Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Метод структурных формул для классов конформных отображений 11
1. Оценки на классе функций, удовлетворяющих лемме Шварца 11
2. Обобщенные классы Каратеодори 24
3. Связь обобщенных классов Каратеодори с классами локально однолистных отображений 37
4. О локальных экстремалях в проблеме Кшижа 59
ГЛАВА 2. Метод структурных формул для классов плоских гармонических и логгармонических отображений 67
5. Определение и локальное представление гармонических и логгармонических отображений 67
6. Некоторые классы гармонических и логгармонических отображений 71
7. Структурные формулы для классов гармонических и логгармонических отображений 75
8. Оценки для начальных коэффициентов в С^н 81
9. Оценки всех коэффициентов в Sjf [Ai, В\, А-2, В2] 88
10. Оценки коэффициентов квазиконформности 90
11. Задача о покрытии в классах гармонических и логгармонических отображений 92
Заключение 98
Приложение
- Обобщенные классы Каратеодори
- Связь обобщенных классов Каратеодори с классами локально однолистных отображений
- Некоторые классы гармонических и логгармонических отображений
- Оценки коэффициентов квазиконформности
Введение к работе
Объектом исследования, в настоящей диссертации, являются локальные и глобальные свойства обобщенных гармонических отображений единичного круга А в С. При этом упор делается на три основные экстремальные задачи: оценка модулей тейлоровских коэффициентов, вычисление обобщенной константы П. Кебе и получение теорем искажения для заданных классов гармонических отображений.
Определим понятие обобщенного гармонического отображения. Пусть R и Q —римановы поверхности, ds2 = p2(w)\dw\2 —риманова метрика на Q, нормированная условием Jf p2(w)dudv = 1, где w = и -f iv, p(w) Q — измеримая, положительная, исключая возможные изолированные нули, функция, определяющая метрику ds2. Гармоническим относительно указанной метрики называется отображение / : R — Q, локальные представления w(z) которого являются решениями квазилинейного уравнения д2ги ndp dw dw п .„. рош—+ 2/оШ-- = 0. (1) ozoz dw oz oz
Уравнения подобного типа привлекли внимание физиков как модели некоторых калибровочных теорий. В приложениях важен вопрос о структуре особенностей решений уравнения (1).
Заметим, что гармонические относительно метрики ds2 отображения часто удобно определять как экстремали функционала Дирихле-Дугласа dw p2owdxdy, (2) dz для которого (1) есть просто уравнение Эйлера-Лагранжа SD = 0.
В теории пространств О. Тейхмюллера наряду с гармоническими отображениями относительно гладких римановых метрик рассматриваются отображения, гармонические относительно римановых метрик с особенностями, например, метрик вида ds2 = \(p (w)dw{2, где ip (iu) dw2 — аналитический квадратичный дифференциал, a ip(w) — заданная на Q аналитическая функция.
В частности, если Q = С и ds2 = \dw\2 — евклидова метрика на С (то есть /9=1 или (р = w), то имеем евклидовы гармонические отображения (в дальнейшем просто гармонические), которые согласно (1) являются решениями уравнения Лапласа е2 ш=о. (3) dzdz Случай логарифмической метрики ds2 = \w_1 dw\2 (то есть р = l/\w\ или ip = Ln w) отвечает так называемым логгармоническим отображениям, которые, согласно (1), являются решениями уравнения d2w 1 dw dw dzdz w dz dz и изучались, например, в [1,55].
Отметим, что функции составляющие класс отображений гармонических одновременно относительно всех метрик вида \(p (w)dw\2, где ip — конформное отображение, — суть отображения конформные.
Ясно, что если и — конформное отображение, то оно также и гармоническое, более того ри также конформное, гармоническое и обобщенное гармоническое отображение.
История геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные
подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем, в качестве таких областей обычно берутся канонические области — единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая задача на экстремум относительно заданного непрерывного функционала /[/] в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Д. Гильберта, Г. Голузина, А. Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.
В настоящей диссертации одно из центральных мест занимает впервые рассмотренный К. Каратеодори [26] и О. Теплицем [53] класс С. Кара-теодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы тейлоровских коэффициентов {{{h}i,... ,{h}n)}, n 1 на классе функций h Є С.
Несколько позже Л. Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка {/}2І 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п Є N имеют место точные оценки {/}п п с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области VTl в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (Re{/}2, Im{/}2,..., Re{/}n, Im{f}n), где ({/І2 {/}з • • • j {f}n) — векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций f Є S. Задачи о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру п -тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами К. Каратеодори и О. Теплица о телах коэффициентов функций класса С. Лишь в 1984 г. Л. де Бранж [22] дал полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха.
