Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Алгоритм Якоби-Перрона 17
1. Обозначения 17
2. Элементарные свойства алгоритма Якоби-Перрона.. 20
3. Свойство соответствия непрерывной дроби разложенному в нее вектору
4. Разложения в непрерывную дробь. Обрыв непрерывных дробей и линейная зависимость
5. Слабо совершенные системы функций 42
ГЛАВА II. Предельно периодические непрерьюные дроби 49
1. Свойства характеристического многочлена
2. Сходимость предельно периодических непрерывных дробей 67
Литература 94
- Свойство соответствия непрерывной дроби разложенному в нее вектору
- Разложения в непрерывную дробь. Обрыв непрерывных дробей и линейная зависимость
- Свойства характеристического многочлена
- Сходимость предельно периодических непрерывных дробей
Введение к работе
В диссертации рассматривается обобщение варианта непрерывных (цепных) дробей., называемых \г -дробями с одномерного случая на векторный. Это обобщение осуществлено с помощью алгоритма Якоби-Перрона. Чтобы определить более подробно объект нашего исследования, сделаем два отступления: первое касается г-дробей и второе - алгоритма Якоби-Перрона.
Непрерывными дробями называют выражения вида do+ ъ. Сол) где вещественные или комплексные "элементы непрерывной дроби"
С* » du могут зависеть от параметров. Непрерывная дробь выпи-сывается по функции фяду, числу) и тогда говорят о "разложении" в нее функции (ряда, числа). Ценность непрерывных дробей заключается в том, что подходящие дроби к ним ^ = do+ л- (neZ+) иногда дают лучшее приближение разложенной в непрерывную дробь величины, чем другие конструкции. Например, непрерывные дроби могут сходиться за пределами круга сходимости ряда Тейлора функции и т.п. Тип приближения и его "качество" существенно зависят от алгоритма, с помощью которого непрерывная дробь получена,и от свойств самих приближаемых величин.
Различают несколько типов непрерывных дробей в Зависимости от вида их элементов и их свойств. Это М -дроби [lij, I -Дроби [го] , С-дроби jjj , Р -дроби и другие (см. [гъ1У\Ъ2]).
Особое место в теории чисел занимают правильные непрерывные дроби Г (0.2) для которых р6 aL > P.J і р2,«- /V . В них с помощью алгоритма Евклида раскладываются действительные числа. По способу получе ния и свойствам к ним наиболее близки функциональные непрерыв ные дроби, носящие название г -дробей. Происхождение их назва ния (от англ. рм.іксі ьаі рахі. ; его ввел Магнус [20] ) объясняется тем, что знаменатели і г -дроби (более точно: Y-дроби с центром в бесконечности) находятся по исходному ряду а -<»«,= 21 <*0,eE~ (*.« Z) (0.8) с- — То как главные части d к = /___ q в точке 2 - <^о рядов &- 2_ ^ 2~ (г^2), рекуррентно связанных друг с другом: Qt"= ^/C^t-f-d^^ )9 fc Є М/ . Все числители С^ t:-дробей равны единице, а их знаменатели - многочлены от г? Если отвлечься от того, что вместо взятия целой части берется главная часть ряда, то алгоритм построения L-дробей - это алгоритм Евклида деления с остатком.
Другой важной составляющей предмета рассмотрения диссертации является алгоритм Якоби-Перрона.
Первое обобщение на многомерный случай алгоритма непрерывных дробей, по-видимому, было дано в работе Эйлера \j5]. Алгоритм Эйлера был насколько изменен Якоби, который придал вычислениям больше единообразия (см. [j?] >\4$} ), а затем перенесен Перроном с двумерного случая на случай произвольной размерности (25]. Перрон ввел удобную символику и доказал сходимость, однозначность и другие важные свойства алгоритма. Последовательность операций в алгоритме Якоби-Перрона та же, что и в алгоритме Евклида. Единственное отличие этих двух алгоритмов состоит в том, что в алгоритме Якоби-Перрона на каждом шаге обращаются не числа, а векторы. Операция обращения векторов Ol—(^Qq ^[pj (me /V ) с неравной нулю первой компонентой определяется формулой
По алгоритму Якоби-Перрона любой вектор d Є |г\ может быть разложен либо в конечную, либо в бесконечную правильную числовую непрерывную дробь -*- — Pi+ %+ (-4)
При этом компоненты векторов р^ (^ ^-~jS) в Ф*^) - целые неотрицательные при К. > О числа, удовлетворяющие определенным неравенствам-, (определение этого варианта алгоритма разложения в непрерывную дробь см. в 2 главы і).
