывным, то множество К является компактом в v(E). Пусть є - произвольное положительное число. Рассмотрим отображение р : К — Е, удовлетворяющее условиям леммы 1.3.2. Пусть отображение /є = рє о : А — Е. Очевидно, что это отображение является компактным непрерывным отображением и Теорема доказана. 1.3.3. Следствие. Пусть А - ограниченное подмноэюество в банаховом пространстве Е, F : А —» Cv(E) - h-вполне непрерывное отобра жение. Пусть Т - выпуклое подмножество Е такое, что F{x) f] Т 0 для любого х Є А. Тогда для любого є 0 существует непрерывное отображение / : Л — Е такое, что: (a) множество fE(A) является компактным; (b) p(fe(x), F(x)) є для любой точки х Є А; (c) fe(x) Є Т для любого х Є А. Доказательство. Обозначим К — $(А) С v(E). Так как отображение F является /і-вполне непрерывным, то множество К является компактом в v(E). Пусть є - произвольное положительное число. Рассмотрим отображение рє : К — Е\ удовлетворяющее условиям леммы 1.3.2, п т.е. Ре{В) = Y1 (ЗІ(В)УІ, только точки уі будем выбирать из Bif]T. То г =1 гда отображение р будет действовать в множество Т, т.к. это множество выпукло. Теперь отображение fE определим равенством /є=Рє # Это и будет искомым отображением.
Топологическая степень и неподвижные точки
Пусть Е - банахово пространство, U С Е - ограниченное открытое множество, F : U — Си(Е) - /г-вполне непрерывное отображение. Обозначим Ф(х) — х — F{x) многозначное векторное поле, порожденное отображением F. Пусть существует такое є 0, что для любой точки х Є dU справедливо неравенство p(x,F(x)) є. В силу теоремы 1.3.1 существует компактное отображение f:U— E такое, что p(f(x), F(x)) є, тогда \\х — f(x)\\ 0 для любого х Є dU. Рассмотрим вполне непрерывное векторное поле (рє : U — Е, рЕ(х) — х — f{x). Очевидно, что ірє(х) ф О для любого х Є dU. Следовательно, определена топологическая степень (вращение) deg(ipe,dU) (см. раздел 0.2). 1.5.1. Определение. Топологической степенью о1ед(Ф, dU) векторного поля Ф будем называть deg(ipeidU). 1.5.2. Лемма. Топологическая степень о1ед(Ф1ди) определена кор ректно. Доказательство. Пусть / ,/ - произвольные компактные отображения, удовлетворяющие теореме 1.3.1, т.е. для любого х Є dU. Тогда определены два невырожденных векторных поля tpi(x) — х — fl(x) и if2(x) — x — /е(ж). В силу выпуклости множеств F(x) эти поля могут быть соединены невырожденной гомотопией Следовательно, deg( pi,dU) = deg((f2,dU). Лемма доказана. Из свойств топологической степени вполне непрерывных векторных полей вытекает следующее утверждение. 1.5.3. Теорема. Пусть существует такое є 0; что для любой точки х Є dU справедливо неравенство р(х, F(x)) є и deg( &, dU) 0. Тогда для любого 6 0 существует точка х$ Є U такая, что р(х8, F(x5)) 5. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что 0 S е. Рассмотрим компактное отображение f : U — Е, удовлетворяющее условиям теоремы 1.3.1. Тогда deg(Q,dU) = deg((f,dU) ф 0, где ip(x) — х — fs(x). В силу свойств топологической степени существует точка х Є U такая, что х$ = fsfas)- Очевидно, что эта точка и является искомой. Для изучения вопроса существования неподвижных точек /г-вполне непрерывных отображений может быть применена следующая теорема. Пусть U С Е - ограниченное открытое множество, F : dU — Cv(E) - /і-вполпе непрерывное отображение. 1.5.4. Теорема. Пусть существуют вполне непрерывные отображения /1,/2 : dU — Е такие, что выполняются следующие условия: (1) /і и fi являются непрерывными сечениями F; (2) х Ф /і(ж), х Ф /г(ж) для любой точки х є dU. Если deg(i — /1, dU) Ф deg(i — /2, dU), то отображение F имеет неподвижную точку на dU. Доказательство. Рассмотрим отображение g : [0,1] х dU — Е, Очевидно, что это отображение вполне непрерывно.
