Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава I. КОНЦЕПЦИЯ \ -УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ 14
1.1. Основные классы отображений, функционалы
глобальной близости 14
1.2. функционалы локальной близости и основные задачи теории ^ -устойчивости классов отображений ... 41
1*3. Глобальная близость отображений к заданному
классу и теорема Лиувилля 59
Глава П. УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ГОЛШОШШХ ОТОБРАЖЕНИЙ 61
2Л« Формулировка основных результатов и схема
их доказательства 61
2„2. Локальная близость к голоморфным отображениям и равномерно эллиптическая система <^ ~Q^Z~0 дифференциальных уравнений в частных производных ...... 72
2»3. Интегральное представление Мартинелли-Бох-нера и сингулярные интегральные операторы П и Г ... 75
2„4. О суммируемости частных производных решений
системы $щ-С($^ = 0 88
2.5. Равностепенная непрерывность отображений
класса J& С L) 99
2,6. Глобальная близость отображений класса
сС (-) к голоморфным отображениям 102
Глава III. СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ, БЛИЗКИХ К ГОЛШОРФНШ .. 109
3.1. Устойчивость классов многомерных голоморф
ных отображений и близость производных 109
3.2. Характеристика Пономарева плоских квази
конформных отображений и многомерные отображения, близ
кие к голоморфным 127
3.3. Свойство Лиувилля отображений, близких к го
ломорфным отображениям 133
3.4. Продолжение отображений, близких к голоморф
ным, в пространства высших размерностей и проблема мини
мальности априорных предположений о суммируемости произ
водных 134
3«5. Нерасщепляемость системы 3.,6. Композиции отображений, близких к голоморф Глава 1У. ) -УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ И СВОЙСТ 4*1. О граничных значениях отображений полупрост 4„2. Аппроксимация отображений, близких к конформным, гладкими квазиконформными отображениями ...... 215 Глава У. ПЕРСПЕКТИВЫ ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ МНОГОМЕРНЫХ ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ... 222 5Л. Системы уравнений с частными производными 5.2. Еще раз об априорных условиях, налагаемых 5.3. Некоторые другие нерешенные проблемы 235 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 240 ЛИТЕРАТУРА 259 .-4- Введение к работе В теории квазиконформных отображений областей на плоскости и в вещественных многомерных пространствах важное место занимает теория устойчивости конформных отображений, развитая (в основном) в работах [l-22] М.А. Лаврентьева,Д.П.Бе-линского и Ю.Г* Решетняка* Суть исследований, определяющих построение последней теории, состоит в следующем* Пусть <р- -квазиконформное отображение, локально близкое в каком-либо смысле к конформным отображениям* Нельзя ли утверждать, что 4г близко к ним и глобально (в этом же смысле или в каком-нибудь ином)? Для наших целей особое значение имеет теория устойчивости плоских конформных отображений \1% 2, 4, 5J, центральным утверждением которой является следующая ТЕОРЕМА А. Существует универсальная функция ^±''Г^і)~^-^1) такая, что при Е-^О с^і()-*>о±(о)'* О идля каждого топологического отображения \у '- Сс 15 -^ Ж Н>замыкания круга В = B^l) Замечание O.I.I* Для функции ^± можно предъявить явное значение (см, 4, б})* Используя свойства решений системы Бельтрами, из теоремы А можно получить, в свою очередь, следующее утверждение ТЕОРЕМА ОЛЛ* Существует неотрицательная функция <х^ двух вещественных переменных, определенная в квадрате(SijO*lRZl ^^<^-} о<_р< і]- Гоу±)х (о, 1) и обладающая свойствами: при J>6Coyl) ote(j)^otfaj>)*o9 когда а-* О . если :&<^-^> - непрерывное отображение области Д , удовлетворяющее некоторой системе Бельтрами (ОЛЛ) с Л flic* = ел^ y^p\%te">) ^ < 1 ., то для каждого числа J?(0)1.