В последнее время интерес к алгоритму Якоби-Перрона возродился вновь. Шваигер исследовал метрические свойства алгоритма [2.83 » а Л.Бернштейн доказал его периодичность для некоторых классов чисел ЦИЗ Были сделаны попытки обобщений алгоритма Якоби-Перрона. Рубан перенес его на случай D-адических чисел //"] , а де Брюен впервые применил его для разложения функций -в работе [iZJ им были обобщены на векторный случай (_-дроби.
Другой вариант приложения алгоритма Якоби-Перрона к случаю функций предложен в настоящей диссертации: на многомерный случай обобщены Jr -дроби. Обозначим через К поле формальных рядов вида
Ь Z ^г"* (vZ) (0.5) с комплексными коэффициентами. С помощью алгоритма Якоби-Перрона по вектору Ct <г К О'*1 б ^0 строится конечная, либо бесконечная многомерная \?-Дробь - непрерывная дробь, имеющая вид (0.4) , НО В КОТОРОЙ Теперь КОМПОНеНТЫ (р ). ( j= 'I у .. . ,1V]) векторов рк не целые числа, а многочлены, при к>о удовлетворяющие неравенствам <^(}*)ы> Л"" (>J«j(pJj). (0.6)
Непрерывные дроби, удовлетворяющие приведенным выше условиям, будем называть правильно сконструированными, не предполагая арч_іочі. , что они получены по алгоритму Якоби-Перрона. Компоненты векторов и -х подходящих дробей оііх к правильно сконструированной непрерывной дроби (0.4) будут рациональными функциями. Степень ок наименьшего общего кратного их знамена- телей (после всех возможных сокращений в кольце многочленов . 1X1 оказышется равной о = /__ ОІеоіСр^),
Одномерные г -дроби обладают следующим свойством (это свойство было известно еще Чебышеву ? см. 8J ) . Договоримся через Т() обозначать порядки нуля рядов -| вида (0.5) (т.е. тг( ) это номер первого отличного от нуля коэффициента Xt< \ t$ t[-t)s оо) ; тогда для и_-х подходящих дробей с/ к И-дроби, выписанной по CL , будет справедливо т (a-ei J = 5„+и+< (о.?) (как и раньше, числа О ^ ~ Z- "^ Рк ~ это степени знаменателей функции ок).
Дадим определение. Будем говорить, что функциональная непрерывная дробь соответствует степенному ряду, если начальные коэффициенты разложений в степенные ряды подходящих дробей к (СМ) совпадают с коэффициентами данного ряда и число совпадающих коэффициентов стремится к бесконечности ; аналогично вводится понятие вектор-ряда, соответствующего многомерной непрерывной дроби. В 3 первой главы диссертации решается вопрос о возможности обобщения свойства (0.7) на случай векторов размерности m^ 2 .
Теорема 2. Любой правильно сконструированной yk -мерной J7 -дроби соответствует некоторый вектор О- Є г\ , причем если непрерывная дробь не оборвалась до (іа+1)-го шага (Vie Ж,), верны неравенства (0.8) где 6^= і) 4 і , Є -L- 2- при l=2v..) m , а число >9 (П-Н) зависит только от степеней многочленов (p2)m ,(р„)7 ... }(Р ) (В скобках заметим, что в методических целях во введении нами изменена редакция формулировок некоторых теорем).
Теорема 2 точна в том смысле, что стоящая в правой части (0.8) величина не может быть заменена большей величиной, завися-щей лишь от номера компоненты разности (X ~~~ <и и степеней компонент векторов р4 7 Рг *> ... > Ри+Ч . Справедлива
Теорема 4. При т^-2 для любой последовательности натуральных чисел js*ln=i существует вектор и 6 К , раскладывающийся в ir -дробь (О о4), для которой степени многочленов - последних компонент векторов рк равны S^. (ice АУ ^ f а все неравенства (р.8) обращаются в точные равенства (не Ы\ е-=ч,.-->т)-
Величины ю(и+0 , фигурирующие в формулировках теорем 2 и 4, находятся по формулам рекуррентного типа
Г (.*-*), если cU^ (pj„-
С помощью теоремы 2 доказывается ряд свойств многомерных JC -дробей.
Замечание 2 (свойство соответствия^). Непрерывной дроби, построенной по алгоритму Якоби-Перрона, соответствует тот вектор, из которого она была получена.
Теорема 5 (свойство единственности). Любая правильно сконструированная непрерывная дробь может быть получена из соответствующего ей вектора при помощи алгоритма Якоби-Перрона.
Правильные числовые непрерывные дроби (5.2) обладают важным свойством: их обрыв равносилен тому, что разложенное в непрерывную дробь число - рациональное. Рассмотрим вопрос о том, в каком случае обрываются многомерные -дроби, т.е. на одном из шагов алгоритма Якоби-Перрона в процессе обращения вектора происходит деление на нуль.