Проблема описания п -тел коэффициентов Vn и получения коэффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. В 1939 г. X. Грунский получил важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов, называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции. Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузиным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов оо(5):-({/}2Л/}з,..0еС-:{/}п:= ,п = 2,3,...,/€5.
Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [59] и в усиленной форме опубликован в статье [63].
Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [2-7,11,14,16,23,31,32,33,36-39,57], список которой не претендует на полноту.
Понятие квазиконформного отображения возникло во второй четверти двадцатого века в ходе исследований, проводимых М.А. Лаврентьевым, Г. Гретчем и Л. Альфорсом. Идеи, заложенные в работах М.А. Лаврентьева, Г. Гретча и О. Тейхмюллера, получили дальнейшее развитие в трудах Л. Альфорса, П.П. Белинского, Л. Берса, Л.И. Волковыского и привели к созданию глубокой и разветвленной теории квазиконформных отображений с обширными приложениями в гидродинамике. На сегодняшний день на ее основе сформировалась самостоятельная теория пространств Тейхмюллера, имеющая перспективные приложения в современной математической и теоретической физике (солитонике, конформной, калибровочной и струнной теории поля).
Не менее важное место в современной математике занимает теория гармонических отображений, возникшая на основе работ Т. Радо, X. Кнезера
(1926 г.), Г. Шоке (1945 г.). Заметную роль в формировании теории гармонических и обобщенных гармонических отображений сыграли такие математики, как Э. Райх, К. Штребель, Дж. Эле, Л. Лемер, С. Бохнер, Ф. Хартман, И. Ниче, Р. Шен, С. Яо, Ю. Йост, К. Уленбек, П. Дюрен, Г. Шобер, В. Хенгартнер, Дж. Клуни, Т. Шейл-Смолл.
В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла, В. Хенгартнера и Г. Шо-бера, П. Дюрена и В. Хенгартнера, А. Лизайка и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс S. В.Г. Шеретов предложил новый метод исследования классов локально однолистных гармонических отображений — метод структурных формул, связывающих эти классы с классами С и S. С помощью этого метода получены основные результаты второй главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами покрытия и параметрами квазиконформности рассматриваемых отображений.
В развитие теории квазиконформных и гармонических отображений, а также пространств Тейхмюллера большой вклад внесли отечественные математики М.А. Лаврентьев, И.Н. Векуа, Ю.Г. Решетняк, П.П. Белинский, Г.Д. Суворов, Б.В. Шабат, С.Л. Крушкаль, А.Т. Фоменко, В.А. Зо-рич, В.Я. Гутлянский, В.М. Миклюков, И.П. Митюк, Д.В. Прохоров, В.В. Горяйнов, А.Ю. Васильев, В.В. Чуешев, В.П. Чуев, М.С. Иоффе и В.Г. Шеретов.
В настоящее время квазиконформные и гармонические отображения превратились в гибкий мощный инструмент для решения широкого спектра актуальных проблем и задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, теории клейновых групп, пространств Соболева, комплексно-аналитической динамики, а также задач в различных областях математической и теоретической физики. В частности, теория гармонических отображений находит свое применение в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. При этом возможности развития теории гармонических и квазиконформных отображений далеко не исчерпаны, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этих областях.
В этой диссертационной работе выработан общий подход к экстремальным задачам теории гармонических отображений, основанный на исследовании структурных формул. При этом значительная часть результатов продолжает исследования В.Г. Шеретова [61,62,64,65]. Метод структурных формул разрабатывался также К. Каратеодори, И.А. Александровым, В.А. Зморовичем, В.В. Черниковым, В. Хенгартнером и другими [3-5,55].
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения. Нумерация параграфов — сквозная, нумерация формул и утверждений — по параграфам. Обсудим содержание работы.
В главе 1 вводятся и изучаются обобщенные классы Каратеодории. Методом редукции в указанные классы исследуются голоморфные отображения, реализуемые функциями из некоторых семейств, связанных с классом нормированных однолистных функций S. Среди результатов этой главы имеется доказательство аналога гипотезы Бибербаха для классов 5 основанное на упомянутом методе. Получены теоремы покрытия и искажения для разнообразных подклассов звездных функций.
