Содержание к диссертации
Введение
1. Область с симметрией переноса 15
2. Отображение с симметрией переноса 17
3. Формула Пуассона. Формула Шварца 22
4. Дифференцируемость левнеровского семейства отображений по параметру 29
5. Уравнение Левнера 36
6. Примеры 38
7. Интегральное представление отображения и ее производной 45
8. Функционалы, связанные со значениями отображений в фиксированной точке 48
9. Функционалы, связанные со значениями производной в фиксированной точке 54
10. Интеграл Кристоффеля-Шварца 60
11. Библиография 67
Список теорем 77
Литература 80
Список научных трудов Л.С.Копаневой 84
- Отображение с симметрией переноса
- Дифференцируемость левнеровского семейства отображений по параметру
- Функционалы, связанные со значениями отображений в фиксированной точке
- Интеграл Кристоффеля-Шварца
Введение к работе
Актуальность темы. Краткие исторические сведения.
Начало применению геометрического направления в теории голоморфных отображений было положено знаменитой теоремой о конформном изоморфизме односвязных областей, сформулированной Бернхардом Риманом в 1851 году в его докторской диссертации «Основы общей теории функций комплексной переменной» [29]. С того времени конформные отображения становятся и остаются до сегодняшнего дня одним из основных математических методов решения задач гидро- и аэродинамики, механики сплошной среды, теории упругости, многих разделов физики. Выявление возможности использования методов конформных отображений при решении экстремальных задач и возможность использования методов решения экстремальных задач в теории конформных отображений, установление нелинейности множества однолистных отображений и работы Кебе [20],[21] в начале прошлого столетия привели к созданию геометрической теории функций комплексного переменного, которая является одним из основных направлений современных математических исследований. В настоящее время имеется немало различных методов решения экстремальных задач в различных классах однолистных голоморфных отображений. В книге Г.М.Голузина "Геометрическая теория функций комплексного переменного" 1966 года издания (дополнение) называется восемь методов. Одним из основных и эффективных методов является метод, восходящий к основополагающей работе К.Левнера 1923 года [26] и получивший название метода параметрических представлений (параметрический метод). С различными обоснованиями этого метода и его применениями можно познакомиться по книгам Г.М.Голузина [15], В.К.Хеймана [33], И.А.Александрова [1]. С другими методами, созданными для решения экстремальных задач, такими как вариационно-геометрический метод, метод площадей, метод внутренних вариаций, метод квадратичных дифференциалов, метод интегральных представлений и другими можно познакомиться по книгам и работам Г.М.Голузина [15], И.А.Александрова [2], Н.А.Лебедева [25], В.Н.Дубинина [19], И.М.Милина [28], В.Я.Гутлянского [16], М.Шиффера [34],[35], Дж.Дженкинса [18], К.И.Бабенко [10] и другим. Необходимо отметить большой вклад Томской школы математиков в развитии большинства из упомянутых методов, в создании новых объединенных методов и в решении многих трудных задач в геометрической теории функций. Отдельные этапы исследований этой школы отражены в докладе П.П.Куфарева на Третьем Всесоюзном математическом съезде в 1956 году [24], в дополнении к книге Г.М.Голузина [15] и монографии И.А.Александрова [2]. Это, прежде всего, вариационно-параметрический метод П.П.Куфарева [22].
Как правило, экстремальные задачи рассматриваются для отображений, заданных в единичном круге. В то же время некоторые вопросы механики сплошных сред, интерполяционные проблемы в теории голоморфных отображений и другие задачи вызвали интерес к рассмотрению полуплоскости в качестве канонической области определения. При рассмотрении экстремальных задач на классах однолистных голоморфных отображений большой интерес представляют классы отображений с дополнительным условием симметрии множества значений (симметрии относительно вещественной оси, симметрии вращения, симметрии переноса и другие). Несмотря на определенные успехи и большие усилия многих математиков, исследование класса S отображений с р-кратной симметрией вращения остается трудной задачей. В работе [7] решена задача об относительном росте модуля отображения и модуля производной в классе S, при этом как следствие получены на единой основе результаты Г.М.Голузина [14], Р.Робинсона [30], Д.Дженкинса [18], В.Я.Гутлянский [17] получил точные оценки arg/' в классе Sp, а И.А.Александров и Г.Д.Садритдинова [8] нашли экстремальные отображения в этой задаче. И.Е.Базилевичем [11] исследованы множества значений систем начальных коэффициентов для ограниченных отображений из класса S . В кандидатской диссертации
Л.М.Бер [12] на основе параметрического метода получила оценки коэффициентов отображений, обратных к отображениям из класса S , а также усиление теорем искажения Г.М.Голузина для класса Sp.
