Введение к работе
Актуальность гены. Основы теории квазиконформных ото -Зражекий на плоскости были заложены ещэ в 20-30-е года Гре-іем Г. и Лаврентьевым И.А. В работах Альфорса Л., Берса Л,, fexro 0., Геринга Ф.У., Вэкуа И.Н., Боярского Б.В., Лаврен-сьвпа М.А., Белинского П.П., Иабата Б.В., Суворова Г.Д., Ре-петняка Ю.Г. и других авторов били изучены фундаментальные звойства квазиконформных отображении и некоторых их обобщений, і также обнаружены интересные приложения Ко многим разделам ювреме иного анализа.
Настоящим прорывом г этом направлении стала новая теоре-ia сушес* вования и единственности для уравнения Бедьтрами , доказанная в 1988 году Давидом Г. Она дала ноаный импульс да-гьненшям исследованиям обмих гомеоморфизмов плоскости. В аяк ісслвдопаниях ключевую роль играет знаменитая лемма Геринга-Гехто о дифференцируемости. Вопросы компактности классов Да-іида начали изучаться Іукиа П. (19'Л).
Уникальность уравнения Белы рами в геометрической теорш [ифференциалькьк уравнении состоит и том, что еыу удоплетво-іяег любой сохраняющий ориентации гомеоморфизм плоскости с >бобшеншми произподннми. Таклм образом, при аналитическом юдходе к изучению топологических соображений центральным вляетея вопрос о связи кооффициентв уравнения Бэльтрами с го решением. Поведение от ой характеристики при локально рае-:омерно(! сходимости отображений имеет очень сложную природу, то обусловлено тем, что уте в простейших случаях решение равнения Бсльтрами связано с комплексной характеристикой поре дет в см нелинейного преобразования, в котором к телу же за-ействокгн оингулярнні оператор типа Кпльдерсна-Зигмуцпа -ак называемое комплексное преобразование Гильберта, нменуе-ое также иногда преобразованием Альфорса-Борлинга. BvpcrjEO-ие'еллиптичности, имевшее место а условие теореми Давида, да более усугубляет трудности и практически исключает пряне КОТПДН НССЛеДОГІїПИІГ.
Вопросы сходимости и компакт ногти всегда занимали, одно з цеш раямтх мпст п тнгріш ктюиксифгрмппх січ;бра*і?Н(іА. рг-диі н'інбглое иивсч-тннх попультатон в етом тнрчм.'итч "ле-
УГТ 'П'НГП'І'ТЬ Т?ор."МН СгОІШМ'Ч'ТИ ІУ'рСЧ-БО -ПККСГП (ИТ)7) ,
Шгребеля (1969) и Леншингера (1974), а та.лке теоремы компактности Лесина 4969) и Шиффера-Шобера (1978).
Одним из вакных приложений теорем компактности является теория вариационного метода. Дело в J ом, что в компактных классах всегда гарантируется сушестпованк.3 экстремальных отображений для любігх непрерывных, в том числе, нелинейных (функционалов. Иначе, как отмечались в сравнительно недавно вышед-пей монографии Крушкаля С.Л. и Кюнау Р. (1904), вопрос о су -чествовании экстремали становится чрезвычайно тпудным.
Вариационный метод исследования екстремальних задач для квазиконформных отображений был впервые применен Белинским П.П. Этот метод получил свое развитие в работах Кюнау Р., Крушкаля С.Л., Гутлянского В.Я., Ренельта Г., Мак Ливи Дк.О. и других авторов.
Другим, довольно неожиданным, приложением теорем сходимости и компактности оказагись исследования локального поведения квазиконформных отображений. В связи с этим напомним, что различные вопросы дифференцируемости отображений изуча -лись в работах Тейхмшшера 0., Виттиха Г., Белинского П.П., Лехто 0., Paflxa Э., Волькаака Г., Боярского Б.В., Иабата Б.В., Трохимчука СЮ. и многих других.
Все скапанное говорит о необходимости дальнейшего изучения вопросов сходимости и компактности для квазиконформных отображений и их обобщений.