Если бы g(t,x) Ф х для любой точки х Є dU и t Є [0,1], тогда отображение tp(t,x) = х — g(t, х) являлось бы невырожденной гомотопией, соединяющей ПОЛЯ ф\ = і — /і и 02 = і І2- Следовательно, тогда бы deg(i — fi, dU) — deg(i — /2, dU). Так как по условию теоремы это не выполнено, то g(to, XQ) — XQ для некоторой точки .то Є dU и to Є [0,1]. По условию теоремы fi(xo) Є F(XQ) И /г(жо) Є F(XQ). Тогда, в силу выпуклости множества F(XQ), имеем следующее включение: т.е. точка то является неподвижной точкой отображения F. Теорема доказана. Пусть X - линейно связное метрическое пространство, Е - банахово пространство. Обозначим Aff(E) - множество всех аффинных подпространств пространства Еу т.е. М 6 Aff(E), тогда и только тогда, когда существует замкнутое подпространство L С Е такое, что М = XQ + L, где хо фиксированная точка из Е. Пусть F : X —» Cv(E) - /г-непрерывное многозначное отображение такое, что для любой точки х Є X образ F(x) является аффинным подпространством в Е. Будем это записывать F : X —s- Aff(E). 1.6.1. Лемма. Пусть F : X — Aff(E) - h-непрерывное многозначное отображение. Тогда существует такое замкнутое попростран-ство L с Е, что для любого х Є X образ F(x) — f(x) + L, где f -непрерывное сечение отображения F. Доказательство. Проверим, что для любых точек XQ,X\ Є X расстояние h(F(xo),F(xi)) сю. В силу того что X является линейно связным множеством, то существует путь а. : [0,1] — X такой, что а(0) = #о, сх(1) = х\. Рассмотрим многозначное отображение F : [0,1] — Cv(E), F(t) = F(a(t)). Нетрудно видеть, что это отображение является /г-непрерывным и его образы являются аффинными подпространствами в Е.
В силу /i-непрерывности отображения F для любой точки t Є [0,1] существует 5(t) 0 такое, что если t Є U(t) (t — 5(t),t + 8(t)) р)[0,1], то h(F(t),F(t) 1. Очевидно, что семейство {U(t)}te[o,i] является открытым покрытием отрезка [0,1]. Пусть г\ 0 - лебегово число этого покрытия, т.е. это такое число, что для любых точек іі, її Є [0,1], \t\ — Ї2І Г), всегда найдется множество U(to) из этого покрытия, которое содержит эти точки. Очевидно, что такое число всегда существует. Пусть п целое число такое, что 0 - т\. Разобьем отрезок [0,1] на п равных частей, тогда
О неравенствах в пространствах с конусом
Пусть Е - банахово пространство. 2.2.1. Определение. Множество К С Е называется конусом, если выполнены следующие условия: 1. Множество К - замкнуто; 2. Из того, что u,v Е К вытекает, что аи + /3v Є К для любых а, /3 0; 3. Из каждой пары точек х, —х по крайней мере одна не принадлежит К, если только х ф 0; где О - ноль пространства Е. Полуупорядоченность в банаховом пространстве Е с конусом К вводится следующим образом: считают, что х у, если у — х Є К. Пусть X С Е, f : X — Е - непрерывное отображение. Нас будет интересовать существование решения следующего неравенства: Очевидно, что /(ж ) х тогда и только тогда, когда х Є /(ж ) + К, т.е. любое решение неравенства (2.1), это - /С-неподвижная точка отображения /. Опираясь на теоремы существования i -неподвижных точек, получим следующую теорему существования решений неравенства (2.1). 2.2.2. Теорема. Пусть U С Е - выпуклое ограниченное открытое множество, f : дії — Е - вполне непрерывное отображение. Ес ли существует такая точка щ Є К, что топологическая степень deg(ip, дії) векторного поля tp(x) = х — f(x) — щ не равна нулю, то неравенство (2.1) имеет решение на дії. Доказательство этой теоремы вытекает из следствия 2.1.6. Рассмотрим более конкретные теоремы о разрешимости неравенства (2.1), для этого нам понадобятся некоторые сведения из теории пространств с конусом. 2.2.3. Определение. Элемент z Є Е называется точной верхней границей (супремумом) для пары элементов х, у из Е, если х z, у z и из неравенств х z , у z вытекает, что z z .
