Введение к работе
А.
Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Доказанная 1907 г. П.Кебе теорема о существовании круга, покрываемого образами
[иничного круга ={z:|z| ными функциями f(z) = z+c2(nz2+...+c„(f)z"+... х совокупность образует класс S), стимулировала рост интереса к экстре-шьным задачам геометрической теории функций. Л.Бибербах, основываясь і внешней теореме площадей, доказал в 1916 г., что радиус круга, указанно-> Кебе, равен 1/4. В более поздней работе Л.Бибербах дает точную оценку эдуля функции и модуля производной на классе S и .неточную оценку аргу-;нта производной. Точная оценка arg/'(z) на классе S была получена М.Голузиным [1] н И.Е. Базилевичем [2] и составила содержание теоремы )ащения. Доказательство основывалось на методе, предложенном в 1923 г. .Лёвнером [3] и, в частности, на выведенном им уравнении для семейства гображений на плоскость с разрезом переменной длины, идущем го беско- ЇЧНОСТИ. Создание вариационных методов М.А.Лаврентьевым [4], М.Шиффером J, Г.М.Голузиным [б], метода площадей Н.А.Лебедевым [7], метода сим-етризащш И.П.Митюком [8], В.Н.Дубиныным [9], метода ортогональных ногочленов И.М.Милиным [10], разработка этих методов и их применений ногими авторами качественно изменило содержание теории экстремальных ідач на классах однолистных функций (см. обзорную статью И.Е.Базилевича книге «Математика в СССР за сорок лет», статью Н.АЛебедева, .В.Кузьминой, Ю.А.Аленицына [11], статью И.А.Александрова, .М.Милина [12]). Были доказаны теоремы об экстремальных функциях от-эсительно функционалов и ігх систем общего вида. Оказалось, что во многих гучаях экстремальные функции отображают каноническую область на плос-эсть с разрезами. Отсюда следовало, что их можно рассматривать как предел гшеннй уравнения Левнера с соответствующей управляющей функцией. Важное место заняли предложенные П.П.Куфаревым и Н.А.Лебедевым етоды, объединяющие метод параметрических представлений Лёвнера и етод вариаций Голузина. Их развитию и приложениям посвящены работы [.П.Куфарева, И.А.Алексзндрова, В.В.Горяйнова, В.Я.Гутлянског6, 1.И.Редькова, В.В.Черникова и других авторов. Были найдены мажорантные бласти значений для многих функционалов, причем в большом числе рас-мотренных задач они оказались совпадающими с областями значеїшй ссот-гтствующігх функционалов. Вопрос о представлении в явном виде гранич-ых функций был решен лишь для небольшого числа задач, поскольку он казался, вообще говоря, очень сложным. И.А.Александров, С.А.Копанев, В.И.Попов в работах [13], [14] указа примеры эффективного использования метода параметрических лредставі ний и теории оптимального управления Понтрягина, Глубокое исследован в этом направлении проведено Д.В.Прохоровым [15]. Метод параметрических представлений Лёвнера, позволивший еще 1923 г. доказать точную оценку |с3(/)|<3,/є5, и тогда же дать точні оценки коэффициентов разложения по степеням w функций z = /'х (\v), с ратных функциям класса S, был применен В.И.Поповым [16] к исследоваш системы функционалов 1 * f(2)f на классе S. Были получены важные теоремы о строении границы в R4 мн жества значений этой системы. В частности, указаны семейства прямолине ных отрезков, принадлежащих границе. Замечательное применение метода Лёвнера было дано Луи де Бранжс [17] при доказательстве справедливости гипотезы И.М.Милина [10], стр. 72, логарифмических коэффициентах и, как следствие, при получении нераве ства |с„(/)|<и, /eS, n-3,4,..., составлявшего до работы Бранжа содерж ние гипотезы Бибербаха, высказанной в 1916 г. Отметим, что исследовани связанные с привлекательно простой формулировкой гипотезы, способств вали развитию методов геометрической теории функций и существенно об гатили ее. Проблемой коэффициентов занимались многие видные математ ки: Литтлвуд, Дьедонне, И.И.Прішалов, К.И.Бабенко и другие. Достаточі подробно история исследований освещена в работах Фитцжеральда и Помм ренке [18], О.М.Фоменко, Т.В.Кузьминой [19], И.А.Александров И.М.Милина [12]. В доказательстве, предложенном Бранжем, важную.роль выполняют нею торые экспоненциальные многочлены. Эти многочлены Бранжа, монотонг убывающие до нуля на положительной части вещественной оси, тесным о( разом связаны с решением уравнения Лёвнера с постоянной управляюще функцией, и они заслуживают изучения в рамках метода параметрическої продолжения средствами математического анализа, дифференциальных урш нений, теории ортогональных многочленов. Большое место в практике конформных отображений занимают отображі ния многоугольников, определяемые с помощью формулы Кристоффел) Шварца, относящейся к классическим результатам теории функций kon плексного переменного. В внекоторых вариационных задачах такие функци оказываются экстремальными. Поэтому они, а также другие функции с отнс сительно простым геометрическим огшсанием, составляют предмет углуС ленного изучения. В частности, достаточно сложной оказывается задача пс строения лёвнеровских семейств функций, сходящихся к данной функции, указания соответствующей управляющей функции. Некоторые результаты .