Отметим, что класс Каратеодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге А функций /, не обращающихся в нуль и таких, что \f(z)\ 1. До настоящего времени (уже почти сорок лет) не решена гипотеза Я. Кшижа [27,74] о том, что для любой функции / Є В выполняются точные оценки {/}п 2/е, экстремали которой ассоциированы с ядром К. Шварца. Некоторые результаты по проблеме Кшижа можно найти в [27,28,34,35,40,4254,58,65]. В [54] имеется результат о том, что F(zp), где FW:=exp(-i±). дает строгий локальный максимум для Re{/}p на В. В параграфе 4 настоящей диссертации, на основе идеи В.Г. Шеретова, доказано более сильное утверждение. ТЕОРЕМА 4.1. Функции вида el F(el4 zp), (р,ф Є [0,2п), дают строгий локальный максимум для функционала Ip[f] := {/}р на классе В.
В главе 2 методом структурных формул В.Г. Шеретова изучаются локально однолистные отображения, реализуемые комплекснозначными гармоническими и логгармоническими функциями из некоторых классов. Получены оценки модулей тейлоровских коэффициентов, теоремы покрытия и искажения.
В приложении методами комплексного анализа исследуются геометрические и квазиконформные свойства двумерных гармонических отображений единичного круга комплексной плоскости С в евклидовы пространства R", п 2.
Все представленные в диссертации результаты, за исключением Введения, параграфа 5 и начала параграфа 12, содержащих обзорный и вспомогательный материал, являются новыми.
На заключительной стадии работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 04-01-00368).
Обобщенные классы Каратеодори
Яновского. Класс Каратеодори С состоит из голоморфных в единичном круге функций Н, с нормировкой Н(0) = 1, KeH(z) О, zeA [26,53]. Яновским [66], состоит из голоморфных в единичном круге функций вида сгененерированых функциями u;(,z) Є 0,. При указанных ограничениях на А и В мебиусово преобразование в точках w\ := — и мзч := —, лежащих в правой полуплоскости. Это позволяет определить класс С(А,В) как множество голоморфных функций Н с нормировкой Н(0) = 1, принимающих значения в круге QA,B ПРИМЕР 2.1. Обобщенные ядра Шварца где а Є R, п Є N, дают n-листные отображения единичного круга А на круг QA,B- В дальнейшем мы увидим, что они являются экстремалями для многих задач в обобщенных классах Каратеодори. Например, если Н Є С(А, J5), то {Я"}и А — В, равенство возможно только на функциях FajA,B,n{z) (теорема Каратеодори-Теплица-Яновского). Функции - ,1,-1,1(2) называются ядрами Шварца. Из проведенных перед примером рассуждений сразу следуют две леммы. ЛЕММА 2.1. Пусть h(z) Є С(А,В), тогда для любой точки z Є А имеют место точные неравенства с экстремалями FatA,B,n{z)- Ясно, что нижняя оценка верна и для функции \h(z)\. одного элемента H{z) = 1 и потому неинтересен). Таким образом, последнее ограничение является дополнительным и служит для того, чтобы разным наборам параметров А и В отвечали разные классы С (А, В). Поскольку -ff(O) = 1, то класс С (А, В) очевидно содержится в классе Каратеодори С и, совпадает с ним в том и только том случае, когда А = —В = 1. Отметим еще, что С(А,0) практически не отличается от класса Ct введенного и изученного в 1. Действительно, легко показать, что 1 — W\ = W2 — 1 если и только если В = 0. Здесь уместно отметить так называемые классы Каратеодори порядка си — С(а ), a G [0,1), образованные голоморфными функциями h с нормировкой Keh(z) a, h(0) = 1. Очевидна ЛЕММА 2.3. h(z) Є С, тогда и только тогда, когда выпуклая комбинация То есть формула (2.5) устанавливает биекцию между классами С и С(а). Согласно лемме 2.3 имеем Пусть H(z) Е С(А, В) и D := Н(А). Ясно, что в общем случае множество D С QA,B И, D = QA,B когда UJ(Z) — некоторое голоморфное отображение круга А на себя. Обозначим через С(А, В) множество всех локально однолистных элементов из С(А,В) (всюду далее, в диссертации, "волна" над символом класса обозначает подкласс его локально однолистных элементов). Очевидно, что локально однолистный (конформный) класс Яновского состоит из тех и только тех функций множества С(А,В), которые образованы по формуле (2.1) из локально однолистных функций u){z).