Аналогично определяется понятие инфимума. Очевидно, что 2.2.4. Определение. Конус К С Е называется миниэдральным, если каждая пара элементов имеет супремум (следовательно, инфи мум). Если конус К С Е является миниэдральным, то для любого х Є Е единственным образом определяются элементы х+ — sup{rc, 0} И Х- = sup{—х, 0}. Тогда модулем элемента х называется \х\ = х+ + ж_. Очевидны следующие неравенства х х+ \х\. Рассмотрим некоторые примеры. 2.2.5. Пример. В пространстве Rn рассмотрим конус положитель ных векторов К. Нетрудно видеть, что этот конус является миниэдраль-ным, причем х+ = (a(xi), а(х2),.-., а(хп)), где функция Аналогично, х- = (6( 1),6( 2), ...,6(жп)), где Тогда ж = (жі, ж2,..., ж„). 2.2.6. Пример. В пространстве С а, Ь] рассмотрим конус положительных функций Этот конус также является миниэдральным, причем: Аналогично определяются функции х+ и Х- в пространствах Ь?аш где Р 1. Предположим, что в пространстве Е задан миниэдральный конус К такой, что выполнено следующее условие: (I) для любых элементов х,у Є Е из неравенства \х\ \у\ вытекает неравенство \\х\\ \\у\\. Очевидно, что это условие (I) выполнено для конусов положительных векторов в пространствах Л71, С[ад и L?by В дальнейшем будем предполагать, что условие (I) всегда выполнено. В [11] (теорема VII. 1.2) доказано, что если последовательность {хп} сходится к элементу х , то последовательность {ж+} сходится к элементу х\. Следовательно, отображение проектирования на конус является непрерывным. Нетрудно заметить также, что это отображение является положительно однородным. Пусть U С Е - выпуклое ограниченное открытое множество, содержащее нуль пространства Е, dU - граница множества U, S = dU f] К. Пусть Е - сопряженное пространство к пространству Е, т.е. пространство непрерывных линейных функционалов на этом пространстве. Обозначим 2.2.7. Теорема. Пусть Е - банахово пространство, К с Е - мини-эдральный конус, удовлетворяющей свойству (I). Пусть f : S —» Е -вполне непрерывное отображение, удовлетворяющее условию: для любой точки х є S существует ненулевой функционал яЬ Є К такой, что ф(х)ф(х — p(f(x)) 0. Тогда существует точка XQ Є S, являющаяся решением неравенства (2.1).
