Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Отображения, квазиконформные в среднем 10
1. Основные обозначения и определения 10
2. О равностепенной непрерывности класса отображений, квазиконформных в среднем . 16
3. Отображения с неограниченными на компактных множествах характеристиками 28
ГЛАВА II. Экстремальные задачи на различных множествах квазиконформных отображений 38
1. Экстремальные задачи на множестве 38
2. Экстремальные задачи на множестве отображений с ограниченной в интегральном смысле характеристикой 50
Литература 60
- О равностепенной непрерывности класса отображений, квазиконформных в среднем
- Отображения с неограниченными на компактных множествах характеристиками
- Экстремальные задачи на множестве
- Экстремальные задачи на множестве отображений с ограниченной в интегральном смысле характеристикой
Введение к работе
Понятие квазиконформного отображения введено Г.Гречем в 1928 году и связано с известной задачей Греча. Идея Греча была воспринята как любопытная и предана забвению. Квазиконформные отображения вновь появились в 1935 году в работах М.А.Лаврентьева, Л.Альфорса (1936 г.) и О.Тейхмюллера (1937 г.). Особенно интенсивное развитие теории квазиконформных отображений на плоскости началось в конце 40-х начале 50-х годов, а в начале 60-х годов активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений. Наиболее существенный вклад в развитие теории квазиконформных отображений внесли советские, польские, румынские математики, математики ГДР, а также американские и финские математики. Из советских математиков основной вклад принадлежит школе М.А.Лаврентьева.
Наряду с квазиконформными отображениями рассматривались отображения, квазиконформные в среднем. Так как класс таких отображений существенно ширвпкласса квазиконформных отображений, то их изучение представляет несомненный интерес. Здесь можно отметить работы Л.Альфорса [2], Г.Д.Суворова[211, П.П.Белинского [4], В.А.Зорича Г15 , 16 ] , Й.Н.Песина [23] , С.Л.Крушкаля [18], В. М.Ї4ік люкова [213 , П.А.Билуты [71 , М.Перовича [22] .
На протяжении всего времени изучения квазиконформных отображений рассматривались и решались экстремальные задачи в различных классах квазиконформных отображений. К числу основных экстремальных задач относятся две общие задачи.
Задача А. В заданном классе квазиконформных отображений найти отображение с наименьшим максимльным отклонением.
Задача В. В заданном классе квазиконформных отображений т найти максимум действительного функционала г ("f ) , определенного на этом классе.
Вторая задача обобщает первую, но задачу А удобно вы~ делить отдельно. Задача в формулировке В восходит к П.П.Белинскому, хотя и первоначальная задача Греча является по существу задачей такого же типа. П.П.Белинскому также принадлежит вариационный метод, являющийся основным методом решения экстремальных задач. В этом направлении отметим работы С. Л.Крушкаля [19] , В.Я.Гутлянского [13] , П.А.Билуты [7] , Р.Кюнау [37 , 38] .
Диссертация посвящена решению экстремальных задач в некоторых классах квазиконформных отображений и изучению свойств плоских отображений, квазиконформных в среднем.
Работа состоит из введения, двух глав, списка цитиро
ванной литературы и изложена на страницах машинописного
текста. Список литературы содержит наименований советских
и зарубежных авторов.
В первой глаєе выделены два класса отображений, квазиконформных в среднем. В классе Н<* ( П ) имеют место теорема о равностепенной непрерывности и теорема искажения рассто*. яний. В классе Неі(М,г ) - теоремы о равностепенной непрерывности, замкнутости и существования.
В 1 даны основные обозначения и определения.
В & 2 вводится класс Н,* ( М ) гомеоморфных отображе
ний W - Єос области , удовлетво
ряющих следующим условиям:
1) \\ D(2)c(<52 і М -OOrvst < оо ,
2) -J—^ cL( *L , Z0) для всех 20є SO ,
где c^ft, Zc) —*0 при "t —з-
Hot CM ) функция, P( H.OJ "t, "^c ) - усредненная характеристика, Zc - фиксированное число.
В теореме 1.1. доказывается, что класс отображений НЛ(М) круга l[$i на круг 1\&1 * , \XS(0)-0 f равностепенно непрерывен.
В теореме 1.2 устанавливаются оценки искажения рассто
яний. А именно, пусть - гомеоморфизм т ,
Cot » области на область Если Z/ ,
ё^еЮ такие, что ^ < і Z;- */ « | Р( Н^ , #)) , то
где ^r^HZi-ajJs/t-Pfa^JE^zj,^2^32)3),/с^к^^да)). а $1.7^) -модуль кольцевой области Тейхмюллера.
