Приближение функций многочленами на треугольной сетке Матвеева Юлия Васильевна

Оценки отклонения производных по направлениям в т-мерном симплексе

Теория интерполирования кусочно-полиномиальными функциями не была систематизирована до конца 60-х годов 20-ого века. Вопросы сходимости локальных интерполяционных и кратных интерполяционных процессов, связанных с аппроксимацией функций на многогранных областях кусочно-полиномиальными функциями, связаны с разбиением области на симплексы. Данные вопросы тесно связаны с методом конечных элементов (МКЭ).

Метод конечных элементов основан на локальной аппроксимации решения кусочно-полиномиальными функциями. Исходная область разбивается на подобласти стандартного вида, в качестве которых выступают треугольники или четырехугольники. Делая подобласть достаточно малой, либо выбирая достаточно высокую степень полиномов, можно добиться того, чтобы аппроксимирующая функция достаточно точно передавала локальное поведение решения. Этот метод может применяться для областей произвольной формы и граничных условий общего вида, причем возможно нерегулярное разбиение области. Таким образом, на расположение элементов при разбиении области не накладываются ограничения, что позволяет применять метод конечных элементов для широкого круга областей без использования глобальной фиксированной системы координат. Оценки погрешности аппроксимации интерполируемой функции и ее производных характеризуются двумя параметрами - диаметром разбиения (триангуляции) и некоторой характеристикой симплекса. В двумерных случаях, например, в большинстве работ в качестве этой второй характеристики служит синус наименьшего угла разбиения.

Первая оценка аппроксимации производных кусочно-линейными функциями на треугольнике была представлена Шварцем [1]. Здесь роль второй характеристики играет синус наибольшего угла триангуляции. Для полиномов первой степени Зламал [2] в двумерном случае указал оценки сверху и снизу, которые зависят от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла триангуляции. Эти оценки являются равномерными по указанным параметрам. Однако еще в 1957 году Синжем [3], а затем в 1976 году Бабушкой и Азизом [4] в двухмерном пространстве на примерах многочленов малых степеней (первой и второй), не всегда с указанием точной зависимости, было отмечено, что "условие наименьшего угла" в некоторых случаях может быть заменено на более слабое ограничение - на наибольший угол. Результаты и методы Зламала [5] были обобщены Жснишеком [6] для кусочно-полиномиальных функций девятой и тринадцатой степеней. Для кусочно-полиномиальных функций произвольной степени 4к + 1 для некоторых интерполяционных процессов оценки погрешности получили Брэмбл и Зламал [7]. Общую же оценку сверху для произвольной триангуляции, произвольных интерполяционных процессов в IRn получили Сьярле и Равьяр [8]. В некоторых случаях наименьший угол, фигурирующий в оценках, можно заменить на средний (или наибольший, что с точностью до констант равносильно). Отметим, что до работы Сьярле и Равьяра (1972 год) изучался только двумерный случай, они же получили оценки погрешности для произвольной размерности. Для функций п переменных они установили оценки, в которых константы при аппроксимации г-ых производных зависят от {h/p)1, где h - диаметр симплекса, р -радиус вписанного в него шара. Эта характеристика является двумерным аналогом синуса наименьшего угла триангуляции.

Так в случае лагранжевой интерполяции на плоскости оценка погрешности зависит от диаметра разбиения и синуса наибольшго угла триангуляции. При этом оценки ухудшаются, когда два угла стремятся к нулю. Здесь все выяснено благодаря работам Зламала (Zlamal М.), Жаме (Jamet Р.) [9], Субботина [10]. Позднее для случая лагранжевой интерполяции многочленами произвольной степени на п—симплексе Ю.Н. Субботиным [11, 12] были получены оценки, в ряде случаев неулучшаемые или неулучшаемые с точностью до постоянного множителя, который не зависит от функции и геометрических характеристик треугольника. Указанные оценки, в частности для случая М2, накладывают ограничения лишь на наибольший угол треугольника. Кроме того, им получены неулучшаемые оценки приближения функций и их производных некоторыми интерполяционными многочленами Эрмита и Биркгофа малых степеней на треугольниках и п—симплексах, позволяющие ослабить "условие наименьшего угла" или устанавливающие, что данное условие является существенным.

Сплайн-интерполяция на треугольной сетке

Биркгофа для построения многочленов степеней 4т + 1 и Am + 3 на треугольнике, дающие возможность ослабить требования к триангуляци (но не избавляющие полностью от присутствия синуса наименьшего угла в знаменателе в оценках погрешности для производных). Также Н.В. Латыповой [15] рассмотрен ряд таких условий для кубических многочленов. Вопрос о возможности построения интерполяционного многочлена произвольной степени, обеспечивающего достаточно высокую гладкость результирующей кусочно-полиномиальной функции (при интерполяции Эр-мита и Биркгофа), а также позволяющего ослабить "условия наименьшего угла" или его аналога, остается открытым.