Доказательство. Рассмотрим отображение / : S —» К, f(x) = p{f(x)). Нетрудно видеть, что это отображение вполне непрерывно. Докажем, что для любой точки х Є S точка f{x) х. Предположим противное, пусть существует точка х Є S такая, что f(x) х, т.е. х — f(x) Є (—К). Тогда ф(х — f{x)) 0 для любого функционала ф Є К . Так как х Є S С К, то (ж) 0. Следовательно, ф(х)ір(х — p(f(x)) 0, что противоречит условию. Продолжим по теореме Титце отображение / на U. Пусть /і : С/ —» К это продолжение. Рассмотрим векторное поле tp = і — /і, построенное по отображению /і. Покажем, что deg(tp,dU) = 1. Для этого рассмотрим гомотопию ы(Л, х) — х — Xf\(x) и покажем, что ш(Х,х) ф 0 на dU. Предположим противное, тогда существуют точка х Є dU и Л Є [0,1] такие, что х = Л /і(гс ), тогда ж Є ( 9/ П if) = 5 и ж /1(2:,,) = /(ж ), а этого не может быть по доказанному. В силу следствия 2.1.6. неравенство f(x) х имеет решение на множестве дU. Так как для любой точки ж, не лежащей в S) это неравенство выполняться не может (в силу того, что f{x) Є К), то существует точка XQ Є S такая, что f(xo) XQ. Замечая, что f(xo) f(xo), получаем утверждение теоремы. Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы. Пусть К С Rn - конус положительных векторов, SR(0) - сфера радиуса R с центром в нуле пространства Rn, S = 5д(0) f] К. Обозначим \х\ = (жі, , \хп\) - модуль вектора в Rn. 2.2.8. Теорема. Пусть f = (/1,/2,---,/71) : S - Rn - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: для любой точки х = (х\,Х2, ...,хп) Є S существует вектор Ъ Є К такой, что скалярное произведение (Ь,х) 0 и (Ь, \f(x)\) (6,х). Тогда неравенство (2.1) имеет решение на множестве S. Доказательство. Пусть вектор Ъ є К такой, что (Ь,х) 0 я (Ь,х — /(ж)) 0. Так как где функция и 6 Є if, то Таким образом, (Ь, ж) (6, (р о f)(x)). Проверим, что отображение / удовлетворяет условиям теоремы 2.2.7. Пусть точка х Є S, тогда в качестве функционала ф рассмотрим скалярное произведение ф(х) — (Ь:х). Так как
Существование квазинеподвижных точек у некомпактных отображений
Пусть Е - банахово пространство, X - подмножество в Е, f : X — Е -однозначное отображение. Пусть L - замкнутое подпространство в Е. Введем следующие обозначения: Е\ = E/L - фактор-пространство, 7Г : Е —» Е\ - естественная проекция на фактор-пространство. Очевидно, что 7Г является линейным непрерывным сюръективным оператором. 3.2.1. Лемма. Пусть U - открытое множество в Е, А С U. Если существует такое є 0, что U(A) С U, то 7г(Л) С TT{U). Доказательство. Очевидно, что є-окрестность множества А можно представить в виде Так как 7г является линейным отображением, то ir(UE(A)) = тт{А) + ir(U(0)). Из открытости линейного сюръективного оператора 7г вытекает, что множество 7г([/(0)) открыто в Ei и содержит нуль этого пространства. Следовательно, существует число 5 0 такое, что Тогда Так как, то выполнено искомое включение. Лемма доказана. Дадим следующее определение. 3.2.2. Определение. Непрерывное отображение f : X —» Е будем называть L-компактным, если композиция отображений ТТ о f явля ется компактным отображением, т.е. 7г(/(Х)) - компакт. Очевидно, что отображение / будет L-компактным, например, если: 1) отображение / компактно; 2) пространство Е\ конечномерно, а множество f(X) ограничено. Справедлива следующая теорема. 3.2.3. Теорема. Пусть X - открытое выпуклое подмножество ба нахова пространства Е, L - замкнутое подпространство в Е. Пусть f : X — Е - L-компактное отображение. Если существует є