Необходимое условие обрыва выясняется без труда. Оно оказывается и достаточным условием. Используя теорему 2, в 4 первой главы доказывается
Теорема 6. Векторная г -дробь обрывается тогда и только тогда, когда компоненты разложенного в нее вектора вместе с рядом, состоящим из одного члена - единицы, линейно зависимы над кольцом многочленов (L |_2 J .
Для сравнения опишем ситуацию для других вариантов многомерных непрерывных дробей. Для Ш-мерных правильных числовых непрерывных дробей необходимое условие обрыва - это линейная зависимость над L единицы и компонент раскладываемого в непрерывную дробь вектора. Оно является достаточным в случае v*~2. (см. ), и не является таковым при Ш>Ъ : Перроном в[_25] приводятся примеры алгебраических вещественных, чисел , степени меньшей, чем П4+4 , для которых вектор (f L -J ) разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь. Для и -мерных (уи>3) С -Дробей результат, аналогичный результату Перрона, был получен де Брюеном в работе \j4"} .
В одномерном случае известно, что подходящие дроби d^ к Y -дроби для (к. составляют главную диагональ таблицы Паде ряда (X (по поводу таблицы Паде см.рО] ,\Ъ\ ,[2.Ъ] ,(2).
Одним из обобщений на многомерный случай классических аппроксимаций Паде являются совместные приближения нескольких функций рациональными функциями с общим знаменателем (см. 13).
В 5 главы Г изучается связь многомерных г -дробей с одним из, вариантов совместных приближений, который приспособлен для аппроксимации наборов функций в бесконечности (см. [\ J). Для приближений такого рода в [2] введено понятие слабой совершенности системы функций. Справедлива
Теорема 7. Для того, чтобы система рядов ал v..,cim вида і = X Qtii H~J (1=^,...,^) -А Л І' была слабо совершенной, необходимо и достаточно, чтобы вектор & = ($,,,...,Q,^) разлагался в т-мерную г -дробь (0Л), в которой Ь~ 0 , а векторы рк при к>0 устроены так: все их компоненты, кроме последних, - комплексные числа, а последние компоненты (рк)^ - линейные функции.
Вторая глава диссертации посвящена изучению сходимости Г -дробей в точках комплексной плоскости (L , т.е. сходимости в этих точках последовательности подходящих дробей.
В то время, как в теории одномерных непрерывных дробей имеется значительное число содержательных теорем о сходимости, вопросы сходимости многомерных непрерывных дробей изучены в меньшей степени. Помимо работ Перрона\2М\,[25J, в которых, в частности, была доказана сходимость правильных и изучены свойства сходимости периодических числовых многомерных непрерывных дробей, можно назвать результаты Озерского и де Брюена (первым были обобщены на двумерный случай теорема Коха и признак сходимости Зейделя - Штерна (см. [З]), вторым изучались многомерные (^-дроби (см. СИЗ).
В настоящей работе оказалось удобным рассмотреть два понятия сходимости m -мерных непрерывных дробей. Первое - это традиционно рассматриваемое понятие сходимости в (L и второе - понятие сходимости в wl -мерном комплексном проективном пространстве (L !г , рассматриваемом как комплексное многообразие. При этом считаем, что IL, погружено в OP" т.е. С гомеоморфно некоторой гиперплоскости oip^ClP : (L — ol
В одномерном случае наиболее простой после класса обрывающихся непрерывных дробей и вместе с тем важный класс - это периодические непрерывные дроби. В правильные периодические непрерывные дроби раскладываются вещественные квадратичные иррациональности (теорема Лагранжа, см.[_5] ), а периодические г -дроби связаны с теорией абелевых интегралов (см. [9] , а также статью Чеботарева [_ Ї1 ).
Многие распространенные функции раскладываются в так называемые предельно периодические непрерывные дроби, т.е. непрерывные дроби (0.1), для которых существует натуральное число | (период) такое, что ~ Ч**т=Ч ; ^w * ,=ь. [-їм,...,т).
Свойства сходимости таких непрерывных дробей описываются теоремой, доказанной в работах Ван Флека и Прингсхейма (см. [М] [2.( а также [б] ) и ее обобщением на предельно периодические непрерывные дроби (0.і) с произвольным периодом 1 , данным Зацом в [29].
Теорема (Ван Флек-Прингехейм) Предельно периодическая
С -дробь і + -f + с2?
