Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Свойства единичного шара 10
1.1. Некоторые определения и обозначения 10
1.2. Вспомогательные результаты 13
1.3. О минимальной константе Липшица метрической проекции на гиперплоскость 17
1.4. Модули опорной выпуклости и гладкости 21
Глава 2. Уклонение выпуклой оболочки 34
2.1. Оценки сверху на УВО-модуль в различных пространствах 34
2.2. Критерий гильбертовости в терминах УВО-модуля 40
Глава 3. Некоторые геометрические свойства банаховых пространств 50
3.1. Теорема об усреднении 50
3.2. Полунепрерывность сверху опорного отображения 53
Глава 4. Слабо выпуклые множества и их свойства 56
4.1. Основные определения 56
4.2. О взаимосвязи Р-опорного и iV-опорного условий слабой выпуклости 58
4.3. О взаимосвязи условий Р-опорной слабой выпуклости и слабой выпуклости по Виалю 61
4.4. Модуль невыпуклости слабо выпуклых множеств 62
4.5. Регулярность слабо выпуклых множеств 65
4.6. О стягиваемости слабо выпуклых множеств 69
4.7. Монотонность нормального конуса 70
Заключение 92
Список литературы 93
- Вспомогательные результаты
- Модули опорной выпуклости и гладкости
- Критерий гильбертовости в терминах УВО-модуля
- О взаимосвязи условий Р-опорной слабой выпуклости и слабой выпуклости по Виалю
Вспомогательные результаты
Известно, что любое равномерно выпуклое пространство является локально равномерно выпуклым. Также очень важным для нас результатом является следующая лемма о множестве точек существования [55].
Лемма I. Пусть А - замкнутое множество в локально равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Тогда множество Т{А) точек и є X, для которых множество PA{U) состоит ровно из одного элемента, всюду плотно в X.
Определение 1.1.9. Будем говорить, что функционал р Є X является двойственным вектору ж Є X, а вектор х будем называть двойственным функционалу р, если Множество всех функционалов, двойственных вектору х, будем обозначать через J{x). Обозначим J\(x) = J{x) П д В\{о).
В силу теоремы Хана-Банаха [29, теорема 3.2] J\(x) ф 0 для любого ж Є X. Заметим, что для рефлексивного банахова пространства для любого функционала р Є X существует двойственный ему ненулевой вектор из X. Известно, что если норма пространства X дифференцируема по Фреше в точке ж0 Є X, то производная Фреше в точке ж0 нормы является единственным элементом множества J\(XQ). Всякое равномерно гладкое пространство является пространством с дифференцируемой по Фреше нормой. Любое равномерно выпуклое или равномерно гладкое банахово пространство рефлексивно (см. [11], 2, 4 главы 2).
Будем говорить, что вектор у Є X квазиперпендикуляр єн вектору х Є X \ {о} и писать у х, если существует функционал р Є J\{x) такой, что (р,у) = 0. Отметим, что вектор у квазиперпендикулярен х тогда и только тогда, когда произвольной константы А 6 R вектор х + Ху лежит в опорной гиперплоскости в точке х к шару 53цжц(о), что, в свою очередь, равносильно неравенству Цж + Аг/Ц \\х\\ для произвольного скаляра А. В частности, квазиперпендикулярность вектора у вектору х равносильна ортогональности по Р. Джеймсу вектора х вектору у ([11], Гл. 2, 1).