Если Н Є С (А, В), то якобиан J и отображения Н имеет вид 0, множество функций h(z) генерируемых из p(z) по формуле Ясно, что С(А,В,Ь) получается путем гомотетии и поворота С(А, В) относительно точки w = 1, причем Ъ ф О иначе С(А,В,0) = {1} и, неинтересен. Вообще, с тем же успехом, можно считать, что А Є (—1, со), а 6 = 1. Далее где о; Є f2, Л Є С, Л В, иначе С(А ,В) = {1} и, неинтересен. ZQ Є А и фиксировано, на классе С(А,В,Ь) (при фиксированных параметрах) представляет собой круг имеется функция, для которой 1(h) совпадет с наперед заданной точкой в ОА,Н,Ь(2О)- п Из теоремы 2.1 при 6=1 вытекает ZQ Є А и фиксировано, на классе С(А, В) представляет собой круг А 2.2. h(z) Є С(А,В), если и только если функция В частности, h(z) С, если и только если H(z) = l/h(z) Є С. Другими словами, формула (2.4) устанавливает биекцию между классами С{А,В) и С{-В,-А). Далее, ясно, что \А\ 1 и \В\ 1. Иначе, если \В\ 1 функция Н потеряет голоморфность, если же Л 1, то w\ 0 и найдется точка z = ZQ такая, что Reff(zo) $С 0. Ограничение В А эквивалентно выполнению условия 0 гУі 1 Ш2 (при А = В класс состоит из одного элемента H{z) = 1 и потому неинтересен). Таким образом, последнее ограничение является дополнительным и служит для того, чтобы разным наборам параметров А и В отвечали разные классы С (А, В). Поскольку -ff(O) = 1, то класс С (А, В) очевидно содержится в классе Каратеодори С и, совпадает с ним в том и только том случае, когда А = —В = 1. Отметим еще, что С(А,0) практически не отличается от класса Ct введенного и изученного в 1. Действительно, легко показать, что 1 — W\ = W2 — 1 если и только если В = 0. Здесь уместно отметить так называемые классы Каратеодори порядка си — С(а ), a G [0,1), образованные голоморфными функциями h с нормировкой Keh(z) a, h(0) = 1. Очевидна ЛЕММА 2.3. h(z) Є С, тогда и только тогда, когда выпуклая комбинация То есть формула (2.5) устанавливает биекцию между классами С и С(а). Согласно лемме 2.3 имеем Пусть H(z) Е С(А, В) и D := Н(А). Ясно, что в общем случае множество D С QA,B И, D = QA,B когда UJ(Z) — некоторое голоморфное отображение круга А на себя. Обозначим через С(А, В) множество всех локально однолистных элементов из С(А,В) (всюду далее, в диссертации, "волна" над символом класса обозначает подкласс его локально однолистных элементов). Очевидно, что локально однолистный (конформный) класс Яновского состоит из тех и только тех функций множества С(А,В), которые образованы по формуле (2.1) из локально однолистных функций u){z). Если Н Є С (А, В), то якобиан J и отображения Н имеет вид 0, множество функций h(z) генерируемых из p(z) по формуле Ясно, что С(А,В,Ь) получается путем гомотетии и поворота С(А, В) относительно точки w = 1, причем Ъ ф О иначе С(А,В,0) = {1} и, неинтересен. Вообще, с тем же успехом, можно считать, что А Є (—1, со), а 6 = 1. Далее где о; Є f2, Л Є С, Л В, иначе С(А ,В) = {1} и, неинтересен. ZQ Є А и фиксировано, на классе С(А,В,Ь) (при фиксированных параметрах) представляет собой круг имеется функция, для которой 1(h) совпадет с наперед заданной точкой в ОА,Н,Ь(2О)- п Из теоремы 2.1 при 6=1 вытекает ZQ Є А и фиксировано, на классе С(А, В) представляет собой круг ZQ Є А И фиксировано, на классе С представляет собой круг I i-kop ДМ := {I Из следствия 2.1 вытекает уточнение леммы 2.1 имеют место точные неравенства так как из нее и леммы 2.2 можно получить нижнюю оценку. В общем случае, на класс С (А, В, Ь) следствие 2.3 так просто не обобщить, но для случая, когда 0 (2А,В,Ь, можно получить двусторонние оценки типа (2.9).