П.П.Куфаревым [23] была поставлена задача об изучении отображений голоморфных и однолистных в верхней полуплоскости. В.В.Соболев [32] создал вариационно-параметрический метод для отображений полуплоскости в себя с гидродинамической нормировкой на бесконечности и вместе с Т.Н.Селляховой [31], С.Т.Александровым [9] решил до конца ряд сложных экстремальных задач. И.А.Александров и В.В.Баранова [6] развили метод внутренних вариаций для однолистных в единичном круге отображений с симметрией сдвига. И.А.Александровым [4] было начато исследование однолистных голоморфных в полуплоскости отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси. Цель работы.
Изучить класс голоморфных однолистных в верхней полуплоскости отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси путем построения метода параметрического представления в этом классе; найти множества значений конкретных функционалов; получить формулу типа формулы Кристоффеля-Шварца для отображений полуплоскости на счетноугольник. Методы исследования.
В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, методы геометрической теории конформных отображений, методы теории дифференциальных уравнений. Научная новизна и практическая значимость.
Постановка темы диссертационной работы принадлежит И.А.Александрову, под руководством которого получены основные результаты.
Все результаты являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использоваться при чтении спецкурсов для студентов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут также быть полезны при решении задач геометрической теории конформных отображений, при изучении новых классов голоморфных однолистных отображений, при исследовании задач гидромеханики, теории упругости и т.п. Основные результаты работы.
Следующие результаты автор считает основными и выносит на защиту.
Выделен класс Х2л голоморфных и однолистных в верхней полуплоскости отображений, множества значений которых обладают симметрией переноса вдоль вещественной оси.
Получено интегральное представление голоморфного в верхней полуплоскости отображения с симметрией переноса через его мнимую часть на вещественной оси (получена формула типа формулы Шварца).
Развит метод параметрических представлений на классе Х1л (доказана дифференцируемость левнеровского семейства отображений по параметру, выведено уравнение Левнера). Для трех конкретных управляющих отображений уравнение Левнера удалось проинтегрировать.
Найдены множества значений или мажорантные множества для ряда функционалов, связанных со значениями отображений и значениями производной в фиксированной точке.
Получена формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для отображений из класса Х2л., множеством значений которых является счетноугольник. Для некоторых конкретных счетноугольников отображения получены в явном виде. Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций комплексного переменного в Томском государственном университете, на Второй Сибирской геометрической конференции (26-30 ноября 1996 г., Томский государственный педагогический университет), на Международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (17-20 июня 1997 г., Томский государственный университет), на V Казанской международной летней школе-конференции (27 июня-4 июля г., Казанский государственный университет), на Третьей межрегиональной конференции "Математическое образование на Алтае" (29 ноября г., Барнаульский государственный педагогический университет).
Основное содержание диссертации изложено в работах [Kl] - [К7] из списка научных трудов автора, приведенного на страницах 84-85. Структура работы.
Диссертация состоит из введения, 11 параграфов, списка теорем (для удобства ссылок), списка литературы, содержащего 35 наименований, и списка научных трудов автора. В работе 10 рисунков. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.
Содержание работы.
В 1 и 2 даются определения области с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости и класса Х1к голоморфных однолистных в верхней полуплоскости отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси (см. рис.1).
Область D комплексной w -плоскости назвала областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси, если D = L(D), где L(w) -w + T, Т > О.
Класс Х2л - это мноэюество всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости П+ = { z є С : Im z > О } отобраэ/сений f: П+ —> С , удовлетворяющих условиям: область /(П+) = D есть односвязная область типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси; f(z + 27rk) = f(z) + 27uk, keZ ;
3) lim (f(z)-z) = 0,2de lmz>0.
Через lim f{z) обозначен равномерный относительно RezeE
Imz=>+co предел lim f{z).
Im z—>+co
Во втором параграфе также устанавливаются простейшие свойства класса Х2к, например, такие как: для каждого f є Хгп и каэ/сдого т є R отобраэюение fm : П+ -»С, fm{z) = f(z + т)-/7? принадлелсит классу Х1л (см. теорему 2); для каоїсдого f є Х2ж и ре[0;+со) отобраэюение f : П+ -^> С , fp(z) = f(z + ip)-ip принадлеэюит классу Х2л (см. теорему 3);
3) Теорема 6. Класс Х2п равномерно ограничен внутри верхней полуплоскости П+.
