Введение к работе
Актуальность проблемы. Историческая справка. Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются экстремальные свойства гармонических и локально-квазиконформных отображений в плоскости комплексного переменного.
Основы теории гармонических отображений были заложены в начале XX века в работах Т. Радо1, X. Кнезера2 и Г. Шоке3. Повышение интереса к классам однолистных гармонических функций произошло после известной работы Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла4, и обусловлено, во-первых, родством задач теории гармонических отображений с классической проблематикой конформных отображений, а, во-вторых, существенными отличиями и своеобразием свойств гармонических функций и используемых для их анализа методов. Отдельным фактором, стимулирующим развитие теории гармонических отображений, следует считать успешное доказательство Л. де Бранжем5 в 1984 г. известной гипотезы Л. Бибербаха об оценке коэффициентов нормированных однолистных конформных отображений. В дальнейшем проблематике однолистных гармонических отображений был посвящен ряд работ Т. Шейл-Смолла, Дж. Бшути, У. Хенгартнера, П. Дюрена, Ю. Йоста, Э. Шауброк, М. Дорфа, а также российских математиков, таких как В.В. Старков, В.Г. Шеретов, Д.В. Прохоров, С.Ю. Граф. Следует отметить, что ряд классических проблем теории гармонических отображений
Rado Т. Aufgabe 44/ Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S.49.
2Kueser H. Losung der Aufgabe 41// Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S. 123 - 124.
3Choquet G. Sur une type de representation analytique generalisant la representation conforme et definie
an moyen de fonction harmomque// Bull. Sci. Math. 1945. T. 69, N 2. P. 156 - 165.
4Clunie J., Sheil-Small T. Harmonic univalent functions// Arm. Acad. Sci. Fenn., A.I. Math., 1984. V. 9. P. 3 - 25.
5Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture// LOMI preprintes, E - 5, 1984. S. 1 - 21.
(таких как оценка коэффициентов, теорема существования и единственности гармонического отображения с заданной дилатацией) на сегодняшний день остаются нерешенными.
В настоящее время гармонические отображения превратились в важный инструмент для решения широкого спектра задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, комплексно-аналитической и теоретической физики. Теория гармонических отображений также применяется в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. По сей день развитие теории гармонических отображений активно продолжается, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, воз никающие в этой области6.
В настоящей диссертационной работе сделана попытка обобщить нею торые классические результаты геометрической теории функций на классь однолистных и локально-однолистных гармонических и локально-квазикон формных отображений. При этом многие результаты представляют собої продолжение исследований СЮ. Графа7'8 в теории линейно- и аффинно инвариантных семейств гармонических отображений.
Цель работы:
(а) развитие теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локаль
но-однолистных гармонических отображений единичного круга, включаї
щее в себя получение оценок радиусов кругов однолистности, звездообраз
ности гармонических отображений, доказательство оценок кривизны образо
окружностей при гармонических отображениях;
(б) развитие и адаптация методов модулей и экстремальных длин к клас
6Duren P. Harmonic mappings in the plane. Cambridge, 2004. 214 p.
7Граф СЮ. Точная оценка якобиана в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармоничен
отображений// Труды Петрозаводского гос. ун-та. Сер. Математика. 2007. Вып. 14. С. 31 - 38.
8Граф СЮ. Теоремы искажения в семействах гармонических отображений// Сборник трудов НАІ
Украины. Киев, 2010. Т. 7, № 2. С. 218 - 226.
сам локально-квазиконформных и гармонических отображений.
Методика исследования. При получении основных результатов данной диссертационной работы использовались вариационные методы (в частности, методы теории линейно- и аффишю-инвариантных семейств локально-однолистных аналитических и гармонических функций), метод параметрических продолжений, а также методы экстремальных длин и модулей.
Многие доказательства опираются на результаты П. Дюрена6, Дж. Клупп4, Т. Шейл-Смолла9 и СЮ. Графа.
Научная новизна и достоверность. Все представленные в диссертации результаты являются новыми, за исключением материалов 1 и 6, носящих обзорный характер, и некоторых вспомогательных фактов, авторство которых отражено в ссылках. Все научные результаты, включенные в состав диссертации, сопровождены убедительными доказательствами и являются достоверными.
Работа носит теоретический характер.
Основными в ней являются следующие результаты:
оценка модуля производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аф-финно-инвариантному семейству;
оценка модуля производной Шварца гармонического отображения специального вида, принадлежащего произвольному линейно- и аффинно-инва-рнантному семейству;
оценка радиуса звездности однолистного гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аффннно-ннвариантному семейству;
оценка кривизны образа окружности при локально-однолистном гармо-
9Sheil-Small Т. Constants for planar harmonic mappings// J. London Math. Soc. 1990. V. 42. P. 237-248.
ническом отображении, принадлежащем произвольному линейно- и аффин но-инвариантному семейству;
- уточнение и специализация оценок искажения модулей и приведении модулей многосвязных областей при локально-квазиконформных отображ ниях.
Результаты диссертации представляют интерес для развития теории ли нейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений тесно связаны с некоторыми классическими проблемами и гипотезами те рии гармонических отображений, такими как проблема коэффициентов, про блема круга однолистности, проблема оценки Гауссовой кривизны минималь ных поверхностей. Результаты диссертации применены в исследованиях п геометрической теории функций и квазиконформным отображениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывалис на 14-ой международной Саратовской зимней школе, посвященной памят академика П.Л. Ульянова (февраль 2008 г., Саратов), на девятой между народной Казанской летней школе-конференции по теории функций (июл 2009 г., Казань), на 5-ой Петрозаводской международной конференции п комплексному анализу (июль 2010 г., Петрозаводск) и на семинарах кафедры математического анализа Тверского государственного университета.
Публикации. Результаты диссертационных исследований опубликованы и с достаточной полнотой отражены в 8 статьях, список которых приведен в конце автореферата, из них 3 опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, влю-чающих 8 параграфов, заключения и изложена на 100 страницах. Нумерация параграфов сквозная, то есть не зависит от номеров глав. Список литературы включает 76 наименований.