Связь обобщенных классов Каратеодори с классами локально однолистных отображений
Определение 3.1. Множество всех голоморфных в единичном круге А функций h(z) нормированных условиями /г(0) = 1, h(z) ф О, z Є А называется классом W. Ясно, что класс Каратеодори С содержится в W. Кроме того, как и в С для W справедливо известное свойство: если h Є W, то \/h Є W. Более того, имеет место лемма 3.1. Множество W образует абелеву группу относительно обычной операции умножения функций. Отметим также, что на W имеется мультипликативная структура, но на С ее нет (то есть С не подгруппа W). В то же время на С есть выпуклая структура, а на W ее нет. Действительно, a(z) = (1+z)2 Є W, b{z) = (1 + z2)2 Є W, но h{z) = \{a{z) + b{z)) & W так как h(z0) = 0, где ZQ « -0.41 + 0.69 і. Напомним, что множество всех локально однолистных конформных в А отображений f(z) с нормировкой /(0) = 0, / (0) = 1 называется классом S. Подмножество функций из S таких, что f(z) = 0 если и только если z = 0 называется классом SQ. где h Є W, / Є SQ, устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами VV и SQ. доказательство. 1. Пусть / є S0, тогда h є 7іо(А), и h(0) = 1, h(z) ф 0, 2 Є А (особенность в начале координат считаем устраненной). 2. Обратно, пусть h G W. Находя решение w = f(z) уравнения Из леммы 3.1 и теоремы 3.1 вытекает, что класс SQ образует коммутативную группу с операцией индуцированной из класса W формулой (3.1). Другими словами, группы W и So изоморфны. Возникает вопрос о совпадении классов S и SQ. Ответ на него дает пример 3.1. Функция где v = (3 + 4г), принадлежит классу S, но не принадлежит классу SQ. Поэтому соответствующая ей функция h(z) не содержится в W, так как является уже мероморфной. определение 3.2. Множество всех функций из W, Тейлоровские коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам {/г}п 2, п Є N, называется классом W2. определение 3.3. Множество всех функций из 5 о, тейлоровские коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам {/}п п и Є N, называется классом SQ. пример 3.2. Нетривиальные примеры функций класса W можно получать перемножая или возводя в степень функции класса С. Например, С, а их квадраты принадлежат W, но не принадлежат С. Из способа построения очевидно, что тейлоровские коэффициенты таких функций могут быть произвольно велики (например, на классе \h2{z) : h Є С} имеем {/i}n 4п). В данном случае только a2(z) Є W2 и только соответствующая ей по формуле (3.1) функция принадлежит SQ . пример 3.3. Функция f(z) = z + z2 + z3/3 принадлежит SQ, HO не принадлежит S. Соответствующая ей функция h(z) содержится в W1. При этом функция y/h(z) Є С. определение 3.4. Множество всех голоморфных в единичном круге А функций h(z), генерируемых функциями f(z) Є S, называется классом Ws
Пример 3.2 и простые рассуждения дают утверждение 3.1. Множества W и Ws получаются из множества С при помощи групповой операции на W. Ясно, что класс Каратеодори С содержится в Ws, a Ws содержится в W. Более того, у этих классов много общего (более точно — ровно столько, сколько общего между классами S и S ). Согласно теореме Сеге если h Є Ws, то Равенство возможно только на ядрах Шварца (функциях класса Каратеодори). Ясно, что это неравенство верно также и для l//i(,z). Поэтому возникает вопрос: если h Є Ws, то \/h Є Ws? Ответ отрицательный, о чем говорит пример 3.4. Функции hx{z) = (l+gin)2 и l//ii(z), h2{z) = (1+1)5 и 1//і2{z), пЄМ принадлежат Wsn\s Функция h-A(z) = (1 - і)7/6 принадлежит Ws\s , но l/hs(z) —нет Так как 5 С So, то ИЗ теоремы 3.1 и определения класса Ws сразу следует следствие 3.1. Формула (3.1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами Ws и S. Для полноты отметим, что из условия звездности функций класса S и следствия 3.1 следует, что справедлива известная теорема [5] следствие 3.2. Формула (3.1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами С и S . ПрИМЕР 3.5. Функция h(z) = l + zn Є С, следовательно, соответствующая ей по формуле (3.1) функция F(z) = zexp(zn/n) Є S , n Є N. где v = (3 + 4г) принадлежит классу S, но не является даже звездной. Соответствующая ей функция h(z) принадлежит Ws и W2. доказательство следствия 3.1, не опирающееся на теорему 3.1. В дополнение к пункту 2 доказательства теоремы 3.1 нужно еще доказать однолистность /. От противного. Предположим, что существуют две ТОЧКИ Z\ И Z-2 такие, что z\ ф 0, zi ф 0 и z\ ф Z2, но f{z\) = /(). Тогда