Заметим, что во всех перечисленных выше работах оценки аппроксимации были даны в терминах частных производных. В диссертации мы будем решать задачу интерполяции кубическими сплайнами в терминах производных по направлениям. Будем искать такие интерполяционные условия для построения кубического сплайна, чтобы оценки отклонения сплайна и функции, которую он интерполирует, и их производных по направлениям ребер симплекса были свободны от "условия синуса наименьшего угла" или вообще от каких-либо углов многогранника в Кп. Зная результаты отклонения в терминах производных по направлениям, можно указать результат отклонения в терминах частных производных. Первая глава диссертации посвящена вопросам аппроксимации кубическими сплайнами на системе треугольников с общей вершиной. В первом параграфе даны основные определения и вспомогательные утверждения. В качестве вспомогательной задачи рассмотрена задача построения Эрмитова сплайна на m-мерном симплексе. Пусть Т = (Ai)7 1 - m—мерный симплекс, А{— его вершины, e j = ] , i,j — l,m + l, г ф j — единичные векторы, коллинеарные \AiAj\ ребрам симплекса. В параграфе 1.1 построен кубический сплайн Q, интерполирующий функцию / и ее производные в узлах п-мерного симплекса по направлениям ребер этого симплекса: f{Ai) = Q{Ai), = 1,2,...,771 + 1, (1) fM_Q( ),j = li2,...,n + 1,ijtj. (2) Данный многочлен имеет вид та+1 г=1 г + 2 І А ДіІ ( ж» + ое . ЖІ ) г і + 1 г ? т+1 J +6 ОШ0...0 2№#3 + 6 ацою...О Х1Х2Х4 + ... + 6 О0...0Ш 3Cm-iXmXm+i. Для полного определения многочлена Q надо указать, чему равны оставшиеся коэффициенты щ. Это можно сделать двумя способами: 1) сразу выписать, чему равны эти коэффициенты, 2) указать дополнительные интерполяционные условия, которые однозначно определяют оставшиеся коэффициенты. В качестве вспомогательных вопросов рассмотрены вопросы оценок отклонения производных функции / и многочлена Q по направлениям ребер симплекса. Эти результаты указаны в параграфе 1.2. Причем задание коэффициентов происходит первым способом. Теорема 1.2.1 Если /(х) имеет непрерывные производные второго порядка по направлениям в т—мерном симплексе Т, то для интерполяционного многочлена Q(x), удовлетворяющего условиям (1), (2), коэффициенты ао...ю...ю...іо...о которого определены равенствами k п j f(Ak) + f(An) + f(Aj) ЙО...10...10...10...о — , к п j 3 справедливы неравенства 0(Q-/)(x) detj did M» 2+2 ra),i i=1 m+1, 4i Q(x)-/(x) CM2d. d2m) где Мч = sup f,ei,e2 , где sup берется no всем Є T и всевозмоэю деіде2 ным единичным векторам Єі,Є2. Теорема 1.2.2 Пусть /(х) имеет непрерывные производные третьего порядка по направлениям. Если интерполяционный многочлен удовлетворяет условиям (1), (2) и коэффициенты ао...ю..ло...ю...о опре k п р делены равенствами f(Ak) + ДАО + f(Ap) 1 (20...10...10...10...0 = k п р + lAkApl (ЩМ + э_Ш) + lAnApl (ЦМ + цм \ dekiP dePjk J \ деП}Р дер,п + то справедливы неравенства см3 dm{Q-f){x) dm+l 4jd l АіААЧАіАк] , m = 0,2, 0 І m, d3f(Q где Mz = sup ,еі,е2,е3 де двіде д Є еЬе2 еЗ - единичные векторы.

Прокомментируем этот результат. Если зафиксируем вершину АІ и будем оценивать отклонения производных по направлениям е , то длина ребра А{Ак стоит в знаменателе, и если она значительно меньше диаметра d симплекса, то отклонение производных велико.

На самом деле, это последнее утверждение можно усилить, и в главе 2 будет доказано, что коэффициенты можно выбрать так, что при подходящем выборе вершины Af, оценки отклонения производных до третьего порядка включительно по всем направлениям e j, (j = 1,?7г + 1, j ф г) будут зависеть только от диаметра. Результаты теоремы 1.2.1 используются в следующем параграфе при оценке аппроксимации сплайнами на системе треугольников с общей вершиной.