В 3 вводится класс характеристик jfM,e^, F, &) Пусть Г - компактное относительно круга 12.1^1 множество и г имеет о - конечную одномерную меру Хаусдор-фа. Пусть рС&)ъ ± измеримая, определенная почти всюду в \^.\<- функция, обладающая следующими свойствами:
а) ^ p(*)cl
б) для любого компакта Kcfnz/
*Q(K) <сю# к
в) существует универсальная функция ekLZ %Ч.С) та
кая, что oLC*. , -fce)->0 при Ъ. -&0 и Vz0 jH^Ui,
* ~i
где St-- $(zl\±) Л В, В^{г:іЕ|<і}.
Класс таких функций р(2} обозначим J (M^F.Q).
Вводится класс отображений Hd ( М > F ) круга I Z. ( < 1 на круг 1\Х/1 * і с характеристиками из 5і М ,<*-, F, &) Доказывается, что класс отображений Н&(М3 F) с нормировкой v(/tO) = О равностепенно непрерывен. В теореме 1.5 устанавливается, что класс Нл(г1, г ) замкнут относительно равномерной сходимости внутри В . В теореме 1.6 доказывается существование отображений класса Н^(М, г ) с заданными характеристиками р(2) , б( Н) , р(2) J (M,^,F,б).
Во второй главе рассматриваются различные классы квазиконформных отображений единичного круга /2/ і на круг \\Х/{і , с нормировкой tCO)~0 , f(i)~i . На этих классах решается задача В, то есть разыскивается экстремум ДеЙСТВИТеЛЬНОЙ фуНКЦИИ Г(ЖіЧОХг... ,\Х/*) tWjc-'PCZ*:)-
= W.K f 2^ при фиксированных S^ ^ |2;г: f < ї , К = І.1,,.. и. .
В первом параграфе экстремальная задача ставится на
классе квазиконформных отображений \х/- f (2) круга J2U2
на круг l\x/l^i , f(О)= 0 , -P(i) = i. , для которых
характеристики обратных отобранений связаны соотношением
где пл ~ljul Q 1 - коэффициент уравнения Бельтрами Zg ~
- пл, 2^=0 . Класс таких отображений обозначим 6ф
Доказана следующая
ТЕОРЕМА 2.1.Если в классе Оф существует гладкое экстре-
7 мальное отображение задачи В, то характеристики отображения обратного экстремальному удовлетворит соотношениям
0--ЄА-І a.-c9.Aj
в случае 4V, ^ С , и либо
в-еА-^г$Л<(<Р)-, Ф( 1/.1,0) = -0,
в случае <р^ qt {7 . Здесь
Как частный случай из этой теоремы получается результат ра* боты 43 f где рассматривается класс квазиконформных отображений с ограниченной характеристикой jjul й к < -
Во втором параграфе рассматривается класс гомеоморфных отображений круга І2.ИЇ на круг l\x/is. , f10)-0 , f(t) -і $ f » т ^ "NX/* с ограниченными интегралами
^* ~ И РС*)^$Ъ й М - const < о&
ш±± . ' -
j\x/e[ + Iv^slI )2.^, + і г_(
где p(20= ; ——r~ 9 P ^)^-7-=
На этом классе также решается задача В. Характеристики экстремального отображения удовлетворяют одному из трех условий :
а) [[ PC^d^
где 0ft зависит от р , & % \ . Для того, чтобы в этом случае приращение СІ f было неположительным, необходимо и достаточно выполнения условия
б) Для экстремального отображения
а также выполняется условие
1А($)1 r . р(ї) 3*
в) В этом случае для экстремального отображения
[\ рСЪ) 0(&г = М*. ^ р^^)^6^= Ма , 0 = 0*.
Полученные результаты могут найти применение в геометрической теории функций и в смежных областях.
Результаты диссертации докладывались на Донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (Донецк,1982 г.), на Омской областной математической конференции (Омск, 1881 г.), на семинаре по теории
9 функций в Волгоградском государственном университете, на семинарах отдела теории функций комплексного переменного Института математики СО АН СССР.