} и каждого круга В С^^^)^Л существует голоморфное отображение Я : Б^>^)-^>^ такое, что при \(Ъ)-2();)\4о{г ft,j>) окал*. f(R (^ О). Эту теорему естественным образом дополняет ТЕОРЕМА 0.1.2. Существует неотрицательная функция ^s двух вещественных переменных, определенная на множестве {CS^^^2]o 3) если отображение Jf: области ZA при ка ких-нибудь _Р ^0,1) и S^L0^ (р)) удовлетворяет усло вию: для каждого круга В fe,^) из некоторой окрестности 2^ ^0") с. Д каждой точки ^^-Д существует голоморфное отображение Q\ В te^-v/C такое, что при ^ВСв^р^) то &- является решением некоторого уравнения Бельтрами (O.I.I) с Ц\\^^ь3(^). Замечание 0.1,2. Ради простоты формулировок мы в теоремах 0.1.1 и 0.1.2 рассматриваем гладкие отображения <. Ниже ( 1*2) мы откажемся от этого ограничения. Замечание 0.1.3. Так как в теореме 0.1.2 дается характеристика асимптотического поведения функции ^j при -^ О „ конкретное значение функции , участвующей в построении области определения функции ^з , для нас несущственно. Ее выбор диктуется лишь необходимостью обеспечить наличие у функции ^3 вспомогательного свойства I). Теоремы 0.1.1 и 0.1.2 можно рассматривать в определенном отношении как взаимно обратные. Они выражают следующие два факта; I) плоские голоморфные отображения устойчивы,т.е. близость локальная к этим отображениям влечет глобальную близость к ним; 2) класс отображений, близких к голоморфным, совпадает с классом решений тех систем Бельтрами (0.1.1), у которых параметр // ^ //^ достаточно мал. Подобные факты лежат и в основе теории устойчивости конформных отображений областей в вещественных многомерных пространствах. Роль отображений, близких к конформным, играют в этом случае отображения, коэффициенты квазиконформности которых близки к 1 Подробное обсуждение этого мы проведем во втором параграфе первой главы. Главной целью настоящей диссертации является построение основ теории устойчивости голоморфных отображений областей в многомерных комплексных пространствах, подобной обсуждавшимся выше в случае плоских голоморфных отображений и в случае конформных отображений в многомерных вещественных пространствах. При этом оказывается, что как новая теория, так и преж- ниє могут быть рассмотрены на основе единой концепции. Диссертация состоит из введения и пяти глав* Каждая глава делится на параграфы» Все утверждения нумеруются тремя числами, первое из которых - номер главы, второе - номер параграфа и третье - номер утвервдения. Таким же способом нумеруются формулы, определения и замечания, причем ради единообразия эту же нумерацию мы используем и во введении, полагая первое число номера равным нулю, а второе - х. « Для удобства читателя в конце диссертации помещен список основных из используемых, в ней обозначений и изложены некоторые вспомогательные сведения. В первой главе излагается концепция -устойчивости классов отображений, лежащая в основе исследований, результаты которых отражены в диссертации. Материал этой главы по параграфам распределяется следующим образом. В перыш параграфе вводится ряд необходимых для дальнейшего функционалов глобальной близости отображения к заданному классу отображений, удовлетворяющему весьма общим условиям, и изучаются их свойства и связи между ними. Здесь же получен критерий равностепенной непрерывности семейства отображений, глобально близких к заданному классу отображений» Во втором параграфе, исходя из понятий функционалов глобальной близости отображения к заданному классу отображений, мы вводим понятия функционалов локальной близости и центральное понятие диссертации - понятие ^-устойчивости классов отображений, формулируем основные задачи теории J* -устойчивости и на ряде важных в теории функций классов отображений иллюстрируем возможность (либо невозможность) построения этой теории* В третьем параграфе для отображений, близких к классам отображений, удовлетворяющих условиям первого параграфа, до казывается аналог классической теоремы Лиувилля. Суть этого обобщения теоремы Лиувилля состоит в том, что если для огра ниченного отображения 1R —* R значение функциона ла ^ глобальной близости к классу отображений, удовлетворя ющему условиям первого параграфа, меньше а/2, то это отобра жение постоянно* Заметим, что классические варианты теоремы Лиувилля (для случаев голоморфных и гармонических отображе ний) содержатся в нашем обобщении в качестве частных его случаев» Теории устойчивости классов многомерных голоморфных отображений посвящены вторая и третья главы диссертации* Вторая глава состоит из шести параграфов* В первом из них мы формулируем основные результаты главы и описываем схему их доказательства* Во втором - доказываем теорему о том, что отображения, близкие к классу многомерных голоморфных отображений, являются решениями равномерно эллиптических систем f^^Qfz'O дифференциальных уравнений в частных производных, представляющих собой многомерный аналог системы Бельтрами» В третьем параграфе развивается аппарат, необходимый нам для исследований этой многомерной системы: интегральное представление типа Мартинелли-Бохнера отображений с обобщенными первыми производными, элементы теории сингулярных интегральных операторов, связанных с этим представлением, и признаки гельдеровости отображений, в построении которых участвуют интегральные операторы, порождаемые представлением Мартинелли-Бохнера* Теорема, доказанная в четвертом параграфе, составляет основу нашего метода изучения свойств решений системы $~ -Qi^-0 . В этой теореме дается оценка /^ -нормы частных произ водных решения ^'-fifay^^/C^ —*? УУЬ системы $5" "" ^/г ~ ' параметр ІШЛос близости которой к многомерной системе Коши-Римана мал, в шаре Эта оценка зависит только от с(^ V » линейных размеров образа единичного шара 6 (о^ і) при отображении - , параметра ми оо и размерностей Уь и Wi. Используя результаты третьего и четвертого параграфов, в пятом параграфе мы получаем оценку гельдеровости решений системы <ь^ — Qfz —0« Наконец, в шестом параграфе мы устанавливаем глобальную близость решений системы ^- б fg -О к голоморфным отображения!*!, что завершает доказательство главного результата обсутвдаемой в диссертации теории, состоящего в том, что класс многомерных голоморфных отображений ^ -устойчив» Тематика исследований, результаты которых излагаются в первом параграфе третьей главы, навеяны тонкими и важными исследованиями Б.В. Боярского [23], 0, Лехто [j и Ю.Г.Ре-шетняка j19, 20]9 В работе [23] Боярский доказал, что частные производные решения системы Бельтрами (0,1.1), где измеримая функция, определенная в плоской области ZA и удовлетворяющая условию принадлежат классу ^Jp ^. (^) при каждом р таком, что \\Щр <*/* (0.1.3) Здесь J/ПЛр - Ар -норма линейного сингулярного интегрального оператора Г| » определяемого формулой Заметим, что II п її совпадает с функцией -Л- р (я, ууъ) Из третьего параграфа второй главы диссертации в том частном случае, когда УЬ ^ 1 - №. Пусть р( К ) есть точная верхняя граница положительных чисел Р таких, что частные производные каждого решения уравнений: Бельтрами (О.І.І), коэффициент й, которого удовлетворяет условию (0,1.2) с = (к-±)/(\С^±) ? К > 1 у принадлежат локально классу Ар Заметив, что теорема Боярского, результаты работы [Jov] и дифференциальные свойства отображения >zZU г |В| ^ (0.1.4) влекут соотношения о < С = к^ь (к-±)р(Ю < <=*=> КЗП (0,1.5) р(К)йгК/(к~±), к>і, (0.1.6) О, Лехто в работе |5j получает оценку нижний для всех значений гС > 1 , Здесь -йоууг означает предел. Из неравенств (0.1.5) и (0.1.6) непосредственно следует утверждение о том, что функция рО/С) при \С-ъ оо растет как і/ (К, -1) . В статьях "19, 20] получен, в частно- - II - сти, подобный результат для Ю -квазиконформных отображений областей в вещественных евклидовых пространствах Ш ,^^ причем Решетняк, пошел дальше: он установил, что близость коэффициента квазиконформности отображения к 1 влечет его г л об ал 51) близость к конформным отображениям не только в равномерной норме (С-норме), но и в Wp -нормах, р>,У1. В первом параграфе третьей главы для отображений областей комплексного пространства & в комплексное пространство . 9 близких к голоморфным отображениям, где YL И УУ1 -пара произвольных натуральных чисел, мы получаем результаты, подобные результатам Боярского, Лехто и Решетняка. Во втором параграфе мы даем характеристику отображений, близких к многомерным голоморфным, восходящую к работе 241 С.П. Пономарева» В этой работе доказано следующее утверждение. ТЕОРЕМА (С#П. Пономарев). Пусть $\ Л ^ -^ -плоское гомеоморфное отображение области ІЛ , сохраняющее ориентацию. Тогда для того, чтобы 4- было квазиконформным отображением, необходимо и достаточно, чтобы существовала константа А > О , удовлетворяющая неравенству для всякого замкнутого прямоугольника Й с Д со сторонами, параллельными осям координат. Отличаясь несколько по форме от теоремы Пономарева, наши утверкдения (см. теоремы 3.2.1 и 3,2.2) сохраняют то, что лежит в основе ее А именно, в случае гомеоморфных отображений теорема Пономарева обобщает теоремы Коши и Морера, В многомерном же случае теоремы 3.2,1 и 3.2,2 находятся примерно в таком же отношении к теоремам Коши-Луанкаре и мно- гомерному аналогу теоремы Морера, как теорема Пономарева к теоремам Коши и Морера в плоском случае. Кроме внешней формы наши теоремы отличаются от теоремы Пономарева в следующих моментах» С одной стороны, как и в большинстве утверждений диссертации, в теоремах 3*2*1 и 3,2.2 мы вводим дополнительное требование о дифференциальных свойствах рассматриваемого отображения \ 2.6 W (Zn^ Zyrt) % причем наши теоремы имеют асимптотический характер (см. замечание 3.2.1). А с другой стороны, в теоремах 3,2.1 и 3.2,2 нет никаких топологических ограничений на рассматриваемые отображения. Следует отметить, что методы доказательств утверждений первых двух параграфов третьей главы отличны от методов доказательств соответствующих им теорем Боярского, Лехто, Решет-няка и Пономарева. В третьем параграфе на основании результатов первых двух глав мы получаем для отображений, локально близких к многомерным голоморфным отображениям, аналог теоремы Лиувилля о постоянстве ограниченной голоморфной функции \ п—^ В четвертом параграфе мы устанавливаем, что многомерные отображения, локально близкие к голоморфным, продолжаются с сохранением значения функционала локальной близости к классу голоморфных отображений в комплексные пространства высших размерностей. Здесь же вычисляется точный порядок степени суммируемости частных производных отображений класса W (Zn.^Zyn)% локально -близких к многомерным голоморфным, при —*> О , В пятом параграфе мы показываем, что система f-^~Qf^~^ нераещепляема: если <р- Cjft^ fz,..., 3-m ) - Л < —*> ^ есть решение системы обсуждаемого вида с малым значением параметра близости этой системы к многомерной системе Коши-чРимана, - ІЗ - то координатные функции 4-^ у К^ 1.,2.,,.., уп , таковыми могут уже и не быть» В последнем (шестом) параграфе третьей главы мы выясняем, в каких случаях малость значений функционалов локальной близости к классам многомерных голоморфных отображений у элементов h± и fz композиции j~fzf"L влечет малость значения аналогичного функционала для самой композиции fy Несколько в стороне от результатов, относящихся собственно к теории устойчивости классов многомерных голоморфных отображений, стоят результаты четвертой главы* Мы их включили в диссертацию по двум причинам* Во-первых, обсуждаемые в этой главе вопросы тесно связаны с предложенной в первой главе концепцией ^ -устойчивости классов отображений. А во-вторых, - и это главное, - последовательное развитие идей, лежащих в основе результатов четвертой главы, как раз и привело нас к этой концепции* В первом параграфе четвертой главы изучается граничное поведение отображений полупространства вещественного многомерного пространства, близких к конформным, причем дается полная характеристика граничных значений таких отображений» В этом же параграфе доказывается теорема о затираемости шара для отображений, близких к классу конформных отображений» Во втором параграфе мы устанавливаем возможность сглаживания отображений, близких к конформным» Завершает диссертацию пятая глава, в которой обсуждаются перспективы дальнейшего развития теории , -устойчивости классов многомерных голоморфных отображений и лежащей в ее основе концепции» Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25-32].
ным 141
ВА (4+ ) -КВАЗИКОНФОРМНЫХ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОБЛАСТЕЙ В
ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕ
НИЯХ ПАРАМЕТРА 147
ранства, близких к конформный 147
и ^ -устойчивость классов отображений. Одно направле
ние исследований 222
на отображения, близкие к классам многомерных голоморф
ных отображений 225Похожие диссертации на Устойчивость классов многомерных голоморфных отображений