в этом направлении получены Базилевичем, Куфаревым, Г.Д.Садритдиновой и другими авторами, занимавшимися задачами интегрирования уравнения Лёвнера в различных постановках. Цель работы. В данной диссертационной работе, посвященной исследованию геометрических и экстремальных свойств классов однолистных аналитических функций одного комплексного переменного, основными направлениями исследований являются: указание тех управляющих функций в уравнении Лёвнера, которым соответствуют экстремальные функции в теореме вращения и аналогичных теоремах относительно других простейших функционалов на классе однолистных голоморфных в круге; указание связи полиномов Бранжа с решениями уравнения Лёвнера с постоянным управлением; вывод формулы для производящий функции для полиномов Бранжа; вывод формулы типа Кристоффеля-Шварца для конформного отображения полосы (полуплоскость) на специальные области с симметрией переноса. Методы исследования. Основные результаты диссертации доказаны с использованием различных методов геометрической теории функций, теории дифференциальных уравнений: вариационных методов, параметрического метода Лёвнера, оценок интегралов, нахождения решений дифференциальных уравнений посредством нахождения интегрирующих множителей и др. В работе развивается метод параметрического представления и находятся новые приложения идей, использованных Кристоффелем и Шварцем при выводе общей формулы для отображения круга на многоуголышк. Научная новизна и практическая значимость. Результаты, представленные в диссертации, кроме введения и частично 5, а также некоторых подготовительных результатов в 1,2, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами. Основными результатами, выносимыми автором на защиту, являются следующие: Получены экстремальные управляющие функции в уравнении Лёвнера в теореме вращения на классе S голоморфных в единичном круге однолистных нормированных функций. Посредством интегрирования уравнения Лёвнера с этими управляющими функциями найдены лёвнеровские семейства, сходящиеся к экстремальным функциям в теореме вращения. Найдены экстремальные управляющие функции в уравнении Лёвнера в задачах о множестве значений на классе S функционалов, характеризующих поведение функций и их логарифмических производных и доказана точность соответствующих оценок Грунского. Установлена связь между решениями уравнения Лёвнера с постоянным управлением и экспоненциальными многочленами Бранжа, участвующими в данном им доказательстве гипотезы Милина и гипотезы Бибербаха. Получена производящая функция для полиномов Бранжа и их представление в виде сумм ортогональных полиномов Якоби. Выведена формула, аналогичная формуле Кристоффеля-Шварца, для функции, конформно отображающей полосу на область с симметрией переноса и с границей, составленной из отрезков и лучей. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по геометрической теории функций в Томском государственном университете, на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г.Решетняка (30 августа-3 сентября 1999 г., г.Новосибирск), в школе-семинаре, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (13-18 сентября 1999 г., г.Казанъ), на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» (20-22 апреля 2000 г., г.Москва, МГУ), на XXXVIII Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященный 100-летию со дня рождения основателя Сибирского отделения РАН академика М.А.Лаврентьева (10-14 апреля 2000 г., г. Новосибирск, НГУ), на IV Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике, посовященном 100-летию со дня рождения академика М.А.Лаврентьева (26-30 июня 2000 г., г. Новосибирск). Основные результаты автора опубликованы в работах [20]-[28]. Все результаты из совместных статей, используемые автором в тексте диссертации, получены им самостоятельно. Структура работы. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, трех глав (разбитых на параграфы), библиографии, оглавления и изложена на 80 страницах. Библиография диссертации содержит 79 наименований.
Похожие диссертации на О некоторых экстремальных и геометрических задачах теории отображений
