Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Критерий элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве
1. Приближение элементами выпуклых множеств в предгильбертовом пространстве 15 -
2. Приближение элементами выпуклых множеств в пространстве абстрактных функций 20
3. Новые критерии элемента наилучшего приближения для выпуклых множеств 31
4. Наилучшее приближение в классах строгих солнц 41
ГЛАВА II. Критерии элемента наилучшего приближения в классе обобщенных рациональных дробей
1. Основные понятия и обозначения 50
2. Характеристика глобального минимума 54
3. Характеристика локального минимума 61
4. Геометрические критерии глобального и локального минимума 70
ГЛАВА III. Критерий единственности элемента наилучшего приближения. Постановка задач 75
1. Минимальные граничные множества и единственность элемента наилучшего приближения 77
2. Граница Шоке и единственность элемента наилучшего приближения 89
3. О размерности множества дробей наилучшего приближения 98
Литература 115
- Приближение элементами выпуклых множеств в пространстве абстрактных функций
- Новые критерии элемента наилучшего приближения для выпуклых множеств
- Геометрические критерии глобального и локального минимума
- Минимальные граничные множества и единственность элемента наилучшего приближения
Введение к работе
Задача наилучшего приближения функции состоит в отыскании такой функции Q. из некоторого фиксированного множества Q , уклонение которой от заданной функции было бы наименьшим в смысле метрики, определенной в заданном прост -ранстве. Эта задача впервые была поставлена П.Л.Чебышевым, который исследовал приближение непрерывной функции посредством алнебраических многочленов степени не выше И , а также рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. В качестве меры уклонения двух функ -ций П.Л. Чебышев рассматривал максимум модуля их разности /61,62/. Впоследствии в работах ряда ученых задача наилучшего приближения получила дальнейшее развитие. Достаточно указать исследования А.А.Маркова, Д.Джексона, С.Н. Бернштейна, Валле-Пуссена, А.Н.Колмогорова, С.Б.Стечкина, С.М.Николь -ского, А.И. Ахиезера, В.К. Дзядыка, Ю.Н.Субботина и других. С развитием теории линейных нормированных пространств стало ясно, что широкий круг задач наилучшего приближения допускает общую постановку в терминах нормированных пространств , если в качестве меры уклонения рассматривать норму пространства. Такая постановка дала возможность привлечь к решению экстремальных задач теории приближения методы и идеи функ -ционального анализа и геометрии. Новые методы оказались особенно плодотворными при переходе от конечномерных аппроксимирующих множеств к бесконечномерным, при исследовании которых прежние алгебраические методы в значительной мере потеряли свою силу.
Основы теории наилучшего приближения в нормированных пространствах были заложены еще в 20-х годах одним из создателей функционального анализа С.Банахом /II/.
В 30-70-х годах идеи Банаха были развиты и систематизированы в работах советских математиков М.Г. Крейна /9,36/ , С.М.Никольского /39/, Н.И.Ахиезера /8/, А.И. Маркушевича / /37/, А.Н. Колмогорова /32/, Е.Я.Ремеза /47,48/, СБ. Стеч-кина /56,57/, А.Л. Гаркави /20-22/, В.К. Дзядыка /25/, Н.П. Корнейчука /34/, В.Н. Никольского /40,41/ и многих других . В то же время были получены важные результаты и по теории наилучшего приближения в классических функциональных пространствах Гсм., например, / 8,9,19,25,32,34,37,39,47,91/).
Начиная с 70-х годов появляется значительное число ра-бот, исследующих вопросы приближения с функционально-геометрической точки зрения. Отличительной чертой этих работ является большая общность рассматриваемых задач и получаемых результатов. Результаты исследования некоторых крупных математических школ подытожены в виде монографий, к числу которых можно отнести работы / 23,25,33,34,36,55,58/.
Успехи, достигнутые за последние годы в теории приближения в значительной степени связаны с прогрессом в области вычислительной техники. Появилась возможность решения зна -чительно, более сложных, чем ранее, задач, что, с одной стороны привело к возникновению новых проблем, и с другой - потребовало произвести переоценку ценностей в том математиче -ском багаже, который был ранее накоплен. Эти соображения нашли свое непосредственное воплощение в работах /25,33,34,55/.
Задача наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве ОС формулируется следующим образом:
Пусть (f некоторое непустое множество пространства X и SC -некоторый фиксированный элемент из X \ G- Требуется найти такой элемент а. из (г , для которого достигается нижняя грань ВІЄ,к) - i»fiix-$H, $6д.
При этом Е(& №) называют величиной наилучшего приближения элемента относительно множества ff , а элемент о из Q-для которого // Ос - a J/ з (ft ое) - наилучшим приближением элемента ОС или элементом наилучшего приближения.
