Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости Напеденина Анастасия Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Совпадение классов функций, характеризуемых несимметричным оператором обобщенного сдвига, и классов функций с данным порядком наилучшего приближения 16

1.1 Вспомогательные утверждения 16

1.2 Свойства оператора Jy(f,x) 23

1.3 Приближение функций с заданной структурной характеристикой 48

1.4 Структурные характеристики классов функций с данным порядком наилучшего приближения 53

2 Прямая и обратная теоремы теории приближений 60

2.1 Свойства оператора Ty(f, х) 60

2.2 Свойства оператора H(f, х) 72

2.3 Связь Х-функционала и обобщенного модуля гладкости 103

2.4 Связь между обобщенным модулем гладкости и наилучшими приближениями алгебраическими многочленами 109

Список литературы 111

• Свойства оператора Jy(f,x)
• Структурные характеристики классов функций с данным порядком наилучшего приближения
• Свойства оператора H(f, х)
• Связь между обобщенным модулем гладкости и наилучшими приближениями алгебраическими многочленами

Введение к работе

Одна из основных задач теории приближений состоит в определении связей между структурными свойствами функции и порядком ее наилучших приближений полиномами. Можно выделить две исторически сложившиеся постановки задачи: сравнение классов функций, модуль гладкости которых имеет данный порядок убывания, и классов функций с соответствующим порядком приближения полиномами; оценка наилучшего приближения функции полиномами через модуль гладкости этой функции (прямая теорема теории приближений); оценка модуля гладкости функции посредством наилучших приближений полиномами этой функции (обратная теорема теории приближений).

Рассмотрим сначала периодический случай. Будем говорить, что 27Г-периодическая функция F(x) Є Ь_р.[0;2тг], 1 ^ р ^ +оо, если для 1 ^ р < +оо F(x) - измерима на отрезке [0; 2тг]

2тг \ р X < +оо, - =[f\F(x)\4 для р = +оо F(x) - непрерывна на отрезке [0; 2ж] и ^{II^IU- = ІИІо. = ш |F(*)|.}

Через E_n(F)_p* обозначим наилучшее приближение функции F(x) Є Lp*[0;27r] тригонометрическими полиномами T_n_i порядка не выше, чем (п — 1), в метрике L_p», т.е. J-n-l

Структурные свойства функции будем выражать через модуль гладкости uf_r(F,S)_p* этой функции, который определяется следующим образом: u(F,S)^ = sup \\F(x + h) - F(x)\\_p. = sup ||AiF||^ для r = 1; \h\0 \h\& v_r(F,5)_p* = sup ||AJ-F|b для r>2, r Є N, где AlF = Al(Al~^lF).

Еще в начале прошлого века возникли задачи: зная порядок наилучшего приближения функции, выяснить ее структурные свойства, и наоборот, выяснить, какие свойства функции влияют на скорость стремления к нулю последовательности ее наилучших приближений (см. [1]-[4]).

ВВЕДЕНИЕ

Для 27г-периодических непрерывных функций из работ Джексона [3] и Бернштейна [4] следует результат об эквивалентности условий u{F, 6)_с. = 0(5^а) и E_n(F)_c- = 0(n"^Q), где 0 < а < 1.

В дальнейшем этот результат был перенесен на метрику пространства L_p* и обобщен для г-го модуля гладкости, т.е. если F Є L_p», то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные Сі и Сг, не зависящие от п (ті Є N) и 6 (6 > 0), такие, что w_r(F, J)_p. < dS* «=» E_n(F)_p. < % (1) где 0 < а < г.

Утверждение (1) решает основную задачу теории приближений в периодическом случае для степенных порядков приближения.

Также эта задача была решена и для произвольных порядков приближения, а именно, было показано, что если F Є L_p*, то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от п (п Є N), такие, что справедливы неравенства CA(F)_P. ^ ш_г (f,-) <ЩІ2v^r~^lE_u(F)_p., (2) (см., например, [3], [5] и [6]).

Прямые и обратные теоремы теории приближений позволяют полностью охарактеризовать класс функций с данными структурными свойствами с помощью последовательности наилучших приближений.

Естественно возникает вопрос: переносятся ли утверждения (1) и (2) на случай приближения непериодических функций алгебраическими многочленами?

Прямую теорему Джексон [3] доказал и для непрерывных функций, заданных на конечном отрезке. Но выяснилось, что обратную теорему на непериодический случай перенести нельзя (см., например, [7]), т.е. классы функций со структурной характеристикой u(f,S)_p ^ С 8^а (модуль непрерывности рассматривается уже в метрике L_p[—1; 1]) и классы функций, для которых наилучшее приближение алгебраическими многочленами имеет порядок п~^а, — это разные классы. Таким образом возникла задача охарактеризовать оба эти класса.

1. Какова конструктивная характеристика функций, удовлетворяющих условию u(f,S)_p4iCS^a?

В 1946 году С.М.Никольский [8] показал, что прямая теорема для непрерывных непериодических функций может быть усилена и выдвинул гипотезу о том, что конструктивная характеристика таких функций должна

ВВЕДЕНИЕ учитывать положение точки на отрезке. Его результат был уточнен и обобщен А.Ф.Тиманом [9], а В.К.Дзядыком [10] доказана обратимость этого результата.

Таким образом, были получены прямая и обратная теоремы теории приближений, но не для наилучшего, а для "поточечного" приближения; т.е. для f(x) Є С[—1;1] условие u)(f,S)c ^ Ci<5^a равносильно следующему условию: существует последовательность алгебраических многочленов Р_п-\, для которых |/(«) - р_,(*)|«: g (у/ї=* + і)", где 0 < а < 1 и положительные постоянные С\ и Сі не зависят от #, S ип (жє[-1;1], J>0, nN).

Однако, было показано, что на случай интегральной метрики эти результаты перенести уже нельзя (см. [11]—[15]).

