Введение к работе
Актуальность темы.
Линейные уравнения переноса возникают в связи с проблемами диффузии нейтронов, переноса излучения, в теории плазмы, в атмосферной оптике и в других областях.
С развитием атомной науки и техники задачи теории переноса были подвергнуты разносторонним исследованиям.
Одной из важных проблем является анализ спектральной задачи отвечающей уравнению переноса. Первые строгие результаты по спектральным задачам для уравнения переноса были получены в серии работ Ж.Ленера и М.Винга (1955-1962). Ими была исследована следующая задача
*'дх~~~? и{х^')<1ц'~-\и, (1)
{
и (0, //) = 0 при ц > О (2) u(l, //)=0 при /і < 0,
где х, /і - независимые переменные, as - физическая константа, а А.- спектральный параметр.
После появления этих работ резко возрос интерес к математическим аспектам линейной теории переноса. Из последующих работ следует выделить работы К.Иоргенса, С.Альбертони и Б.Монтанини, а также С.Б.Шихова, в которых исследуются более общие уравнения.
Прогресс в вычислительной технике способствовал развитию приближенных методов решения кинетических уравнений. Одним из эффективных алгоритмов численного решения уравнений переноса является метод сферических гармоник (МСГ). Среди приближенных методов МСГ выделяется теоритической разработкой и широким использованием при решении прикладных задач, становится особенно очевидным, если принять к сведению Необходимо также отметить, что классическая диффузионная'модель есть частный случай общего метода сферических гармоник.
В разработке метода сферических гармоник принимали участие С.Чандрасекар, Р.Маршак, Б.Дэвисон, Г.И.Марчук, В.С.Владимиров, У.М.Султангазин, В.В.Смелов, Г.Я.Румянцев и другие.
В этой связи совершенно естественно возникает задача о спектре соответствующих приближений уравнения переноса (так называемых Р„ - приближений). Эти задачи ранее не исследовались, им-и посвящена настоящая диссертация.
Цель работы.
-
Спектральный анализ приближений уравнения переноса и исследование вопросов полноты, минимальности и базисности собственных и присоединенных функций (СПФ) этих приближений.
-
Изучение вопросов сходимости собственных значений (СЗ) и собственных функций (СФ) приближения к СЗ и СФ исходной задачи с ростом порядка приближения.
Общая методика.
Спектральные задачи для приближений МСГ уравнения переноса сводятся к задачам для самосопряженного квадратичного пучка в специально выбранном гильбертовом пространстве и применяются методы спектральной теории операторных пучков. В работе широко используются методы теории возмущений линейных операторов, методы теории эллиптических краевых задач.
Новизна результатов.
Как уже отмечалось, ранее спектральные задачи связанные с приближениями МСГ уравнения переноса не исследовались. Все результаты работы являются новыми и основные из них следующие:
1. Получена запись в виде квадратического пучка спектральных
задач для приближений, а также для самого уравнения переноса.
2. Исследовано распределение спектра приближений.
3. Доказана сходимость СЗ из правой полуплоскости и соответ
ствующих им СФ Р„ - приближений к СЗ и СФ исходной задачи при
п —» оо.
4. В связи с тем, что Рд -приближение очень часто используется в
практических расчетах, а также совпадает с классическим уравнением диффузии, отдельно исследованы соответствующие им спектральные задачи в случаях плоскопараллелыюй и трехмерной областей. Получены теоремы о полноте, минимальности и базнсности СПФ.
Приложения. Полученные результаты и развитые методы могут использоваться в дальнейших исследованиях спектральных задач, возникающих в уравнениях переноса. В частности, они могут использоваться специалистами математического института им. В.А.С'теклова, Московского Физико-Техннческого Института, Казахского Государственного Университета и других математических центров и университетов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 95 -летию со дня рождения И.Г.Петровского в 1996 году, на 7-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Крым, Севастополь, 1996 год), на научных семинарах по спектральной теории кафедры теории функции и функционального анализа мех-мат. факультета МГУ, руководимых А.Г.Костючепко, А.А.Шкаликовым и С.А.Степиным.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора, приведенных в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 40 наименований. Общий обьем работы 81 страниц.