В 3 доказываются три теоремы, центральной из которых является теорема 9.
Теорема 9. Для голоморфного в верхней полуплоскости отобразісения f с симметрией переноса вдоль вещественной осп, непрерывно продолэ/саемого на вещественную ось и удовлетворяющего условиям f(z + 27rk) = f(z) + 27rk, keZ, Ш (f(z)-z) = A, А є С, lmz>0, справедлива формула f(z) = — j ctg^^ Imf(x)dx + z + ReA.
Полученная формула, следуя традициям, названа формулой Шварца. Для доказательства формулы Пуассона (теорема 7)
1С х — Z
Im/(z) = —- Imctg—— lmf(x)dx + lmz,2л-J 2 из которой и следует формула Шварца, верхняя полуплоскость представляется в виде объединения прямоугольников. К ним применяется интегральная формула Коши, затем полученные равенства почленно суммируются. Доказательство завершается соответствующим предельным переходом.
В 4 параметрический метод Левнера распространяется на изучаемый класс Х2л.. Пусть голоморфное и однолистное отображение / из класса Х2к удовлетворяет дополнительным условиям: непрерывно продолжается на вещественную ось и /(П+) есть плоскость С с разрезами по попарно непересекающимся простым кривым ук, уходящим на бесконечность, ук = у + 2тгк, к є Ъ где у имеет некоторую параметризацию ^:[0,+со)—>С, / = ;к(і9). Строится два семейства однолистных и голоморфных отображений Ч^.'ГТ1"—>С, м> = Ч*т(г) и FT (обратное к отображению 4іт при фиксированном г), 0<т<+оо5 таких, что г) кєХ V кєі J ^T{n+) = C\\Jy^,aFT С\|>1г
Параметризация кривой у = у(т) выбирается так, чтобы lim (FT(w)-w)= lim (4JT(z)-z) = ir.
Im w=>+oo Im z=>+oo
Далее исследуется вспомогательное отображение (двупараметрическое семейство отображений) HrY = Ft. о Ш г,. Необходимые для дальнейшего свойства этого отображения сформулированы в леммах 1 и 2. В теоремах 10 и 11 доказывается равномерная дифференцируемость семейств отображений Ч*т и FT по параметру г внутри соответствующих областей.
В 5 результаты исследований четвертого параграфа сформулированы в виде теоремы.
Теорема 12. Пусть голоморфное однолистное отобразісение /:П+ —>С удовлетворяет условиям lim (f(z) - z) = 0, /(z + 2кк) = f(z) + 2як.
Пусть df(Yl+)= [J у,., где ук есть попарно непересекающиеся простые кривые, уходящие на бесконечность. Тогда существует такое непрерывное вещественное отображение Л : [0,+со) —» Ш, Л = Л(т), что f(z)= lim (g(r;z)- /г), где g(r;z) является решением дифференциального
Г-И-зз уравнения dgir-Л -= ctg^fcbife±) с начальным условием g(0;z) = z.
Полученное уравнение, следуя традициям, названо уравнением Левнера.
В 6 приведены конкретные отображения из класса Х2л:
2cos^ V 2 j h(z) = A0 + 2/In
1 -4,i-„ ,я\ /(z) = -^e" *|_г-1п (l + sinz)J--^e Ч1п2-/|): /(z) = — (z + / ln(l - cosz) + n + /ln2).
Эти отображения получены в результате интегрирования уравнения Левнера при конкретных отображениях Я: [0,+со) —> Ш, Я - Я{т), а именно
Я1(т) = Ло = cowsf, /Ц(г) = ги Лз(г) = 3arccose_r.
В 7 получено интегральное представление отображений, образующих плотный подкласс класса Х2п, и их производных. Теорема 14. Для каэ/сдого непрерывного отображения ^: [0,1]—>С, s = s(p) = s(p;z) s{p) = 1, в классе Х2п существует отображение f, при этом f(z)=:z + i\n(\-cD2) + 2il^4dp,V ) Jl-p- f(z) = -l^QJ-2J S{p'f dp где со = e~lmz.
Это представление получено с помощью замены р = p(r) = p(r,z) = е-^>, s = s(r) = ,(r;.-) = «f<*'>-»*M в уравнении Левнера.
В 8 и 9 найдены множества значений или мажорантые множества для конкретных функционалов в классе Х2к. Экстремальные задачи решаются на множестве отображений из класса Х2ж, порожденных непрерывными отображениями Я:[0,+со)—»М, Я = Я(т), так как они образуют плотный подкласс в классе Х2п.