2. Другой вопрос, встающий в непериодическом случае, есть вопрос о том, какими структурными свойствами охарактеризовать те функции f(x) Є L_p[—1;1], для каждой из которых E_n(f)_p ^ Сп~^а, т.е. чем заменить модуль гладкости, чтобы аналоги прямой и обратной теорем оказались справедливыми?

Полная аналогия с 2л--периодическим случаем имеет место тогда, когда обычный модуль гладкости в непериодическом случае заменен обобщенным модулем гладкости (см., например, [15] - [24]).

Рассмотрим один из основных способов построения обобщенных модулей гладкости, связанный со следующей аналогией с 2я"-периодическим случаем.

Каждой 27г-периодической функции F, интегрируемой на отрезке [0; 2п] в каждой точке х Є [0; 2п] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье к=—оо по тригонометрической системе {е^гкх )^.00- Тогда ряд ]Г c_ke^ikhe^ikx к=—оо является рядом Фурье функции F в точке сдвига (х + h). При этом модуль гладкости в периодическом случае определяется при помощи разности Fix + К) — Fix).

ВВЕДЕНИЕ

Каждой функции /, интегрируемой с весом {l — x)^v{l + xY на отрезке [—1;1], в каждой точке х Є [—1;1] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье-Якоби по системе многочленов Якоби {Pfl (^Х)}к^0' Рассмотрим ряд E^ww^'w, (з) где {k{h) = р*\Ь), то оператор обобщенного сдвига называют симметричным; если

Отметим, что случай симметричных операторов обобщенного сдвига исследован достаточно подробно (см., например, [15], [16], [19]-[27]). В этих работах для различных v и \ь приводился явный вид операторов обобщенного сдвига и устанавливались аналоги утверждений (1) и (2). При этом в доказательствах существенно использовались явный вид операторов и свойство симметричности T_y(f,x) = T_x(f,y). В связи с этим возник вопрос, будут ли в отсутствии симметрии (где явный вид оператора известен лишь в нескольких случаях и имеет довольно сложную структуру) получаться подобные результаты.

В данной работе рассматриваются несимметричные операторы обобщенного сдвига J_y(f,x) и T_y(f,x), введенные М.К.Потаповым в работах [28] и [29], и устанавливаются соотношения типа (1) и (2) для кратных модулей гладкости, построенных посредством этих операторов.

Определения операторов J_y(f,x) и T_y(f,x), а также всех других объектов, которые в дальнейшем встречаются во введении, можно найти в списке основных определений и обозначений на стр. 12-15.

Перейдем теперь к точным формулировкам полученных результатов.

В главе 1 рассматривается оператор «7_У (/,#) Этот оператор является

ВВЕДЕНИЕ несимметричным оператором обобщенного сдвига для v — \i — 1 и ш=ад = Ц^рПу) - р&%)+Ц^^1,м.

Это следует из того, что (см. утверждение 1.4) 1 I J J_y(f,x)lf'^l\x)(l - х²) dx = U_k(y) J f(x)P^^l\x)(l - х²) dx.-1 -1

Оператор J_y(f,x) при у = cost будем обозначать J_t(f,x). Этот оператор рассматривается в пространствах L_Vy(Xfi (т.е. действует на функцию / Є L_P)Q,/?). Отметим, что не при всех значениях параметров а и @ оператор J_t(f,x) является ограниченным.

Более точно, для нормы оператора справедливы следующие леммы:

Лемма 1.9.¹ Пусть числа р, а. и /3 таковы, что 1 ^ р ^ +оо, a ^ (3^1 — ^-. Пусть Ь — некоторое число, такое, что 0 ^ Ь < \ при р = 1,

О < Ь < \ при 1 < р < +оо и О < Ъ ^ \ при р = +оо. Пусть f 6 ?,«,/? Тогда справедливо неравенство \\Mf,*)L,P < c(||/|U» + ^-"'ll/Lw + + ^і-чіІ/И^.^.,^ + ^«^і-чіІ/Ирд-^-і-,), где постоянная С не зависит от f nt.

Лемма 1.10.² Пусть числа р, а и /3 таковы, что 1 ^ р ^ +оо, 0 < (3 ^ | прир = 1, — з^ПР^И1 < Р < + ^и 2 ^ ^ ^< * ^ПР^ИР ⁼ +> а^ /3. Пусть f Є L_PiQjp. Тогда справедливо неравенство

Ш,*)Ь*л < с (11/11^+^^11/11^). где постоянная С не зависит от f nt.

С помощью оператора «/*(/, ж) определяется обобщенный модуль гладкости Cj_r(f,8)_p>Ctfi и в параграфе 1.3 главы 1 доказывается теорема о приближении функций с заданной структурной характеристикой.

Теорема 1.2. Пусть даны числа р, а, /3, А и г, такие, что 1 ^ р ^ -f-oo, reN, А > О, /? < а < 1 при р = 1, /? < а < 2 - J пря 1 < р < +оо. Пусть /(я) Є L_p>Qtp. Если Vr(f,&)p,a,0 < Сі -5 , ¹ Более точно, эта лемма является объединением лемм 1.9 и 1.8 диссертации. ²Частным случаем этой леммы является утверждение 1.6, доказанное в работе [28].

ВВЕДЕНИЕ где постоянная С\ не зависит от 8 (5 > 0), то En(f)p,a,(3 < ^д, где постоянная Сч не зависит от п (га Є N).

При доказательстве этой теоремы центральную роль играет утверждение об алгебраических многочленах, реализующих указанный порядок наилучших приближений функций из классов Е(р, а,/?,Л), которое представляет и самостоятельный интерес. А именно, справедлива

Теорема 1.1. Пусть г, q и m — данные натуральные числа. Пусть функция f(x) суммируема с весом (1-х²) на отрезке [—1;1]. Тогда для любого I = 1,2,..., г функция т я- _г Qi(x) =// Д..і,(/>^х) П #(**> ^m> ) ^sin *e <**1 ^dtr,о о ^s=1 где K(t„m,q) = $^, 7(t.) = (^)²'⁺⁴, 7(m,_S) = / ( ^sintdt, есть алгебраический многочлен степени не выше, чем (q 4- 2)(m — 1).

В параграфе 1.4 главы 1 для достаточно широких пределов изменения параметров а и /? (см. леммы 1.8-1.10) установлена теорема о структурных характеристиках функций с данным порядком наилучших приближений.

Теорема 1.3. Пусть даны числа р, а, (3, г, X, такие, что 1 ^ р ^ +оо, г Є N, 2max(a + ^ - 1; or - /3) < Л < 2г, 0

Пусть f Є р,а,0. -Беля En(f)p,_ai0 < ^р где постоянная С\ не зависит от га (га Є N), то Ur{f,$)p,a,0 ^С₂-5^Х, где постоянная Сч не зависит от 6 (5 > 0).

Объединяя теоремы 1.2 и 1.3, получаем прямую и обратную теоремы теории приближений для степенных порядков приближения.

Теорема 1.4. Яусть даны числа р, a, j3, А и г, такие, что 1 ^ р ^ +оо, rN, 0 < /? < а < 1 ярир = 1, |-^

ВВЕДЕНИЕ

При г = 1, а = /3 и более узких пределах изменения параметров эта теорема доказана М.К.Потаповым в работе [28].

В главе 2 рассматривается оператор Т_у (/,#). Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для и = З, /і = 1 и VJt(y) = РІ ' (у)- Это следует ^из того, что (см. лемму 2.1) j T_y{f,x)p>^l\x){l-xf(l+x) dx = Pj;⁰'⁴⁾(yyf f(x)P^^l\x)(l-xf(l+x) dx.-1 -1

Для рассматриваемых пределов изменения параметров оператор Т_у(/, х) ограничен. "Утверждение 2.1 [29]. Пусть даны числа р и а, такие, что 1 ^ р ^ +оо, |-^<а<1— ^ при 1 < р < +оо и \ ^ а < 1 при р = Н-оо.

Яусть / Є _Р)а+і,а- Тогда Т_у(/,я) Є _Р)а+і,а для любого у Є (—1; 1) и справедливо неравенство QІКСЛ^Цр.а+І.а ^ ц ч₂ ' Ц/Цр.а+І.а, где постоянная С не зависит от f и у.

При помощи оператора T_y(f,x) задается обобщенный модуль гладкости v(/>)p,a,/?- В главе 2 строится кратный /Г-функционал, отвечающий этому модулю гладкости.

Рассмотрим построение .^"-функционала более подробно, так как здесь заключен принципиальный момент, отличающий кратный случай от случая г = 1.

Из дифференциального уравнения для многочленов Якоби (см. [30], стр. 73-74) возникает оператор обобщенного дифференцирования D_x = (1 - х)~*(1 + *)-* Ар _ _x)\i + _xf±.

Положим D^l_xf(x) = D_xf(x), D^r_xf(x) = D_x(D^r-^lf(x)) для г > 2. Будем говорить, следуя [29], что f(x) Є AD^r(p,a,/?), если

1) Дх) Є Ь_р>аф\ /(ж) имеет абсолютно непрерывную (2г — 1)-ю производную на каждом отрезке [а;Ъ] С (—1;1); D^l_xf{x) Є L_P)Qil3 для / = 1,2,..., г.

Заметим, что пространство AD^r(p,a,/3) зависит от рассматриваемой метрики L_PtQ)p (т.е. от выбора чисел р, a, fi) и никак не зависит от оператора T_y(f,x).

ВВЕДЕНИЕ

Однако применение T_y(f,x) к функции f(x) Є AD^r(p,a,(3) может выводить из пространства AD^r(p,a,/3), т.е. пространство AD^r(p, а,/3) не инвариантно относительно оператора Т_у (/,#).

Таким образом, при рассмотрении кратного оператора обобщенного сдвига, действующего на функции из AD^r(p, a, /?), возникает ситуация, когда оператор T_y(f,x) вторично применяется, вообще говоря, уже не к функции из AD^r(p,a,/3).

Определим пространство ADT^r(p,a,j3) как наибольшее подмножество класса AD^r(p,а,/?), инвариантное относительно T_y(f,x) для всех у Є (—1; 1), или, более точно, скажем, что / Є ADT^r(p,a,(3), если l)feAD^r(p,a,py,

2) T^l_yi / Є AD^r(p,a,p) для любого / Є N и любых уі,У2,--,Уі Є

Введем і(Г-функционал следующим образом: _{tf,(/,*W= ш .(II/-«IIw+^PSp(*)IL.j>)-} (7ЄЛ>Г^г(р,а,/?)

Для определенного таким образом А!"-функционала в параграфе 2.3 главы 2 установлена теорема о его "эквивалентности" обобщенному модулю гладкости W_r(f_fti)_Ptaj3.

Теорема 2.1. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Є N, 1 ^ р ^ +оо, \~ ~h> < ^a <^ — і ^ПР^И 1 ^ Р < + ^и J ^ а < 1 при р = +оо. Пусть f Є L_p>Q+i_tQ. Тогда существуют положительные постоянные Сі и Съ, не зависящие от f и 8, 5 Є (0',тт), такие, что справедливы неравенства ⁽ f\ 4r(r-l) s-1^CS 2 ) ^г(/,^)р,о+1,а < г(/,)р,а+1,а < ^ >4^г(/»<*)р,а+1,а.

Опираясь на этот результат, в параграфе 2.4 главы 2 доказана прямая и обратная теоремы теории приближений для произвольных порядков приближения.