имеем по всякому не проходящему через начало координат пути соединяющему точки z\ и Z2. По формуле Коши где 7 — простая замкнутая кривая охватывающая начало координат и проходящая через точки z\ и . Итак, нами получено противоречие. Из геометрических соображений очевидно, что справедлива ЛЕММА 3.2. Функция / Є S если и только если функция Из леммы 3.2 вытекает лемма 3.3. Функция h(z) Є Ws если и только если функция Действительно, по формуле (3.1) имеем W и SQ. Экстремальными во многих задачах для однолистных отображений являются обобщенные функции Кебе и аЄІ, neN ассоциированные с обобщенными ядрми Шварца (2.2) по формуле (3.1). Пусть h W2. Заметим, что из формулы (3.1) следует, что Согласно классической теореме Бибербаха {/Ы 2. Следовательно, {/ЬК2 = {/г}іК2. Далее, при n 2 где {/}і := 1. Поэтому предполагая по индукции, что {/Ы &, & 3, получим, что {/}п п, п Є N. Итак справедлива теорема 3.2. Если функции f и h связаны формулой (3.1), то на классе h Є W2 {/}п п- п Є N. То есть имеет место включение (J / С .. Более того {/}2 2 = {Л}і 2. /iGW2 "сли функции f и h связаны формулой (3.1), mo wa классе h Є W1 {/}п 15 п Є N. То есть имеет место включение (J / С Sg. Более heW1 того, {/Ы 1 = IWiKl 5се перечисленные неравенства точны. Экстремальными функциями являются обобщенные функции Кебе при соответствующих А и В.
Некоторые классы гармонических и логгармонических отображений
Теория гармонических отображений развита много лучше, нежели теория логгармонических. Поэтому разумно, там где это возможно, перенести некоторые результаты. В этом направлении можно продвинуться, например, используя формулу (5.6), устанавливающую изоморфизм между классами Ті и С . Как известно, комплекснозначная гармоническая функция и в круге А представима рядом Класс SVH, при фиксированном р Є [0,1) состоит из всех гармонических, сохраняющих ориентацию локально однолистных отображений и круга Д с нормировкой и(0) = 0 (а(0) = 0, 6(0) = 0), uz{0) = 1 (а (0) = 1), и (0) = \b (0)\ = \{b}i\ =: р. Такие функции допускают представление Из свойства сохранения ориентации следует, что Рассмотрим подкласс S% функций и Є S , таких, что us(0) = 0 (b (0) =0). Известно [29], что аффинные отображения исчерпывают все гармонические однолистные отображения С на С. При помощи вспомогательного преобразования (6.4) от функции и Є S можно перейти к функции U[) Є 5# по формуле откуда следует обратная формула Формула (6.6) позволяет обобщать многие свойства и» на Он Заметим, что известный класс S однолистных функций и Є Tto{A) с НОрМИрОВКОЙ и(0) = 0, и (0) = 1 СОДерЖИТСЯ В Stf. Введем в рассмотрение голоморфную функцию ассоциируемую с каждым отображением и класса SJJ . Так как и S , то J[/ := \U (z)\2 0, z Є А. Накладывая на функцию U различные дополнительные ограничения, можно выделять подклассы класса 5 . Потребовав, например, чтобы U Є S, получим класс S , изученный Ше-ретовым [62,64]. Клуни и Шейл-Смолл [29] изучали класс Su(А) однолистных элементов из Sfj [62]. логгармонического отображения. Как уже упоминалось, для любой функции / из (Д) существуют голоморфные в Д функции д и h такие, что f — gh. Их тейлоровские разложения в круге Д определяют коэффициенты отображения /. То есть произвольная логгармоническая функция / представляется рядом а ее логарифм u := In/ представим рядом вида (6.1). Коэффициенты этого ряда называются логарифмическими коэффициентами функции /. Пусть / = gh Є (Д), тогда In/ = \пд + \nh Є {(А). Согласно классической теореме Г. Леви, якобиан сохраняющего ориентацию гармонического отображения In/ в ноль не обращается, то есть Если потребовать, чтобы F(z) ф 0, то согласно (6.8) и (6.9) получим, что Jf 0, то есть функции / и F — локально однолистны в А, так как Другими словами для логгармонических отображений имеет место аналог теоремы Леви: ТЕОРЕМА 6.1. Якобиан сохраняющего ориентацию логгармоническо-го отображения в ноль не обращается. Из проведенных рассуждений видно, что эта теорема справедлива и для любого сохраняющего ориентацию обобщенного гармонического отображения. Итак, беря F из различных классов голоморфных локально однолистных не обращающихся в ноль в А функций, можно получить различные же классы сохраняющих ориентацию локально однолистных логгармонических отображений. .3. Классы CvLh. Напомним, что класс Каратеодори С (А) (2) состоит из голоморфных в единичном круге функций H(z) с нормировками Я(0) = 1 и ReH{z) 0, zeA.