Съ*
, ілуух Cw= СЄ(СЧ{0} h -*«=o (0.9) сходится в комплексной плоскости, из которой удалена полупрямая 2: | ол:яг=- о^дс , № с z ( ^ 4 Т- . Результаты о разложении в предельно периодические Р-дроби марковских функций были получены Видомом в работе [33J.
В главе П настоящей диссертации изучается сходимость функциональных и числовых предельно периодических непрерывных дробей. Одна часть доказанных там утверждений , относящаяся к структуре множества сходимости, в значительной степени опирается на специфический вид \? -дробей. Утверждения этой части будут приведены потом, другая часть, приводящаяся во введении под названием теоремы А, касается сходимости произвольных непрерывных дробей. Чтобы сформулировать ее, введем необходимые понятия.
Непрерывную дробь (0.4) с элементами р (fc ^л.)~ век~ торами из (L назовем предельно периодической с периодом I ее- (Те Л/). если существуют пределы
Ь,Р^т = ЬеС~ <*-«.-.Т>- (сю)
Для предельно периодической непрерывной дроби определим зависящие лишь от ее предельных величин матрицы я- о 0 Ф-J t-1 T (O.II) t -t t-м -ы-Т-1 и многочлен Q00 = ^(WT^E), tel4,...,T}, (0.12) который будем называть ее характеристическигл многочленом {^здесь {Г GL(^-H)C) - единичная матрица).
Теорема А. Пусть для числовой предельно периодической непрерывной дроби выполнены условия: ее характеристический многочлен обладает единственным и однократным корнем 'Ао с максимальным модулем; для любого х [4 ,... ) 3 вектоР (О, 0 , ... , 4") ^ С лежит в максимальном инвариантном подпространстве матрицы Щх » не содержащем собственного вектора, отвечающего числу Л , тогда данная непрерывная дробь сходится в смысле (С |г » скорость ее сходимости к пределу - геометрическая, с показателем, равным модулю отношения второго по величине корня характеристического многочлена к Я0 .
Теорема А содержится в теореме 9, которую мы приведем ниже. Из работ Перрона вытекает, что приведенную теорему сколько-нибудь значительно усилить нельзя:
Теорема В. Пусть числовая предельно периодическая непрерывная дробь оказалась периодической и для нее не выполнено условие теоремы А; тогда, если все максимальные по модулю корни ее характеристического многочлена однократные, то непрерывная дробь расходится в смысле (L [г и, следовательно, в смысле (L
Можно заметить, что теорема А без каких-либо изменений переносится на числовые предельно периодические непрерывные дроби с произвольными не равными нулю числителями Pi ' (в определении предельной периодичности для них нужно в дополнение к (0,10) потребовать существования пределов Хіт. с _Фо ;
Все рузультаты в главе II формулируются для Jz -дробей. Определение понятия предельной периодичности для них согласуется с приведенным выше определением, данным для числовых непрерывных дробей. Предельно периодическими названы ]с -дроби (0.4), для которых в каждой точке Z Є (L имеются пределы (O.IO), а компоненты векторов Эр^ ((: -'I,..., і ) - это многочлены, удовлетворяющие неравенствам Y) ... Р-т- периодическая непрерывная дробь
Последнее требование означает, что составленная из векторов » 'т Р.
,+ й\ ft + должна бытьх -дробью.
В каждой точке Е Є Ц_ матрицы <г*\ _ off7 , и характеристи-ческие многочлены для предельно периодическихJr -дробей опреде- лягатся снова по формулам (0.44),(0.-12).
В леммах 6-ГО устанавливается структура множества, на котором сходится предельно периодическая г -дробь. Оно состоит из конечного числа связных компонент областей U 0, .. , ^-^, (L&JC )* причем лишь одна из них - компонента Ы-0 - неограни-чена. Дополнение в (L к этому множеству состоит из конечного числа замкнутых ограниченных кусков алгебраических кривых (множество 10) и конечного множества Ь . В точках множества 1о не выполнено требование I теоремы А, а в точках множества А -требование 2. Поведение предельно периодической непрерывной дроби вне множества 1 U h описывает
Теорема 9. Равномерно внутри каждой из конечного числа связных компонент открытого множества (L ч (10UaJ предельно периодическая векторная ]г -дробь сходится в смысле (С Iг к голоморфной функции из данной компоненты в (L 1г ; скорость сходимости - геометрическая, с показателем, равным модулю отношения второго по величине корня характеристического многочлена к его максимальному по модулю корню.
С точки зрения теории функций важным представляется вопрос о сходимости непрерывной дроби в смысле сходимости в (С Частичный ответ на этот вопрос для предельно периодической непрерывной дроби дает следующий критерий.