Сплайн-интерполяция на трехмерном симплексе

Такой многочлен определен неоднозначно, и, кроме того, функция Q, совпадающая с Qk на каждом Tk, не принадлежит классу С1 на объ Т1 единении (J Tk. Изменяя параметры, можно получить интерполирую к=\ щую функцию класса С1 на [jTj. В этой связи возникает вопрос о выборе интерполяционных условий на границах каждого треугольника Tk. Тк с объирй верши ной AQ, то добавляя дополнительную вершину в Т как середину ребра А\Ап, которую обозначим через Ап+\, получим нечетное число треугольников. Тогда существует и притом единственный сплайн Q, интерполирующий функцию f с условиями (! ), (2!), (3), и в каждом треугольнике Tk = (A$AkA+\) справедливо неравенство Ms = max siJZJ y, Si - угол между векторами Д)Д, ЛоД-+і. Глава 2 посвящена кубической сплайн-интерполяции на га—мерных симплексах. Отдельно рассмотрены случаи т = 2 и т = 3.

Пусть т = 2. А. Женишек [16] в 1995 году при рассмотрении вопросов приближения функций на треугольниках многочленами третьей степени в качестве дополнительного условия выбрал dJ = 0 и получил оценку приближения частных производных первого порядка через диаметр треугольника и синус второго по величине угла в треугольнике: d(Q - f) гЛ1 + )Щ (, = 1,2), 15 \ с / snip дхі 4 (л , г/а,2\ МА& СМА {пх+П2) (max{2, -Д-Л \ 0 щ + п2 3. \ sin 7 / здесь (3 - средний по величине угол в треугольнике, а, с - наименьшая и наибольшая стороны треугольника, соответственно. Позднее Ю.Н. Субботин [17] построил интерполяционный кубический полином Q(x) для функции / со следующими условиями: значения этого полинома и его первых частных производных в вершинах треугольника совпадают со значениями функции / и производных функции в тех же точках, соответственно; а также производные -J-; и совпадают в точке, являющейся серединой наименьшей стороны (треугольник расположен так, что его наибольшая сторона расположена на оси Ох). Ю.Н. Субботиным были получены оценки погрешности аппроксимации производных функции до третьего порядка включительно, зависящие от синуса наибольшего угла 7 и диаметра треугольника d: dni+n {Q - f) QynxQxn2 В настоящей работе мы будем рассматривать аналогичную задачу, в которой будем получать оценки отклонения производных по направлениям сторон треугольника Т — {Аъ А2,А$). Пусть А1 + А2 d(Q-f) (4) 1 12 = о ) SI 1 "12J — U 2 Яеі,з Теорема 2.1.5 Пусть функция /(х) определена на треугольнике Т и имеет на нем непрерывные частные производные до четвертого порядка включительно, d - диаметр Т, Э4/(х) г4 де де де деЪ М$ = sup max max e1,e2le3,e4 %-4; хєг и пусть интерполяционный полином Q(x) удовлетворяет условиям (1), (2) и (4). Тогда справедливы неравенства dn(Q - /) СМАа? п, 0 n 3,0 fc n, ае12ае13 за исключением случаев п = З, k = 1, тогда справедлива оценка: d2 СМ4 d3(Q - Л іМз деіі20е5 3 м тг = 2, A; = 0, б этом случае d3 d2(Q - /) см41 К ИіАзІ где С - абсолютная постоянная. Можно считать, что С = 3. Из теоремы 2.1.5 следует результат Ю.Н. Субботина, причем интерполяционные условия можно выбрать так, что полученные оценки в теореме 2.1.5 будут зависеть только от диаметра треугольника.

Н.В. Байдакова [18] рассматривала задачу аппроксимации на треугольнике, аналогичную задаче Ю.Н. Субботина [17]: строился кубический полином, удовлетворяющий следующим интерполяционным условиям. Значения этого полинома и его первых частных производных в вершинах треугольника совпадают со значениями функции / и производных функции в тех же точках, соответственно; а также смешанные производные полинома и функции второго порядка в вершине треугольника по направлениям наибольшей и наименьшей сторон, исходящим из этой вершины, совпадают (треугольник расположен так, что его наибольшая сторона расположена на оси Ох). Получены оценки погрешности частных производных функции и полинома до третьего порядка включительно, зависящие от диаметра d и синуса среднего по величине угла (3 треугольника, который можно заменить на синус наибольшего угла 7 dn +n (Q-f).

Сплайн-интерполяция в Жт

Тогда существует единственный интерполяционный полином Q(x);-удовлетворяющий условиям (1), (2), (5), и справедливы неравенства dn{Q - f) где С - абсолютная постоянная. Можно считать, что С = 2. Из теоремы 2.1.7 следует результат Н.В. Байдаковой, причем полученные в теореме 2.1.7 оценки зависят только от диаметра треугольника. Заметим, что неравенства, полученные в теореме 2.1.7, являются точными по порядку в следующем смысле.Мы рассмотрим аналогичную задачу со следующими условиями. Пусть (А,) = 0. (5) 5еі]25еі)3 Будем оценивать отклонения производных функции / и полинома Q по направлениям сторон треугольника. Теорема 2.1.7 Пусть функция /(х) определена на треугольнике Т и имеет на нам непрерывные частные производные до четвертого порядка включительно, d - диаметр Т, М\ — sup max max ei,e2le3)e4 vl4; хєг д4Дх) CMAd4 n, 0 к п 3,

Пусть 0 XQ 1, Т- треугольник с вершинами Ai(0, b), ДгО о, 0 Аз(0,а);6 0,d — а+ 6,0 а \b\, Q - сплайн третьей степени для функции fix,у) = \у\4, удовлетворяющий интерполяционным условиям (1), (2) и 1 = g g (i,j,k = ЇДг ф j ф к).

А. Женишек [19, 20, 21] обобщил отмеченный ранее результат на случай трехмерного пространства и получил оценки отклонения частных производных первого порядка, зависящие от диаметра и синусов средних по величине плоских и двугранных углов, а именно.

В условиях (6) считаем ребра А\А± и А2А4 тетраэдра Г = (А1А2А3А4) длинными, т.е. их длина не менее половины диаметра Т. Теорема 2.2.2 Пусть функция /(х) имеет на Т непрерывные частные производные четвертого порядка de де де де , где щ (г = 1,4) -произвольные направления в тетраэдре Т.

Как мы видим в этом случае оценки зависят только от диаметра. Причем из теоремы 2.2.2 можно получить оценки отклонения частных производных и многочлена до третьего порядка включительно, зависящие от диаметра четырехгранника, синуса наибольшего угла в основании и синуса наибольшего угла между ребром и его проекцией на основание. Параграф 2.3 посвящен вопросу сплайн-интерполяции в Rm. Будем строить интерполяционный кубический многочлен Q, удовлетворяющий условиям (1), (2) на m-мерном симплексе Т — (AiA2...Am+i). Дополнительные интерполяционные условия зададим следующим образом. Зафиксируем одну из вершин в m-мерном симплексе. Пусть это вершина А\. Запишем в вершине А\ интерполяционные условия как равенство производных многочлена Q и функции / второго порядка по направлениям ei eij, i,j — 2,m + l (г j). Затем сделаем то же самое с вершиной Ач в (т — 1)-мерном симплексе А2Аз...Ат+і, с вершиной Аз в (т — 2)-мерном симплексе АзАі....Аш+і и т.д.

Следствие. Всегда существуют т направлений еі,Є2, ...,em, совпадающих с направлениями ребер симплекса, выходящих из одной вершины, и соответствующий интерполяционный кубический многочлен Q такой, что dn(Q - Л a4Md j k СМА Г п, 0 п 3, О і, к п (J + к п). Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [24]-[32]. Они докладывались и обсуждались на семинаре по теории функций действительного переменного (руководитель профессор С.Ф. Лукомский), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005, 2007), на Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2006, 2008), на международной конференции, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007), на апрельских конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).

Похожие диссертации на Приближение функций многочленами на треугольной сетке

Приближение алгебраическими многочленами функций с данным К-М обобщенным модулем гладкостиКазимиров, Григорий Николаевич

Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости Напеденина Анастасия Юрьевна

О приближении гладких функций модификациями многочленов БернштейнаЕршова, Тамара Викторовна

Приближение усеченных степеней и классов функций и алгебраическими многочленамиНитиэма, Пьер Клавис

Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сеткахНурмагомедов Алим Алаутдинович

Некоторые типы квадратурных формул и многочлены Чебышева, ортогональные на дискретных сеткахКулибеков Нурулла Асадуллаевич

Аппроксимативные свойства сумм Фурье и их средних типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках Шихшинатова Муминат Магомедрасуловна

Алгоритм Якоби-Перрона и совместное приближение функций Парусников Владимир Игоревич

Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-ЭрмитаАлексеев Дмитрий Владимирович

Представление и приближение функции в среднемИванов, Валерий Иванович