В восьмом параграфе найдено множество значений и указаны экстремальные отображения для функционала /(/) = Im/(/y). Получена теорема покрытия (теорема 19). Представляет интерес следующий результат.
Теорема 20. Образ прямоугольника U = {z є С :а < Rez < b, с < Imz < d] из верхней полуплоскости П+ для любого отображения f из класса Х2п принадлежит прямоугольнику V = \ w є С: 2тгк - lncth- < Rew < Ink, +lncth-, 1 2 2 2 f c\ ( d\ I 2) где kx,k2eZ и определяются из условий а є \lnkx ,2n{kx +1)), be[2nk2,2n(k2+\)).
Среди результатов для функционалов, зависящих от производной в фиксированной точке из верхней полуплоскости, отметим следующий. Теорема 24. Множество значений функционала /:Х,„^ С,/(/)== In/'(/у), где у = Im~> 0 и фиксировано, принадлежит множеству К(~]Р, где
К = ІІ єС:\і +\n{l-e-2y)\<-2\n(l-e-y)\,
Р = \ I eC:\Rel\< R,\lml\< R,R = \ncth^-\. | I I I I 2J
Заметим, что в ряде задач (теоремы 17, 19, 22 и 25) экстремальным отображением является отображение, связанное с известным отображением Лобачевского [27].
В 10 устанавливается формула, которая, следуя традициям, названа формулой Кристоффеля-Шварца. Пусть область D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости, граница которой состоит из отрезков и лучей, причем при движении по границе от точки w0 до точки wQ + 2п их должно быть конечное число. Такая область названа счетноугольником. Пусть отображение / переводит верхнюю полуплоскость в счетноугольник. Двигаясь по границе счетноугольника от точки w0 до точки w0 + 2я в положительном направлении (то есть в таком, при котором счетноугольник остается слева), обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через А[0\А2\...,А(п0),
Д(70) Ф Д(0) +2л", п є N, а углы счетноугольника обозначим соответственно через ax7i, а27г, ...,ап7г. Обозначим через а{к0) прообраз А{к0), к = 1,п, для отображения /. Без потери общности можно считать, что все а{к0) є (О,2я) (см. рис.8).
И.А.Александров в работе [4], используя принцип симметрии Римана-Шварца, получил формулу для отображения / V 2 . dg + c2, где целое отображение G и постоянные с1,с2,<я|0) подлежат определению из условий конкретной задачи.
В диссертации эта задача решается при дополнительном условии, что отображение / из класса Х2я. Из условий принадлежности отображения классу Х2я и классических теорем [3] следует, что вспомогательное отображение g(z) = b/'(z) + z есть голоморфное в верхней полуплоскости отображение с симметрией переноса вдоль вещественной оси, непрерывно продолжаемое на вещественную ось и удовлетворяющее условиям g(z + Ink) = g(z) + Ink, k(=Z, lim (g(z)-z) = 0.
Применяя к отображению g формулу Шварца из теоремы 9, делая соответствующие преобразования и дважды интегрируя, приходим к следующей теореме.
Теорема 26. Для отобразісения f из класса Х2к, переводящего верхнюю полуплоскость в счетпоуголышк, имеет место формула (типа формулы Кристоффеля-Шварца) /(Z)=Cljn s'»^ dg + a где с, и c2 - комплексные постоянные, а[0) є(0,2л") -прообразы вершин счетноуголышка с углами акк.
Для некоторых частных случаев областей отображение удалось получить в явном виде. Например, в случае, если область есть полуплоскость с исключенными прямоугольными равнобедренными треугольниками с условием Af] = А[0) + 2к.
В 11, выполняющем роль дополнения к основному тексту диссертации, предпринята попытка составить библиографию работ, в которых изучаются голоморфные в полуплоскости отображения. Список не претендует на полноту, в него не включены работы, посвященные интегралу Кристоффеля-Шварца. В основном в список вошли работы, связанные с интерполяционными, краевыми и экстремальными задачами геометрической теории конформных отображений.