Будем предполагать, что оф о\, иначе доказываемое утверждение тривиально. Пусть z -точка на сфере 993i(o) такая, что о Є [ z,oi]. Из неравенства треугольника следует, что если множество 5Si(o)\int5Sr(oi) не пусто, то оно содержит точку z. Покажем, что множество d B i(o)\mt Br(oi) линейно связно, откуда следует утверждение леммы. Для этого достаточно показать, что в двумерном случае любая точка множества S = 55Si(o)\int5Sr(oi) связана с точкой z. Предположим противное: существует точка d Є S, линейно не связанная с точкой z. Отсюда следует, что на обеих дугах dz единичной окружности 993i(o) найдутся точки принадлежащие int93r(oi). Из неравенства треугольника следует, что точка d не лежит на прямой оо\. Тогда на единичной окружности 993i(o) существуют точки ai,bi такие, что они лежат с d в одной полуплоскости, ограниченной прямой оо\, принадлежат окружностям 993r(oi), 993i(o) и на дуге афі окружности 993і(о) найдется точка с\ такая, что ЦсіОіЦ г. Из точки о проведем лучи, сонаправленные лучам o\ai,oibi соответственно. Пусть они пересекают единичную окружность 993і(о) в точках а, Ъ соответственно. Из подобия шаров 93і(о),93г(оі) следует, что а\Ь\ \\ аЪ. Из того, что точки a,b,ai,bi лежат по одну сторону от прямой ooi и оаГіоійі = 0,о&Поі&і = 0 и выпуклости единичного шара следует, что отрезки ab,a\bi лежат на одной прямой, откуда ЦсіОіЦ = г. Противоречие.
Предположим противное. Тогда min{cr , \\xd\\} тах{аж , \\xb\\} + є = г для некоторого є 0. Следовательно точки с,d множества 2Si(o) \int2Sr(x) нельзя соединить непрерывной кривой, лежащей в этом множестве, так как отрезок аЪ лежит в множестве int2Sr(x) и при этом разделяет единичный круг на два множества, не связанных между собой. Получили противоречие с леммой 1.2.1.
Замечание 1.2.1. Из доказательства лемм 1.2.1 и 1.2.2 тривиально следует, что в строго выпуклом двумерном пространстве Х2 любые две несовпадающие окружности пересекаются не более, чем по двум точкам.
Так как z внутренняя точка, то {р0, z — х0) 0. Из соображений подобия достаточно рассмотреть случай R = 1. Введем некоторые обозначения, пусть у = Ц 2-, г = 1— \\у\\ 0, z0 - пересечние луча х0 + t(z — х0), t 0 с единичной сферой.
Из неравенства треугольника тривиально следует, что 53г(у) С 93i(o). Отсюда получаем, что (po,z — х0) = 2{р0,у — х0) 2г. Несложно понять, что в плоскости OXQZ существуют единичные векторы а и Ъ такие, что = у. По построению 11жо — у\\ = \\у — z\\ \\у — z0\\. Тогда из леммы 1.2.2 и замечания 1.2.1 следует, что ll ll \\x0 — y\\. Из определения модуля выпуклости и его строгого возрастания получаем, что г 6х(\\а - b\\) Sx(\\z - х0\\). П
Из неравенства треугольника следует, что достаточно показать, что \\zx\\ \\zy\\. На единичной сфере отметим точку d такую, что вектор od сонаправлен вектору xz. Через точку d проведем прямую / параллельную отрезку ох. По построению точки x,y,z,o,d и прямая / лежат в одной плоскости - линейной оболочке векторов ох и xz. Тогда прямые / и xz пересекаются, обозначим их точку пересечения через с. Заметим, что четырехугольник odcx - параллелограмм и ic = 1; отрезок dx лежит в единичном шаре и не пересекает внутренность отрезка zy. Через у обозначим точку пересечения луча zy с отрезком dx. Тогда из соображений подобия, имеем
Модули опорной выпуклости и гладкости
Покажем, что как в гильбертовом, так и в произвольном двумерном банаховом пространстве любой допустимый набор шаров стягиваем. Область, покрытую шарами, будем считать покрашенной. Понятно, что радиус шаров можем считать равным 1.
Единичная окружность - это непрерывная замкнутая кривая без самопересечений, которая разбивает плоскость на две части. Конечный набор окружностей разбивает плоскость на конечное число компонент связности. Если теперь закрасить единичные шары, то покрашенное множество будет не стягиваемым тогда и только тогда, когда существует ограниченная не покрашенная область такая, что ее граница покрашена. Заметим, что задача устойчива к небольшим возмущениям нормы. Конкретнее: если утверждение теоремы нарушается для какой-либо нормы, то нарушается и для нормы, единичный шар которой - многоугольник.