Они опубликованы в работах автора [9] - І121 ,
О равностепенной непрерывности класса отображений, квазиконформных в среднем
Предположим, что SO есть открытое множество в ( и Ы - измеримая функция, определенная в 2D . Будем го ворить, что 6С локально суммируема в SO в степени р , и писать: U. -cCpte0C. (cD) , если М Л) с? для любо го компактного множества Е Є- 32) . Совокупность всех измеримых функций и , таких, что \\іс\\ со , обо значим символом .р(Ю). Пусть К. О - целое число, р f . Будем говорить, что функция U. . р Єсе,(&) принадлежит классу \(/р Єос ( \ если LL имеет в оО все обобщенные производные, в смысле С.Л.Соболева Г27] , порядка К , причем каждая из них есть функция класса OL Єрс С Ю ). Пусть U. W oc ( Е) , Для произвольного измеримого множества Е ? oD , мера которого конечна, полагаем Предположим, что мера множества 5D конечна ( oD с С- - открытое). Совокупность всех функций U, " Р.Зх/ ) ДЛя которых Н Н г/ ) о , обознача ется через Шожество является век торным пространством. Введенная в нем норма превращает его в банахово пространство. Отображение \Х/- т(Ъ) области SD принадлежит коассу , если каждая из вещественных функций іл.С Х ) t vC ifr) принадлежит классу р gi. Ю ) , соответственно "\Х/ e t С ) Пусть \х/ - -р б 2 ) - отображение класса ЛХ/J g SD} Тогда почти всюду в 0 определены ведичины № будем рассматривать только гомеоморфные отображения \ с - ft ) с якобианом J uv , отличным от нуля почти всюду в области определения. Дадим еще одно определение квазиконформного отображения эквивалентное отображениям 2, 3, ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4« Гомеоморфное отображение \Х/» /(2) области cD называется 3/ - квазиконформным, і й й, со л если для любого семейства кривых \ оО и его образа имеет место двойное неравенство Т Необходимые в дальнейшем определения, понятия и обозначения будут вводиться по мере надобности. 2. О равномерной непрерывности класса отображений, квазиконформных в среднем Пусть р(2.) , /9(2) - характеристики квазиконформного отображения \Х/ - тСЪ) ! ; р (2.) определена почти всюду, а 0(Ъ.) определена почти всюду на множестве {Ъ: р( ) 1] . Классическая теория квазиконформных отображений относится к случаю р(2) CL ( Q, о ) , в котором имеют место теоремы о равностепенной непрерывности, замкнутости, существования и единственности ( [1 , 3 , 4 , 6] )» Известно, что в случае неограниченной характеристики Р(Ъ) глобальные свойства класса отображений нарушаются. Поэтому многие авторы предпочитали рассматривать классы обратных отображений, обладающих свойством равностепенной непрерывности ( [ 2 , 18J ). Для прямых отображений также были выделены подклассы с неограниченной характеристикой р(&) и обладающих СВОЙСТВОМ равностепенной непрерывности ( [21 ,
Хорошо известноС Г23] ), что если в окрестности изолированной точки Е0 характеристика рсъ) не слишком быстро растет, например, так, чтобы то отображение непрерывно в точке Z0 . Условие равностепенной расходимости такого интеграла является условием равностепенной непрерывности класса отображений в точке 20 . Следует заметить, что аналогичный интеграл встречался в [31] при доказательстве невозможности гомеоморфно и квазиконформно отобразить все пространство R на его правильную часть, а также в работе [8 3 при изучении проблемы типа. Каково бы ни было Yb , отображения с характеристикой, которая растет как , образуют неравностепенно непре рывный класс, в замыкании которого имеются разрывные отобра жения. Как известно [ 14 , 15 , 16 , 22 ] , во многих качест венных вопросах теории квазиконформных отображений важно лишь то, что неравенства 0 И( Г) , О М ( Ґ ) всегда имеют место одновременно ( М ( Ґ ) - модуль любого семейства кривых прообраза, hi ( Г ) - модуль семейства кри вых при отображении -f ). Но для одновре менного выполнения этих соотношений нет необходимости накла дывать на отображение условие квазиконформности. Это обсто ятельство и будет использовано для получения условий равностепенной непрерывности класса отображений, квазиконформных в среднем.