Теорема 2.2. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Є N, 1 ^ р ^ +оо, і — ^ < а < 1 — і при 1 ^ р < +оо и ^ ^ а < 1 при р = +оо. Пусть f Є L_P)a+i_)Q. Тогда существуют положительные постоянные Сі и Сч, не зависящие от f ип, п Є N, такие, что справедливы неравенства Cln(/)p,a+l,a < ^г ( /, - ) < ~з7 2_J ^"^(Яр.а+І.а-

Для однократного случая (г = 1) результат настоящей теоремы был установлен М.К.Потаповым в работе [29].

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация состоит из двух глав, введения, списка основных определений и обозначений и списка литературы из 43 наименований.

В работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе, собственно, — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Результаты других авторов будем называть утверждениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [39]-[43]. Они докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством чл.-корр.РАН, проф. П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова и проф. М.И.Дьяченко, на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001) и на Саратовских зимних математических школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (1998, 2000).

Автор глубоко признателен научному руководителю профессору Михаилу Константиновичу Потапову за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе.

Свойства оператора Jy(f,x)

Лемма 1.6. Пусть даны числа г,р и а, такие, что г GN, 1 $С р +оо, І or - і. Дусть f(x) Є ADr(p, a + 1, a). Тогда для всех п Є N справедливо неравенство En{f)P l,a -r-\\Drxf{x)\\pta+lia, где постоянная С не зависит от f и п. Доказательство. Для г = 1 лемма доказана в работе [29]. Пусть Pn_i(#) — алгебраический многочлен наилучшего приближения функции Dxf(x) степени не выше, чем (п — 1). Его можно представить в виде - 2 En(Dxf)Pta+l,a IV Наилучшие приближения En(f)PiQ+i)Ct и En(g)P)a+i a совпадают, так как (/ — g) — многочлен степени не выше, чем (п — 1). Тогда En{f)pta+l,a — En[Dxf)Pya+i)a. /v Применяя это неравенство г раз, получаем En(f)PtQ+ha — En(Drxf)P)a+1)a - \\DZf(x)\\Pia+i,a IV lb Лемма 1.6 доказана. ГЛАВА 1 1.2 Свойства оператора Jy(f,x) В настоящем параграфе будем рассматривать определенный на стр. 12 оператор Jy(f,x), получающийся из него заменами у = cost, z = cosy оператор Jt(f,x), а также вспомогательные операторы Jy(f,x),Jy(f,x), Jy(f,x), задаваемые формулами Отметим, что все эти операторы определены М.К.Потаповым в работе [28], где был установлен ряд свойств этих операторов. Приведем эти свойства в виде утверждений 1.3-1.6, в точности сохранив формулировки работы [28] (лишь кое-где изменим буквенные обозначения; так, например, операторы, называемые здесь «7, в работе [28] обозначаются Т, а в утверждении 1.6 используется буква т вместо а). Утверждение 1.3. Операторы «7у (/,#), Jy(f,x), Jy(f,x) обладают следующими свойствами: Утверждение 1.3 доказано в работе [28], лемма 1. Утверждение 1.4. Оператор Jy{f,x) обладает следующими свойствами: 1) Jy(f,x) линеен по f, 2) Mf,x) = f(x), 3) Л(РІ1Д), х) = PJM)(s) - U„(y), v = 0,1,2,..., где где а (/) = f f(x)PJ: (х)(1 — x2)dx — коэффициенты Фурье-Якоби по -1 системе многочленов {PJ; (#)}. Утверждение 1.4 доказано в работе [28], лемма 2. Утверждение 1.5. Справедливо следующее равенство: где 7m(я) — многочлен от х степени не выше, чем п. Утверждение 1.5 доказано в работе [28], лемма 3. Утверждение 1.6. Пусть числа р и т таковы, что 1 р +оо, О Т \ При р = 1, 2-І Г 1- ПРИ 1 Р + Т при р = +оо. Пусть fix) ё. LPiT T. Тогда справедливо неравенство где постоянная С не зависит от f и t.

Утверждение 1.6 доказано в работе [28], лемма 5. Простым следствием утверждения 1.6 является следующая лемма. Лемма 1.7. Пусть числа р, т и г таковы, что 1 р +со, 0 т \ при р = 1, - т" 1- при 1 р +оо, т 1 при р = +оо. Пусть f(x) Є ЬР)ГіГ. Тогда справедливо неравенство где постоянная С не зависит от f и t\,...,tr. Доказательство. Применив конечное число раз утверждение 1.6, получим требуемое. Лемма 1.7 доказана. В дальнейших леммах будут получены оценки величин Л(Лж)р,«,/з для различных значений р, а и /?. При этом потребуются следующие неравенства, установленные в работе [32] на стр.234: где величины х, R, z vit имеют тот же смысл, что и ранее. # ГЛАВА 1 Лемма 1.8. Пусть числа риг таковы, что 1 $С р +оо, г 1 — -. Пусть f(x) Є р,г,г- Тогда справедливо неравенство \\ММ\\р,т,т С (/Р)Г)Г + . У\\р,г-еит-ег) , г-\,т где постоянная С не зависит от / и t, a j — произвольное число, принадлежащее промежутку Положим Єї = г—\Л-Ь. Так как Ь — произвольное число из промежутка [0; ), то є\ Є [т — \] г), и утверждение леммы в случае р = 1 доказано. 2) Рассмотрим случай 1 р +оо. В этом случае т 1—j-. Положим Сделаем в двойном интеграле замену переменных по формулам ( ). Считая Ь J, получим Vl 2 Используя неравенства ( ), для любого числа 6, такого, что 0 Ь , получаем і Цх) Сц У"(1 - Д2) /(Д)(1 - Д2)И(1 - ) (1 - z2)6"1 -і і С12 f /(Д)(1 - Д2)1" - Л2 + 2)т+ -1(1 - z2)b ldz -і С13 sup /( )(1 - хУ ь ((1 - z2) "1 +12 "1)) = Є[-1;1] Ч / == (11/1100, + 11/1100,1-4,1-6). Следовательно, Й(/, )оо,г,г = SUp /Дат) Си (/oo,r,r+ 11/1100,1-6,1-0 хе[-1;1] 7 Положим i = г+6—1. Так как 6 — произвольное число из промежутка (0; ], то Є\ Є (г — 1; т — ], и утверждение леммы в случае р = +оо доказано. Лемма 1.8 доказана. Лемма 1.9. Пусть числа р, а и (5 таковы, что 1 р +со, а /3 1 І- Пусть Ъ — некоторое число, такое, что 0 6 при р — 1, О Ь \ при 1 р +оо и 0 Ь \ прир = 4-со. Пусть f(x) Є Р)а,/?-Тогда справедливо неравенство

Структурные характеристики классов функций с данным порядком наилучшего приближения

Сейчас перейдем к доказательству теоремы, в некотором смысле обратной по отношению к теореме 1.2. А именно, будет получена оценка кратного обобщенного модуля гладкости функции из Lp a p, если последовательность наилучших приближений алгебраическими многочленами En(f)Pta,p этой функции убывает не медленнее заданной степени п х. Как уже указывалось ранее, в силу "взаимной обратимости" результатов теорем 1.2 и 1.3, основная теорема 1.4 этой главы получается просто объединением теорем 1.2 и 1.3. Теорема 1.3. Пусть даны числа р, а, /3, г, \, такие, что 1 р +оо, г Е N, 2тах(с + - 1; а - /3) А 2г, 0 /3 а 1 при р = 1, \- щ Р a 2 р ДРЯ 1 Р +оо, /? « 2 при р = +оо. Дусть / Є р а,/?. -Если En(f)p,a,l3 д, где достоянная Сі не зависят от п (п Є N), то где постоянная С% не зависит от 5 (5 0). Доказательство. Пусть Pn_i(#) — многочлены степени не выше, чем (п — 1), такие, что \\f(x) - Р„_і(а;)р ві/? = En{f)Ptafi. Рассмотрим многочлены Qk(x) = Р2 (#)—P2 -i(#) для k 2, Qi(#) = F2(a;) - Ро(ж) и Qo(s) = Ро(я). Ясно, что \\Qk( )\\p,afi C0-2-kX. Оценим ufr(f,6)Pta для 0 S 7Г (достаточно рассмотреть именно такие 5, так как Jt(f,x) = «Л+2я.(/,х), /_4(/,ж) = Jt(f,x)). Фиксируем произвольные числа 1, ,... ,г, такие, что 0 U 5 (« = 1,..., г), и оценим I = \\Artl_tr(f,x)\\P]a l3. Пусть натуральное число N выбрано так, что S . Тогда K...J/- V, )IU + А[ь.іг(Р2.,х)Р)аі/?. Так как Р2 (х) = Q (#), то k=Q N I 11 .. (/ - iV, )IU + 13 НА ».. (0 , )Ла Jfc=0 Ввиду того, что Jt(l,x) = 1 (см. свойство 4 утверждения 1.4), имеем U...t {Qoix) — О? так как Qo(x) = Ро(х) — const. Следовательно, N і \\K..trU - P2»,S)\\P J +Е іі .ігЮ » )іид. k=i Рассмотрим случай (А) /? - прир=1, 0 1-— при1 р +оо. В силу леммы 1.10 имеем \\K..tr{f - А", )11Р,а,Д \ШК\М - P2»,z), )IU/? + + Д ТІг-і(/ - , )11 (Сз + 1)А 7І_ж(/ - V, )p,a,/J + По лемме 1.7 получаем ІД!Г.і,-і(/ - V )IU/» С4/ - Р2-ІІРДД. Аналогичным образом оцениваем величину J А[ r_j (/ — PiN- хУ\т ,& с применением леммы 1.10, а затем леммы 1.7. В результате получаем СИ/- p24p,a,f + с« fe ""я) II/ - »llww где постоянная С7 не зависит от t\,..., tr и 5. Применяя теперь лемму 1.2 (полагая в ней а\ = a — /?, 02 = 0), получаем / Є LPiptp и II/ - 2"1РД/? 2 (Л-2(а- )) И следовательно, \\K:tr(f-P2N X)\\p,C ,0 где постоянная Си не зависит от S и t\,..., tr. Оценим теперь величину ЦА ir(/ — A sJIUa,/? в случае (Б) /3 - прир = 1, /? 1-— приКр +оо. Из условия 2(а + — 1) А следует, что существует число 6, такое, что 0 Ь \ и 2(а + щ — 1 + Ь) А. Фиксируем его. Положив в лемме 1.2 crt == а — (1 — — Ь), 72 = /? — (1 — тг; — 6), получаем, что / Є ЬрЛ_±._Ь1_ _ь и / -Р2"Р11--М- -6 2ІУ(Л.а(а .1+ь))- (1Л0) Если в лемме 1.2 положить j\ = а — /?, 02 = 0, то получим / Є Ьр,/?,/? и II/ - А"ИРД/? 2»(ь-Ч-Р)) (1 П) Если в лемме 1.2 положить а і — ич = (3 — (1 — — 6), то получим II/ - Рр\\р,а-0+1-±-Ъ,1-Ь-Ь 2щХ_2{р+_1+Ь)у (L12) В силу леммы 1.9 имеем Л м Л IK..J,(/ - -Р2» )Р, .,/» 114(4:. .,(/ - P2«, ), )IU/ + + 11 ,7. ,(/ - JV.aOIUjJ (Cl5 + 1)ДЇГІ,.,(/ - А», ),,аЛ + + Сі5 -" Д7Л-,(/ - /v, )IU» + +с,5 2г(,,+ "1+6)д?Д-,(/- ,х)р,,- .м_4_6. (Lis) Оценим второе слагемое: №u\Jf - PI», )\\PA0 « іі4-,(Д7і-г(/ - v. ). )IU/»+ІІД?,:І_,(/ - JV, )IU/?

Применим лемму 1.8, положив Єї = /? — (1 — j—Ь), г = р. \\KXJf - fl». )llww (Си +1)1147.1-,(/ - Ъ , ), )Ь Л + + с1б 1+ь)А 2(/-р2,, рдЧ_м_х_6. Применяем к последнему слагаемому лемму 1.7, положив г = 1 — j— &. ІЛС.І,_,(/ --P2»,x)LW (Сш + i)lA?,:!(r_2(/ - Р ,г),г)и? + Аналогичным образом оценивая А (/ — P2Nix)\\p,pt0 ПРИ s = г — 2, г — 3,..., 2,1, получаем в результате WKXJf - Р2" )\\РЛ0 СИ/ - РИІРЛ + СМ (2 tW- -1+tA . (І/ _ Р2„Л1. _М_А_6 О» (/ - iVIU» + і + -1+ь»/ - Л»ЦлН-и-і- ) (1.14) Учитывая, что 0 Ъ , применяем к третьему слагаемому в (1.13) лемму 1.10, а затем лемму 1.7 с " = 1 — 2 \\K\jf - P2»,x)\\P a-P+l-±-b,l-k-b Ptr-A&nXjf - Р2»,х),х)\\Р,а-13+1--Ь,1-1-р-Ь + (CM + l)A-2r_2(/ - P2N,x)\\p +l_b_btl_k_b + +с21 йгЛІАіТЛ-а(/ - . )ІІм-±-м- -» (C21 + 1)АЙг_2(/ - 2 , )11 - +1- -6,1- 6 + + с22ег /-Р2Чи-х_м_ . Аналогичным образом оценивая А tf(f — Р2 ж)Р,а-/?+і—І—6,1— --б при s = г — 2, г - 3,..., 2,1, получаем в результате \\K\Jf - P2», )IU-/J+I_,L_M_X_J с23 (її/ - iVIU- -i-M-» + «- / - Р2ЧІр,і-і-м- -ь) (1.15) Кроме того, для последнего слагаемого в формуле (1.13) из леммы 1.7 следует, что \\Mr\Jf - A», )IUi-x-u..i-» СмІІ/ - Р2«„,і-х-М-х_6. (1.16) Из формул (1.13), (1-14), (1.15), (1.16) получаем \\K...tr(f - р2» х)\\р,,0 (С15 + m XJf - JV, )IU + C2b52(-n\\f - Р2»\\рЛ(3 + + С №і-Ш)у _ P2N\\pa_p+l_k_b l_k_b + Аналогичным образом оценивая \\А tt(f — P2N,x)\\p ai0 при s = r — 1, г — 2,..., 1, имеем в результате II Д?,..І,(/ - JV, IJIUJ» СівН/ - iVIU,, + + C29i2("-«/ - PHUw + C3a 52 + -1+6 / - iVIIw-wi-i-M-i-»+ + сил - + / - iV-IU-i-».!- -». Подставляя в последнее неравенство соотношения (1.10), (1.11) и (1.12), получаем \\K.. r(f-P » )\\p, J к Т7Г+ лш о/„. \ И »,/х п1а. і—ГГ7ТГ + Вспоминая, что -т S . $-, заключаем \\K...tr(f - Р2»,х)\\р,а,0 С36б\ Обозначая С37 = тах(Сц,Сзб)? получаем, что независимо от того, реализуется случай (А) или (Б), имеет место неравенство \\K..tM-P2» x)\\p,«,P C37S\ где постоянная С37 не зависит от 6 и t\,..., tr. Таким образом, N I С„6Х + \\А1.ЛЛЯ )\\Р, - (1-17) Докажем теперь, что для любого к (к — 1,2,..., N) и для любого і (і = 1,2,..., г) справедливо неравенство 4 = lAU(« , )IU» =S С38 S 2 (2,-Л», (1.18) где постоянная Сз8 не зависит от 5 и ti,..., U. Доказательство неравенства (1.18) проведем индукцией по і. Пусть г = 1. По лемме 1.11 I = \\At(Qhx)\\Pt CS222k\\Qk(x)\\p . Учитывая, что Ц лЦр.а,/? Со 2 feA, имеем где постоянная С39 не зависит от , 8 и к. Тем самым при і = 1 справедливо неравенство (1.18), то есть получено основание индукции. Пусть неравенство (1.18) справедливо для (г — 1), где і — некоторое натуральное число, 2 і г. Докажем (1.18) для і. Обозначая Qk(x) = A f. Qk x), имеем Ф = Ри( к,х)-вк(х)\\р а 0. Поскольку любой многочлен можно представить в виде линейной ком бинации многочленов Якоби, то Qk(x) = ]Ca -w (х)- Тогда, используя свойство 3 утверждения 1.4, а именно, что = рм\х). Пі+ ") p(o,2)(cos t)_Pm{cos t)+tz il /f cos )) , получаем, что «7 (Р/ \х) —алгебраический многочлен от х степени /. Следовательно, Jt(Qk,x) при любом t есть алгебраический многочлен степени не выше 2к. Тогда и Qk(x) = Д Дф я) есть алгебраический многочлен от х степени не выше 2к. Обозначим фк(х) = Jti(Qk,x) — Ojfc(z)- Для оценки Цг = II Ar Jllp.a,/? применим лемму 1.11. В результате получим, что 1 С4о6222к\\вк(х)\\р а где постоянная С40 не зависит от 5 и t\,..., ,-. Согласно индукционному предположению «e»( )L„ С . (.--:). 2Ф.--2-Д).

Свойства оператора H(f, х)

Одна из основных задач теории приближений состоит в определении связей между структурными свойствами функции и порядком ее наилучших приближений полиномами. Можно выделить две исторически сложившиеся постановки задачи: 1) сравнение классов функций, модуль гладкости которых имеет данный порядок убывания, и классов функций с соответствующим порядком приближения полиномами; 2) оценка наилучшего приближения функции полиномами через модуль гладкости этой функции (прямая теорема теории приближений); оценка модуля гладкости функции посредством наилучших приближений полиномами этой функции (обратная теорема теории приближений). и Рассмотрим сначала периодический случай. Будем говорить, что 27Г-периодическая функция F(x) Є Ьр.[0;2тг], 1 р +оо, если для 1 р +оо F(x) - измерима на отрезке [0; 2тг] Через En(F)p обозначим наилучшее приближение функции F(x) Є Lp [0;27r] тригонометрическими полиномами Tn_i порядка не выше, чем (п — 1), в метрике Lp», т.е. Структурные свойства функции будем выражать через модуль гладкости ufr(F,S)p этой функции, который определяется следующим образом: Еще в начале прошлого века возникли задачи: зная порядок наилучшего приближения функции, выяснить ее структурные свойства, и наоборот, выяснить, какие свойства функции влияют на скорость стремления к нулю последовательности ее наилучших приближений (см. [1]-[4]). Для 27г-периодических непрерывных функций из работ Джексона [3] и Бернштейна [4] следует результат об эквивалентности условий В дальнейшем этот результат был перенесен на метрику пространства Lp и обобщен для г-го модуля гладкости, т.е. если F Є Lp», то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные Сі и Сг, не зависящие от п (ті Є N) и 6 (6 0), такие, что где 0 а г. Утверждение (1) решает основную задачу теории приближений в периодическом случае для степенных порядков приближения. Также эта задача была решена и для произвольных порядков приближения, а именно, было показано, что если F Є Lp , то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от п (п Є N), такие, что справедливы неравенства (см., например, [3], [5] и [6]). Прямые и обратные теоремы теории приближений позволяют полностью охарактеризовать класс функций с данными структурными свойствами с помощью последовательности наилучших приближений.

Естественно возникает вопрос: переносятся ли утверждения (1) и (2) на случай приближения непериодических функций алгебраическими многочленами? Прямую теорему Джексон [3] доказал и для непрерывных функций, заданных на конечном отрезке. Но выяснилось, что обратную теорему на непериодический случай перенести нельзя (см., например, [7]), т.е. классы функций со структурной характеристикой u(f,S)p С 8а (модуль непрерывности рассматривается уже в метрике Lp[—1; 1]) и классы функций, для которых наилучшее приближение алгебраическими многочленами имеет порядок п а, — это разные классы. Таким образом возникла задача охарактеризовать оба эти класса. 1. Какова конструктивная характеристика функций, удовлетворяющих условию u(f,S)p4iCSa? В 1946 году С.М.Никольский [8] показал, что прямая теорема для непрерывных непериодических функций может быть усилена и выдвинул гипотезу о том, что конструктивная характеристика таких функций должна общен А.Ф.Тиманом [9], а В.К.Дзядыком [10] доказана обратимость этого результата. Таким образом, были получены прямая и обратная теоремы теории приближений, но не для наилучшего, а для "поточечного" приближения; т.е. для f(x) Є С[—1;1] условие u)(f,S)c Ci 5a равносильно следующему условию: существует последовательность алгебраических многочленов Рп-\, для которых где 0 а 1 и положительные постоянные С\ и Сі не зависят от #, S ип (жє[-1;1], J 0, nN). Однако, было показано, что на случай интегральной метрики эти результаты перенести уже нельзя (см. [11]—[15]). 2. Другой вопрос, встающий в непериодическом случае, есть вопрос о том, какими структурными свойствами охарактеризовать те функции f(x) Є Lp[—1;1], для каждой из которых En(f)p Сп а, т.е. чем заменить модуль гладкости, чтобы аналоги прямой и обратной теорем оказались справедливыми? Полная аналогия с 2л--периодическим случаем имеет место тогда, когда обычный модуль гладкости в непериодическом случае заменен обобщенным модулем гладкости (см., например, [15] - [24]). Рассмотрим один из основных способов построения обобщенных модулей гладкости, связанный со следующей аналогией с 2я"-периодическим случаем. Каждой 27г-периодической функции F, интегрируемой на отрезке [0; 2п] в каждой точке х Є [0; 2п] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

Связь между обобщенным модулем гладкости и наилучшими приближениями алгебраическими многочленами

