Содержание к диссертации
Введение
1 Введение и краткий обзор результатов 4
1.1 Модельные подпространства 4
1.2 Основные задачи 7
1.3 Структура диссертации 12
1.4 Предварительные сведения. Обозначения 18
2 Достаточные условия допустимости 20
2.1 Введение 20
2.2 Условия допустимости в терминах функции 1 22
2.2.1 Предварительные замечания 23
2.2.2 Оценка производной аргумента произведения Бляшке 24
2.2.3 Условия допустимости для пространства Кв{ 27
2.3 Условия допустимости в терминах функции Г2 28
2.4 Условия допустимости в случае роста мнимой части нулей произведения Бляшке 32
2.5 Достаточные условия допустимости для произведений Бляшке с касательно расположенными нулями 37
2.5.1 Теорема о близких произведениях 38
2.5.2 Приложения 38
2.5.3 Функция Ав- доказательство равенства (2.5.7) 40
3 Необходимые условия допустимости 43
3.1 Введение 43
3.2 Предварительные замечания 44
3.3 Обобщенное преобразование Гильберта. Формула обращения 46
3.3.1 Формула обращения для оператора hi 47
3.3.2 Некоторые оценки величины hi(f) 48
3.4 Необходимые условия допустимости 50
3.4.1 Допустимость и оценки некоторых усреднений функции Q 51
3.4.2 Примеры 53
3.4.3 Произведения Бляшке В, подчиненные условию argi? Є *(Р/) . 54
3.4.4 Схема построения недопустимых мажорант 55
3.5 Точность необходимых условий 57
4 Модельные функции с почти предписанным модулем 60
4.1 Введение 60
4.2 Основные результаты 61
4.3 План доказательства теоремы
4.2.4: предварительные замечания 63
4.4 Доказательство теоремы 4.2.4 66
4.5 Условие регулярности: примеры применения теоремы 4.2.4 69
5 Свойства преобразования Гильберта липшицевых функций 72
5.1 Введение 72
5.1.1 Теоремы приваловского типа на прямой 72
5.1.2 Связь с теоремой Берлинга-Мальявена 75
5.2 Правильные функции с сильно колеблющейся сопряженной 77
5.2.1 Основной зуб 77
5.2.2 Подобное преобразование функции и ее сопряженной 78
5.2.3 Правильная функция / с неограниченной разностью Aif 80
5.2.4 Медленно растущие плохие функции 80
5.2.5 Устойчиво плохие функции 82
5.2.6 t-атомы 83
5.3 Некоторые критерии равномерной непрерывности сопряженной функци . 86
5.3.1 Предварительные оценки 87
5.3.2 Результаты 90
5.3.3 Заключительные замечания о функции 91
Литература 93
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию свойств модулей функций из модельных (их еще называют коинвариантными) подпространств пространства Харди Н2 = H2(R) = {/ Є L2(R) : /)(-00,0) = 0}, где f обозначает Фурье-образ функции /; элемент / пространства Н2(Ш) можно воспринимать и как граничный след некоторой аналитической функции класса Харди Н2(С+)} где С+ - открытая верхняя полуплоскость. Модельное подпространство К& С Н2 есть, по определению, Н2 ОН2, где G - некоторая внутренняя функция (т.е. такая аналитическая в С+ ограниченная функция, что limy_>o \(х + гу)\ = 1 при п.в. х Є Ж). Модельным подпространствам, их векторным и операторным аналогам посвящена обширная литература, затрагивающая ряд важных областей теории функций, теории операторов и разнообразных приложений. Мы интересуемся, прежде всего, тем, насколько малым может быть элемент такого подпространства, не будучи тождественным нулем. Эта постановка вопроса появилась в работах Хавина-Машреги1 и была подсказана классической теоремой Берлинга-Мальявена о мультипликаторе (так называемой "Первой теоремой Берлинга-Мальявена"), которую можно воспринимать как одно из проявлений "принципа неопределенности", запрещающего чрезмерную и одновременную малость ненулевой функции и ее Фурье-образа (пространства Пэли-Винера, о которых идет речь в теореме Берлинга-Мальявена, суть, с точностью до унимодулярного множителя, модельные подпространства, отвечающие внутренним функциям егсгж, о" > 0). Результаты работ Хавина-Машреги развивались в различных направлениях в работах А.Д.Баранова2; А.Д.Баранова, АА.Боричева, В.П.Хавина3; Дж.Машреги, Ф.Л.Назарова, В.П.Хавина4. В последней
1 V.P.Havin, J.Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part 1: slow winding of the generating inner function.-Сал. J.Math.55, 6(2003), 1231-1263.