Задача наилучшего приближения включает в себя следующие проблемы :
1) существование элемента наилучшего приближения а ;
2) характеристика элемента наилучшего приближения Q & ,
3) единственность элемента наилучшего приближения f) &Q
4) если единственность элемента наилучшего приближения во множестве Є- не гарантируется, то возникает задача о характеристике размерности множества /ty- (X) С и- элементов наилучшего приближения ;
5) построение алгоритма для отыскания элемента наилучшего приближения ;
6) вычисление или оценка величины наилучшего приближения (С, х.) •
Настоящая диссертация посвящена изучению второй, третьей и четвертой задач в различных нормированных пространствах, причём в зависимости от аппроксимирующего множества 6- эти задачи могут быть как линейными, так и нелинейными.
Дадим краткую характеристику работы. Она состоит из Введения, трёх глави;рдиннацати параграфов.
Первая глава посвящена характеристике элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве.А.Н, Колмогоров /32/ указал критерий полинома наилучшего прибли при аппроксимации комплекснозначной непрерывной функции , заданной на компакте Q f обобщёнными полиномами по заданной системе функций. Здесь же даны необходимые и достаточные условия единственности полинома наилучшего приближе -ния. Эти результаты А.Н.Колмогорова были обобщены С.Б.Стеч -киным /56/ на случай приближения в пространстве вектор-функций в конечномерном гильбертовом кольце. В.Н.Никольский /40, 41/ установил аналог теоремы Колмогорова о характеристике элемента наилучшего приближения для произвольного банахова пространства.
В параграфе I главы I решается задача о характеристике элемента наилучшего приближения в предгильбертовом прос -транстве /-/ • Здесь основными результатами являются теоремы I.I.I и 1.1.2, в которых доказаны аналоги критериев Колмогорова и Никольского для того случая, когда множество G аппрокимирующих функций выпукло. Е.Я.Ремез /48/ получил обобщение известной теоремы Валле-Пуссена для пространства С[Ц) . Впервые С.Б.Стеч-кин /57/ заметил, что если функция ) аппроксимируется элементами бесконечномерного пространства, то теорема Ремеза теряет смысл. Им установлен следующий весьма важный результат.
Пусть С($$-пространство абстрактных непрерывных функций на компакте Q со значениями в банаховом пространстве % Пусть р сОАХ)" произвольное подпространство (возможно , бесконечномерное), и р0 6jp элемент наилучшего приближения для функции fiClfyX) в р. П1 ______
А.Л.Гаркави /20/распространил этот результат на произвольное банахово пространство. Теорема I.2.I является аналогом теоремы Стечкина в случае, когда р = С выпуклое множество из
Теорема 1.2.2 является аналогом теоремы I.I.I предыдущего параграфа для пространства CCQH) абстрактных непрерывных функций со значениями в предгильбертовом пространстве» Теоремы 1.2.3 - 1.2.6 являются обобщением критерия Гаркави-Никольского для случая выпуклого множества &С C(QiX) Известный критерий Никольского /41/, усиленный И.Зингером /88/ и А.Л.Гаркави /21/, а также обобщенный в ряде работ /2-3,7,26,60,70,77,87/, спаведлив для выпуклого множества. Однако его достаточная часть выполняется на произвольном непустом множестве Q линейного нормированного пространства X». В связи с тем В.Н.Никольским была поставлена задача: указать критерий элемента наилучшего приближения, в котором выпуклость множества (г аппроксимирующих функций была бы существенной как в необходимой, так и в достаточной части. Теорема 1.3.2 решает эту задачу. Теорема 1.3.3 усиливает получений резултат, а теорема 1.3.4 является геометрической интерпретацией полученного критерия.
В параграфе 4 главы I изучаются задачи глобального и локального приближения в классе строгих солнц. Здесь в соответствии с результатами Н.В.Невесенко /38/ и Л.П.Власова /I7t 18/ дано определение строгого солнца и фундаментального солнца в терминах теории наилучшего приближения.
В этом параграфе получены следующие результаты :
Установлено, что критерий глобального наилучшего приб -лижения в классе строгих солнц в линейном нормированном пространстве X , является обобщенным критерием А.Н.Колмогорова /41,42 - 45 /.
Далее, изучая класс аппроксимирующих множеств,для кото -рых характеристическим признаком является обобщенный критерий Колмогорова, установлено, что граница применимости этого критерия не шире класса строгих солнц ( в линейном нормированном пространстве ).
Показано также, что для класса строгих солнц локально и глобально наилучшие приближения совпадают. Это же утвережде -ние, как следствие, справедливо для выпуклых множеств.
Глава П посвящена Чебышевской аппроксимации комплексной нерерывной функции обобщенными рациональными дробями, описа -ние которых дано в первом и втором параграфах. Известно, что П.Л.Чебышев /40,41/ установил, что всякая непрерывная на сегменте V?; у функция имеет единственное наилучшее приближение в классе рациональных дробей
К настоящему времени эта теория получила значительное разви -тие в работах многочисленных авторов (см. напр. /42,43,44-49/).
Д.Ньюмен /25/ впервые обратил внимание на, то что для некоторых непрерывных функций величина наилучшего приближения при помощи рациональных дробей $и несравненно меньше,чем эта величина при аппроксимации алгебраическими полиномами.
Так, например, для функции (х) -\0С\ -і б х 1, в то время как для любого алгебраического полинома /э степени / 6 вседа будет ( см., напр., /25/, стр. 138 - 239, 246 - 247 ).
Этим обстоятельством объясняется интерес к проблеме аппроксимации вещественных и комплексных функций классичес -кими и обобщенными рациональными дробями. -Г.Майнардус и Д.Шведт /81/ изучали аппроксимацию непрерывной функции элементами так называемых асимптотически выпуклых множеств. Примером такого множества является мно -жество вещественных непрерывных дробей вида определенных на компакте 6j , у которых \, (х) 0 на $. Ими установлен критерий элемента наилучшего приближения типа критерия Колмогорова.
Однако, если - пространство комплекнозначных непрерывных функций, определенных на компакте Q , то множество дробей Ry)}yyi вида ( ОЛЛ ) не будет асимптотически вы -пуклым и задачи аппроксимации значительно усложняются. Проблемы комплексной рациональной аппроксимации обсуждаются в ряде статей. Сем., например, / 5,27 - 30 /,).
Вторая глава настоящей работы посвящена вопросам характеристики дроби наилучшего приближения в комплексном случае. В частности, теоремы 2.2.1 и 2.2.2 в совокупности обобщают "общие теоремы об очистке" /20/ на случай нелинейного приближения. В качестве следствия получена известная теорема из /28/ о характеристике наилучшего комплексного рационального приближения. Наконец, теорема 2.2.5 решает вопрос о харак -теристике комплексной рациональной дроби наилучшего приближения в полной мере : полученный результат значительно проще сравнительно с указанным в /28/,
Третий параграф второй главы посвящен характеристике так называемого локально наилучшего приближения непрерывной функции Дробями! комплексно значными вида (ОЛЛ К у которых ЪеХ«ЫУО на Q . С этой целью каждой дроби
сопоставляется линейное пространство, натянутое на функции У ЪЯ 9 "bR Х-і » J-» .
Элементы этого пространства суть полные дифференциалы n( 2J$ Таким образом линеаризуется задача о характеристике дроби наилучшего локального приближения. Здесь основной результат заключен в теореме 2.3.1.
Как и в линейных задачах, возникает вопрос о соотношении полученных критериев глобально наилучшего /теорема 2.2г 5/ и локально наилучшего /теорема 2.3.1/ приближения.Точнее, ставится задача: для каких множеств рациональных дробей локально наилучшее приближение функции совпадает с глобальным? Доказано, что это справедливо по крайней мере для веще-ственнозначных дробей ( 0.1 1 ),у которых MnftхУ 0ц& и$ Далее показано /теорема 2.3.4/,что это утвереждение справедливо для некоторого подмножества J/J/ комплекснозначных дробей вида ( 0.1.I ).
В четвёртом параграфе даётся геометрическая интерпретация полученных критериев. Следует отметить, что теорема 2.-4.1 полностью решает проблему геометрической интерпретации локально наилучшего приближения комплекснозначными дробями ( в вещественном случае эта задача решена другими авторами см., напр., /68,69,81/). Что касается геометрической характеристики глобально наилучшего приближения, то в комплексном случае эта задача пока не решена.Здесь известны лишь результаты, которые выражают отдельно необходимые и достаточные условия разрешимости поставленной задачи ( см., напр,/ 5,28/) Однако для класса /j/ рациональных комплексных дробей, введённых нами в параграфе 3, эта задача решается теоремой 2.4.2.
В третьей главе изучаются вопросы единственности наи -лучшего приближения и как обобщение-вопросы характеристики -размерности множества элементов наилучшего приближения для различных классов аппроксимирующих множеств.