Пусть f Є LPiQjp. Тогда справедливо неравенство где постоянная С не зависит от f nt. С помощью оператора «/ (/, ж) определяется обобщенный модуль гладкости Cjr(f,8)p Ctfi и в параграфе 1.3 главы 1 доказывается теорема о приближении функций с заданной структурной характеристикой. Теорема 1.2. Пусть даны числа р, а, /3, А и г, такие, что 1 р -f-oo, reN, А О, /? а 1 при р = 1, /? а 2 - J пря 1 р +оо. Пусть /(я) Є Lp Qtp. Если где постоянная Сч не зависит от п (га Є N). При доказательстве этой теоремы центральную роль играет утверждение об алгебраических многочленах, реализующих указанный порядок наилучших приближений функций из классов Е(р, а,/?,Л), которое представляет и самостоятельный интерес. А именно, справедлива где K(t„m,q) = $ , 7(t.) = ( )2 +4, 7(m,S) = / ( sintdt, есть алгебраический многочлен степени не выше, чем (q 4- 2)(m — 1). В параграфе 1.4 главы 1 для достаточно широких пределов изменения параметров а и /? (см. леммы 1.8-1.10) установлена теорема о структурных характеристиках функций с данным порядком наилучших приближений. Теорема 1.3. Пусть даны числа р, а, (3, г, X, такие, что 1 р +оо, г Є N, 2max(a + - 1; or - /3) Л 2г, 0 /? ог 1 при р = 1, Пусть f Є р,а,0. -Беля постоянная С\ не зависит от га (га Є N), то где постоянная Сч не зависит от 6 (5 0). Объединяя теоремы 1.2 и 1.3, получаем прямую и обратную теоремы теории приближений для степенных порядков приближения. Теорема 1.4. Яусть даны числа р, a, j3, А и г, такие, что 1 р +оо, rN, 0 /? а 1 ярир = 1, - /? а 2-± при 1 р +оо, /? а 2 при р = +оо я 2 max(or + - — 1; а — /?) Л 2г. Тогда совпадают классы функции Е(р, а, /?, Л) я Н(р, а, /?, г, Л). При г = 1, а = /3 и более узких пределах изменения параметров эта теорема доказана М.К.Потаповым в работе [28]. В главе 2 рассматривается оператор Ту (/,#). Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для и = З, /І = 1 и VJt(y) = РІ (У)- Это следует из того, что (см. лемму 2.1) Для рассматриваемых пределов изменения параметров оператор Ту(/, х) ограничен. "Утверждение 2.1 [29]. Пусть даны числа р и а, такие, что 1 р +оо, - а 1— при 1 р +оо и \ а 1 при р = Н-оо. Яусть / Є Р)а+і,а- Тогда Ту(/,я) Є Р)а+і,а для любого у Є (—1; 1) и справедливо неравенство где постоянная С не зависит от f и у. При помощи оператора Ty(f,x) задается обобщенный модуль гладкости v(/ )p,a,/?- В главе 2 строится кратный /Г-функционал, отвечающий этому модулю гладкости. Рассмотрим построение . "-функционала более подробно, так как здесь заключен принципиальный момент, отличающий кратный случай от случая г = 1. Из дифференциального уравнения для многочленов Якоби (см. [30], стр. 73-74) возникает оператор обобщенного дифференцирования Положим Dlxf(x) = Dxf(x), Drxf(x) = Dx(Dr-lf(x)) для г 2. Будем говорить, следуя [29], что f(x) Є ADr(p,a,/?), если 1) Дх) Є Ьр аф\ 2) /(ж) имеет абсолютно непрерывную (2г — 1)-ю производную на каждом отрезке [а;Ъ] С (—1;1); 3) Dlxf{x) Є LP)Qil3 для / = 1,2,..., г. Заметим, что пространство ADr(p,a,/3) зависит от рассматриваемой метрики LPtQ)p (т.е. от выбора чисел р, a, fi) и никак не зависит от оператора Ty(f,x).

Однако применение Ty(f,x) к функции f(x) Є ADr(p,a,(3) может выводить из пространства ADr(p,a,/3), т.е. пространство ADr(p, а,/3) не инвариантно относительно оператора Ту (/,#). Таким образом, при рассмотрении кратного оператора обобщенного сдвига, действующего на функции из ADr(p, a, /?), возникает ситуация, когда оператор Ty(f,x) вторично применяется, вообще говоря, уже не к функции из ADr(p,a,/3). Определим пространство ADTr(p,a,j3) как наибольшее подмножество класса ADr(p,а,/?), инвариантное относительно Ty(f,x) для всех у Є (—1; 1), или, более точно, скажем, что / Є ADTr(p,a,(3), если l)feADr(p,a,py, 2) Tlyi / Є ADr(p,a,p) для любого / Є N и любых уі,У2,--,Уі Є Введем і(Г-функционал следующим образом: Для определенного таким образом А!"-функционала в параграфе 2.3 главы 2 установлена теорема о его "эквивалентности" обобщенному модулю гладкости Wr(ffti)Ptaj3. Теорема 2.1. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Є N, 1 р +оо, \ h a — і ПРИ 1 Р + и J а 1 при р = +оо. Пусть f Є Lp Q+itQ. Тогда существуют положительные постоянные Сі и Съ, не зависящие от f и 8, 5 Є (0 ,тт), такие, что справедливы неравенства ( f\ 4r(r-l) s-1 CS 2 ) г(/, )р,о+1,а г(/,)р,а+1,а 4 г(/» )р,а+1,а. Опираясь на этот результат, в параграфе 2.4 главы 2 доказана прямая и обратная теоремы теории приближений для произвольных порядков приближения. Теорема 2.2. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Є N, 1 р +оо, і — а 1 — і при 1 р +оо и а 1 при р = +оо. Пусть f Є LP)a+i)Q. Тогда существуют положительные постоянные Сі и Сч, не зависящие от f ип, п Є N, такие, что справедливы неравенства Cln(/)p,a+l,a г ( /, - ) з7 2_J " (Яр.а+І.а Для однократного случая (г = 1) результат настоящей теоремы был установлен М.К.Потаповым в работе [29]. Диссертация состоит из двух глав, введения, списка основных определений и обозначений и списка литературы из 43 наименований. В работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе, собственно, — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Результаты других авторов будем называть утверждениями. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [39]-[43]. Они докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством чл.-корр.РАН, проф. П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова и проф. М.И.Дьяченко, на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001) и на Саратовских зимних математических школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (1998, 2000). Автор глубоко признателен научному руководителю профессору Михаилу Константиновичу Потапову за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе.

Похожие диссертации на Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости

Приближение алгебраическими многочленами функций с данным К-М обобщенным модулем гладкостиКазимиров, Григорий Николаевич

Об оценках модулей гладкости положительного порядка функций из Lp, 1Есмаганбетов Мусатай Галымович

Оценки сумм коэффициентов Фурье функций с заданным модулем гладкостиДьяченко Дмитрий Михайлович

Приближение функций многочленами на треугольной сеткеМатвеева Юлия Васильевна

О приближении гладких функций модификациями многочленов БернштейнаЕршова, Тамара Викторовна

Приближение усеченных степеней и классов функций и алгебраическими многочленамиНитиэма, Пьер Клавис

Свойства модулей гладкости Дитзиана-Тотика и их аналогиДюженкова, Ольга Юрьевна

Модули гладкости произвольных порядков и преобразованные ряды ФурьеТихонов Сергей Юрьевич

Гладкость классов функций и приближения сплайнамиКитбалян, Александр Анатольевич

Приближение многочленами решений некоторых типов задач для дифференциальных уравнений Азизов Музафар