Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Мажорантные аналитические функции 26
1.1. Построение конформного отображения 26
1.2. Теоремы покрытия 30
1.3. Неравенства для аналитических функций и их производных 41
Глава 2. Рациональные функции и полиномы 57
2.1. Неравенства для рациональных функций 57
2.2. Неравенства для тригонометрических и алгебраических полиномов 73
2.3. Дифференциальные неравенства для тригонометрических полиномов 85
2.4. Рационально-тригонометрические функции с ограничением на отрезке, меньшем чем период 105
2.5. Тригонометрические полиномы с ограничением на отрезке, меньшем чем период 118
Глава 3. Целые функции конечной степени 123
3.1. Построение конформных отображений 123
3.2. Неравенства для целых функций конечной степени 126
3.3. Неравенства для полиномов 145
Список литературы 157
- Неравенства для аналитических функций и их производных
- Неравенства для тригонометрических и алгебраических полиномов
- Рационально-тригонометрические функции с ограничением на отрезке, меньшем чем период
- Неравенства для целых функций конечной степени
Введение к работе
В настоящей работе развивается новый подход к изучению свойств многолистных аналитических функций с помощью теории однолистных конформных отображений. Мы получаем новые неравенства для мажорантных аналитических функций, для рациональных функций и полиномов, и для целых функций конечной степени, усиливающие и обобщающие классические и современные результаты такого рода.
Неравенства для аналитических функций и их производных
Эту оценку в случае I — 1 раннее доказал М. А. Малик [123]. Неравенство Малика и Чена усилино в работе [116], а обобщение этого неравенства связанное с оценкой maxz-r Р (;г)[ можно найти в [72, 76]. Улучшение результата Малика в зависимости от коэффициентов ер, СІ, сг было получено Говилом, Рахманом и Шмейсером в статье [112]. Легко видеть, что теорема L являлась бы простым следствием теоремы J, если бы не ограничение на OJ (Z), которое, как уже было сказано, является лишним. Теорема L усиливается теоремой 3.13, причем приводятся все экстремальные полиномы.
Это результат В. Н. Дубинина [16, с. 58]. Соотношение между левой и правой частями этой системы неравенств хорошо известно (см., например, [114, с. 48]). Отметим, что результат Дубинина и следствие 3.7 в случае ( = оо эквивалентны.
Теорема К усиливается и обобщается теоремой 3.16, причем определяются все экстремальные полиномы. Различные усиления теоремы К можно найти также в работах [66, 103].
Значительная часть результатов связанных с неравенствами Анкеии, Лэкса, Малика, Говила и др., их улучшениями и обобщениями, собрана в обзорной статье [108], содержащей более ста ссылок.
Доказательства части теорем 3.2 главы 3 основываются на построении по заданной функции f(z) Є ЛТа конформного и однолистного отображения w = д\ () и на последующем применении к этому отображению геометрической теории функций комплексного переменного. Другие результаты являются, как правило, нетривиальными следствиями этих теорем и некоторых результатов Б. Я. Левина. Исключением является теорема 3.8, доказательство которой опирается на теорему 1.1 и следствие 1.2 главы 1. Аналогичный подход используется в 3.3, посвященном неравенствам для функций вида (0.20). Результаты параграфа 3.3 можно рассматривать как усиление результатов 3.2 для целых функций с положительным периодом.
В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы. 1. Развивается новый подход к получению неравенств для полиномов, рациональных функций и их обобщений, основанный на конформных отображениях. 2. Для аналитических функций, удовлетворяющих условиям мажо-рантности Н. Н. Меймана, доказаны новые неравенства, дополняющие и улучшающие результаты Н. И. Ахиезера, Р. Боаса, Т. Г. Генчева, Н. Н. Меймана. 3. Для рациональных функций с предписанными полюсами и для алгебраических и тригонометрических полиномов с криволинейной мажорантой получены новые неравенства, дополняющие и улучшающие соответствующие результаты С. Н. Бернштейна, ГГ. Борвейна, В. С. Виденского, К. И. Рахмана, В. Н. Русака, В. И. Смирнова. 4. Для некоторых классов целых функций конечной степени, в частности, для функций, не обращающихся в нуль в верхней или нижней полуплоскости, получены новые неравенства, дополняющие и усиливающие результаты Р. Б. Гарднера, Т. Г. Генчева, Н. К. Говила, К. И. Рахмана, Т. Дж. Ривлина. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ [19], [41]—[44]. Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002-2004), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2001-2004, Хабаровск, 2005), на семинарах по геометрической теории функций и функциональному анализу ИМКН ДБГУ (руководители чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин, проф. Н.Н. Фролов), на семинарах ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов). Опубликованы тезисы докладов [45]-[52].
Неравенства для тригонометрических и алгебраических полиномов
Вместе с дифференциальными неравенствами, важную роль в теории аппроксимации и в ряде смежных областей математики, играют оценки значений функции через значения аргумента и другие параметры (например, теоремы Фрагмена и Линделефа для целых функций).
Примеры эффективных приложений такого рода можно найти в монографиях Н. И. Ахиезера [2], С. Н. Бернштейна [4], Р. П. Боаса [77], И. К. Даугавета [12], В. К. Дзядыка [15], А. Зигмунда [21], И. И. Ибрагимова [22, 23, 24], Б. Я. Левина [30], С. М. Никольского [40], В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева [58]. Оценки такого плана для целых функций находят применение также в теоретической физике [31, 63]. О роли неравенств и экстремальных проблем в математическом анализе говорится в статье С. Н. Бернштейна [5]: "Наиболее плодотворное развитие за последние десятилетия получили те разделы теории функций комплексной переменной, в которых, как в теории целых и мероморфных функций, руководящее место заняли неравенства и связанные с ними различные экстремальные проблемы.... экстремальные неравенства и функции или классы функций, характеризуемые простыми экстремальными свойствами, служат путеводной нитью, направляющей плодотворное развитие анализа...".
Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, целых функций и их обобщений внесли В. В. Арестов, Н. И. Ахиезер, Н. К. Бари, С. Н. Бернштейн, Р. Боас, В. С. Виденский, Т. Г. Генчев, Н. К. Говил, Р. Даффиы, В. К. Дзядык, И. И. Ибрагимов, Б. Я. Левин, Н. Н. Мейман, С. М. Никольский, К. И. Рахмаы, Т. Дж. Ривлин, В. Н. Русак, Г. Сеге, С. Б. Стечкин, А. Шеффер и другие математики. Актуальность исследований такого рода подтверждает большое количество работ выполненных в последнее время. Отметим работы А. Азиза, П. Борвейна, А. К. Вармы, Р. Б. Гарднера, К. К. Девана, В. К. Джайна, Ксииа Ли, М. А. Малика, Г. В. Миловановича, К. Мохаммада, Р. Н. Мохапатры, А. А. Пекарского, С. Рушевая, К. Фраппайра, В. М. Шаха, Г. Шмейсера, Т. Эрдейи.
В. Н. Дубинин в работах [16, 17, 18] предложил новый способ получения неравенств для полиномов и рациональных функций, содержание которого, в общих чертах, сводится к следующему. По заданному полиному или рациональной функции строится конформное и однолистное отображение, а затем к этому отображению примершготся результаты геометрической теории функций комплексного переменного. Представление о современной теории однолистных функций можно получить из обзорных статей и монографий [25, 91, 136, 137, 157]. Таким образом, открываются новые возможности для изучения экстремальных свойств миоголистных функций. В настоящей работе показано, что развивая упомянутую выше технику В. Н. Дубинина и используя хорошо известные результаты теории однолистных функций, можно получить усиления классических и современных неравенств для полиномов, целых функций и их обобщений.
В первой главе настоящей диссертации изучаются аналитические функции, обобщающие известные классы целых функций. Целой функцией конечной степени а называют целую функцию f(z), для которой называют индикатором роста функции f(z).
Целую функцию co(z) конечной степени будем называть функцией класса "Р, если: a) LO(Z) не имеет нулей в открытой нижней полуплоскости; Класс V подробно изучен в книге Б. Я. Левина [30]. Вещественнозначную на вещественной оси функцию в дальнейшем мы будем называть вещественной. С. Н. Бернштейном было открыто [4, 74] следующее замечательное свойство целых функций конечной степени. Эта теорема, играющая большую роль в теории аппроксимации (см. [5, с. 132]), вызвала значительный интерес, много раз передоказывалась и обобщалась в различных направлениях. Неравенства в формулировке этой теоремы могут быть записаны в форме /(x)J \Mei JX\, \f{x)\ \{MeiaxY\, т. е. теорема С. Н. Бернштейна состоит в том, что при указанных условиях неравенство между некоторыми функциями влечет за собой неравенство между их производными. С. Н. Бернштейн [4] обобщил свою теорему, заменив функцию eiaz более общими функциями oo(z) = егсггір(г), где (p(z) -целая функция нулевого рода, не имеющая нулей в одной из полуплоскостей sz 0, $sz 0. Н. И. Ахиезер [1] сделал дальнейшее обобщение, заменив функцию (p(z) функцией конечной степени, удовлетворяющей некоторым условиям регулярности. В работах Б. Я. Левина [28, 29] были сняты эти требования регулярности и доказано, что если UJ{Z) Є V} a f{z) - целая функция конечной степени, не большей чем степень u (z), то из неравенства.
Рационально-тригонометрические функции с ограничением на отрезке, меньшем чем период
Соотношение между левой и правой частями (0.21) - это хорошо известное неравенство Н. К. Анкени и Т. Дж. Ривлина [64]. Теорема 3.11 дает другое усиление этого классического результата. В условиях теоремы 3.10 справедливо неравенство Эрдеша-Лэкса [118]: Неравенства Анкени-Ривлииа и Лэкса многократно улучшались [68, 73, 102, 104, 105, 109] и обобщались [69, 114, 143]. Следующее обобщение неравенства Эрдеша-Лэкса принадлежит Т. Н. Чену и М. А. Малику [85]. Б случае, когда I является делителем п, равенство реализуется для. полинома P{z) — [zl + kl)n 1. Эту оценку в случае I — 1 раннее доказал М. А. Малик [123]. Неравенство Малика и Чена усилино в работе [116], а обобщение этого неравенства связанное с оценкой maxz-r Р (;г)[ можно найти в [72, 76]. Улучшение результата Малика в зависимости от коэффициентов ер, СІ, сг было получено Говилом, Рахманом и Шмейсером в статье [112]. Легко видеть, что теорема L являлась бы простым следствием теоремы J, если бы не ограничение на OJ (Z), которое, как уже было сказано, является лишним. Теорема L усиливается теоремой 3.13, причем приводятся все экстремальные полиномы. СЛЕДСТВИЕ 3.7. Если функция P(z) вида (0.20) не имеет нулей в области \z\ 1, то при любых \z\ = 1 и 1 \(\ оо справедлива оценка Это результат В. Н. Дубинина [16, с. 58]. Соотношение между левой и правой частями этой системы неравенств хорошо известно (см., например, [114, с. 48]). Отметим, что результат Дубинина и следствие 3.7 в случае ( = оо эквивалентны. Теорема К усиливается и обобщается теоремой 3.16, причем определяются все экстремальные полиномы. Различные усиления теоремы К можно найти также в работах [66, 103]. Значительная часть результатов связанных с неравенствами Анкеии, Лэкса, Малика, Говила и др., их улучшениями и обобщениями, собрана в обзорной статье [108], содержащей более ста ссылок.
Доказательства части теорем 3.2 главы 3 основываются на построении по заданной функции f(z) Є ЛТа конформного и однолистного отображения w = д\ () и на последующем применении к этому отображению геометрической теории функций комплексного переменного. Другие результаты являются, как правило, нетривиальными следствиями этих теорем и некоторых результатов Б. Я. Левина. Исключением является теорема 3.8, доказательство которой опирается на теорему 1.1 и следствие 1.2 главы 1. Аналогичный подход используется в 3.3, посвященном неравенствам для функций вида (0.20). Результаты параграфа 3.3 можно рассматривать как усиление результатов 3.2 для целых функций с положительным периодом.
В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы. 1. Развивается новый подход к получению неравенств для полиномов, рациональных функций и их обобщений, основанный на конформных отображениях. 2. Для аналитических функций, удовлетворяющих условиям мажо-рантности Н. Н. Меймана, доказаны новые неравенства, дополняющие и улучшающие результаты Н. И. Ахиезера, Р. Боаса, Т. Г. Генчева, Н. Н. Меймана. 3. Для рациональных функций с предписанными полюсами и для алгебраических и тригонометрических полиномов с криволинейной мажорантой получены новые неравенства, дополняющие и улучшающие соответствующие результаты С. Н. Бернштейна, ГГ. Борвейна, В. С. Виденского, К. И. Рахмана, В. Н. Русака, В. И. Смирнова. 4. Для некоторых классов целых функций конечной степени, в частности, для функций, не обращающихся в нуль в верхней или нижней полуплоскости, получены новые неравенства, дополняющие и усиливающие результаты Р. Б. Гарднера, Т. Г. Генчева, Н. К. Говила, К. И. Рахмана, Т. Дж. Ривлина. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ [19], [41]—[44]. Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002-2004), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2001-2004, Хабаровск, 2005), на семинарах по геометрической теории функций и функциональному анализу ИМКН ДБГУ (руководители чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин, проф. Н.Н. Фролов), на семинарах ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов). Опубликованы тезисы докладов [45]-[52].
Неравенства для целых функций конечной степени
Данное утверждение получается путем применения теоремы 2.7 к тригонометрическому полиному fn(t) = Pn(cost) в точках , лежащих на прямой \elt\ — г. ТЕОРЕМА 2.9. Если полином fn(t) вида (2.15) с вещественными коэффициентами удовлетворяет условию (2.16), то Для полиномов вида (2.19) неравенство превращается в равенство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.2 с привлечением функций f(z) и OJ(Z) из леммы 2.3. СЛЕДСТВИЕ 2.4. Для тригонометрического полинома fn(t) вида (2.15) с вещественными коэффициентами справедливы неравенства 19 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (0), в є Ж, - вещественнозначная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию supE 1 ( )1 = 1 и неравенству (1.32) на вещественной оси. Эти условия влекут справедливость для ф(в) неравенств (1.36) и (1.37) (см. доказательства следствий 1.4 и 1.5). Пусть ф(в) = рп(в/п)/М. Согласно (2.26) ф{9) удовлетворяет неравенству (1.32), а значит, и неравенству (1.36), которое для данной функции превращается в (2.27). Пусть ф{9) = р п(9/п)/М1. Очевидно, sup6eR \ф(9)\ = 1, причем согласно (2.26) данная функция удовлетворяет неравенству (1.32). Применение неравенства (1.37) к ф{&) дает (2.28). СЛЕДСТВИЕ 2.5. Если тригонометрический полином fn(t) вида (2.15) удовлетворяет условию (2.16), то Для полиномов вида (2.21) имеют место знаки равенства в (2.29). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применение неравенства (2.26) к вещественному полиному дает 79 Максимизируя по а правую и левую части этого неравенства, получим (2.29). Для тригонометрических полиномов вида (2.21) достигается равенство в неравенстве G. Н. Бернштейна / (і) п, і М [58, с.347], а значит, и в (2.29). СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если тригонометрический полином fn(t) еш?а (2.15) удовлетворяет условию (2.16) и /та(0) = 0, /п(тг) = 0, то Знаки равенства в (2.30) имеют, место для полинома fn(t) — sinnt. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если коэффициенты полинома f{t) вещественны, то доказательство неравенства (2.30) проводится по аналогии с доказательством теоремы 2.5 с привлечением неравенства (2.26). В случае комплексных коэффициентов применяем (2.30) к вещественному полиному и максимизируем правую и левую части получаемого неравенства по а. Для полинома fn(t) = sinnt максимум модуля дроби слева в (2.30) достигается в точках і = 0,7г, и равен п. СЛЕДСТВИЕ 2.7. Если алгебраический полином Pn(z) вида (2.24) с вещественными коэффициентами удовлетворяет условию (2.25), то у/\-х2\Р п{х)\ l P2(x) ]п - 1 + \cn\/2n j , -1 х 1. Для полинома Чебышева Tn(z) неравенство превращается в ро.венство. Это утверждение является частным случаем теоремы 2.9 для тригонометрических полиномов по косинусам СЛЕДСТВИЕ 2,8. Если алгебраический полином Pn(z) вида (2.24) удовлетворяет условию (2.25), то Равенство достигается для полинома Чебышёва Тп(х) в точках, являющихся его нулями. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДЛЯ доказательства (2.31) в фиксированной точке х Є [—1, 1] достаточно применить неравенство (2.29) к тригонометрическому полиному Pn[cos{tQ +1)] - Pn[cos(t0 - t)] -cn . fn{t) = -g rr smnto smnt +..., io — arccosrc, в точке і = 0. Утверждение о равенстве следует из второй части следствия 2.7.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