Отображение с симметрией переноса
Пусть П+={гєС: lmz 0} и D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости. По теореме Римана существует однолистное и голоморфное отображение /: П+ - С такое, что ДГГ) = D. Определение. Отображение f будем называть отобралсением с симметрией переноса вдоль вещественной оси. Если отображение / обладает симметрией переноса вдоль вещественной оси, то оно обладает следующим свойством. Теорема 1. [4]. Для каждого отображения f с симметрией переноса вдоль вещественной оси существует вещественное число t, t О, такое, что f(z + kt) - f(z) + kT, к є Ъ . Доказательство. Обозначим через (р отображение, обратное к отображению f . Отображение ср существует. Пусть w0 = f(z0) есть образ произвольной точки z0 є П+ при отображении / . Композиция p(f(z) + Т) является автоморфизмом верхней полуплоскости с дополнительным условием, что со переходит в со, и, следовательно, (p(f(z) + T) = az + b, где а и Ъ вещественные постоянные.
Полагая z = z0 и p(w0 + Т) = z0 + t, находим а = 1 и b = t. Таким образом, f(z + t) = f(z) + Т . По индукции устанавливаем, что f(z + kt) = f{z) + кТ, к є Z . Теорема доказана. Для отображения / с симметрией переноса вдоль вещественной оси предел lim f{z), равномерный относительно Re z є Ж, существует тогда Imz-»+a и только тогда, когда существует равномерный относительно Re z е [a, a +1], а є М предел lim /(2). Будем обозначать этот предел В дальнейшем будут рассматриваться отображения с симметрией переноса вдоль вещественной оси, удовлетворяющие дополнительному условию: Множество всех голоморфных и однолистных в верхней полуплоскости отображений /: П+ - С, удовлетворяющих условиям: 1)/(П+) = D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости; обозначим через Xt т В следующих теоремах отмечены простейшие свойства голоморфных и однолистных отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси из класса XlT. Теорема 2. Для каэ/сдого f е XtT и каэюдого met отображение Доказательство. Действительно, голоморфность и однолистность Проверим третье условие: lim (fm{z)-z)= lim {f{z + m)-m-z) = lim (f(z + m)-(z + m)) = 0. Imz= +co / Imz= +oo Im(z+m)= +o x Значит, fm є XlT. Теорема доказана. Теорема 3. Для каждого /є XtT и каждого /?є[0;+со) отображение Доказательство. Действительно, голоморфность и однолистность сохраняются при линейных отображениях. Далее, для каждого к є Z имеем Проверим третье условие: Значит, fp єXtT. Теорема доказана. Теорема 4. Для калсдого отображения f є X t Т выполняется равенство t -Т. Доказательство. Действительно, по второму условию принадлежности отображения / классу Xt т имеем С другой стороны этот предел должен равняться нулю. Теорема доказана. Теорема 5. Для калсдого отобраэ/сення f є X, Т выполняется условие lim f {z) = 1. Доказательство очевидно. В дальнейшем для определенности и простоты полагаем t = Т = 2я и переобозначим XtJ = Х1л2п = Х2я.
Определение. Множество всех голоморфных и однолистных в верхней полуплоскости П+ ={ZGC : lmz 0} отобраэ/сений f: П+ — С , удовлетворяющих условиям: 1) область /(П+) = D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости; будем называть классом X2n. Отметим еще одно свойство класса Х2л . Теорема 6. Класс Х2к равномерно ограничен внутри верхней полуплоскости П+. Доказательство следует из теоремы 20 параграфа 8. Приведем пример отображений из класса Х1п . Решим вначале следующую задачу. Пусть область D есть полуплоскость {weC:Imw -п,п єN} с исключенными вертикальными отрезками [/г + 2 пк -іп,7Г + 2л:к + іЗ], к е Z, 8 0. Надо найти голоморфное однолистное отображение /:П+-»С такое, чтобы f(jT) = D. Согласно принципу симметрии для этого достаточно найти голоморфное однолистное отображение полуполосы jz є С: Re z\ я,Im z 0 на полуполосу i\v є С :JRewj л;,1т w -п\ с условием, что отрезок [-/г,7г] на границе первой полуполосы переходит в объединение трех отрезков на границе второй полуполосы (ср. [13], задачи 368,372).
Дифференцируемость левнеровского семейства отображений по параметру
Пусть П+ = {гєС: Im- 0j и D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости. Пусть голоморфное и однолистное отображение /:П+— С, f(Yl+) = D, удовлетворяет условиям lim (f(z) - z) - О, f(z + 2тгк) = f(z) + Ink, к є Z, и непрерывно (в сферической метрике) продолжается на вещественную ось. Предположим дополнительно, что /(П+) есть плоскость С с разрезами по попарно непересекающимся простым кривым ук, уходящим на бесконечность, ук=у + 2пк, к є Ъ где у имеет некоторую параметризацию ;к: [0,+со)—»С, / = ;к(#). Часть кривой у, когда & є [я,+оо) с [0,+со) обозначим через y{s), то есть По теореме Римана для каждого s є [0, +со) существует однолистное и голоморфное отображение Т5: П+ -»С, w = 4 s(z) = 4!{z,s) такое, что Выберем параметризацию кривой у = y(s(r)) = у{т) так, чтобы О т +со и lim (x(z,T)-z) = -iv. Можно показать, что отображение Ч . является отображением с симметрией переноса вдоль вещественной оси и удовлетворяет условию (z + 2л:к,т) = 4 ( , г) + Ink, кеЖ. Отображение FT обратное к отображению Рг при фиксированном т является голоморфным и однолистным в Зафиксируем т И T" , т т".