Известна классическая теорема А.Хаара /8,25,58/, которая даёт необходимые и достаточные условия единственности поли -нома наилучшего приближения в вещественном пространствеG(Q). Впервые А.Н.Колмогоров /25,32/ распространил этот результат на случай комплексной полиномиальной аппроксимации. Для наиболее общего класса пространств решение проблемы Хаара дал С.Б.Стечкин /57/. Различные обобщения теоремы Хаара даны в работах / 8,15,25,34,50,51 /. А.Л.Гаркави /20/, изучая задачу наилучшего приближения в банаховом пространстве, установил черезвычайно интересный результат, обобщающий проблему Хаара - " общую теорему об очистке". В.Н.Никольский /42,43/, изучая вариант теоремы об очистке, установил понятие минимального граничного множества, структура которого имеет непосредственное отношение к проблеме единственности элемента наилучшего приближения. Он, в частности, указал критерий единственности элемента наилучшего приближения для действительного нормированного пространства. Нами установлен критерий единственности наилучшего приближения для комплексного линейного нормированного пространства ( теорема 3.1.4 ). Далее, исползуя приём в / 23 /} установлено минимальное граничное множество для комплексного линейного нормированного пространства jC и результаты В.Н. Никольского / 42,43 / о граничном множестве в сильном смысле / ГСС - множество / обобщены на комплексный случай. Здесь же дано описание свойств ГСС - множества, из которых следуют условия единственности элемента наилучшего приближения.
Второй параграф посвящен решению проблемы единственности с привлечением понятия границ . Шоке и Шилова. И.Зингер / 88,89 /, изучая задачу аппроксимации абстрактной гармонической функции, установил критерий наилучшего приближения типа Колмогорова, опираясь на границу Шоке. Нами доказаны теоремы 3.2.2 и 3.2.3, которые в совокупности отвечают на вопрос о единственности наилучшего приближения для абстрактных гармонических функций. При этом для доказательства необходимой части, помимо условия о нулях, характерного для теоремы Хаара, необходимо предположить условие о разрешимости задачи Дирихле. Как конкретная реализация, в заключение приводится критерий единственности наилучшего приближения для классических гармонических функций. Помимо этого, уточняется известная теорема Ремеза / 47,48 /. Известно, что Д.Мэрхьюбер /80/ впервые показал, что если на компакте о/ существует чебышев-ская система непрерывных функций, то ц топологически вкладывается в окружность. Нами указан аналог теоремы Мэрхьюбера для гармонических функций.
В третьем параграфе заключительной главы изучаются вопросы единственности и не единственности наилучшего приближения при аппроксимации комплексной непрерывной функции & обобщёнными рациональными дробями вида ( 0.1.I ) с некоторыми ограничениями, наложенными на знаменатели. Поскольку в пространстве единственность наилучшего приближения не га-рантирутся, возникает задача о размерн ости множества эле -ментов наилучших приближений. Впервые эту задачу поставил и решил Г.Ш.Рубинштейн /50/ для случая аппроксимации непрерывной функции обобщёнными полиномами. Известны различные обобщения теоремы Рубинштейна на случаи линейной и нелинейной аппроксимации / 47,48,70 /. Так, Б.Брозовски /69/ вводит понятие рациональной размерности множества дробей наилучшего приближения вида ( O.I.I ) в вещественном пространстве С(0 и дает необходимые и достаточные условия для оценки такой размерности.?. Майнердус и Д.Шведт /81/ доказывают теорему единственности для класса так называемых асимптотически выпуклых множеств ( одним из примеров такого множества,как было отмечено,являются вещественные дроби вида ( 0.1 Л). Р.Л. Долганов /28/ доказывает две теоремы, которые в совокупности характеризуют рациональную размерность множества дробей наилучшего приближения комплексного пространства CCQ) .При этом он вводит так называемое локальное условие Рубинштейна.
В третьем параграфе мы доказываем теорему 3.3.1,которая выражает необходимые и достаточные условия для того,чтобы размерность множества дробей наилучшего приближения не превосходила заданного числа. Этот результат установлен для комплексных дробей вида ( 0.1.I ) с некоторыми ограничениями на знаменатели. В общем случае эта задача пока не решена. В заключение дается теорема единственности комплексной дроби наилучшего приближения - аналог теоремы Хаара.
Основные результаты диссертации опубликованы в / 2-6 /.
Результаты диссертации доложены на научном семинаре профессора С.Б.Стечкина по теории приближения в Институте математики им. В.А.Стеклова АН СССР в 1973 г, на научном семинаре профессора Г.Ш.Рубинштейна по выпуклому анализу в Институте математики СО АН СССР в 1976 г, на научном семинаре и.о. профессора В.Н.Никольского по теории приближения при кафедре математического анализа Калининского госуниверситета с 1973 по 1982 г.г., на научном семинаре доцента Долганова Р.Л. в Омском политехническом институте в I978-1981 г.г., на научной конференции института математики и ВЦ АН Тадж. ССР в 1968 , 1980 и 1981 года, на ежегодных итоговых конференциях КГГШ г, Куляба Тадж. ССР с 1968 года по настоящее время.