В полном соответствии со сказанным в последнем абзаце предыдущего пункта возьмем F из локально однолистного класса Каратеодори С. Полученное семейство функций будем в дальнейшем обозначать символом CvLh. Итак, CpLh — семейство всех сохраняющих ориентацию комплекс-нозначных локально гомеоморфных отображений единичного круга А, представимых в виде / = gh, где g,h Є %ol{A) с нормировкой /(0) = 1 (0(0) = 1, h(0) = l), /И0)= р (\9 (0)\ = \Ш=:р), о р 1/,(0)1, и такие, что F Є С. Функция / = gh класса CpLh имеет вид Отметим в заключение, что С (А) есть подкласс класса (7ft(A). Действительно, если / Є С (А), то она допускает очевидное представление / = ї/ Є Идея метода структурных формул [62,64] заключается в редукции задач в класс Каратеодори и другие классы аналитических функций. Для вывода интегральной структурной формулы воспользуемся новым методом, предложенным в работе [64]. Так как в силу (6.12) \gh + g h\ \gh \ - \g h\ О, то дЫ + g h ф О, F = ghC, а Н Є С. Обратно, пусть F Є С, Н Є С. Тогда из системы находим gh + # /i = F , gh - g h = F H и, далее gh = \{l + H)F , g h = \{l - H)F откуда, так как F{z) ф 0, z Є А, Так как ЯеЯ О и ReF О, то Н ф О и F ф 0 в Д, кроме того, F ф 0 в Д согласно (6.12), следовательно, Ы ф О в Д. Очевидно также, что /(0) = 0. Полагая определим функцию / = gh, которая, очевидно, принадлежит C h- Таким образом, доказана пара функций F Є С и Я Є (7, определяемых по формулам (6.11) и (7.2) соответственно. Обратно, любая пара элементов F Є С и Я Є С порождает отображение f Є C h по формуле Отметим, как крайний случай, что если Я = 1, то / = F Є С (g = 1, h = F). Разумеется при таком выборе Я и F структурная формула становится бесполезной.
Оценки коэффициентов квазиконформности
Рассмотрим задачу об оценке коэффициента квазиконформности лог-гармонического отображения / класса (7 ( 4,.6), элементы которого представимы по формуле (7.5) с генераторами F Є С и Н Є С {А, В). Одновременно с этим мы решим задачу об оценке коэффициента квазиконформности гармонического отображения и класса S (А,В), элементы которого представимы по формуле (7.7) с генераторами U S и Н =С{А,В). Вычисляя при помощи формулы (7.5) или (7.7) комплексную характеристику [і отображения / или и имеем Следовательно, ее модуль не зависит от F или U. Прямой подсчет показывает, что наименьший неевклидов круг Qr с центром w = 1, содержащий множество Dr := Н(Аг), где Аг это круг {z : \z\ г}, 0 г 1, является прообразом круга \z\ к (г) относи тельно мебиусова преобразования z — , где Величина &(г) := /ІДГОО есть существенная норма комплексной характеристики ц отображения fC h(A,B) или и Є Sfj(A,B) в круге Аг, О r 1. Далее, к(г) 1, 0 г 1, и &(1) = 1, если и только если А = 1 или Б = —1. Следовательно, sup \fi(z)\ = k(l) 1, при Аф\ и В —1, то есть в этом случае &(1) есть дилатация отображения / или и. Стало быть, справедлива ТЕОРЕМА 10.1. В каждом круге Дг, при 0 г 1, произвольная функция f eClh{A,B) или и Є S fj(A, В) является k(r) -квазиконформной, где k(r) определена формулой (10.1), причем равенство не зависит 1 + Aeiazn от выбора F Є С или U Є S и достигается при H(z) — ——. , v l + Beiazn где аЄІ, п Є N (смотрите пример 2.1). Если f Є CQLh{A,B) или и Є S%(A,B), то при А ф 1 и В ф -1, коэффициент квазиконформности K[f] или К[и) равен где к определено формулой (10.1). Из определения логгармонического отображения и утверждения 13.1 пункта 13.1 следует УТВЕРЖДЕНИЕ 10.1. Характеристика Лаврентьева pf отображения f Є CpLh субгармонична. Отметим, что почти все резултаты о квазиконформности не зависят от того, какие отображения мы