Отображения с неограниченными на компактных множествах характеристиками
Теперь сформулируем и докажем теорему существования. ТЕОРЕМА 1.6. Пусть измеримые функции pCS), 9(4.} задают распределение характеристик в В , причем р () принадлежит классу j ( М , , F, (2) . Тогда существует отобра жение t круга Ь на себя, , характеристи ки которого почти всюду в D совпадают с р(2.) , 6(21 , ДОКАЗАТЕЛЬСТЮ. По р(ъ) строим "срезанные" характеристики { pw ( 2-І J и рассматриваем N - квазиконформные отображения «[fyyCZO] круга на себя с характеристиками pv, б . Последовательность отображений { Тд/ (-)} принадлежит классу n (M,F) . Класс Нс (И)Г) равностепенно непрерывен внутри В и замкнут относительно равномерной сходимости внутри В Следовательно, из последовательности { тд/(20 з можно выделить подпоследовательность - У С 2")} равномерно внутри & сходящуюся к отображению г , т Н СИ, F) . Сходимость характеристик на любом компакте К. ( &ч Г ) устанавливается так же, как в работе [39] (стр. 1S7). Теорема доказана.
К числу основных экстремальных задач теории квазиконформных отображений, к которым сводятся и многие другие, относятся две общие задачи. Задача А. В заданном классе квазиконформных отображений т найти отображение с наименьшим максимальным отклонением Ж. ( Т ) Задача В. В заданном классе квазиконформных отображений г найти максимум действительного функционала р( т ) , определенного на этом классе. Вторая задача в приведенной постановке обобщает первую, но задачу А удобно выделить отдельно. Впервые задачу типа А рассмотрел Г.Греч ( С 34 , 35 1) в классе отображений прямоугольников друг на друга с соотношением вершин. Систематическое изучение свойств отображений, минимизирующих J1(+ ) , было начато О.Тейхмюлле-ром в связи с его исследованиями по проблеме модулей рима-новых поверхностей. Задача А являлась предметом исследования многих авторов. к Задача В восходит к П.П.Белинскому, который сформулировал и решил ее в классе отображений плоских односвязных областей друг на друга с Jl (т ) - и с определенной нормаровкой для функционалов вида и)) при фиксированных 2 , ... , 2 ц. . Она также исследовадась многими авторами. В ЭТОЙ главе мы будем исследовать решение задачи В в различных классах квазиконформных отображений. Исследование будем проводить методом вариации П.П.Белинского [4, 5]. Вариационный метод заключается в следующем.
Пусть известна функция \х/= -гч2) , отображающая некоторую область oD на себя, нормированная и обладающая тем свойством, что отображение, осуществляемое ею, конформно вне некоторого кружка j(-(h , ) » а внутри него обладает ПОСТОЯННОЙ характеристикойjuC ) . Если для любого достаточно малого j{.( t, "fc.) С- 2D и любой ju± С ) такая функция может быть фактически выписана, то, варьируя с ее помощью предполагаемое экстремальное отображение,можно определить, какова должна быть его характеристика, и тем самым решить поставленную экстремальную еадачу. Формулы, по которым определяются указанные функции, называются вариационными, а соответствующие функции - вариациями. В работах [4, 5] П.П.Еелинским были получены вариации плоскости, единичного круга, бесконечной полосы. Вариация плоскости с неподвижными точками Z , Zz , 2г записывается как
Экстремальные задачи на множестве
Следовательно, характеристики отображения, достав ляющего минимум о = Z0 -к являются а отображения, доставляющего максимум V - Ь Эти результаты совпадают с уже известными результатами Г.Греча. Если рассматривать задачу в классе квазиконформных отображений с Q - Q0 - СОъг-Ъ-Ь , /JK \ ± к. - оо ъ -Ь і , то получим, что экстремальное отображение имеет характеристики iju,l = K. , 0-6о% что согласуется с результатами Р.Кюнау для прямоугольников. В этом параграфе будем рассматривать гомеоморфные отображения \ХУ - -f(E) круга \ "г й 1 на круг \\X/\l f(О)? О , "p(i)=i , f , "f Х/д, с ограниченными интегралами a c/6a » d&w - элемента площади соответственно в плоскостях 2 и W . Будем решать задачу В об отнекании максимума действительной функции Г С х д. " » ) П.А.Билута [71 решал задачу В в классе квазиконформных отображений NX/=fta) круга 12-U1 на круг \Ы{й±, $(0)-0 t$(l) i , с ограниченным интегралом где (эс) (1 й )- непрерывно дифференцируемая функция 3?((Х) 0. Класс таких отображений не является замкнутым и поэтому, вообще говоря, экстремальное отображение может не существовать. Однако, если на функцию Ч? наложить дополнительные ограничения, то, как показали В. И. Круг ликов С171 и Р.Кюнау [38] , можно добиться замкнутости. Ограниченность интегралов CJ , У г. равносильна ограниченности интегралов Дирихле прямого и обратного отображений, Такие отображения будем называть квазиконформными в среднем. Из теоремы 2 работы С8] (стр. 139) следует, что они образуют замкнутый относительно равномерной сходимости внутри единичного круга класс отображений. Следовательно, задача о нахождении максимума непрерывного функционала Подвергнем круг iWlul вариации с постоянной характеристикой Ji б Ю в кружке \К(.\, С)с центром в точке и радиуса Ъ по формуле Последняя формула справедлива с точностью до величин второго порядка малости и применима для точек, лежащих вне указанного круака. Внутри кружка вариация обладает постоянной характеристикой rut С\ ) . Зти вариации обладают ограниченными производными, следовательно, они не выводят из рассматриваемого класса отображений. Найдем характеристику проварь-ированного отображения D . Из (2.16) Выпишм приращение функции F (\ С \Х/ и...» \х/к ) .Сопоставляя (2.20), (2.21) и (2.22), видим, что в случае J і rif з J г. iia. допустимой является вариация с любым достаточно малым Ш±\ и Ы F может иметь любой знак. Поэтому для экстремального отображения имеем либо а) 3 \Л± , Dt= Ma, , либо б) 9 =М . Э Ма.. либо в) 3J: = М , Зх Гід, . Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
Для нахождения экстремального отображения мы применяем вариационный метод. Он применялся П.П.Белинским для О, квазиконформных отображений. Применение этого метода в случае отображений квазиконформных в среднем, ввиду возможной неограниченности характеристики р(") в окрестности варьируемой точки, весьма непросто. Чтобы избежать этого предположим, что экстремальное отображение является гладким и квазиконформным в круге за исключением конечного числа гладких дуг. Вообще говоря, все известные экстремальные отображения имеют такой вид. При этом предположении установим характеристики экстремального отображения. В этом случае для допустимых вариаций о У% О , Ы F О , а знак о У ± может быть, вообще говоря, любым. Следовательно, для экстремального отображения имеем
Экстремальные задачи на множестве отображений с ограниченной в интегральном смысле характеристикой
Сопоставляя (2.20), (2.21) и (2.22), видим, что в случае J і rif з J г. iia. допустимой является вариация с любым достаточно малым Ш±\ и Ы F может иметь любой знак. Поэтому для экстремального отображения имеем либо а) 3 \Л± , Dt= Ma, , либо б) 9 =М . Э Ма.. либо в) 3J: = М , Зх Гід, . Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
Для нахождения экстремального отображения мы применяем вариационный метод. Он применялся П.П.Белинским для О, квазиконформных отображений. Применение этого метода в случае отображений квазиконформных в среднем, ввиду возможной неограниченности характеристики р(") в окрестности варьируемой точки, весьма непросто. Чтобы избежать этого предположим, что экстремальное отображение является гладким и квазиконформным в круге за исключением конечного числа гладких дуг. Вообще говоря, все известные экстремальные отображения имеют такой вид. При этом предположении установим характеристики экстремального отображения.
В этом случае для допустимых вариаций о У% О , Ы F О , а знак о У ± может быть, вообще говоря, любым. Следовательно, для экстремального отображения имеем Легко показать ( [73 ), что для экстремального отобракения в этом случае выполняется также соотношение Условие (2.23) является необходимым и достаточным для того, чтобы при любой допустимой вариации приращение функции F было неположительным. В самом деле. Подвергнем круг oc/Jsl вариации с постоянными характеристиками ju± и juz в кругах Тогда Так как $ft- 6А , то из (2.21) следует, что при 0 -0 и (A F 0 « Достаточность доказана. Докажем необходимость. Допустим, что для некоторых двух точек и І г условие (2.23) не выполняется. Пусть, например, Положим теперь 6± - $/}. , 0а.-блг+"5; и выберем 1 jw. I и I/UJLJ достаточно малыми и так, чтобы имело место двойное неравенство Вариация с такими характеристиками допустима ( О Зг О ), a d г О . Это противоречит экстремальности отображения. Полученное противоречие доказывает необходимость. б). В этом случае, аналогично заключаем, что для экстремального отображения а также выполняется условие V» в). В этом случае для экстремального отображения допустимыми являются вариации, для которых оУ О О І w F О одновременно, то есть вариации, при которых . Это накладвает ограничения на возможность изменения угла О . Поставим следущ,ую экстремальную задачу. В классе отображений с фиксированной характеристикой р(оС) и произвольным О найти отображение, доставляющее макси мум функции г С W , \// , ... І ХХЛъ ) Подвергнем круг J\x/( 1 вариации по формуле (2.2). Обозначим через jZ характеристику проварьированного отображения.