Цель работы. Создать стройную и завершенную теорию сходимости и компактности для квазиконформных отображений и их современных обобщений на плоскости и продемонстрировать возможности ее приложений к теории вариационного мето;.а, уравнениям математическое физики и исследованиям локального поведения отображений.
Обпие методы исг'^л/івания. Наряду с традиционным методом теометрической интерпретации широко используются методи обтіей топологии и абстрактных пространств со сходимостями Фреше-Уры-сона, выпуклого анализа и теории измеримых семейств множеств* функционального анализа и теории меры.
Научил я новизна. Получг-н ряд нових (фундаментальных теорем сходимости:
5) теорема 'І о нолуноыреркрмогп!! дилаттши гомеоморфизмов класса ,/!-С ;
-
теорема 2 об области значений и множестве хорошей аппроксимации предельной комплексной характеристики для Q(Z)-квазиконформных отображений с локально суммируемой Q (Z) >
-
теорема 3 о необходимых и достаточных условиях сходимости нормированных *2fH) -квазиконформных отображзнмй с
Q(Z) > удовлетворяющей условию Давида.
В качестве следствий получены усиления и обобщения тео-. рем сходимости Іітребелл и Берса-Боярского для (^(2)Є^- .
Впервые, в терминах преобразования Фурье комппексных характеристик, построены метрики, генерирующие локально равномерную сходимость нормированных СЗ(2Г)-и.к. отображения для Q(Z) с условие.., Давида. Етот результат является новым и для <<2 -к.к. отображений.
Исследованы клаосы *чр-к.к. отображений с ограничениями на комплексные характеристики общего теоретико-множест-венного вида при Q(Z) > удовлетворявшей условии Давида. Установлены:
-
теорема 4 о замыкании нйкемпактных классов;
-
теорема 5 о необходимых И достаточных условиях компактности;
3) вариационный принцип максимума (теорема 6).
Аналогичные результаты полу чет для классов с гграниче-
ііиями общего интегрального вида на дилатацив (теореми 7-9), В качестве приложения теорен сходимости и компактности, цетально изучена так называемая дилеренцируеыость отображения в течка по Белинскому (теореми 10-12 и следствия из них). Практическая ценность работы. Результати диссергашш ыо-ут быть испольэсланы при изучении различных вопросов сходи-іости и компактности для квазиконформных отображений и их обобщений, в теории вариационного метода, при исследованиях юкальисго поведения отображений, при описании агнмптотичео-(й конформних кривюс, а также при доказательстве теорем су -іесзрования и представлении решений нексторнх уравнения на -"ематичепкой физики,
Апробация работы. Результати дисеєрсапин апробировались w Донецких коллоквиумах по теории квпзикшф-.рмкнх отображо-шй, ее обобщениям и приложениям' (1980, І90Й, і WW, 19Ж, (гжецк), Нсяроігзні'і'і ніколи пп комплекснім методам в мэдгматл-
ческой физике (1984, Донецк), Международной'конференции по комплексному анализу и его приложениям (1985, Варна), Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Ї988, Новосибирск), Международной конфереііции по комплексному анализу и Y1! Румынско-Финском семинаре по комплексному анализу (1993, Тикипгуара), семинарах по теории функций при ИМ СО АН России (рук.акад.Решетняк KJJ'.), ИМ им.В.А.Огєклова АН России (рук.акад. А.А.Гончар), ИПММ АН Украины (рук. д.ф.-м.н. Гут-лянский В.Я.), ИМ АН Украины (рук. д.ф.-м.н. Гамразов П.М.), ИМ АН Польши (рук. акад. Боярский Б.В.), Технический университет, Берлин, 1992 (профессор ГЪмиеренке Хр., Беккер Й.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах, список которых приведен в конце автореферата . Две из этих работ опубликованы совместно с профессором Гут -лянским В.Я.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, 4 приложений и списка литературы. (229 наименований). Обший объем диссертации составляет 281 страницу.
