Введение к работе
Диссертация посвящена некоторым вопросам теории приближений в линейных нормированных пространствах.
Актуальность темы. Пусть X - линейное нормированное пространство с нормой || ||, М - непустое подмножество X, р(х,М) .= inf{|| х — у ||: у Є М} - расстояние от элемента х Є X до М, Рм{х) — {у Є М :\\ х — у ||= р(х, М)} - метрическая проекция элемента х на множество М, то есть множество элементов наилучшего приближения ДЛЯ X в М. Основные аппроксимативные свойства множества М определяются свойствами оператора метрического проектирования Рм ' х —t Рм{х) -вообще говоря, неоднозначного и определенного не на всем X. Так, М называется множеством существования, если оператор Рм определен на всем пространстве X, и множеством единственности, если Рм однозначен на своей области определения. Если М является одновременно множеством существования и множеством единственности, то есть для любого х Є X в М существует ровно один элемент наилучшего приближения Рц(х), то М называется чебышевским множеством. Другие аппроксимативные свойства множества М определяют, исходя из различных видов непрерывности оператора Рщ.
Основными в теории приближений в нормированных пространствах (или, как говорят, геометрической теории приближений) являются задачи следующих двух типов:
-
получение геометрических, топологических и аналитических характеристик мпожеств М С X, обладающих некоторым заданным аппроксимативным свойством Л а пространстве X.
-
описание линейных нормированных пространств X, в которых заданный класс К множеств М С Л' обладает заданным аппроксимативным свойством Л.
Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П. Л. Чебышева (1859), и которой, в частности, доказана чебышевость множества Рп алгебраических многочленов степени не выше п и множества Rmn рациональных функций со степенью числителя не выше га и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а, Ь] функций, непрерывных на отрезке fa, 6]. В этой же работе П. Л. Че-бышев описал оператор метрического проектирования на множества Рп и R-mn (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А. Хааром (1918), А. Н. Колмогоровым (1948), Е. Я. Ремезом (1953). Окончательное становление геометрическоіі теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в конце 50-х и в 60-е гг. благодаря работам И. Зингера, В. Кли, Н. В. Ефимова и С. Б. Стечкина, Л. ІЇ. Власова, А. Л. Гаркави, Б. В. Опшана, С. Я. Хавинсона, Д. Вульберта, Б. Крипке,
Дж. Линденштраусса, П. Морриса, Т. Ривлина, У. Рудина, Р. Фелпса, Р. Холмса, Э. Чини и др.
Наиболее важный класс аппроксимирующих множеств в линейных нормированных пространствах составляют их (замкнутые линейные) подпространства. Самыми простыми, с точки зрения аппроксимативных свойств их подпространств, являются гильбертовы пространства. В таком пространстве X оператор Ру метрического проектирования на любое его подпространство Y является оператором ортогональною проектирования на У, то есть линейным оператором нормы 1. Как оказалось, эти свойства оператора Ру можно положить в основу различных критериев гильбертовости банахова пространства. Именно, справедливы следующие две теоремы:
Теорема Рудина-Смита (1961) и Зингера (1970). Пусть d > 1 и к > 2 - заданные натуральные числа, и пусть размерность вещественного банахова пространства X не меньше чисел d + 2 и к + 1. Тогда следующие условия эквивалентны:
-
пространство X гильбертово;
-
для любого d-мерного подпространства Y С X оператор Ру однозначен и линеен на X;
-
для любого подпространства Y С X коразмерности к оператор Ру определен на всем X, однозначен и линеен.
Теорема Какутани (1939). Если вещественное банахово пространство X имеет размерность > 3, и для каждого его подпространства Y существует линейный проектор яу : X — Y, с || яу jj= 1, то пространство X гильбертово.
Р. Фиялипс (1940) показал, что условия этой теоремы можно ослабить до требования существования проектора нормы 1 лишь на каждое двумерное подпространство в X.
Другие аппроксимативные критерии гильбертовости доказывались А. Л. Гаркали (1964), Д. Амиром и Ф. Дойчем (1978), С. В. Конягиным (1978), В. М. Тихомировым, Р. С. Исмагиловым и С. Б. Бабаджановым (1979), Л. Веселы (1991), В. С. Балаганским (1997) и др.
В I главе диссертации устанавливается ряд новых критериев гильбертовости банахова пространства, среди которых имеются и обобщения критерия Рудина-Смита-Зингера и критерия Какутани.
Известно (1970), что одновременная рефлексивность и строгая выпуклость банахова пространства необходимы и достаточны для того, чтобы все его линейные подпространства были чебышевскими (например, такими являются пространства Lp при 1 < р < со). Поэтому особый интерес приобретает задача описания чебышевских подпространств
в нерефлексивных пространствах (среди которых наиболее популярны- і ми являются, конечно, L — L\ и С). Из самых значительных результатов в этом направлении отметим полное описание чебышевских подпространств конечной размерности и копечной коразмерности во всех наиболее употребительных функциональных пространствах. Так, в пространстве С конечномерные чебышевские подпространства описаны А. Хаа-ром (1918) и Дж. Мэйрхьюбером (1956), а чебышевские подпространства конечной коразмерности - А. Л. Гаркави (1967). Соответствующие результаты в пространстве L получены Р. Фелпсом (1966) п А. Л. Гаркави (1970). Однако даже в самых простых нерефлексивных банаховых пространствах о чебышевских подпространствах с бесконечными размерностью и коразмерностью известно очень мало. Кроме того, во многих популярных функциональных пространствах чебышевские подпространства вообще не изучены.