Композицию отображений (z, т ) = = однолистное отображение Нт,т,: П+ —» П+ непрерывно в П+ и обладает следующими свойствами: Н(г + 2тгк, т , T") = H(Z, Т\ т") + 2лк,ке% Пусть Qk{r , т") = Н \Гк(т , т"), т , т"). Множества Ок(т\ г") попарно не пересекаются, Ок(т\ т") = 0(т , T") + 27rk,kZ,Q(r , T") = [a,fi]czR,J3-a 2тг . Обозначим через Лк(т ) точку множества Ок(т , т"), являющуюся прообразом конца кривой ук , keZ, лежащего в плоскости Сw. Из самого построения отображения H(z, г , г") следует, что при фиксированном т" и г —»г" кривая Г(г ,г") стягивается в точку, а при фиксированном т и г"—» г сегмент [«,/?] стягивается в точку Я(г ). Естественно, таким же свойством обладают все кривые ГА.(г ,г") и все сегменты \а + Ink, /3 + 2пк\, где к є Z. Обращаясь к нахождению предельного множества для 0(т , т") при т —»г" и для Г(г ,г") при т"- т , заметим, что отображение H(z, т , т") допускает аналитическое продолжение через интервалы, смежные к сегментам Ок(т , г") на вещественной оси. Продолженное отображение H(z, т , т") однолистно и голоморфно переводит плоскость Cz с разрезами по сегментам Ок(т , г"), keZ, на плоскость С с разрезами по кривым r,(r ,r")Ur,(r ,r"), keZ. Лемма 1. На каэюдом компактном мноэюестве, не содерлсащем точек kk{z ), к є Z, семейство отобралсеннй H(z, т , т") сходится равномерно к тождественному отображению z при г" — г . Доказательство достаточно провести для произвольного замкнутого ограниченного множества О., лежащего в вертикальной полосе шириной 2л" и не имеющего точек Лк(т ) своими предельными точками. Из теоремы 6 следует, что на множестве Q. семейство по т" отображений H(z, т , т") равномерно ограничено. По принципу компактности (теорема Монтеля) из семейства H(z, т , т") можно выделить последовательность (H(Z,T ,T"J) , равномерно сходящуюся на Q при т" т к некоторому голоморфному отображению, которое обозначим через H(z,r ). Так как отображения H(z, т , г") обладают симметрией переноса вдоль вещественной оси, то таким же является отображение H(Z,T ) И, следовательно, оно не является постоянным. Таким образом, отображение H(Z,T ) ПО соответствующей теореме будет однолистным.
Получили, что отображение H(Z,T ) является однолистным и голоморфным в плоскости за исключением точек Хк{т ), при этом оо переходит В QO, то есть по известным теоремам является дробно-линейным отображением H(z,r ) = az + b, где a,beR. Из условия lim (H(z, т , т")-z) = і{т"-т ) следует, что lim (az + b - z) = 0, то есть а = 1, Ъ = 0. Проведенное рассуждение применимо к любой сходящейся последовательности из семейства H(z, г , г") по т", и поэтому указанная сходимость имеет место для всего семейства. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Цусть т фиксировано, а т"- т . Тогда кривая Гк(т ,т") стягивается в точку Як(т ) для каэюдого к є Ъ. Доказательство. Возьмем положительное число є настолько малым, чтобы окружности vk = \z: \z - Як (r ) = є, є 0} попарно не пересекались. Можно считать, что сегмент Ок(т , т") лежит в круге, ограниченном окружностью vk, при т", достаточно близких к т , так как Ок(т , т") стягивается в точку. Теперь по лемме 1 \/ze[Jvk при т", кеЪ достаточно близких к т , выполняется неравенство Когда z меняется вдоль vk, точка д = H(Z,T ,T") описывает замкнутую простую аналитическую кривую, охватывающую кривую Гк(т ,т") U Гк(т ,т"). При этом имеет место неравенство следует, что сегмент Ок(т , г") стягивается в точку Як(т ), и кривая Тк(т ,т"){]Тк(т ,т") стягивается в точку совпадающую с Лк(т ). Лемма 2 доказана. Меняя ролями плоскости Cz и С. и повторяя рассуждения, используемые при доказательстве лемм 1 и 2, получим, что при стремлении т ч т" кривая Гк(т ,т")[]Гк(т ,т") стягивается в точку Лк(т") и сегмент Ок(т , т") стягивается в точку Як(т"), keZ. Теперь докажем теорему. Теорема 10. Семейство отображений F(w, г) диффереіщируемо по т в калсдой точке т равномерно внутри /(П+), причём где А (г) есть непрерывное отображение.