Действительно, пусть дана норма на плоскости Ц- с шаром 53і(о), в которой существует допустимый и не стягиваемый набор шаров 53 ), і = 1,гг.. Возьмем не покрытую ограниченную область U с покрашенной границей. Тогда в ней можно разместить шар с радиусом Зє. Рассмотрим множество Щ(о)={]{хЄХ:{р,х) 1}, где С - некоторый набор единичных функционалов пространства X такой, что для любого р Є С имеем — р є С. Тогда множество 93і(о) центрально симметрично и выпукло, т.е. задает -2. Согласно ([28], След. 2.6.1) можно подобрать набор С так, чтобы уклонение множества 5Si(o) от множества 23i(o) не превосходило величины е. Тогда набор шаров 23 ( г = 1,п - допустимый и содержит границу области U, так как 93i(o) С 23 (о), и не покрывает всю область U.
Покажем, что для нормы, в которой шар - многоугольник, утверждение леммы верно. Предположим противное. Тогда существует норма, допустимый набор шаров 53i(aj), г = 1,п и непокрашенное ограниченное множество U такие, что граница U покрашена. Заметим, что тогда граница U - некоторая замкнутая ломаная без самопересечений. Обозначим А = со{аі\ і = l,n}.
Выберем произвольную точку х в области U. Так как набор шаров 23i(aj) допустимый, то х А. Тогда х отделяется от множества А некоторой прямой 1а, можем считать, что 1а - опорная прямая ко множеству А. Пусть прямая / 1а является опорной к U в некоторой точке v и такая, что множества U и А лежат по одну сторону от прямой . Прямая / разбивает плоскость на две полуплоскости; ту полуплоскость, которая не содержит множества А, обозначим как Н+, другую - Н_. Пусть точки p,q є I лежат по разные стороны от v. Выберем все ребра ломаной дії, содержащие точку v. Пусть это отрезки vbi, і Є l,k такие, что cos Zpvbi cos Zpvbj, і j.
Заметим, что никакой из выбранных отрезков не может лежать на прямой /. Иначе прямая - опорная к некоторому шару Ві(ар),р Є 1,п, причем 53i(ap) П Н+ ф 0, т.е. ар Є Н+ - противоречие. Можно подобрать такое число є, что шар B(v) из всех звеньев ломаной 8U пересекает только выбранные отрезки. Переобозначим точки р, q, bi,i Є I, к как точки пересечения окружности d B(v) с соответствующими отрезками. Так как v Є дії, то на окружности d B(v) можно выбрать точку z так, чтобы внутренность отрезка vz лежала в U, и луч vz лежал между лучами vb\,vbk- Тогда из выпуклости шара следует, что нет шара 53i(aj), одновременно покрывающего точки внутренности отрезка vb\ и отрезка vbk, т.е. точка v покрывается как минимум двумя шарами, причем центры этих шаров щ, a,j разделяются лучом vz в полуплоскости Я_. Опять же из выпуклости шара следует, что точка х = vz П ( не покрывается шарами 2 ((), 931 (о,-), т.е 11 = \\хсц\\ + 11 2, что противоречит тому, что йі и a,j содержатся в шаре 93і(г»). П
Доказательство. Выпуклое множество - стягиваемо, проекция точки на выпуклое множество в гильбертовом пространстве - единственна. Так как проекция на выпуклое множество - непрерывная функция проектируемой точки, то нам достаточно доказать, что отрезок, соединяющий покрашенную точку и ее проекцию на выпуклую оболочку центров набора допустимых шаров, покрашен. Выпуклая оболочка центров шаров рассматриваемого набора - это некоторый многогранник С. Если некоторая покрашенная точка а проектируется (в смысле метрической проекции на С) в вершину многогранника v, то, очевидно, отрезок av -покрашен. Пусть для некоторого набора шаров некоторая покрашенная точка а, лежащая в шаре 93і(г ) из набора, проектируется в точку Ъ ф v. Проведем гиперплоскость L, проходящую через точку Ъ и перпендикулярную отрезку ab. Она разобьет пространство на два полупространства; то полупространство, в котором находится точка а, назовем На. Множество С - выпукло, поэтому отрезок vb лежит в нем. Тогда точка v не может лежать внутри На, так как иначе на отрезке vb найдется точка z такая, что az а6 , а это противоречит тому, что Ъ - проекция точки а на множество С. Для доказательства теоремы 2.2.1 нам понадобится следующая простая лемма о покрытии треугольника.