О такое, что для любого у Є U(f(X)) пересечение (у + L) П X ф 0, то отображение f имеет L-неподвижную точку. Доказательство. Так как X - открытое выпуклое подмножество в Е, 7Г - линейный непрерывный сюръективный оператор, то множество 7г(Х) = Х\ яляется выпуклым открытым множеством В Е\. Рассмотрим два многозначных отображения: и Очевидно, что F(x) = 7г_1(а;) П Ф(х) ф 0 для любого х Є Х\. Очевидно также, что отображение 7Г-1 является полунепрерывным снизу, а Ф имеет выпуклые образы и его график открыт в пространстве X х Е. Следовательно, в силу леммы 1.4.2, многозначное отображение F имеет непрерывное сечение ір : Х\ —» Е, (р{х) Є F(x) = ir l(x) ПХ, для любого х Є Х1. Обозначим Очевидно, что это множество открыто и выпукло. Заметим также, что Рассмотрим отображение f\ : Х\ -+ Х\ определенное по следующему правилу: f\(х) = 7г(/( /?(ж))). Это отображение является непрерывным и компактным, т.к. fi(Xi) С 7г(/(Х), а композиция отображений 7г о / является компактным отображением. Так как по условию теоремы существует є 0 такое, что Ue(f(X)) С X — L = А, то, в силу леммы 3.2.1, имеем следующие включения: Следовательно, компактное отображение /і отображает множество Х\ в себя и fi(Xi) С Xi. Тогда, в силу следствия 0.2.3, оно имеет неподвижную точку х . Покажем, что точка у = (р(х ) является L-неподвижной точкой отображения /. Действительно, 7г(г/ ) = х и
Тогда тг(/(?/ )) = 7г(г/ ), т.е. у є /(г/ ) + , это и доказывает теорему. Применим теорему 3.2.3 к изучению проблемы существования квазинеподвижных точек. 3.2.4. Теорема. Пусть X - выпуклое открытое подмножество ба нахова пространства Е, f : X — Е - непрерывное отображение. Пусть семейство таково, что композиция ж о / : X — Е/КТ является компактным отображением. Если существует такое є 0, что Ue(f(X)) С X — КТ, то отображение f имеет квазинеподвижную точку относительно этого семейства. Доказательство вытекает из теоремы 3.2.3. Рассмотрим простое приложение теоремы 3.2.4 к изучению квазинеподвижных точек оператора Урысона (оператора суперпозиции). Пусть С[0)ь] - пространство непрерывных функций, определенных на отрезке [а,Ъ]. Пусть / : [a,b] х R1 —» R1 - непрерывная функция двух переменных. Эта функция порождает оператор Урысона (суперпозиции) / : с[а,Ь] - С[а,ъ] по следующему правилу: если у = /(ж), то y(t) = f(t,x(t)). Очевидно, что / является непрерывным отображением.
Пусть на отрезке [а, Ь] задано конечное число точек {if}f=i- Эти точки определяют непрерывные линейные функционалы ері : С[а,Ь] —» Л1, (fi(x) — xiti). Рассмотрим семейство линейных непрерывных функционалов т = {ipi}i=i 3.2.5. Теорема. Если существуют такие числа с Е (0,1) и d 0, что для любых (, х) Є [a, b] х R1 справедливо неравенство, то существует непрерывная функциях такая, чтоx (ti) = f(ti:x (U) для любого і = 1,..., п. Доказательство. Рассмотрим в пространстве С[а,г ] множество Очевидно, что это множество является открытым выпуклым ограниченным множеством. Рассмотрим / : X — С[й)ь] - сужение оператора суперпозиции на множество X. Пусть у — f(x), тогда и,, , / \. мм , d(l + с) 2d Следовательно, f(X) С X и, более того, если є d, то UE(f(X)) С X. Найдем теперь подпространство КТ. Очевидно, что Тогда Очевидно, что в этом случае фактор-пространство Е\ = С[ад/Кт можно отождествить с йп, а проекцию 7Г : С[а,ь] — Лп определить следующим образом: тт(х) = (x(ti),x(t2), ...,z(n))