Функционалы, связанные со значениями отображений в фиксированной точке
Рассмотрим на классе Х2п функционал где z есть фиксированная точка из верхней полуплоскости П . Множество значений функционала 12 не зависит от Re z. Действительно, в силу теоремы 2, полагая m = - Rez в равенстве fm(z) = f(z + m)-m , получаем, что f m{z) = f (z + m), то есть множество значений функционала I2(f) совпадает с множеством значений функционала где у = Im z О и фиксировано. Так как рассматриваются однолистные и голоморфные отображения, то их производные ни в одной точке не равны нулю. Следовательно, логарифм производной допускает выделение однозначной ветви в верхней полуплоскости. Пусть где у = Im z 0 и фиксировано. Теорема 21. Множество значений функционала где со = е . Отсюда получаем неравенство Здесь подынтегральное отображение Теорема доказана. Теорема 22.
Множеством значений функционала = Im z О г/ фиксировано, является сегмент Доказательство. По теореме 14 имеем со Отделим в этом равенстве действительную часть где n = cosa(p)-Res, -\ u \, монотонно убывает, так как Следовательно, Непосредственными вычислениями приходим к тому, что Чтобы убедиться в том, что указанный сегмент является множеством значений функционала, достаточно рассмотреть два семейства отображений из класса Х2ж где и к = 1,2, /7 є [0,+co), как это было сделано в теореме 17. Теорема доказана. еорема 23. В классе Х2п справедлива оценка где со = е у. Отделим в этом равенстве мнимую часть В силу нечетности lm s, достаточно найти максимум отображения обращается в нуль при и0 = 1. \ + р2 Следовательно, -2? " 2dp ngfVy) 2? 2dp . J0\-2pu0+p J0l-2pu0+p Непосредственными вычислениями приходим к тому, что Теорема доказана. arg/ (z» lncth —. -0,4 L 0,5 Следствием теорем 21, 22 и 23 является следующий результат. Теорема 24. Мноэ/сество значений функционала I:X27r- C,I(f) = \nf (iy), где у = Im z 0 и фиксировано, принадлежит множеству Kf]P, где К = іі є С: I/ + ln(l - е 2у)\ -21n(l - е у)\, 1,6 Р = U є С: Re /I Я, llm/I Д, Д = Incth У На рисунке 7 изображены множества К и Р из теоремы 24 в динамике (сверху вниз =1,6; з 2 = 0,74...; у3=0,2).
Множества КГ\Р на рисунке 7 выделены штриховкой. Значение у2=-\псо0, где & 0 є (0,1) и является корнем уравнения функционала I(f) = R.Qf (iy) в фиксированной точке iy из верхней полуплоскости ТҐ на классе X, есть сегмент 1л th A cth Доказательство. По теореме 14 имеем где со = е у . Задача о нахождении множества значений функционала /(/) = Re f (iy) свелась к исследованию отображения на множестве всех непрерывных отображений s: [0,1] - C,s = s(p), по модулю равных единице. Производное отображение обращается в нуль для s = s(p), удовлетворяющих равенствам Обозначим s-P I- ps = с. Выразим s через сири подставим в левую часть полученных равенств. Таким образом, на с получим уравнения где константа А= \— —г. Числа с-\ и с = -\ являются решениями этих о1 Р уравнений, а соответствующие им постоянные отображения s = \ и 5 = -1 доставляют максимум и минимум отображению F(s). Значения отображения F в экстремальных точках являются объявленными оценками. Для полноты доказательства достаточно повторить рассуждения, завершающие доказательство теоремы 22. Теорема доказана.
Интеграл Кристоффеля-Шварца
Следствием теорем 21, 22 и 23 является следующий результат. Теорема 24. Мноэ/сество значений функционала I:X27r- C,I(f) = \nf (iy), где у = Im z 0 и фиксировано, принадлежит множеству Kf]P, где К = іі є С: I/ + ln(l - е 2у)\ -21n(l - е у)\, 1,6 Р = U є С: Re /I Я, llm/I Д, Д = Incth У На рисунке 7 изображены множества К и Р из теоремы 24 в динамике (сверху вниз =1,6; з 2 = 0,74...; у3=0,2). Множества КГ\Р на рисунке 7 выделены штриховкой. Значение у2=-\псо0, где & 0 є (0,1) и является корнем уравнения функционала I(f) = R.Qf (iy) в фиксированной точке iy из верхней полуплоскости ТҐ на классе X, есть сегмент 1л th A cth Доказательство. По теореме 14 имеем где со = е у . Задача о нахождении множества значений функционала /(/) = Re f (iy) свелась к исследованию отображения на множестве всех непрерывных отображений s: [0,1] - C,s = s(p), по модулю равных единице. Производное отображение обращается в нуль для s = s(p), удовлетворяющих равенствам Обозначим s-P I- ps = с. Выразим s через сири подставим в левую часть полученных равенств. Таким образом, на с получим уравнения где константа А= \— —г. Числа с-\ и с = -\ являются решениями этих о1 Р уравнений, а соответствующие им постоянные отображения s = \ и 5 = -1 доставляют максимум и минимум отображению F(s). Значения отображения F в экстремальных точках являются объявленными оценками. Для полноты доказательства достаточно повторить рассуждения, завершающие доказательство теоремы 22. Теорема доказана. 10. Интеграл Кристоффеля-Шварца
Пусть область D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости, граница которой состоит из отрезков прямых и лучей, причем при движении по границе от точки w0 до точки м 0+2тг ИХ ДОЛЖНО быть конечное число. Будем такую область Рисунок 8 называть счетноуголышком. Пусть отображение / из класса Х2п переводит верхнюю полуплоскость в счетноугольник. Двигаясь по границе счетноугольника от точки w0 до точки w0 + 2к в положительном направлении (то есть в таком, при котором счетноугольник остается слева), обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через А[й) ,А 0) ,..., 0), А)Р Ф Д(0) +І7Г, п є N, а углы счетноугольника обозначим соответственно через ах7г, а27г, ...,апж. Если А(к0)єС, то 0 ак 2, если же Д[0) = со, то ак - 0. Видно, что ах + а2 + ... + ап=п . Обозначим через af] прообраз А(к0), к-\,п, для отображения / . Без потери общности можно считать, что все а{к0) є (0,2л-) (см. рис. 8). Из однолистности отображения / и теоремы 5 следует, что отображение есть голоморфное в верхней полуплоскости отображение с симметрией переноса вдоль вещественной оси, непрерывно продолжаемое на вещественную ось и удовлетворяющее условиям Заметим, что формула Шварца из теоремы 9 остается справедливой и для отображений, у которых мнимая часть имеет конечное число точек разрыва первого рода на любом промежутке длиной 2тг. Следовательно, к отображению g можно применить формулу
Шварца из теоремы 9. По этой формуле Исходя из геометрического смысла аргумента производной, запишем отображение + ... Геометрический смысл чисел vk, к = \,п, приводит к равенствам После простых преобразований и потенцирования имеем vk-i vk В результате интегрирования по кривой от точки z0 до точки z в верхней полуплоскости получаем где с, и с, - постоянные. Доказана следующая теорема. Теорема 26. Для отображения f из класса Х2к, переводящего верхнюю полуплоскость в счетноуголъник, имеет место формула (типа формулы Крпстоффеля-Шварца) где сх и с2 - комплексные постоянные, а[0) є(0,2я") -прообразы вершин счетноуголъника с углами akn. Приведем простые примеры применения полученной формулы типа формулы Кристоффеля-Шварца. Пример 1. Пусть область D есть полуплоскость с исключенными равнобедренными треугольниками Ек ,Ек -EG + Ink, к є Z. Вершины треугольника обозначим через 4(0), А2], Af\ 0 Re Д(0) Re А2] Re 30) 2 , \тА{] =\mAf] \mA{2Q), а угол при основании обозначим через уп. Тогда ах =а2 =1-у, а2 = 1 + 2у . Прообразами вершин A[Q),A \ 4(0) будут точки 0 а\0) = n-S, а{2] = п, af] = п + 8 2п (см. рис. 9). Формула Кристоффеля-Шварца примет вид