Лемма 2.2.3. Пусть X - банахово пространство. Предположим, треугольник а\а2аъ С X удовлетворяет условию diamaia2a3 2R, и покрывается шарами 53д(«г),г = 1,2,3. Тогда эти шары имеют общую точку в плоскости треугольника.
Перейдем к сечению L пространства X плоскостью, содержащей треугольник а аз- При этом L П 93 () = 53 (), где 93 () шаР в банаховом пространстве L. Но треугольник aia2aa покрывается шарами 8 (aj),z = 1,2,3, значит, набор этих шаров допустимый. Из леммы 2.2.1 следует, что он стягиваем. Тогда и нерв покрытия тоже стягиваем [31]. Но так как сііатаїагаз 2R, то шары пересекаются на каждой стороне. Значит, нерв содержит границу треугольника, а так как он стягиваем, то нерв содержит и сам треугольник, то есть шары пересекаются. 2.2.2. Доказательство критериев гильбертовости
Доказательство теоремы 2.2.1 после применения леммы 2.2.3 близко к доказательству теоремы 5 работы [4]. Доказательство теоремы 2.2.1.
В силу теоремы 2.1.1 и следствия 2.1.2 осталось доказать только то, что если есть банахово пространство X, dimX 3 и (х = 1, то пространство гильбертово. Из упомянутых выше результатов Фреше и Бляшке-Какутани следует, что достаточно рассмотреть случай dimX = 3. В этом случае нужно показать, что если (х = 1, то для каждого двумерного подпространства существует оператор единичной нормы, проектирующий X на это подпространство. Пусть о Є L - произвольное двумерное подпространство в X, точка с не лежит в L. Множество Ln93ra(o), то есть шар радиуса п Є N в пространстве L, обозначим В2п(о). Для любого п Є N введем обозначения:
Критерий гильбертовости в терминах УВО-модуля
Разнообразие приложений выпуклого анализа привело к обобщению понятия выпуклости. Весьма эффективными оказались классы параметрически выпуклых множеств, т.е. классы, характеризующиеся некоторым параметром, определяющим насколько множество слабо или сильно выпукло. Приведем необходимые определения.
Определение 4.1.2. Пусть X - банахово пространство. Множество А с X называется слабо выпуклым по Виалю с константой R 0, если для любых двух точек х0,хі є А таких, что 0 жі — х0\\ 2R, справедливо соотношение Ar\DR(x0,xi) ф 0. Через QW(R) будем обозначать класс всех замкнутых слабо выпуклых по Виалю с константой R О множеств А с X.
Ж.-Ф. Виаль рассматривал слабо выпуклые множества в конечномерном евклидовом пространстве. Затем многими авторами (Г.Е. Иванов, Ф. Кларк, Р. Рокафеллар) понятие слабо выпуклых множеств переносилось на случай произвольного гильбертова пространства. При этом появилось несколько эквивалентных в случае гильбертова пространства определений классов слабо выпуклых по Виалю множеств.
Остановимся на двух из них. Обозначим Определение 4.1.3. Будем говорить, что множество А с X проксимально гладко с константой R 0, если функция расстояния р(х,А) непрерывно дифференцируема на множестве U(R,A). Через Qps(R) будем обозначать класс всех замкнутых проксимально гладких с константой R 0 множеств А с X.
Определение 4.1.4. Будем говорить, что множество А с X удовлетворяет Р-опорному условию слабой выпуклости с константой R 0, если из того, что х Є U(R,A) и а Є РА(Х), следует, что
Через flp(R) будем обозначать класс всех замкнутых множеств А с X, удовлетворяющих Р-опорному условию слабой выпуклости с константой R. В монографии [12] доказано, что классы QpS(R),flp(R) и QW(R) совпадают в случае гильбертова пространства. Далее, в работе [32] было показано, что QPS(R) = flp(R) в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве. В этой же работе было показано, что в случае равномерно выпуклого и равномерно гладкого пространства равенство Qps(R) = flw(R) может выполняться только в пространствах специального типа (конкретнее, единичный шар которых является порождающим множеством (см. [28], Глава 4)). Однако уже в пространствах Ьр[0,1] при р є (1,2) U (2,+оо) равенство Qps(R) = ftw(R) не выполняется.
Таким образом, в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве Р-опорное условие является удобным геометрическим описанием проксимально гладких множеств. Используя различные свойства единичного шара, в частности свойства модулей опорной выпуклости и гладкости, мы докажем ряд результатов, касающихся метрических свойств множеств из класса flp(R) и взаимосвязи этого класса с другими классами слабо выпуклых множеств.
Замечание 4.1.1. Заметим, что непосредственно из определения следует, что при эквивалентной перенормировке пространства нормальный конус к произвольному множеству в произвольной точке не меняется. Определение 4.1.6. Будем говорить, что множество А с X удовлетворяет N-опорному условию слабой выпуклости с константой R 0, если из того, что р Є N(a,A) Г\д В1(о), и - единичный вектор, двойственный функционалу р, следует, что AC\mt?BR(a + Ru) = t (4.2) Через QN(R) будем обозначать класс всех замкнутых множеств А с X, удовлетворяющих iV-опорному условию слабой выпуклости с константой R. Заметим, что соотношение (4.1) эквивалентно неравенству Р\а + lu aii(х — а)-,А) R, а соотношение (4.2) - неравенству р(а + Ru,A) R. 4.2. О взаимосвязи Р-опорного и TV-опорного условий слабой выпуклости
В этом параграфе рассматривается взаимосвязь iV-опорного условия слабой выпуклости и Р-опорного условия слабой выпуклости.
Лемма 4.2.1. Пусть X — нормированное пространство, А с X, х\ є X \ А, хо Є РА(Х\), норма пространства X дифференцируема по Фреше в точке х\ — х0. Тогда J{x\ — х0) С N(x0,A).
Доказательство. Зафиксируем произвольный функционал р Є J(xi — х0). Требуется доказать, что р Є N(x0,A). Зафиксируем произвольное число є 0. Поскольку норма дифференцируема по Фреше в точке х0 — х\ и р є 3\{х\ — XQ), то существует число 5 0 такое, что жі — х\\ — \\х\ — XQ\\ — (р,х0 — х) є \\х0 — х\\ \/х Є 93,s(:ro) Так как х0 Є РА(Х\), ТО \\Х\ — х\\ — \\х\ — х0\\ 0 для любого х Є А. Следовательно, (р, х — хо) є \\хо — х\\ Vie %(:го) П А. Поэтому р є N(x0, А). П Заметим, что если норма пространства X не дифференцируема по Фреше, то для точек х\ Є X \ А, х0 Є РА(ХО) включение J{x\ — хо) С N(x0,A) может не выполняться. Например, рассмотрим двумерное пространство Е2, норма в котором определена так, что сходящаяся к нулю, и последовательность векторов (} С X, сходящаяся к вектору v, такие, что для любого к ЄІЯ справедливо включение х0 + XkVk Є А. Определение 4.5.2. Пусть в топологическом векторном пространстве X задано множество А. Нижним касательным конусом ко множеству А в точке х0 Є А называется множество Тн(х0; А) векторов v Є X таких, что для любой последовательности положительных чисел {Afc}, сходящейся к нулю, найдется последовательность векторов (} С X, сходящаяся к вектору v и такая, что для любого fceN справедливо включение Xo + Xuvu Є А.
Определение 4.5.3. Пусть в топологическом векторном пространстве X задано множество А. Касательным конусом Кларка ко множеству А в точке х0 є А называется множество Тс(х0; А) векторов v Є X таких, что для любой последовательности положительных чисел {Afc}, сходящейся к нулю, и любой последовательности векторов {Xk} С А, сходящейся к вектору хо, найдется последовательность векторов (} С X, сходящаяся к вектору v и такая, что для любого fceN справедливо включение Хк + Хк к Є А.
О взаимосвязи условий Р-опорной слабой выпуклости и слабой выпуклости по Виалю
Доказательство заключается в построении примеров множеств, лежащих в классе fix (R), но не лежащих в классе QN(R), И СОСТОИТ ИЗ нескольких шагов. Основная идея - это построение на плоскости L с X множества Аг, лежащего в классе ПдГ(Д) в пространстве L. Затем, с помощью нескольких технических лемм множество А\ достраивается до множества А, уже лежащего в классе QN {K\R) в X, где константы к,К,К\ не зависят от выбора исходной плоскости L и пространства X. Используя тот факт, что Sx(t) х A -(i) = о(ф{ї)) в нуле, подбираются векторы, существование которых противоречит iV-опорному условию. Вспомогательные результаты
Сначала опишем функции ф из класса Ж, для которых существует нормированное пространство такое, что его модуль гладкости эквивалентен в нуле функции ф. В работе [52] доказывается следующее утверждение.
Теорема IX. Для функции N : [0,+оо) — [0,+оо), удовлетворяющей условию Фигеля и такой, что N(0) = 0, существует двумерное пространство Х2 с модулем гладкости Px2(t), эквивалентным в нуле N(t).
Из теоремы Дея-Нордлендера (см. (1.2)) следует, что если для функции ф существует банахово пространство с модулем гладкости, эквивалентным в нуле ф, то t2 = 0(ф(Ь)). Однако, функция ф(-) из Ж и такая, что t2 = 0(ф(Ь)) не обязана удовлетворять условию Фигеля (см. (4.28)), но справедлива следующая лемма.
Лемма 4.7.3. Для любой функции ф є Ш такой, что t2 = о(ф(ї)) в нуле. Существует функция фі(-) : [0,+оо) — [0,+оо) и удовлетворяющая условию Фигеля такая, что t2 = о(-01 (і)) в нуле и фі{Ь) = о(-0(і)) в нуле.
Рассмотрим функцию h(t) = 4 - на отрезке [0,1], она непрерывна на нем и для некоторой константы к 0 справедливо неравенство h(t) Ы. Так как множество К = {{t,y)\ і Є [0,1], 0 у h(t)} компактно, то его выпуклая оболочка соК - также компактное множество.
Определим непрерывную функцию 7() = піах{у Є Е (t,y) Є со К}, t Є [0,1]. По доказанному выше и в силу выпуклости множества К функция 7О вогнута на отрезке [0,1], 7(0) = 0. Значит, в некоторой окрестности нуля 7О строго возрастает. Определим функцию Vi(i) = 7т=- Поскольку = - L Л/Щ - . 0 и - = у Щ монотонно стремится к нулю при t — 0, то функция фг(-) удовлетворяет требуемым условиям.
Теперь приступим к доказательству технических лемм, с помощью которых мы будем достраивать множество Аг, лежащее в классе П (Р) на плоскости, до множества А, уже лежащего в классе QN (K\R) в пространстве, объемлющем плоскость, где константы к,К,Кі не зависят от выбора исходной плоскости и объемлющего ее пространства.
Если банахово пространство представимо в виде прямой суммы двух своих замкнутых подпространств Z = Zi Z2) то любой вектор z Є Z единственным образом представим в виде суммы векторов z\ Є Z\ и z2 Є Z2, в этом случае будем писать z = (z\,z2). Везде далее, говоря о представлении банахова пространства в виде прямой суммы его подпространств, будем считать, что последние замкнуты.
Оценим его норму. Зафиксируем произвольный вектор и = (иі,и2) Є 993і(о), где щ Є Linx, и2 Є Kerp. Так как щ щ, то г і wi+w2 = и = 1. Отсюда и из неравенства треугольника получаем, что и2 иі+и2 + г і 2. Значит, Pw = (MI,PIM2) = tti + Рім2 г і + Рім2 г і + м2 3. П
Согласно замечанию 4.1.1, в каждой точке множества А нормальный конус не изменился, но могли измениться нормы соответствующих функционалов. Зафиксируем произвольный набор xi,X2,p\,p\, удовлетворяющий условию (4.29) для пространства Хь При
Пусть X = XiX2, причем есть проектор Р : X — Хг с нормой Р +оо и Х2 Є Кет Р. Тогда X = Xj1 Х21 где пространства Х -,Х являются правыми аннуляторами к пространствам Х2 с X и Xi с X соответственно. Продолжая любой функционал р Є Х нулем на пространство Х2, получаем естественный изоморфизм Xj = Х . Аналогично, X = xi.
Лемма 4.7.6. Пусть X = Хг Х2, причем есть проектор Р : X — Хг с нормой \\Р\\ +оо и Х2 = КегР. Пусть множество Аг с Хг. Определим множество А = {хеХ\РхеАг}. Тогда N(x,A) = {N{Px)Al))o) = {(р,о)\ р Є N{Px)Al)} для любого х є А.
Зафиксируем произвольный вектор х = (хі,х2) Є А. 1) Пусть р = (р\,р2) Є N(x,A). Покажем, что р2 = о. Предположим р2 ф о. Тогда существует ненулевой вектор v = (o,v2) такой, что (p,v) = (p2,v2) = к ф 0. Согласно определению множества А для любого А ЄІ вектор х + Xv лежит в А. Но тогда {р, Xv) = Хк -является линейной по Л функцией и, значит, р ф N(x,A). Противоречие.
Пусть х = (хг,х2),у= (уі,у2) Є А,рх є Х(х,А)Г\дЩ(о),ру Є N (у, А) Г) дЩ(о). Из леммы 4.7.6 следует, что рх = (рх,о), ру = (р\,о) и рх є N{x\,Ai), р\ є N(yi,A{) в пространстве Xi. Так как Аг - дополнение до выпуклого множества в Хь то и множество А есть дополнение до выпуклого множества в X. Тогда {рх,х — у) 0. Отсюда и из неравенства (4.62) получаем
В следующей лемме строятся примеры множеств, лежащих в классе П (R) и не лежащих в классе QN(R). Для ее доказательства нам понадобится несколько результатов из геометрии выпуклых тел и банаховых пространств.
Определение 4.7.4. Для выпуклого тела К с Ш.п эллипсоидом Джона называется эллипсоид максимального объема, содержащийся в К.
Лемма 4.7.8. Пусть дана функция ф(-) є Ш такая, что 2 = 0(V ()) при — 0. Пусть в банаховом пространстве X модуль выпуклости бх(-) удовлетворяет соотношению 6x(t) = o(V ()) при — -0. Тогда не существует константы к2 0 такой, что выполняется включение Qk (R) с QN(R) Доказательство.
Рассмотрим плоскость Х2 = Lin{u,v}. Отметим, что сужение функционала р на Х2 не изменяет его нормы, обозначим это сужение через р\. Через - обозначим единичный шар в этом пространстве с нормой, индуцированной пространством X. Рассмотрим эллипсоид (эллипс) Джона ВЕ для Щ=. Обозначим норму, порожденную множеством ВЕ как единичным шаром через -е. Из включения (4.63) следует, что для любого х Є Х2 выполнено неравенство 2ж \\х\\Е л/2М . Существует афинное преобразование, переводящее эллипсоид (эллипс) Джона пространства Xs в эллипс ВЕ. Заменяя пространство Xs на изометрически изоморфное ему пространство, получающееся в результате этого афинного преобразования, будем считать, что множество ВЕ есть эллипсоид Джона для единичного шара Bs в пространстве Xs. Неравенство (4.65) при этом сохранится.