V.P.Havin, J.Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part 2: fast winding of the generating inner function. -Can. J.Math.55, 6(2003),1231-1263.
2A.D.Baranov, Polynomials in the de Branges spaces of entire functions. -Ark.Mat, 44 (2006), no. 1, 16-38.
3A.D. Baranov, A.A. Borichev, V.P. Havin, Majorants of meromorphic functions with fixed poles, Indiana Univ. Math. J. 56 (2007), 4, 1595-1628.
4Дж. Машреги, Ф.Л. Назаров, В.П. Хавин, Теорема Берлинга-Малльявена о мультипликаторе:
работе дано новое доказательство теоремы Берлинга-Мальявена, содержащее, в частности, новый способ построения Ь2-функции с ограниченным спектром и с данной мажорантой модуля. Мы, в основном, занимаемся модельными подпространствами К7 порожденными мероморфной внутренней функцией G. Каждое такое К тесно связано с некоторым гильбертовым пространством де Бранжа целых функций. Наши основные результаты могут быть переформулированы на языке пространств де Бранжа, играющих большую роль в приложениях к математической физике.
Задачи, которым посвящена диссертация, относятся к актуальной и развивающейся области теории функций.
Цель работы заключается в отыскании достаточных и (отдельно) необходимых условий, налагаемых на неотрицательную функцию и ("мажоранту") и совместимых с неравенством |/| < и (п.в. на К), где / - ненулевая функция из данного модельного подпространства. Если этому неравенству удовлетворяет какая-нибудь ненулевая функция / Є Kq: то мажоранта и называется допустимой для К (или 0-допустимой).
Структура диссертации. Первая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе приводятся общие определения и даются предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. В 1 описаны некоторые свойства модельных подпространств. В 2 обсуждается суть решаемых проблем и дается исторический обзор некоторых результатов. В 3 описывается структура диссертации. В 4 приводятся используемые обозначения и сведения о мероморфных внутренних функциях.
Вторая глава посвящена достаточным условиям допустимости мажорант для некоторых конкретных ситуаций. Эта глава состоит из пяти параграфов. За вводным 1 следует 2, в котором собраны критерии допустимости в терминах преобразования Гильберта Q функции Q = log(l/u;).
Критерии допустимости, выраженные непосредственно в терминах функции Г2, содержатся в 3; 4 содержит условия В-допустимости, где В - произведение Бляшке (в С+); рассмотрен случай, когда мнимые
седьмое доказательство, Алгебра и Анализ 17 (2005), 5, 3-68.
части нулей функции В неограниченно растут. В 5 рассматриваются нули произведения Бляшке, касательно расположенные относительно оси R.
Некоторые достаточные условия В-допустимости, существенно более ограничительные, чем у нас, были ранее получены в упомянутых выше работах Хавина-Машреги. Что касается необходимых условий, то они были получены лишь для весьма специальных произведений в цитированной выше статье А.Д.Баранова.
В третьей главе получены некоторые довольно общие необходимые условия допустимости, которые иногда оказываются точными. За вводным 1 мы переходим в 2 к некоторым предварительным результатам. В 3 дано доказательство формулы обращения для обобщенного преобразования Гильберта. Четвертый параграф содержит основные результаты главы, точность которых обсуждается в заключительном 5.