рассматриваем гармонические или логгармо-нические. Это высказывание справедливо и для остальных обобщенных гармонических отображений. Как уже говорилось в пункте 7.2, из вида комплексной характеристики /i(z) отображения /им следует, что генератор Н управляет некоторыми квазиконформными свойствами / и и (характеристика Лаврентьева p(z) и коэффициент квазиконформности K(f) и К(и) зависят только от Н), кроме того, / и и есть отображение типа Тейхмюллера. Нули ассоциированного с и квадратичного дифференциала Хопфа зависят только от Н. 11.1. Теорема покрытия в CL . Рассмотрим задачу о вычислении обобщенной константы Кебе для класса С , то есть неевклидового радиуса наибольшего открытого круга с неевклидовым центром в точке w = 1, целиком содержащегося в некоторой однолистной подобласти V римановой поверхности /(А) любой функции / Є Сн и содержащей / -образ достаточно малой окрестности начала координат. Выделим достаточно узкий класс Cs С С С С С CvLh однолистных функций, допускающих в круге А разложение ПРИМЕР 11.1. Определив для каждого є 1 соответствующее отображение рє(г) := 1 + EZ Є С Si видим, что f] рє(А) = {1}.
Итак, задача о покрытии в классах Cft, C h и Cs — тривиальна и, круг покрытия вырождается в точку. Ситуация становится иной, если рассматривать эту задачу в классах CJJI функций, имеющих интегральное представление (7.5) при F Є Са, Н Є С. Множество Са было изучено в пункте 2.3. Построим звездную (в логарифмической метрике) относительно точки w = 1 однолистную подобласть D римановой поверхности /(А), образуемую отрезками Хц, неевклидовых лучей, выходящих из точки W = 1 под полярными углами ц Є [0,2л-). Если 1 не совпадает со всем лучом, то его отличный от точки w = 1 конец является граничной точкой ри-мановой поверхности и не принадлежит D . В общем случае риманова поверхность /(А) многолистна над С, и множество точек на ней, имеющих полярную координату /?, представляет собой конечное или счетное объединение попарно не пересекающихся на /(А) полуоткрытого и открытых интервалов соответствующего луча. В качестве lv выбирается полуоткрытый интервал, имеющий общие точки с / -образом достаточно малой окрестности начала координат. Пусть WQ — ближайшая к образу начала координат точка границы множества D , L := 1 р0 = [1,гио) Є D ; f l(L) —прообраз неевклидова отрезка L при отображении /. Рассмотрим параметрическое уравнение W(S,WQ) = s f dt/t, 0 s 1, W(S,WQ) Є D , промежутка L и окружность 7r(0) := {\z\ = г}, где г = \f 1(w(s,wo))\, s Є [0,1), и в качестве /_1 взята ветвь обратной к / функции с областью определения D и нормировкой /_1(1) = 0. Обозначим через Ls отрезок на L с концами w = 1 и W(S,WQ) и положим Xr := /-1(LS). Вычисления с использованием формулы (7.5) и учетом положительности якобиана Функция к (t) вводилась в предыдущем параграфе, сейчас нас интересует случай А = — В = 1. Воспользовавшись неравенствами (2.3), теоремой 2.6, теоремой 10.1, и точной оценкой имеем Переменные г и s стремятся к единице одновременно, поэтому имеет место окончательная оценка Эта оценка точна, равенство в ней достигается, например, на функции о где Таким образом, доказана 1 - 2 In 2 ТЕОРЕМА 11.1. При а - « 0.88 обобщенная константа jj — 4 In 2 .Кебе для классов Сь положительна и равна 11.2. Теорема покрытия в Sfj (A,B). Рассмотрим теперь зада-чу о вычислении обобщенной константы Кебе для класса 5 (А, В), состоящего из функций полученых по формуле (7.7) с парой генераторов U Є S (Л, В) и НеС{А,В). Вычисления (аналогичные проведенным в предыдущем пункте) с использованием формулы (7.7) и учетом положительности якобиана