Теорема 10. Предельно периодическая Jr -дробь сходится в смысле (L во всех (за исключением не более чем счетного числа точек) точках компоненты ІЛ и тех компонент (а (Т {-!,..., Lj), где она сходится в смысле (L хотя бы в одной точке. Вектор-функции, к которым сходится непрерывная дробь, продолжаются на всю соответствующую компоненту до вектор-функций с мероморфными там компонентами.
В конце главы I (см. предложение і) указан класс предельно периодических непрерывных дробей, для которых множество С4 (I0Ua) связно: (L ч (TpUa) -1/1.. Дяя непрерыв-ных дробей из этого класса вопрос об их сходимости в Ц_ решается полностью. В случае, если размерность m непрерывной дроби больше единицы, указанный класс сравнительно узок, но в случае т^1 им исчерпываются все предельно периодические непрерывные дроби.
В заключение я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Е.М.Никишину за постоянное внимание и поддержку.
Свойство соответствия непрерывной дроби разложенному в нее вектору
Замечание 2 (свойство соответствия ). Непрерывной дроби, построенной по алгоритму Якоби-Перрона, соответствует тот вектор, из которого она была получена. Теорема 5 (свойство единственности). Любая правильно сконструированная непрерывная дробь может быть получена из соответствующего ей вектора при помощи алгоритма Якоби-Перрона.
Правильные числовые непрерывные дроби (5.2) обладают важным свойством: их обрыв равносилен тому, что разложенное в непрерывную дробь число - рациональное. Рассмотрим вопрос о том, в каком случае обрываются многомерные -дроби, т.е. на одном из шагов алгоритма Якоби-Перрона в процессе обращения вектора происходит деление на нуль.
Необходимое условие обрыва выясняется без труда. Оно оказывается и достаточным условием. Используя теорему 2, в 4 первой главы доказывается Теорема 6. Векторная г -дробь обрывается тогда и только тогда, когда компоненты разложенного в нее вектора вместе с рядом, состоящим из одного члена - единицы, линейно зависимы над кольцом многочленов (L _2 J .
Для сравнения опишем ситуацию для других вариантов многомерных непрерывных дробей. Для Ш-мерных правильных числовых непрерывных дробей необходимое условие обрыва - это линейная зависимость над L единицы и компонент раскладываемого в непрерывную дробь вектора. Оно является достаточным в случае v 2. (см. \ZZ V), и не является таковым при Ш Ъ : Перроном в[_25] приводятся примеры алгебраических вещественных, чисел , степени меньшей, чем П4+4 , для которых вектор (f L -J ) разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь. Для и -мерных (УИ 3) С -Дробей результат, аналогичный результату Перрона, был получен де Брюеном в работе \j4"} . В одномерном случае известно, что подходящие дроби d к Y -дроби для (к. составляют главную диагональ таблицы Паде ряда (X (по поводу таблицы Паде см.рО] ,\Ъ\ ,[2.Ъ] ,(2). Одним из обобщений на многомерный случай классических аппроксимаций Паде являются совместные приближения нескольких функций рациональными функциями с общим знаменателем (см. 13). В 5 главы Г изучается связь многомерных г -дробей с одним из, вариантов совместных приближений, который приспособлен для аппроксимации наборов функций в бесконечности (см. [\ J). Для приближений такого рода в [2] введено понятие слабой совершенности системы функций. Справедлива была слабо совершенной, необходимо и достаточно, чтобы вектор & = ($,,,...,Q, ) разлагался в т-мерную г -дробь (0Л), в которой Ь 0 , а векторы рк при к 0 устроены так: все их компоненты, кроме последних, - комплексные числа, а последние компоненты (рк) - линейные функции. Вторая глава диссертации посвящена изучению сходимости Г -дробей в точках комплексной плоскости (L , т.е. сходимости в этих точках последовательности подходящих дробей. В то время, как в теории одномерных непрерывных дробей имеется значительное число содержательных теорем о сходимости, вопросы сходимости многомерных непрерывных дробей изучены в меньшей степени. Помимо работ Перрона\2М\,[25J, в которых, в частности, была доказана сходимость правильных и изучены свойства сходимости периодических числовых многомерных непрерывных дробей, можно назвать результаты Озерского и де Брюена (первым были обобщены на двумерный случай теорема Коха и признак сходимости Зейделя - Штерна (см. [З]), вторым изучались многомерные ( -дроби (см. СИЗ). В настоящей работе оказалось удобным рассмотреть два понятия сходимости m -мерных непрерывных дробей. Первое - это традиционно рассматриваемое понятие сходимости в (L и второе - понятие сходимости в WL -мерном комплексном проективном пространстве (L !г , рассматриваемом как комплексное многообразие. При этом считаем, что IL, погружено в OP" т.е. С гомеоморфно некоторой гиперплоскости oip ClP : (L — ol В одномерном случае наиболее простой после класса обрывающихся непрерывных дробей и вместе с тем важный класс - это периодические непрерывные дроби. В правильные периодические непрерывные дроби раскладываются вещественные квадратичные иррациональности (теорема Лагранжа, см.[_5] ), а периодические г -дроби связаны с теорией абелевых интегралов (см. [9] , а также статью Чеботарева [_ Ї1 ). Многие распространенные функции раскладываются в так называемые предельно периодические непрерывные дроби, т.е. непрерывные дроби (0.1), для которых существует натуральное число (период) такое, что Свойства сходимости таких непрерывных дробей описываются теоремой, доказанной в работах Ван Флека и Прингсхейма (см. [М] [2.( а также [б] ) и ее обобщением на предельно периодические непрерывные дроби (0.і) С произвольным периодом 1 , данным Зацом в [29].
Разложения в непрерывную дробь. Обрыв непрерывных дробей и линейная зависимость
В леммах 6-ГО устанавливается структура множества, на котором сходится предельно периодическая г -дробь. Оно состоит из конечного числа связных компонент областей U 0, .. , - , (L&JC ) причем лишь одна из них - компонента Ы-0 - неограни-чена. Дополнение в (L к этому множеству состоит из конечного числа замкнутых ограниченных кусков алгебраических кривых (множество 10) и конечного множества Ь . В точках множества 1о не выполнено требование I теоремы А, а в точках множества А -требование 2. Поведение предельно периодической непрерывной дроби вне множества 1 U h описывает
Равномерно внутри каждой из конечного числа связных компонент открытого множества (L ч (10UAJ предельно периодическая векторная ]г -дробь сходится в смысле (С Iг к голоморфной функции из данной компоненты в (L 1г ; скорость сходимости - геометрическая, с показателем, равным модулю отношения второго по величине корня характеристического многочлена к его максимальному по модулю корню.
С точки зрения теории функций важным представляется вопрос о сходимости непрерывной дроби в смысле сходимости в (С Частичный ответ на этот вопрос для предельно периодической непрерывной дроби дает следующий критерий.
Теорема 10. Предельно периодическая Jr -дробь сходится в смысле (L во всех (за исключением не более чем счетного числа точек) точках компоненты ІЛ и тех компонент (А (Т {-!,..., Lj), где она сходится в смысле (L хотя бы в одной точке. Вектор-функции, к которым сходится непрерывная дробь, продолжаются на всю соответствующую компоненту до вектор-функций с мероморфными там компонентами.
В конце главы I (см. предложение і) указан класс предельно периодических непрерывных дробей, для которых множество С4 (I0UA) связно: (L ч (TPUA) -1/1.. Дяя непрерыв-ных дробей из этого класса вопрос об их сходимости в Ц_ решается полностью. В случае, если размерность m непрерывной дроби больше единицы, указанный класс сравнительно узок, но в случае т 1 им исчерпываются все предельно периодические непрерывные дроби.
В заключение я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Е.М.Никишину за постоянное внимание и поддержку. с комплексными коэффициентами ук обозначим через К Поля вкладываются в К : элементам С (г) нужно сопоставить их разложение в ряд Лорана в бесконечности. Для еК {о} через TCp будем обозначать порядок нуля ря 18. да , т.е. номер первого отличного от нуля коэффициента к в (i.l); при этом Т(0)« = »о . Для многочленов -J --Г гч+...+Г GK {0"\ порядок нуля T( ) = -djLa j неположителен. Числом те /V будут определяться размерности рассматриваемых объектов; это число будет фиксировано. Под tt в этом параграфе везде будем понимать одно из полей: (L- или К ї К. « -мерное векторное пространство над «&. , его элементы (при и 4) будем отмечать сверху стрелочками. Зафиксируем произвольный базис в к . Компоненты вектора из к, 5 т.е. коэффициенты его разложения по этому базису, будем обозначать той же буквой, которой обозначен вектор, но заключенной в круглые скобки и снабженной индексом; либо мы будем вводить для компонент вектора специальные обозначения. Векторы будут записываться в виде 0--((5) ...,(5) Обозначим tar ж—мерное проективное пространство над полем -к, , т.е. множество классов эквивалентности и ч {о} ( 0-== (о, 0 , ... , 0 ) є к. ) по отношению пропорциональности " n: к (jTkcx Nloj), если существуют tk {(fy, что Q - -V (отношение " vx " на множестве fc ч\0) будет отношением эквивалентности). Классы эквивалентности назовем проективными векторами; обозначающие их буквы будем снабжать сверху чертой. Равенство сі —(d0 d ...: d ) будем понимать как то, что класс эквивалентности, определяющий а , содержит век тор А - (d0 , Л,, ." 06 -1 » числа d-- (j=or.. ) назовем однородными координатами d : (d)-.:=:dl . Последнее опре J а 7 деление несет в себе произвол - оно зависит от выбора а, тем не менее оно не приведет нас к недоразумениям: мы будем интересоваться независящими от отношениями (dy- /( а), (обыч-при 1 0j или тем, принадлежит ли проективный вектор одной из m -И гиперплоскостей ЗИ ( j = О v.. 5 ИИ )