Основные положения, выносимые на защиту :
1. Критерий элемента наилучшего приближения для выпуклых множеств в предгильбертовом пространстве.
2. Общая "теорема об очистке", из которой, в качестве следствия, следует критерий элемента наилучшего приближения для выпуклых множеств в пространстве С (6/ аЭабстрактных функций, заданных на компакте 4$, со значениями в банаховом пространстве оС .
3. Естественная граница применимости обобщённого критерия Колмогорова в линейном случае, которая не шире класса множеств, именуемых в теории приближения "строгими солнцами"
4. Обратимость локального и глобального критериев элемента наилучшего приближения для линейного и нелинейного приближения.
5. Аналог общей "теоремы об очистке" для случая нели -нейного приближения, из которой как следствие вытекает критерий нелинейного наилучшего приближения типа критерия Колмогорова.
6. Геометрическая интерпретация критерия элемента наилучшего приближения для случаев линейного и нелинейного приближения»
7. Новый критерий элемента наилучшего приближения для выпуклых множеств в произвольном линейном нормированном пространстве.
8. Построение минимального граничного множества и сильно граничного множества, которые имеют непосредственое отношение к проблеме единственности элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве.
9. Критерий единственности наилучшего приближения для абстрактных и классических гармонических функций.
10. Характеристика размерности множества элементов наи лучшего приближения при аппроксимации комплексной непрерывной функции обобщенными рациональными дробями.
Приближение элементами выпуклых множеств в пространстве абстрактных функций
Задача наилучшего приближения функции состоит в отыскании такой функции Q. из некоторого фиксированного множества Q , уклонение которой от заданной функции было бы наименьшим в смысле метрики, определенной в заданном прост -ранстве. Эта задача впервые была поставлена П.Л.Чебышевым, который исследовал приближение непрерывной функции посредством алнебраических многочленов степени не выше И , а также рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. В качестве меры уклонения двух функ -ций П.Л. Чебышев рассматривал максимум модуля их разности /61,62/. Впоследствии в работах ряда ученых задача наилучшего приближения получила дальнейшее развитие. Достаточно указать исследования А.А.Маркова, Д.Джексона, С.Н. Бернштейна, Валле-Пуссена, А.Н.Колмогорова, С.Б.Стечкина, С.М.Николь -ского, А.И. Ахиезера, В.К. Дзядыка, Ю.Н.Субботина и других. С развитием теории линейных нормированных пространств стало ясно, что широкий круг задач наилучшего приближения допускает общую постановку в терминах нормированных пространств , если в качестве меры уклонения рассматривать норму пространства. Такая постановка дала возможность привлечь к решению экстремальных задач теории приближения методы и идеи функ -ционального анализа и геометрии. Новые методы оказались особенно плодотворными при переходе от конечномерных аппроксимирующих множеств к бесконечномерным, при исследовании которых прежние алгебраические методы в значительной мере потеряли свою силу.
Основы теории наилучшего приближения в нормированных пространствах были заложены еще в 20-х годах одним из создателей функционального анализа С.Банахом /II/.
В 30-70-х годах идеи Банаха были развиты и систематизированы в работах советских математиков М.Г. Крейна /9,36/ , С.М.Никольского /39/, Н.И.Ахиезера /8/, А.И. Маркушевича / /37/, А.Н. Колмогорова /32/, Е.Я.Ремеза /47,48/, СБ. Стеч-кина /56,57/, А.Л. Гаркави /20-22/, В.К. Дзядыка /25/, Н.П. Корнейчука /34/, В.Н. Никольского /40,41/ и многих других . В то же время были получены важные результаты и по теории наилучшего приближения в классических функциональных пространствах Гсм., например, / 8,9,19,25,32,34,37,39,47,91/).
Начиная с 70-х годов появляется значительное число ра-бот, исследующих вопросы приближения с функционально-геометрической точки зрения. Отличительной чертой этих работ является большая общность рассматриваемых задач и получаемых результатов. Результаты исследования некоторых крупных математических школ подытожены в виде монографий, к числу которых можно отнести работы / 23,25,33,34,36,55,58/.
Успехи, достигнутые за последние годы в теории приближения в значительной степени связаны с прогрессом в области вычислительной техники. Появилась возможность решения зна -чительно, более сложных, чем ранее, задач, что, с одной стороны привело к возникновению новых проблем, и с другой - потребовало произвести переоценку ценностей в том математиче -ском багаже, который был ранее накоплен. Эти соображения нашли свое непосредственное воплощение в работах /25,33,34,55/. Задача наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве ОС формулируется следующим образом: Пусть (f некоторое непустое множество пространства X и SC -некоторый фиксированный элемент из X \ G- Требуется найти такой элемент а. из (г , для которого достигается нижняя грань При этом Е(& №) называют величиной наилучшего приближения элемента относительно множества ff , а элемент о из Q-для которого // Ос - a J/ з (ft ое) - наилучшим приближением элемента ОС или элементом наилучшего приближения. Задача наилучшего приближения включает в себя следующие проблемы : 1) существование элемента наилучшего приближения а ; 2) характеристика элемента наилучшего приближения Q & , 3) единственность элемента наилучшего приближения f) &Q 4) если единственность элемента наилучшего приближения во множестве Є- не гарантируется, то возникает задача о характеристике размерности множества /ty- (X) С и- элементов наилучшего приближения ; 5) построение алгоритма для отыскания элемента наилучшего приближения ; 6) вычисление или оценка величины наилучшего приближения (С, х.) Настоящая диссертация посвящена изучению второй, третьей и четвертой задач в различных нормированных пространствах, причём в зависимости от аппроксимирующего множества 6- эти задачи могут быть как линейными, так и нелинейными. Дадим краткую характеристику работы. Она состоит из Введения, трёх глави;рдиннацати параграфов. Первая глава посвящена характеристике элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве.А.Н, Колмогоров /32/ указал критерий полинома наилучшего приближения при аппроксимации комплекснозначной непрерывной функции , заданной на компакте Q f обобщёнными полиномами по заданной системе функций. Здесь же даны необходимые и достаточные условия единственности полинома наилучшего приближе -ния. Эти результаты А.Н.Колмогорова были обобщены С.Б.Стеч -киным /56/ на случай приближения в пространстве вектор-функций в конечномерном гильбертовом кольце. В.Н.Никольский /40, 41/ установил аналог теоремы Колмогорова о характеристике элемента наилучшего приближения для произвольного банахова пространства.
Новые критерии элемента наилучшего приближения для выпуклых множеств
Этим обстоятельством объясняется интерес к проблеме аппроксимации вещественных и комплексных функций классичес -кими и обобщенными рациональными дробями. Г.Майнардус и Д.Шведт /81/ изучали аппроксимацию непрерывной функции элементами так называемых асимптотически выпуклых множеств. Примером такого множества является мно -жество вещественных непрерывных дробей вида определенных на компакте 6j , у которых \, (х) 0 на $. Ими установлен критерий элемента наилучшего приближения типа критерия Колмогорова.
Однако, если - пространство комплекнозначных непрерывных функций, определенных на компакте Q , то множество дробей Ry)}yyi вида ( ОЛЛ ) не будет асимптотически вы -пуклым и задачи аппроксимации значительно усложняются. Проблемы комплексной рациональной аппроксимации обсуждаются в ряде статей. Сем., например, / 5,27 - 30 /,).
Вторая глава настоящей работы посвящена вопросам характеристики дроби наилучшего приближения в комплексном случае. В частности, теоремы 2.2.1 и 2.2.2 в совокупности обобщают "общие теоремы об очистке" /20/ на случай нелинейного приближения. В качестве следствия получена известная теорема из /28/ о характеристике наилучшего комплексного рационального приближения. Наконец, теорема 2.2.5 решает вопрос о харак -теристике комплексной рациональной дроби наилучшего приближения в полной мере : полученный результат значительно проще сравнительно с указанным в /28/,
Третий параграф второй главы посвящен характеристике так называемого локально наилучшего приближения непрерывной функции Дробями! комплексно значными вида (ОЛЛ К у которых ЪеХ«ЫУО на Q . С этой целью каждой дроби сопоставляется линейное пространство, натянутое на функции У ЪЯ 9 "bR Х-і » J-» .
Элементы этого пространства суть полные дифференциалы n( 2J$ Таким образом линеаризуется задача о характеристике дроби наилучшего локального приближения. Здесь основной результат заключен в теореме 2.3.1.
Как и в линейных задачах, возникает вопрос о соотношении полученных критериев глобально наилучшего /теорема 2.2г 5/ и локально наилучшего /теорема 2.3.1/ приближения.Точнее, ставится задача: для каких множеств рациональных дробей локально наилучшее приближение функции совпадает с глобальным? Доказано, что это справедливо по крайней мере для веще-ственнозначных дробей ( 0.1 1 ),у которых MnftхУ 0ц& и$ Далее показано /теорема 2.3.4/,что это утвереждение справедливо для некоторого подмножества J/J/ комплекснозначных дробей вида ( 0.1.I ).
В четвёртом параграфе даётся геометрическая интерпретация полученных критериев. Следует отметить, что теорема 2.-4.1 полностью решает проблему геометрической интерпретации локально наилучшего приближения комплекснозначными дробями ( в вещественном случае эта задача решена другими авторами см., напр., /68,69,81/). Что касается геометрической характеристики глобально наилучшего приближения, то в комплексном случае эта задача пока не решена.Здесь известны лишь результаты, которые выражают отдельно необходимые и достаточные условия разрешимости поставленной задачи ( см., напр,/ 5,28/) Однако для класса /j/ рациональных комплексных дробей, введённых нами в параграфе 3, эта задача решается теоремой 2.4.2.
В третьей главе изучаются вопросы единственности наи -лучшего приближения и как обобщение-вопросы характеристики размерности множества элементов наилучшего приближения для различных классов аппроксимирующих множеств.
Известна классическая теорема А.Хаара /8,25,58/, которая даёт необходимые и достаточные условия единственности поли -нома наилучшего приближения в вещественном пространствеG(Q). Впервые А.Н.Колмогоров /25,32/ распространил этот результат на случай комплексной полиномиальной аппроксимации. Для наиболее общего класса пространств решение проблемы Хаара дал С.Б.Стечкин /57/. Различные обобщения теоремы Хаара даны в работах / 8,15,25,34,50,51 /.
А.Л.Гаркави /20/, изучая задачу наилучшего приближения в банаховом пространстве, установил черезвычайно интересный результат, обобщающий проблему Хаара - " общую теорему об очистке". В.Н.Никольский /42,43/, изучая вариант теоремы об очистке, установил понятие минимального граничного множества, структура которого имеет непосредственное отношение к проблеме единственности элемента наилучшего приближения. Он, в частности, указал критерий единственности элемента наилучшего приближения для действительного нормированного пространства. Нами установлен критерий единственности наилучшего приближения для комплексного линейного нормированного пространства ( теорема 3.1.4 ). Далее, исползуя приём в / 23 /} установлено минимальное граничное множество для комплексного линейного нормированного пространства jC и результаты В.Н. Никольского / 42,43 / о граничном множестве в сильном смысле / ГСС - множество / обобщены на комплексный случай. Здесь же дано описание свойств ГСС - множества, из которых следуют условия единственности элемента наилучшего приближения.
Геометрические критерии глобального и локального минимума
Настоящий параграф посвящен одному критерию элемента наилучшего приближения, который характерен для выпуклых множеств. Итак, пусть J (действительное или комплексное) -линейное нормированное пространство. Через (г обозначим некоторое непустое выпуклое множество из X»
Согласно теореме В.Н. Никольского /40,41/ элементе (? наименее уклоняется от ос XN (Г тогда и только тогда, когда для любого Q из 6- существует функционал fa из I (где Р - данное фундаментальное для X множество линейных функ ционалов) такой, что
Фундаментальным множеством линейных функционалов автор называет всякое замкнутое в топологии (j( JCp%) подмножество Р единичной сферы сопряженного пространства X » обладающее тем свойством, что для любого х G Х 7 х . О существует Р такой, что / (Ю1 И жЦ Результат В.Н.Никольского в терминах экстремальных функционалов нашел свое обобщение в работах Зингера и Гарка-ви /21,88/.
Чрезвычайно важно отметить, что идея фундаментального множества доказала свою правоту в топологических пространствах и даже в нестандартном анализе /7,26,60/. Необходимо отметить также, что во всех вышеперечисленных результатах условие (I.3.I) является достаточным для любого множества М С Х не обязательно выпуклого.
В связи с вышеперечисленными обстоятельствами возникает вопрос о существовании критерия элемента наилучшего прибли -жения для выпуклых множеств. Более точно, мы укажем критерий в котором условие выпуклости множества существенно используется при доказательстве как необходимости, так и достаточности. Эта задача была поставлена В.Н. Никольским.
Предварительно сделаем некоторые замечания, необходимые в последующем. Определение /42/ I.3.I. Пусть G из X выпуклое не пустое множество и пусть о из Q наименее уклоняется от Граничным множеством (для х и Q ) бу дем называть замкнутое в топологии о( ОС j jC) множество Н(ХЮ линейных функционалов таких, что l f(x-$0)t =Hx (lJ fenfal/J и для любого о из G найдется функционал из //(#/ Я ) та кой, что Т.Ривлин и Х.Шапиро /87/ вместо граничного множества употребляют термин "сигнатуры", Джонсон " Н -множества"/??/ Б.Брозовски /67-70/ вместо граничного множества функционалов использует терминологию "сигнатуры", " Н -множества", мно -жества максимального уклонения и так далее. Следует отметить, что независимо от названия и терминологии всюду в вышеперечисленных работах, особенно в /67,69/, существенно используются понятия и свойства граничных мно -жеств. Доказательство, Сначала покажем, что из условия а) следует условие б). На самом деле, если условие а) имеет место, То для каждого о из Q- и для каждого из / ( ос, о ) имеет место J?e tljtri) f(X $o)"\ О Тогда также будет иметь место Теперь покажем, что из условия б) следует условие а). В самом деле, если имеет место условие б), то для каждого й из Ь и для каждого функционала ; 6 Н( 9 ) выполняется условие Ve {$( -) ( -&} , llx-o"2 Очевидным образом из последнего неравенства следует.
Минимальные граничные множества и единственность элемента наилучшего приближения
Известно, что одной из проблем в задаче наилучшего приближения является проблема единственности элемента наилучшего приближения. Классическая теорема Хаара утверждает,что каждая функция теС(@] имеет единственный полином наилучшего приближения по системе линейно независимых функций { // 7 % \ тогда и только тогда, когда каждый полином по этой системе имеет на Q не более И- 1 различных нулей. Новое доказательство теоремы Хаара (в частности, и для комплексных функций) дали В.С.Виденский /б/, В.Птак /86/, Д/К.Ньюмен и Х.С.Шапиро в /82/. Далее Дж.Ньюмен и Х.С.Шапиро установили, что для функ-ции т переменных вида "f ( /; " Щт\) - %_ $6 за-данной в м - мерном параллелепипеде %, Рс б с » среди многочленов hi переменных И - й степени существует единствен -ный многочлен наилучшего приближения р (я . . v );npn этом 2 ct%:) - P L - /$ )» гДе Pjlxc-)- многочлен /7-Й степени, наименее уклоняющийся от ..() на отрезке & . А Ими же установлен аналог этого предложения для обобщенных полиномов. А.Л.Гаркави /22/ установил критерий системы, состоящей из дифференцируемых функций, которая обладает свойством единственности относительно многообразия функций, непрерывно дифференцируемых на данном отрезке. Система, удовлетворяющая этому критерию, может и не быть Чебышевской.
В третьей главе рассмотрены аналогичные задачи для произвольного линейного нормированного пространства.
Сохраняя обозначения, принятые в первой главе, будем обозначать X действительное или комплексное нормирован -ное пространство, (г - некоторое подмножество из . Поставим вопрос о нахождении необходимых и достаточных условий для того, чтобы каждый элемент 0 6 jb\ Q- имел в множестве (г в точности один элемент CL наилучшего приближе -ния. При этом предполагается, что & - множество существования, то-есть для каждого ОС Є Q- существует в G хотя бы один элемент наилучшего приближения.
Пусть Gddd - выпуклое множество. Характеристический признак наименее уклоняющегося элемента выражается с помощью обобщенного критерия А.Н.Колмогорова /32/, который впервые для выпуклого множества (г был установлен В.Н.Никольским /41/ в следующей редакции: Для того чтобы элемент а. Q наименее уклонялся от он 6 необходимо и достаточно, чтобы для любого О Є G существовал функционал 6 Г (где Г - фундаментальное для - множество линейных фун кционалов) такой, что При этом фундаментальным множеством линейных функционалов автор называет всякое замкнутое в топологии гЧ % ОС) подмножество Р единичной сферы $ сопряженного пространства X , обладающее тем свойством, что для любого Л, Ж Ф #, существует т такой, что 1(х.)1 - II &II-Там же показано существование минимального фундаментального множества, которое не обладает свойством единственности.Свойством единственности обладает только минимальное симметричное фундаментальное множество, то-есть такое, что из е Г следует Г при любом ; / / - 1- Оказывается, что это множество совпадает с замыканием в топологии о ( ОС і л ) совокупности всех экстремальных точек сферы Р Определение 3.1.I /41/ Пусть Q наименее уклоня ется от Ос Є ОС\ & Граничным множеством ( для ос и Q ) будем называть замкнутое в топологии множество ТЕОРЕМА 3.1.2 /41/ Для всякого Q Q} наименее уклоняющегося от ОС в оС\ Qf существует минимальное граничное множество И (х; $а t Г) Уместно отметить, что результат теоремы 3.1.2 есть вариант так называемой "теоремы об очистке" (см./20/),где изучен случай, когда G есть линейное подпространство пространства QC t а вместо р взято множество экстремальных то -чек сферы $ Известно, что структура минимального граничного множества имеет непосредственное отношение к проблеме единственности наименее уклоняющегося элемента (см./42/). Если С - h - мерное подпространство действительного пространства ОС » то минимальное граничное множествоW(wO состоит из % функционалов ; .... j Z 6. И+1 Если окажется, что ь-к+і t то элемент Q (. Q. является единственным наименее уклоняющимся от ос элементом В (г Однако условие % - h+1 как показал В.К.Иванов (см. /31/ стр. 547) будучи достаточным, не является необходимым для единственности элемента наилучшего приближения.В-связи с этим возникает проблема нахождения условий, необходимых и достаточных для единственности элемента наилучшего приближения.