Во II главе диссертации изучаются чебышевские подпространства с, вообще говоря, бесконечными размерностью и коразмерностью в пространствах і и С, а также чебышевские подпространства в пространстве Харди Н1 функций f(z), голоморфных в круге {z : \z\ < 1}.
Значительная часть опубликованных работ по геометрической теории приближения группируется вокруг следующей проблемы В.Кли-Н.В.Ефимова-С.Б.Стечкина: доказать (или опровергнуть), что в бесконечномерном гильбертовом пространстве любое чебышевское множество выпукло. Важную роль в этих исследованиях играет понятие аппроксимативной компактности. Приведем определение этого понятия.
Пусть М - некоторое подмножество банахова пространства X. Последовательность {yn}^L\ С М называется минимизирующей в М для элемента х X, если || х — уп \\—t р(х, М) при п —> со.
Определение (Н. В. Ефимов и С. Б, Стечкин, 1961). Множество М С X называется аппроксимативно компактным, если для любого х Є X всякая минимизирующая последовательность {у„} С М содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу из М.
Очевидно, если множество М ограниченно компактно (то есть его пересечение с любым замкнутым шаром является компактом), то оно аппроксимативно компактно. Обратное, вообще говоря, неверно.
В связи с упомянутой проблемой была доказана
Теорема Ефимова-Стечкина (1961). Чебышевское множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве выпукло тогда и только тогда, когда оно аппроксимативно компактно (напомним, что пространство называется равномерно выпуклым, если для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для любых х,у Є X, II х Н=11 У 11= 1> из условия || х 4- у ||> 2 — 8 вытекает || х - у ||< «;
гладкость пространства означает единственность опорной гиперплоскости в каждой точке единичной сферы).
После работы Н. В. Ефимова и С. Б. Стечкина аппроксимативно компактные множества и подпространства изучались многими авторами. Важный класс банаховых пространств составляют введенные И. Зингером (1964) пространства Ефимова-Стечкина, одним из характеристических свойств которых является аппроксимативная компактность всех подпространств.
В III главе диссертации рассматривается соотношение между аппроксимативной компактностью и ограниченной компактностью в сепара-бельных, а также рефлексивных банаховых пространствах, исследуются свойства линейных непрерывных отображений пространств Ефимова-Стечкина в произвольные банаховы пространства, а также изучается аппроксимативная компактность множеств (в частности, подпространств) в некоторых конкретных банаховых пространствах (именно, в її, с0 и с).
Цель работы: получение аппроксимативных критериев гильберто-вости банахова пространства и вытекающих из них геометрических характеристик эллипсоидов в классе выпуклых замкнутых гиперповерхностей в R" и С, исследование аппроксимативных свойств (таких, как линейность и непрерывность оператора метрического проектирования, условия чебышевости и др.) замкнутых линейных подпространств в пространствах L Лебега, Я1 Харда и С, а также изучение соотношения между аппроксимативной компактностью и ограниченной компактностью множеств в банаховых пространствах.
Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, теории приближений, теории граничных свойств аналитических функций, геометрии выпуклых множеств.
Научная новизна и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней получены следующие новые результаты:
-
Получен ряд критериев гильбертовости банахова пространства в терминах множеств, квазиортогональных к его подпространствам. Среди этих критериев - обобщение известных теорем Рудина-Смита-Зингера и Какутани. В качестве следствия получены обобщения с R3 на R" и С" (п > 2) известной теоремы Бляшке об эллипсоиде.
-
В пространствах L\VlC полностью описаны чебышевские подпространства с линейным оператором метрического проектирования.
-
Исследованы чебышевские подпространства в пространстве Харди Я1 функций, голоморфных в круге.
-
Теорема Мюнца о полноте систем степеней хп в пространстве
С[0, І] обобщена на системы последовательных первообразных от произвольной непрерывной функции.
-
В любом сепарабельном банаховом пространстве построен пример ограниченного аппроксимативно компактного (в смысле Н.В.Ефимова-С.Б.Стечкина), но не компактного множества. В любом рефлексивном пространстве построен пример выпуклого множества с этими свойствами.
-
В пространствах с0 и с полностью описаны аппроксимативно компактные подпространства.
Полученные результаты могут найти применение в теории функций, функциональном анализе п геометрии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством проф. Е. П. Долженко, на семинаре по теории функций действительного переменного в МГУ под руководством чл.-корр. РАН П. Л. Ульянова и чл.-корр. РАН Б. С. Кашина, на семинаре по теории приближений в МГУ под руководством проф, С. В. Конягина, доц. В. Б. Демидовича и доц. А. С. Кочурова, а также на Саратовской (199G) и Воронежской (1997) зимних школах по теории функций и на международной конференции по теории приближений в Калуге (1996).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 68 наименований. Общий объем диссертации - 111 страниц.