Свойства характеристического многочлена
Каждое из 5Є. уравнений. (2.28) определяет в (L алгебраическую поверхность (комплексную кривую) у\ . Ввиду того, что многочлены Q . Q неприводимы и различны, конечны множество точек (ц . (L , в которых эти поверхности пересекаются друг с другом, и множество точек самопересечения поверхностей 1\о Выберем из точек пересечения и самопересечения поверхностей Д р (=4 ... ті) те точки (м,О С , для которых п i_- \ \ J , и добавим к ним конечное число точек вида Ґ-4 z) и 0 ) » лежаЩих на поверхностях А /\ Спроектировав получившееся множество на плоскость переменной , получим конечное множество (jr . Из построения видно, что о С G I ; точнее, С - это множество концевых точек X и точек пересечения и самопересечения алгебраических кривых, составляющих. I . Множество X » в свою очередь, есть объединение множества С и некоторого конечного числа открытых дуг
Рассмотрим любую точку множества определены W-И однозначная аналитическая функция \\ (j = 0 кЛ-ветвь функции Л . Алгебраическая кривая У- делит 1/L на две части -"левую" Ц(/ и "правую" Ц}П) : U = UWl/ КІ/Ш4 . В каадой из них строгие неравенства (2.22) выделяют по одной ветви, обладали \ Сп) Q гащеи там максимальным модулем, - назовем их Л ид . Эти ветви не могут быть аналитическими продолжениями друг друга через кривую Y .В самом деле, пусть, например. Тогда из условия oe X » равносильного выполнению для некоторого индекса ]0 о равенства немедленно получаем противоречие с леммой 8: lCPc )/ C%) CeMS-f" в XL С другой стороны, очевидно, что если точка g0 не принадлежит множеству Х0 » в какой-то ее окрестности имеется ветвь функции Л , модуль которой в точках этой окрестности больше модулей других ветвей функции Л . Установленное свойство позволяет сказать, что либо некоторая дуга V. целиком принадлежит множеству X » либо целиком не принадлежит ему. Покажем теперь, что множество X не содержит изолированных точек. Пусть 20 - изолированная точка множества X где . - наименьшее общее кратное порядков ветвления ветвей в точке Е0 ; в некоторой окрестности точки Se все ветви Я ,., ) функции Д будут аналитическими функциями параметра w : lCP=: X )(2(W)) (ро,...,т; (w W0) . Предположив, что в некоторой, проколотой окрестности ТОЧКИ 2? ветвь Л имеет максимальный модуль среди модулей всех ветвей функции Л , получаем противоречие: по принципу максимума в точке NMrrO модуль функции "X Н С ))/ A (2-( w)) должен быть строго меньше единицы. Нами доказана Лемма 9. Х0 есть объединение конечного числа замкнутых компактных кусков алгебраических кривых, не сводящихся к точкам. 8. Обозначим черезД (-бе множества точек ці X » в которых для некоторой невырожденной матрицы С , Установим, что если 2 6 Д . , то не только для матрицы Q , но и вообще для любой матрицы приводящей Ж (г) к виду Т=С" Ш С , где (Т)о t-(T\ 0= о Ун. равен нулю. Обозначим or матрицу С С, . Верхняя строка матричного равенства УсГ or J\ дает нам (fro,..Mm : Доказательство. Покажем, что все множества Д. конечны. Для этого при каждом І 21 вычислим коэффициенты (С L для выбранных специальным образом матриц С , приводящих Щ , к блочному виду. Составим из алгебраических дополнений элементов последней строки матрицы jjT[ (г)-"\Е вектор 3jCX4"2-) . Множество точек (= С ч » где какой-нибудь из векторов ш ( 4 ),2:) (\=0 ...JVH) равен нулю, принадлежит множеству -г I 3" С Q(X )= (SfiO e)) - о у , где равна нулю W—я компонента одного из этих векторов. Последнее множество конечно: так как многочлен Q неприводим, а и _- с 9" (? )ук 3 Q = + алгебраические поверхности, заданные в (С уравнениями (2.21) и (СГГСХ ) =0, пересекаются по конечному множеству, проекция которого на плоскость (L переменной Ъ - также конечное множество. Вне этого множества векторы UlChJ?) ) будут собственными векторами матрицы mjjt): (Щ.-\ФЕ) () ),2) = 0. Матрица С со столбцами-векторами Жфк(25,Е) (t:=or.. хил) невырождена и приводит YOL i_ к диагональному виду:
Сходимость предельно периодических непрерывных дробей
Сходимость последовательности \ г ЧчЧХ /Ли-І TJ-J. =гДН С фг i . (2Г в V будет доказана, если удастся доказать сходимость к одному пределу всех 1 ее подпоследовательностей і П L {.&) I Чтобы сделать это, предварительно будет установлено, что для последовательностей \ ц, \ , на рост которых наложены опре деленные ограничения, и проективных векторов d из некоторого множества оО OVQ сходятся последовательности доказательства теоремы 9). После чего будет показано, что для cL е U сходятся последовательности . и, затем, - что для любых последовательностей -! (X , все элементы с достаточно большими номерами которых лежат в сО , последовательности jH С u f + yf I сходятся к одному и тому же, зависящему только от точки Z , проективному вектору. Далее применим доказанное к последовательностям и сходимость fpy ( ()-} і m 4- Удет установлена. Оценка скорости сходимости непрерывной дроби будет извлечена из выкладок, сделанных во время доказательства факта сходимости. 5. Приступим к доказательству теоремы 9. Зафиксируем произвольную точку Н0 (L - С- 0 ) число й из интервала []Q(?o) -4 (интервал не пуст, так как Q (20) 1) и целое число t в f і,. . ., Т} Точка 20 принадлежит одному из множеств Up (Еє\Ог.. ijr) вместе с некоторой окрестностью, в любой точке которой число )i () - однократное собственное значение матрицы Jut, (2) , обладающее максимальным модулем по отношению к модулям других собственных значений йї[, ( . В этой окрестности корневые подпространства, отвечающие 0(2) ДномеРны» а Ранг матрицы равен т.. Значит, найдется строка матрицы Vlft fy- X fe)E такая, что (пг-н) -мерный вектор Со(г) , составленный из алгебраических дополнений ее элементов, не ра - вен нулю хотя бы в точке . Так как компоненты вектора С0 непрерывно зависят от точки Z. , на некотором,содержащем Zc открытом подмножестве рассматриваемой окрестности., вектор С0(й) также не обращается в нуль. На этом подмножестве С0 (г) будет собственным вектором МІС, () : 1-я строка векторного равенства СШ- (3 А fe)E) C0(2) = О означает, что определитель матрицы, полученной-из О Л. (?)"" Л0(ЙЬ заменой строки, по которой стро ился вектор С0 (J&) , на u-ю, равен нулю. Приведем матрицу Щ., в точке к верхней жордановой нормальной форме, в левом верхнем углу которой стоит число А (.2) » образующее самостоятельную жорданову клетку. Заменой столбцов матрицы, при помощи которых, это было осуществлено, на пропорциональные им векторы (новую матрицу обозначим C(z0)) , можно добиться, чтобы над главной диагональю матрицы ІС оУ —С (ОЖ ( )м?5в)на местах, где в жордановой форме были единицы, стояли произвольные не равные нулю числа. Возьмем эти числа такими, чтобы их модули не превосходили (0 - б (ї0)) I А0 (Во д/3 . Кроме того будем считать, что левый столбец, матрицы ( (ъ ) равен С0 (z) (на его место можно поставить любой собственный вектор OCIL, Сго) » отвечающий 0fe) а все такие векторы пропорциональны). Так как матрица С (г0") невырождена, а вектор-функция С — С () непрерывна, в окрестности точки 2 , вероятно, меньшей уже выбранной нами, векторы С С ) С(.(20 ))...)С (2 будут линейно независимы. Если С Сг ) - матрица, составленная из этих векторов, как из столбцов, то левый столбец матрицы TL=tC(fi -(( W&C(&) имеет вид Найдем числа оЛ = ot.. ( (і =М ..., m) из системы линейных уравнений. Это можно сделать, потому что в выбранной окрестности определи- тель выписанной системы не равен нулю. (Заметим, что по этой причине 6 2 =... = ИД ОА О)» Пусть в верхней строке матрицы стоят прочие же элементы (уЪ - нули. При помощи О и L/C. определим матрицы, для которых сохраним обозначение С = С(г)и Т = Лг) : С::=: С( Е" "CXj» ;== L- Q$L, О (введенные ранее матрицы С СО и Jfe") действительно получаются подстановкой Z-Z6 в С и J). Матрица J имеет блочную структуру:
