Введение к работе
Диссертация посвящена ііаучениь некоторых вопросов приближения алгебраическими многочленами непериодических, 8нданннх на отрезке, функций с данным к- м обобщенным модулем гладкости в интегральной гетрике с весом Якоби.
Актуальность темы
создснии связей меаду структурными свойствами функции \ дифференци-зуемостью, условием Липшица и т.п. ) -и порядком стремления к нули госледоввтельвости ее наилучших прибликвЕта тригонометрическими или ілгебраичесними полиномами.
Перше результати в атом направлении появились в начале века [см. например, работы (13-143). В этих работах для непрерывных 2,7Г - периодических щункций были доказаны прямая и обратная георемы теории приближений для модулей непрерывности степенного
;і] Vix-йїе. tW*>i%v СЖ.~У. Jky Сх. с&м$егіле*ля, d*4. -^рюмЛь^
'ЗІ Бернштейн C.H., О наилучшем приближении непрерывных функций іисрадством многочленов данной степени. Соч., Ивд. Ш ССОР, 1952, J. 11- 104. :43 ЗахАісЬ' В. М*г Мл. 4}л4^ий$ЛцЯ far Ал.плМгн*.ч
типа. А именно было, в частности, показано, что эквивалентны условия
где Єч(г)с- - наилучшее приближение -f в равномерной метрикі тригонометрическими полиномами порядка не вше, чем .
В дальнейшем (см.гадример 15]), для периодических функций прямая и обратная, теоремы теории приближений были доказаны в равномерной метрике для общаг модулей гладкости. А именно, была показан! справедливость следующих неравенств:
с в*(ё * ЦГ(Ш .4S±. ^е*(4)
где положительные постоянные {^ и Сне зависят от 4 и м^- -(и-=/,,... К здесь "^(^ Г/с .-модуль гладкости порядка К функции -f в равномерной метрике ).
В начвЛЪ века (см. например, 11]-Ш), была также обнвруженЕ существенная разница между периодическим и непериодическим случаями. Так, было показано, что условие принадлекности нвпериодичзско* функции классу Липшица порядка еС на отрезке 1-1,1] не являете* структурной характеристикой класса функций с порядком ч/С- стрем-ленгм к нулю последовательности !Еп6г7 - ее наилучших приближений алгебраическими многочленами степени не выше, чем H---J .
В 1946 году (см., например,[6]) было показано, что прямая тео-
[3J. Стечкин СБ., О порядке наилучших приближений непрерывных
функций, Изв. AHCG0P, сес ват., 19, 1951, с. 219- 242.
16] Никольский СЫ.,0 наилучшем приближении функций, удрвлетвояпдих
условив Липшица, Изв. АН ССОР, сер. матем., 1946, т. 10, Я 4,
С. 235 - 322.
з -.-....__ .._ - - - --
ма теории приближений для непериодических непрерывных функций до-усказт усиленна. В чаотно^ги, былг показано, что для нэпериодичес-их функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка 1 на отрэвкв -1,1], можно построить такие алгебраические многочлены Р^ степени а выше, чем ( h-1), для которых имеют место неравенства
- ' ' *" г(ь*і) ^^ и/-
де С,- некоторая постоянная, на зависящая от X и и, (ц: ^2,.,,). В дальнейшем этот результат был уточнен и обобщен (173) и была зказана е:о обратимость ([а]). Ь частности, было показано, что уставе . принадлежности функции -f классу Липшица порядка *L (с? <. JL < і) э огрэзке [-1,13 равносильно следующему условию:существуют алгеб-зические многочлены Р^ степени не выше, чем ( П- - і ), такие, что
їв константа ^- \ не зависит от ^ п W- ( 4-=/,2,., ).
Таким образом, для непрарырчнх непериодических функций такие їли получены прямая и обратная теоремы теории приближений. Однако, отлична от период;веского случая они доказаны на для наилучшего, дяч поточечного приблтадая.
В дальнейшем было показан? (tg]), что порядок Ц- наилучшего йближения характеризуется условием поточечной прянадоеквости »
3 Тиман А.Ф. .ПриблиЕэние функций, удовлетворяющих условию Липшица ыкновенными многочленами , ДАН СССР; 1S51, *. 77, о. J69- 972. 3 Дзядык В.К., 0 конструктивной характеристике функций, удовлвт-рявщих условию а&р<С {0<<&< і ) на конечной отрезке ващеотвея-й оси , Изв. АН СССР, сер. матам., 1956, т. 20, N2, о. 623-642. 3 Ф/ксман А.Л., Структурная характеристика функций, у кагорах.
, Успехи «ат. esvk, 1965, т. 20, т. 2, С, 1S7- 190.
классам Липшица, а именно, эквивалентны условия
EJUSL и \К^)-Ы^ф^^.^,^^^^,
К-где постоянные С( и С Ев SJBHCflT от Л и п. (П."-ijBy,,)г о< ^ <1
Наряду со случаем равномерной метрики изучался вопрос о связях мэвду структурными свойствами 2-5Г- периодической функции и скоростью убывания последовательности ее наилучших приближений тригонометрическими полиномами в интегральной метрике. В частности, были доказаны прямая и обратная теоремы теории приближений, как для модулей непрерывности стаєнного типа, так и для общих модулей гладкости.
Аналогичные задачи рассматривались в интегральной метрике и для непериодического случая. В частности, было показано, что на интегральную метрику нельзя перенести результаты о поточечном приближении.
- Так (см., например, [Ю], til]), условие принадлежности функции -f классу Липшица «^ {С<<С<-{ ) на отрезке [-1,1] в метрике Lb ( І4- г> <,&& ) не равносильно условию: существуют алгебраические мноиэчлены Р^ степени не выше, чеми-'f такие, что
II -К*)- <1(«>11 <с_
где тстоянная С нэ зависит от -тип» (И^в4,2.,... ),
1101 Моторный В.П. .Приобщение функций алгебраическими полиномами в метрика <р , Изв. АН ССОР» сер. матеи.., 1971, т.35, с. 874-8S9. 1Ш 2Хс Vbtx. R.} Lp G-tt4 3 ofprox4**ib>*i. &, лЛуЛчъи.
'Кроме того бнло"показано, что условие"
-Г . о*-<Ш )
в равносильно условию. СкЛ^р-^ ^"аТГ^" t где Cf а Сд, -постоянные, в Езвисящие от it и f , a E^Wp - наилучшее приближение -4 лгебраическими многочленами стегони не выше, чем К,- і , в метрике
-f '-.
В то ке время было показано, что прямые и обратные теоремы еории приближений справедливы в случае, когда обычный модуль глад-ости заменен некоторым сбобщенн"м модулем гладкости (см., напри-
ер, [12]-[18]). ' ;.
лм,
13] .Zr^Uut. Е.;Ч#і> V. . ЛихЬЛС с{ ^^WuiMi. Sprtyj*-
[
143 Потапов ІІ.К. .Федоров B.M., О теоремах Джексона для обобщенного
одуля гладкости , Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1985, т. 172,с. 2Э1-29Ь.
li»} Потапов Ы.К.,Об условиях совпадения некоторых классов функций;
р. семинара им. И.Г. Петровского, 1931, вып. 6, о. 223 - 238.
16] Потапов Й.К., 0 приближении алгебраическими шогочленами в »
нтегральнойй метрике о весом Якоби , Вватник Московского
чиверситета, сер. матем., 1983, N 4, с. 43- 62.
17] ЪЛ*лг P.S.. Stztiy P. A. ЫгХгыл- Н. HCfbr c'.'iur ef
ffnv+Hud&b,, СЯ. t\M.dBt.iuU.^it ЬишІА/Щ **, f Z5~2?* івЗТанкаева O.K., О тееоремах Джексона на отрезке Сг1,№ и голу-си С^«*) , Изв. АН республики Казахстан, сэр. фаз. мат., 1992.. 5, С 45-49.
.. Такие обобщенные модули гладкости могут определяться различными способами. Например, Di,tz.Uut, 2. ."ТітЬ^ V. (см. [13]) определяли к -й о(<общенный модуль гладкости исходя из обычной к -й разности, но подставляли в нее вместо /? функцию и "Яі-х.1,
другой подход связан со следующей аналогией с ^5Г-периодическим случаем.
Если рассмотреть ряд фурье по тригонометрической системе 2 ЗГ
-периодической, интегрируемой на [0,2іс] функции, то в каадой точке
такой функции -f можно сопоставить ее ряд Фурье Z_ с« «- -Тогда в
точке %-*- функции -ffe+ ь J -"функции сдвига" - сопоставляется ее
ряд Фурьа 2 С*С- ' - ' Теперь, если мы будем рассматривать
Нбпериодическио функции, заданные на отрезке [-1,1] и интегрируемые
на нем с весом Ц-х.) {і*х-) ,чо каадой такой функции можно сопос-
тввить ее ряд Фурье-Якоби по системе г Рку (<.)/ полиномов Якоби,'
^3 і/ Д
ортогональных друг другу на отрезке [-1,1] с весом (і- х) (^ ее) є* і ^ ^)
Он будет иметь вид -2й-к Р«.'(к)-И естественно взять в качестве фун-
И.'-О
кции- "сдвига" - функцию, ряд Фурье-Якоби которой имеет вид
Z^P^'U ??"{/:)
В некоторых случаях такие функции были явне выписаны и названы операторами обобщенного сдвига Якоби (см., например, [14], [16]).
В втих работах доквзаны прямые и обратные теоремы теории приближений для обобщенных модулей гладкости только первого порядка.В связи с этим актуальной является задача получения аналогов таких теорем для к- их. обобщенных мо>*улей гладкости В настоящей диссертационной работе в рассматривается эта задача.
В прямых и обратных теоремах теории приближений, полученных ранее для модулей гладкости, определяемых при помощи операторов обоощенного сдвига, вес рассматриваемых пространств был тесно связав о видом оператора. В данной диссертации найдеш промежутки из-
7 мэнеяия веса пространств, в котор'^х остаится справедливыми прямая и обратная теоремы теории приближений для к- ых итерированных обобщенных модулей гладкости, определяемых при. помощи операторов обобщенных сдвигов Якоби.
Цель работа
теории приближения для к- ых обобщенных модулей гладкости и нахождение промежутков изменения веса пространств, я которых они остаются справе дливши.
. Научная новизна
Все основные результаты являются новыми. Они состоят в следущем:
Для к- ых итерированных модулей гладкости,определяемых при помощи операторов обобщенного сдвига типа Якоби и типа ЧебышеЕэ-Якоби
получены прямая и обратная теоремы теорич приближений для модулей гладкости степенного типа и аналоги неравенств ( 1 ) для общих модулей гладкости;
найдены променутки изменения веса рассматриваемых пространс-в, в которых справедливый прямая и обратная тоореиа .теории приближений и аналоги неравенств ( 1 )-
Теоретическая и практическая ценность работы
Работа носит теоретический характер. Полученные результати могут найти применение в теории функций и вычислительной математике.-Апробация диссертации
Результаты диссертации докладывались на научном семинаре МГУ пс теории тригонометрических и ортогональных рядов под руководством члена-корреспондента РАН, проф. П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова, проф. М.И. Дьяченко; на научном семинаре МГУ по теории приближений под руководством проф. М.К. Потапова; на научно-теорэтических кон-
фереяциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 1994 и 1995 годах; на Мездународной математической конференции, посвященной 25-летию Гомельского гос. университета имени Фр. Скорины в 1994 году; на Воронежской зимеєй математической школе з 1995 году; не Мевдународной конференции " Функциональные пространства.Теория приближений. Нелинейный анализ", посвященной 90- лётию академика СМ. Никольского в 1Э95 году.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