В четвертой главе даны некоторые достаточные условия строгой допустимости мажоранты и (т.е. условия существования модельной функции /, для которой |/| хш). За вводным 1 следует 2 в котором содержатся все основные результаты главы 4; они доказываются в 3,4. В 5 даны примеры применения наших теорем в конкретных ситуациях.
Пятая глава посвящена некоторым свойствам преобразования Гильберта, важным в контексте проблемы допустимости мажорант (пятая глава основана на совместной работе с В.П.Хавиным). За вводным 1 следует 2, в котором доказывается существование "устойчиво плохих" по отношению к преобразованию Гильберта функций; 3 посвящен необходимым условиям липшицевости сопряженной функции.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования свойств функций из модельных подпространтсв на вещественной прямой.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре ПОМИ РАН по теории функций; на
семинаре в университете NTNU (Трондхейм); на конференциях "16th Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis" и "Spaces of Analytic Functions and their Operators" (CIRM, Марсель, 2006, Франция).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [4]. Работа [3] принята к печати.
Организация текста и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 22 параграфа, изложена на 94 страницах. Список литературы включает 26 названий.
Структура диссертации
За вводной главой 1 следует глава 2, посвященная достаточным условиям допустимости для некоторых конкретных ситуаций. В главе 3 будут получены некоторые необходимые условия допустимости, которые иногда оказываются точными. В следующей за этим главе 4 даны некоторые достаточные условия строгой допустимости, а последняя, пятая, глава посвящена некоторым свойствам преобразования Гильберта, важным в контексте проблемы допустимости (глава о основана на совместной работе с В.П.Хавиным).
Описание главы 2. Глава 2 диссертации посвящена достаточным условиям 0-допустимости для быстро растущего аргумента arg 0.
Мы начнем с семейства таких функций 0 (или, лучше сказать, В), рассмотренного в [НМ2]. Пусть Ва - произведение Бляшке с нулями . = sgn(fc) А;а+г, к Є Ъ, 1/2 а 1. Нетрудно видеть, что arg?a(a;) : l l1/", \х\ — оо, так что рост аргумента argi?a становится почти квадратичным по мере приближения а к 1/2. Следующая теорема была доказана в [НМ2]: Теорема 2.2.2 (Хавин-Машреги). Предположим, что функция О. такова, что JRQ,dP -foo, D, Є C R), 2 0, причем выполнены следующие условия: а) lim mi —- hm sup ;—- G, для некоторого G 0; а і- оо ж« х-»оо ж ! b) At(i1-«) К, где Xt — модуль непрерывности функции О! на R\(—t,t), то есть Xt(5) = supflfi fa) - 4)I l i, Ы , i - fc &} Тогда функция ш = е п допустима для пространства Ква Мы улучшили этот результат (см. нашу теорему 2.2.5): во-первых, мы избавились от громоздкого условия Ь), во-вторых, мы обобщили этот результат на более широкий класс произведений Бляшке с "горизонтальными" (и не только "горизонтальными") нулями. Т.е. мы рассматриваем строго возрастающую дифференцируемую функцию / : К н- К. и полагаем, что h — (/-1) Є Lipa(R) при некотором а Є (0,1), а /R i+p(t) (условие Бляшке), и доказываем следующую теорему (обозначим через Bf произведение Бляшке с нулями Zk = f(k) + і, к Є Z).
Доказательство теоремы следует общим соображениям из [НМ2], но усложнено некоторыми новыми техническими трудностями. Как и в [НМ2], достаточные условия допустимости включают 1, а не только саму функцию Q. Эти условия улучшены в теореме 2.3.4, где условия "свободны от тильды". Теорема 2.3.4 основана на адаптации результата Назарова о корректировании преобразования Гильберта к нашему случаю: нам нужно найти мажоранту f2i функции Г2 = —logo; с условием Г2іІі(р) +оо и с контролем роста 21 (наша теорема 2.3.2). Мы пошли еще дальше и позволили рост мнимых частей нулей В произведений Бляшке, составляющих пространство Кв-Другими словами, мы рассматриваем нули Zk = f(k) + ig(k), где j : К и [с-,+со), с О может расти, так что расположение нулей будет промежуточным между чисто "горизонтальными" и "вертикальными" расположениями, и пытаемся охватить переход от трудного "горизонтального" случая (д = const) к гораздо более легкому "вертикальному", где Zk чисто мнимые. Наш результат (теорема 2.4.1, также свободная от преобразования Гильберта) проиллюстрирован следствием. Мы видим, что условия допустимости зависят только от абсцисс нулей, и чем быстрее растут асбциссы (т.е. чем больше а), тем быстрее позволено расти ординатам (т.е. 7 увеличивается).
В конце главы 2 мы рассматриваем касательные (по отношению к Ж) расположения нулей. Это в корне меняет поведение аргумента arg5: его рост теперь может быть нерегулярным. Возникает необходимость изменить методы, используемые ранее. Мы доказали некоторые результаты в этом направлении. Например:
Следуя плану, обозначенному в 2), мы получим некоторые необходимые условия 0-допустимости (полагая arg0(a;) = 0(жр), \х\ — +оо, j 0) в терминах S\(Q) (см. теорему 3.4.4). Мы признаем, что эти условия не слишком приятны, и не будем воспроизводить их здесь. Но, будучи не слишком привлекательными на первый взгляд, эти условия имеют некоторые интересные следствия.
Как показано в [НМ2], П Є ADM(elcrz), если h(Cl) - липшицева функция с достаточно малой константой липшицевости. Но в силу сказанного выше (о возможной утрате липшицевости под действием оператора h) мы, на первый взгляд, не можем непосредственно заключить, что липшицевость самой функции О. (в сочетании с включением О. Є L1 )) обеспечивает допустимость мажоранты е п для @(х) = е1СТХ, т.е. не можем получить теорему Берлинга-Мальявена. Однако, если бы в Ll(P) нашлась такая функция fti, что h{fi) липшицева,.и Q.\ Q, то допустимость мажоранты е п была бы установлена. Естественно пытаться построить функцию Q.y (для липшицевой П) путем стандартного сглаживания (т.е. свернув О. с гладкой функцией). Наш пример "устойчиво плохой" функции показывает, что такой способ не может привести к цели, ибо регуляризованная Qi непременно удовлетворяет неравенству Г2і — Г2 const. Заметим, что метод Назарова корректировки О. такой, что h(Q) Lipx(lR), нелинеен. Глава о также содержит некоторые достаточные (и "почти необходимые") условия того, чтобы функция h(f) принадлежала классу Lip R), и некоторые результаты о равномерной непрерывности функции h(f).
Предварительные замечания
В [НМ1] были найдены довольно точные критерии допустимости мажорант для произведений В с "вертикальными" (т.е. чисто мнимыми) нулями; эти результаты были уточнены и обобщены А.Барановым в [В]. Результаты названных работ показывают, что критерии В-допустимости сильно отличаются друг от друга в зависимости от поведения на R аргумента произведения Бляшке В.
Как показано в работах [НМ1], [НМ2], [В], критерии 0-допустимости сильно зависят от скорости вращения орта Q(x) вокруг начала координат с ростом вещественной переменной х, точнее, от скорости возрастания arg0. Грубо говоря, анализ 0-допустимости данной мажоранты облегчается с замедлением вращения орта 0(ж) и становится тем более проблематичным, чем быстрее происходит это вращение. Вектор В(х), где В - мероморфное произведение Бляшке, вращается тем быстрее, чем теснее к оси R примыкают корни z\.. Так, скажем, в крайнем случае, когда В - конечное произведение, кривая у = arg.B(a;) совсем пологая, а критерии допустимости мажорант совершенно очевидны (ведь Кв в этом случае есть просто класс всех рациональных Дробей {z_Ziy z_ZN), где deg{P) N).
Для случая, когда корни произведения В "вертикальны" или "почти вертикальны" (т.е. в известном смысле далеки от Ш), типичный рост аргумента еще медленный, его скорость затухает (arg.B (:r) = о(1), \х\ — оо), а В-допустимость удается исследовать почти исчерпывающим образом. В работе [НМ2] "в порядке эксперимента" были получены некоторые достаточные условия jB-допустимости мажоранты LO для случая "горизонтальных корней" вида 2 = sgn{k)\k\a + і, а (1/2,1), к Є Z. (Ограничение а 1/2 продиктовано условием Бляшке, а случай а 1 отвечает сравнительно медленному росту функции argi? и исследован в [НМ1]). У нас эти частные результаты "экспериментального" характера включены в гораздо более общую схему, охватывающую последовательности нулей вида zk = f(k) + i, keZ, (2.1.1) а затем и zk = f{k) + ig(k)1 keZ, (2.1.2) где / - вещественная возрастающая, а д - положительная функции вещественной неременной, подчиненные некоторым естественным условиям (среди них, конечно, условие Бляшке). Эти предположения охватывают не только "чисто горизонтальные" ситуации (д = const) или близкие к ним ситуации корней, лежащих в полосе (infseR 7(s) 0, supseRg(s) +оо), но также и некоторые случаи неограниченного роста ординат д(к) (Ит оо д(х) = +оо). Самым проблематичным оказывается случай нулей, неограниченно приближающихся к оси Ж. Qim\x 00g{x) = 0) который также рассмотрен в этой работе.
Продвижение, полученное нами по сравнению с [НМ2], состоит не только в большей общности изученных ситуаций, но и в самом характере условий допустимости. В [НМ2] условия допустимости налагаются не непосредственно на мажоранту ш (или, что то асе, на П), а на преобразование Гильберта 2 функции 2. Используя недавний результат Ф.Л.Назарова об "исправлении" преобразования Гильберта липшицевой функции [MNH], мы находим достаточные условия допустимости, налагаемые непосредственно на О и довольно просто проверяемые.
Исследуя мажоранту на допустимость, мы будем считать, ее строго положительной и ограниченной. Напомним, что конечность интеграла С(ш) (т.е. неравенство С(ш) —со) необходимо для G-допустимости. Отметим также, что если для данной мажоранты удалось найти такую Э-допустимую мажоранту шу, что и ш±, то мажоранта ш тоже -допустима. Поэтому, имея дело с положительными непрерывными мажорантами ш, мы часто можем считать их сколь угодно гладкими (ведь для каждой положительной функции ш Є С(Ш) с конечным интегралом C{w) легко построить такую положительную функцию U3\ Є C(R), что С{шу) —со, ИШі w).
Глава организована следующим образом. В 2, ограничиваясь сначала частным случаем (zk = sgn(A;)A;a + г, а Є (1/2,1)), рассмотренным в [НМ2], мы избавляемся от одного громоздкого условия .В-допустимости, участвовавшего в теореме 1.10 работы [НМ2], заменив его простым условием, относящимся непосредственно к 2 (вместо 2) (теорема 2.2.3 п.2).
В теореме 2.2.4 (п.2.2) мы находим асимптотику функции (argf?) для довольно общего класса произведений Бляшке с "чисто горизонтальными" нулями, а в теореме 2.2.5 применяем ее и приходим к достаточным условиям .В-допустимости для таких В; эти условия формулируются с участием функции 2. В теореме 2.2.5 речь идет о "чисто горизонтальных" нулях. В 3, используя технику работы [MNH], мы освобождаемся от участия преобразования Гильберта в достаточных условиях В-допустимости. Для этого, как и в [MNH], нам приходится доказать "теорему об исправлении" преобразования Гильберта, представляющую, на наш взгляд, самостоятельный интерес (см. теорему 2.3.2). В 4 мы обращаемся к произведениям В, которые отвечают нулям Zk = f(k) + гд(к),к Є Z, где функция / растет от —оо до +оо, функция д положительна и может расти до +оо. Иллюстрацией доказанной здесь теоремы 2.4.1 служит следствие 2.4.3, где выписаны простые достаточные условия і?-допустимости для произведений В, построенных по нулям Zk = sgn(A;)A;a + г&7 (к Є Ъ \ {0}), где 1/2 а 1, 0 7 2а — 1. Заметим, что основная теорема 2.4.1 формально содержит "чисто горизонтальную" теорему 2.3.4, доказательство которой мы предпочли изложить отдельно, не загромождая его осложнениями, вызванными неограниченным ростом ординат нулей. Кроме того, сопоставление этих теорем демонстрирует определенную устойчивость найденных нами условий допустимости: в случае разрешенного нами роста ординат нулей условия допустимости остаются теми же, что и для чисто горизонтальных нулей. В заключительном 5 мы рассматриваем произведения Бляшке, которые отвечают нулям, неограниченно приближающимся к прямой К. Основным инструментом здесь служит теорема 2.5.1 о сравнении классов допустимых мажорант.
Предварительные замечания
Как известно (см. [ВН]), данное условие не является достаточным. Точнее, для любой внутренней функции 0 существует неотрицательная функция ш такая, что С{ш) —оо, но и Adm(Q). Следовательно, для -допустимости всегда требуется больше, чем сходимость логарифмического интеграла.
Результаты работ [НМ1], [НМ2], [ВН] и главы 2 показывают, что достаточные условия допустимости зависят от скорости возрастания функции argO (т.е. от правой части (1.4.1)): чем медленнее растет функция arg@, тем уже класс Adm(Q) (как известно, KQ2 С / ві = Ц1 є - 1 см- №) Достаточные критерии допустимости мажоранты и в указанных работах выражаются, как правило, в терминах функции У или О. (см. [НМ2], [В12]). Первый вариант, конечно, предпочтителен, так как относится непосредственно к ш, тогда как второй требует дополнительной работы по "переводу" с языка функции О, на язык функции 2. Ограничения на рост этих функций вместе со сходимостью логарифмического интеграла С{и) дают достаточные условия -допустимости для широкого класса внутренних функций 0. Необходимые условия, полученные в данной главе, налагают ограничения на саму функцию О. (или на ее усреднение 5д( ); определение см. в (3.4.3)). Тем не менее, эти условия позволяют построить недопустимые мажоранты с не слишком быстро растущей функцией О. .
Оценки теоремы 3.4.1 зависят от скорости роста функции arg и от минимального I, при котором arg Є 1 ((1 +Ж +1)-1 &Е). Вообще говоря, допустимая мажоранта ш может обращаться в нуль. Поэтому функция О. = — log и может быть бесконечной в некоторых точках. Условия теоремы 3.4.1 довольно громоздки, что доставляет определенные неудобства. С другой стороны, из-за суммируемости функции О. по мере Пуассона Р любое усреднение функции О, конечно на всей вещественной оси (S\(Q.)(x) +оо, х Є R). Теорема 3.4.4 дает необходимые условия допустимости в терминах функции S\(Q) для не слишком быстро растущего аргумента arg О. Примеры 1-3 показывают, какие необходимые условия могут быть получены из теоремы 3.4.4 для некоторых конкретных функций П, рассмотренных в [НМ2], [В12]. Утверждение 3 относится к достаточно широкому классу внутренних функций с не слишком быстро растущим аргументом (что позволяет применять теоремы 3.4.1 и 3.4.4). В 4.4 мы докажем, что для любой внутренней функции с не слишком быстро растущим аргументом существует недопустимая положительная мажоранта со сходящимся логарифмическим интегралом. В [ВН] существование неотрицательной недопустимой мажоранты со сходящимся логарифмическим интегралом было доказано для произвольной внутренней функции 0. В 5 мы продемонстрируем точность наших необходимых условий для классического случая (утверждение 4) и существование недопустимых мажорант с не слишком быстро растущей функцией Q (утверждения 5 и 6).
Пусть 0 - внутренняя функция в верхней полуплоскости С+, имеющая мероморфное продолжение на всю плоскость С. В работе [НМ1] были получены следующие необходимые и достаточные условия -допустимости. Теорема 3.2.1. Целочисленная функциям = e Q с С{ш) —со является Q-допустимой тогда и только тогда, когда существуют функция т Є L2(M) f\L(R.), целочисленная функция п и вещественное число 7 такие, что arg 0 + 2Г2 = 21ogm + 2ТГП + 7. (3.2.1) Если выполнено (3.2.1), то тпш Є ІІГе = {/ : / Ке\- (Напомним, что функция arg -непрерывная возрастающая ветвь аргумента). Нам понадобятся две леммы. Лемма 3.2.2. Пусть тип- функции из теоремы 3.2.1. Тогда функция п не убывает. Доказательство. Если функции тни) удовлетворяют уравнению (3.2.1), то существует внешняя функция / такая, что / Є Ке, / = ти п.в. на К. Заметим, что функция О мероморфна, следовательно, элементы пространства KQ аналитичны на вещественной оси. . Потому у функции / существуют только изолированные вещественные нули а&. Это означает, что /(ж) = ж — a,k\pg,x Є К, где функция g отделена от нуля в некоторой окрестности точки a,k-
Для вывода необходимых условий допустимости мы хотим применить преобразование Гильберта к правой и левой частям уравнения (3.3.1), чтобы освободить функцию logkj от оператора h и таким образом получить "чистое" выражение функции ш через функции arg0, т и п. Однако, вообще говоря, arg0 — п + 7 Ф {Р). Поэтому нам требуется некоторый новый вариант классической формулы обращения для преобразования Гильберта. Следующая теорема является следствием результата, полученного В.И.Смирновым (см., например, [Вагу]).
Итак, мы готовы доказать основной технический результат этой статьи. Он дает необходимые условия 0-допустимости и выглядит несколько громоздко. Но, как мы увидим далее, он, тем не менее, является источником более естественных и даисе точных условий допустимости. Мы возвращаемся к мероморфной внутренней функции О и положим для краткости А(= As) = arg в.
План доказательства теоремы
Для решения уравнения (4.2.1) мы его формально переписываем, используя преобразование Гильберта. Скорость роста функции Ф (см. условие а) теоремы 4.2.4) подсказывает выбор внутренней функции I. Определим / как произведение Бляшке с нулями Zk = Хк + гук, где возрастающая последовательность Хк ведет себя так же, как и dfc, а числа dk определены уравнением Ф(с4) = 2тгк. Нам необходимо уточнить свой выбор чисел Хк и Ук, чтобы сделать правую часть в (4.2.2) ограниченной на №.. Нам потребуются несколько предварительных замечаний (напомним, что h(f) и / обозначают преобразование Гильберта с регуляризированным ядром Коши, a ho(f) обозначает обыкновенное преобразование Гильберта).
Результатом формального дифференцирования ряда, определяющего h(Rr), служит ряд, равномерно сходящийся на любом компактном интервале, свободном от точек хк, что следует непосредственно из сходимости ряда, определяющего Rj в L1(P) .
Этот параграф посвящен обсуждению условия регулярности и примерам применения теоремы 4.2.4. Прежде всего отметим, что условие регулярности функции не накладывает никаких ограничений на ее рост (в том смысле, что регулярная функция может расти сколь угодно быстро). С другой стороны, условие регулярности разбиения Jk запрещает медленный рост функции (регулярная функция не может расти медленнее, чем log2 \х\ в бесконечности). Напомним, что условие регулярности строго возрастающей функции / состоит из двух частей: а) регулярность разбиения Jk = [/_1(27гА;),/_1(27г(А; + 1))]; для достаточно больших х и у. Ь) suP/( )-/(w) i №) f (y) Как показывает следующее утверждение, иногда условие Ь) следует из условия а). Лемма 4.5.1. Если функция f Є С2 (Ж) меняет выпуклость лишь конечное число раз, то условие Ь) следует из условия а). Доказательство. Не умаляя общности, будем считать, что функция / выпукла вниз (т.е. что /" 0). Пусть х Є Jk- Оценим величину f (x): Г (у) №) /% ) для любых у Є Jfc-i, z Є Jk+i- Выберем точки у, z таким образом, что f (y)(dk - 4-і) = f (y)\Jk-i\ = 2тг, f\z)(dk+2 - dk+1) = f (z)\Jk+1\ = 2тг, Поскольку разбиение Jk регулярно, то \Jk\ ж \Jk-\\ ж «/fc+i- Следовательно, если х Є Jk, то f (x) х щ. Значит, условие Ь) выполнено. Например, если Э - произведение Бляшке с нулями iyk, Ук О, то функция arg в меняет выпуклость один раз. Действительно, Ук (axge») = -2 В теореме 4.2.4 требуется регулярность функции arg Э + 20. Как мы покажем ниже, для многих регулярных функций arg В существует достаточно широкий класс функций О таких, что функция arg 0 + 20 тоже регулярна. Лемма 4.5.2. Пусть регулярная функция f такова, что /(0) = О и (f{x) Г\х)\ sup max -jj-r; I +oo, i/2 l /y 2 \f(y) f (У)/ а гладкая функция g такова, что g(0) =0« \g \ qf для некоторого числа q Є (0,1). Тогда функция f + g тоже регулярна.
Привалова, относящимся к липшицевым функциям на окружности, причем теорема 5.1.2, как уже говорилось, фактически совпадает с одной из теорем Привалова. А теоремы 5.1.1 и 5.1.3 относятся к разряду "хорошо известных" фактов, для которых мы, однако, не можем дать точной ссылки, хотя близкие утверждения и встречаются в литературе. В монографии [Т, 5.15] доказаны аналоги теорем 5.1.1 и 5.1.3 для оператора / вместо h и для функций / Є 1?(гп) при р Є (1,-оо). Последнее ограничение возникло лишь для того, чтобы обеспечить существование функции ho(f). Заменив в/ рассуждениях из [Т] ho на h и лишь слегка изменив доказательство, можно получить теоремы 5.1.1 и 5.1.3 в полном объеме. Еще одно доказательство теоремы 5.1.3 будет следовать из пашей теоремы 5.1.5.
Очевидный недостаток теоремы 5.1.8 (по сравнению с теоремой 5.1.7) состоит в том, что условие допустимости выражено в терминах, непосредственно относящихся не к fl, а к О. Это сильно затрудняет проверку допустимости и, на первый взгляд, не позволяет сделать теорему 5.1.7 следствием теоремы 5.1.8. Именно в связи с этими обстоятельствами вопрос о критериях липшицевости функции Q, выраженный в терминах, относящихся к fi, приобретает значительный интерес. При этом случай ограниченной функции О, (как в теореме 5.1.3) здесь совершенно бессодержателен: он отвечает мажоранте ш, отделенной от нуля допустимость которой тривиальна.
Результаты этой главы убеждают в том, что поиск эффективных критериев такого рода - дело довольно безнадежное. Однако, имея в виду теорему 5.1.8, положение удается исправить, воспользовавшись следующим замечанием: если для функции и можно подобрать миноранту ш± Є Adm(cr); ui ш, то и и Є Adm(er). Иначе говоря, теорема 5.1.8 нуждается в линшицевости не функции Г, а лишь некоторой функции Qi, где Г2і 2. Теорема Берлинга-Мальявена окажется следствием теоремы 5.1.8, если верна следующая:
