Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве L0 на отрезке Глазырина Полина Юрьевна

Неравенство разных метрик (неравенство Никольского)

Пусть w — весовая функция, т. е. функция неотрицательная, суммируемая на отрезке [—1,1] и удовлетворяющая условию нормировки \ f-i w{t) dt — 1. Обозначим через S = S(w) множество точек х Є [—1,1], таких, что при любом є 0 множество S(x, є) = [х — є, х + є) р[—1,1] обладает свойством $$гхє\ w(t)dt ф 0; все точки Лебега ([35, гл. I]) функции w, в которых w(t) ф 0, принадлежат S. Множество S замкнутое, и вне этого множества (на [—1,1]) функция w почти всюду равна нулю; в определенном смысле множество S(w) можно считать носителем функции w. Не ограничивая общности, далее будем считать, что точки ±1 Є S(w). Для Р Є "Рп положим

В этом параграфе исследуется точная (наименьшая) константа Mq(n, 0) = Mq(n, 0, w) в предельном случае неравенства Никольского для алгебраических многочленов с весом на отрезке: Очевидно, что Mq(0,0,w) = 1; поэтому в дальнейшем будем предполагать, что п 1.

Основные результаты этого параграфа содержатся в следующих двух теоремах. Теорема 1 Пусть п 1, 0 g оо. Тогда для наилучшей константы в неравенстве (1.1) справедливы следующие утверждения. 1) Имеет место равенство Mq(n, 0, го) = M"g(l, 0, го). 2) При п 1, 0 g оо многочлен РПЛ Є Рп является экстремальным в неравенстве (1.1) в толі w только том случае, если он имеет вид РПід = c(Piinq)n, где P\,nq экстремальный многочлен неравенства (1.1) для п = 1 с показателем q = nq, с С Дри п 1, g = оо любой экстремальный многочлен Рп, х Є "Рп неравенства (1.1) имеет вид Рп,оо = ТТ тг» 2 е 7Г , 1 п, — экстремальные многочлены нера e=i венства (1.1) для п = 1, g = оо; удовлетворяющие условию, что они достигают нормы C(S) в общей для всех многочленов точке. 3) При n=l;0 g oo экстремальные многочлены неравенства (1.1) имеют вид c{t — z ), с Є С, и корни z всех экстремальных многочленов принадлежат отрезку [—1,1]. В силу этой теоремы исследование неравенства (1.1) при п 1 сводится к случаю п = 1. Следующая теорема посвящена именно этому случаю для единичного веса. Теорема 2 При п = 1 для единичного веса w(t) = 1, t Є [—1,1], относительно неравенства (0.6) справедливы следующие утверэюдения. 1) Константа Mq(l,0) в зависимости от значений показателя q представляется по формулам: а) если 0 g со, то е fxq-l\l,q (1,0) = ( ) , (1.2) где х — (единственный) корень уравнения (q + l)(xq-l)(x + l) = q{xq+1 + l)lnx, х 1; (1.3) б) если q = оо, то Моо(1,0) = lim Af,(l, 0) = ж, (1.4) q— оо где х — (единственный) корень уравнения ж + 1 = ж1пж, х 1. (1.5) 2) Для всех значений параметра q, 0 q со, экстремальные многочлены имеют вид c(tdtz ), с С, где x(q) - 1 x{q) + = z\q) = 3) Величина x(q) непрерывно убывает по q Є (0, со) от гс(+0) до гс(со), где ж(+0) является (единственным) корнем уравнения 2(ж + 1) = (ж- 1)1пж, я: 1. Соответственно, z (q) непрерывно убывает от z (-\-0) = J до 2г (оо). 9mw две величины имеют следующие приближенные значения z (+0) = 0.83355655 ..., z {oo) = 0.56437658.... Доказательство теорем 1 и 2 будет осуществлено в несколько этапов. Сначала мы изучим случай п = 1 для произвольного веса, т.е. докажем третий пункт теоремы 1. Затем покажем, что вычисление константы Mq{n, 0) для произвольного п сводится к случаю п = 1 (первый и второй пункты теоремы 1). И, наконец, проведем исследование множества экстремальных полиномов для единичного веса, и на этом пути докажем теорему 2. 2. В дальнейших рассуждениях важную роль играет неравенство Че-бышева, которое сформулировано в приводимой ниже теореме.

Пусть (Q,A, /І) есть измеримое пространство с мерой; точнее, Q -некоторое множество, Л — некоторая сг-алгебра подмножеств множества Г2, // — конечная, полная, сг-аддитивная мера на Л. Две вещественные функции и и v, заданные на Q, называют сомонотонными (см. [13, п. 236], [33, п. 2.5]), если для любых t ,t" Є О, выполняется неравенство и антимонотонными, если имеет место обратное неравенство. Теорема Предположим, что 1) функции и, v определены, измеримы, суммируемы па мпооїсестве Q, и, кроме того, суммируемо их произведение uv; 2) функции и и v сомонотонны на множестве О,. Тогда имеет место неравенство это неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда хотя бы одна из функций и или v почти всюду постоянна на множестве Q. Неравенство (1.7) для монотонных функций и и г/ на отрезке (для интеграла Римана) получил П. Л. Чебышев [16] (см. обсуждение этого неравенства в [12, т. III, гл. XVI], [13, п. 236]). В приводимом здесь виде теорема содержится в работе Сапогова [10]; однако в этой работе (в явном виде) не исследованы случаи равенства. Нас в дальнейшем будет интересовать именно строгое неравенство. Поэтому для полноты изложения мы приведем здесь доказательство теоремы, следуя Сапогову [10]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если д(2) = 0, то утверждения теоремы, очевидно, выполняются. Будем считать, что / (Г2) ф 0. Введем функцию.

Неравенство братьев Марковых в LQ

Эта функция четная на отрезке [—1,1] и, как нетрудно убедиться, возрастает по \х\. Поэтому, действительно, минимум функции и в комплексной плоскости С достигается в единственной точке z = 0, и к тому же м(0) = —1. Лемма доказана.

Замечание Утверждение леммы, очевидно, эквивалентно утверждению теоремы для значений к = п 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3. Утверждение теоремы достаточно доказать для к = 1. Действительно, предположим, что теорема справедлива для к = 1 и некоторого ко, 1 . ко п. Тогда для ко + 1 имеем

В силу предположения, первое неравенство обращается в равенство на многочленах, у которых P (t) = con_1, или тоже самое P(t) = c\tn + С2, второе — на многочленах P(t) = ctn. Следовательно, многочлены вида P(t) = ctn и только они будут экстремальными при любом к, 1 к п. С этого момента мы будем изучать наилучшую константу М(п) = Мо(п, 1) в неравенстве Для константы М(п) справедливы формулы Предположим, что многочлен P имеет степень п, Лп ф 0 — старший коэффициент Р, a, z\, ...,zn- его корни и значит Р() = Ап Пь=і( )-Тогда Если п — тп корней 2m+i ...,zn многочлена Р устремить к оо, то в силу (2.4) отношение Р /Р стремится к отношению P mlPm для многочлена Pm(t) = ТГк=і(і — zk) порядка тп. В связи с этим фактом представляется естественным следующее соглашение. В том случае, когда точная степень многочлена Р Є Vn есть тп п, будем считать, что точка z = со является корнем Р порядка п — тп. Таким образом, многочлены Р Є Vn определяют и определяются (с точностью до мультипликативной константы) набором Z = (zi,..., zn) из п корней, принадлежащих расширенной комплексной плоскости С. Исключим из рассмотрения многочлены тождественно равные константе; так что точка Z = (z\, ...,zn) будет отлична от точки ооп = (оо, ...,оо), у которой все п координат есть оо. Положимпри этом, если некоторое Zk есть бесконечно удаленная точка, то соответствующее слагаемое в последней сумме считается равным нулю. Функция Ф на множестве Z = (zi,...,zn) 6 С \ ооп симметрическая, непрерывная и обладает свойством &{Z) — — оо, если Z — оо, а точнее, если min{2 , 1 к п} —) -f оо. Имеем и, очевидно, верхняя грань достигается в некоторой точке Z = (z\,..., zn) из С" \ оо". 3Убедимся, что при любом п 1 функция Ф принимает на множестве С максимальное значение Л(п) в единственной точке 0n = (0, ,0), все п координат которой равны нулю, и, как следствие, Л(гг) = 1 + Inn. Обозначим это утверждение через Т(п). Очевидно, что Т(п) эквивалентно тому, что в Vn имеет место неравенство (2.3) с константой М(п) = пе, причем на полиномах P(t) = ctn, с Є С, и только на них это неравенство обращается в равенство; т. е. Т(п) эквивалентно утверждению теоремы при к = 1, п 1. Обоснуем справедливость утверждения Т(п) при всех п 1 индукцией по п. В силу замечания к лемме это утверждение справедливо при п = 1. Докажем, что если имеет место утверждение Т(п — 1), п 2, то имеет место и утверждение Т(п). Пусть Р Є Vn экстремальный многочлен неравенства (2.3) и2 = (zi,...,zn) GC \ ооп - набор его нулей; или, что тоже самое, Z есть точка максимума функции Ф в С . Точка Z имеет хотя бы одну координату, отличную от со; обозначим номер этой координаты через j . Пусть j ф j. Рассмотрим функцию (одного) переменного z Є С; ее можно представить в виде При фиксированном z функция $j{t,z) рациональная по переменной t, не равная тождественно нулю, с коэффициентами непрерывно зависящими от z. Отсюда вытекает непрерывность $j(z) по z в С. С другой стороны, для t Є [—1, l]\{2fc}fc=i функция t j{b,z) переменного z анали-тична в области G = С \ [—1,1], а значит, функция In 0j(, u ) субгармонична в этой области (см., например, [14, гл.1, 2.1]). Проверим, что функция Qj(z) также будет субгармоничной в той же области G. Действительно, для любой точки ZQ Є G И произвольного г 0 такого, что {z : \z — ZQ\ . г} С G выполняются соотношения а это и значит, что функция Фj является субгармонической в области G. Функция S?j как субгармоническая функция в G = С\[—1,1] и непрерывная в G = С либо является константой в С, либо не имеет локальных максимумов в(?,а следовательно, достигает наибольшего значения на границе G, т.е. на отрезке [—1,1] или в бесконечно удаленной точке со. Убедимся, что функция Ф;- не может принимать наибольшее значение в точке z = со. В самом деле, если z — со, то соответствующий полином имеет степень п — 1, а потому Ф оо) Лп_і = 1пМо(п — 1), где М0(те-1) = (n-l)en_1. Однако, М0(п) Ф(0,--- ,0) = пеп М0(п-1). Итак, действительно, максимум функции Фj не может достигаться в точке со. Но это означает, что функция Ф - субгармоническая, отличная от тождественной константы в С, и достигает максимума в С обязательно на отрезке [—1,1]. Отсюда следует, что каждая из координат точки максимума Z = (zi,...,zn) функции Ф в С принадлежит отрезку [—1,1], т.е. Z Є [—1,1]п. Этот факт означает, что все п корней экстремального полинома неравенства (2.3) принадлежат отрезку [—1,1]. Рассмотрим теперь неравенство (2.3) на множестве V многочленов из Рп, все п корней которых лежат на отрезке [—1,1]. Пусть Р - многочлен из Т п и {#}"_! его корни занумерованные в порядке возрастания. Обозначим через {х е} 1 корни производной Р , также занумерованные в порядке возрастания. Имеет место соотношение

Неравенство Маркова-Никольского

Далее, нетрудно убедиться, что функция \\t — ze\\q возрастает по Re 2 и Im Z, поэтому Поскольку Z ф X, то хотя бы для одного номера неравенства (3.19), (3.20) будут строгими. Отсюда вытекает (3.18). Остается заметить, что [0,в]п — компакт, F непрерывна на [0,#]п, а значит, достигает на нем своей верхней грани, и соотношение (3.15) доказано. с. Пусть Z = (zi,...,zn) Є [0,в]п — точка максимума F. Докажем, что тогда все координаты Z равны. В этом пункте мы рассмотрим случай, когда все координаты Z отличны от нуля, т.е. Z Є (О,0]п. В следующем пункте - Z Є [О,0]"\(О,0]П. Итак, допустим, Z Є (0, в]п. Тогда Z будет внутренней для области (0,1)п. В этой области F дифференцируема, следовательно, все частные производные в точке Z должны обращаться в ноль. Выделим две переменные, не ограничивая общности zi, z2, найдем F[ = FZi, F2 = F Z2 и докажем, что если они одновременно обращаются в ноль, то z\ = z2. Отсюда в силу симметричности F по z\}..., zn будет следовать, что все координаты Z равны. Далее для краткости записи мы будем использовать обозначения -В этих обозначениях F принимает вид Зафиксируем 2з,..., zn и рассмотрим F как функцию двух переменных z\ и z2 в области (0,1)2. Числитель и знаменатель F можно представить соответственно как (3.21) Заменяя Pio по формуле (3.3) и приравнивая /{ к нулю, находим, что Деля (3.22) и (3.23) соответственно на In ( j ) п( 11) и вычитая одно из другого, получаем Очевидно, последнее соотношение справедливо для z\ — z2. Докажем, что в других случаях равенство невозможно. Зафиксируем z2 и рассмотрим левую и правую части (3.24) как функции аргумента z\ = z на полуинтервале [0,1). Покажем, что по z\ левая часть выпукла вверх (не обязательно строго) а правая — строго выпукла вниз. Отсюда мы заключаем, что общих точек (т. е. случаев равенства) может быть не более двух. Поскольку при z\ = 0 обе функции равны 0, то в интервале (0,1) может находиться только одна такая точка. Рассмотрим сначала функцию в правой части pr(z) = (a + {3\\t - z\\,) P q\n ( У Для q 1 функция \\t — z\\q является выпуклой вниз. Поскольку все величины а, (3, Р1ц неотрицательны, то функция (a + /3\\t — z\\q) Р!щ тоже выпукла вниз. Нетрудно убедиться, что и In (zf) выпукла вниз. Действительно, Значит, tpr выпукла вниз как произведение двух неотрицательных, неубывающих, выпуклых вниз функций. В левой части мы имеем P[q{z) = — z\\ , умноженную на положительную константу (а +{ЗР2д-)\п( -). По лемме 10 \\t — z\\ q выпукла вверх, следовательно, правая часть также выпукла вверх. И для Z Є (0,9]п утвержение доказано. d. Рассмотрим теперь случай, когда Z = (z\,..., zn) имеет хотя бы одну нулевую координату, т.е. Z Є [0,#]п\(0,в]п. Докажем, что тогда и все остальные координаты равны нулю. Предположим противное, пусть, без ограничения общности, z\ — 0, z2 = z 0. Зафиксируем остальные координаты — з,..., zn и рассмотрим функцию В наших предположениях / должна иметь максимум в точке (0, z ). Разберем отдельно случаи q = со и q Є [1, со). Если q = со, то / по переменной z\ непрерывна в нуле и имеет непрерывную правую производную. Поскольку (0, z ) является точкой максимума для /, то должно выполняться неравенство Но знак /i(+0, z ) совпадает со знаком выражения (3.22), которое в точке (+0,2: ) принимает значение a + &Р щ 0, что противоречит (3.25). Для 1 q 00 функция / непрерывно дифференцируема в области (—1,1)2, поэтому в точке (0,z ) должны выполняться соотношения f \{z\,z ) 0 для малых z\ 0. (3.27) Докажем, что если верно (3.26), то выполнение (3.27) невозможно. С этой целью вновь обратимся к выражениям (3.22), (3.23), отвечающим за знаки /{, fy:

Неравенство треугольника в LQ

Для завершения доказательства теоремы остается показать, что точная степень экстремального многочлена равна га. Действительно, на каждом из множеств V , к m п, максимум отношения Ц-вп g/-Pmo достигается на многочленах вида Pm(t) — (t — z)m. Поскольку функционал \\t — z\\q возрастает по q, то для т п

Из доказательства теоремы 4 следует, что при (п — k)2q к, производная отношения \\t — z\\ /\\t — z\\o на интервале (0,1) обращается в ноль в единственной точке z , в которой это отношение достигает своего максимума. Вычисляя с помощью леммы 9 указанную производную, приравнивая ее к нулю и делая замену переменной z = (х — 1)/(х 4- 1), х 1, получаем следующую переформулировку части теоремы 4, относящуюся к случаю (n — k)2q к. Теорема 4 Пусть l k n, l q oou(n — k)2q к. Тогда относительно неравенства (3.1) справедливы следующие утверждения. 1) В зависимости от значений параметра q для константы Mq(n,k) имеют место формулы: а) если 1 q со, то М(і{Щ к) - (п - к)\ 2 Ж-/(х+1) V nqlnx ) (3 32} где х = x(q, п, к) — (единственный) корень уравнения ({n-k)q+l){xin-Vq-l)(x + l) = nq(x(n-k)q+1 + l)\nx, х 1; (3.33) б) если q = оо, то M n k)={ h)li{1 + x)kxn k (3-34) где х = х(со,п,к) — (единственный) корень уравнения = nxlnx, х 1. (3.35) 2) Для всех значений параметра q, 1 q со, экстремальные много члены имеют вид c(t — z )n, c(t + z )n, с Є С, где Теоремы 1-4 влекут следующие утверждения. Следствие 1 Для всех O & n, 0 д оо справедливы оценки М,(п,0) М,(1,0), (3.36) (IW( )!M (M) M k) ( Ji W1.»)- (3-37) Следствие 2 Для фиксированного к при п —» оо М0{п, к) ж п\ Моо(п, к) ж nfcM(l, 0). (3.38) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЙ. ДЛЯ любого многочлена Р норма \\P\\q по параметру q Є [0, со] не убывает, а если Р не есть тождественная константа, то возрастает. Отсюда следует, что при любом п 1 и любых О qi #2 со справедливо неравенство Mqi(n,k) Mq2(n,k). При к = 0 последнее неравенство влечет (3.36). Для доказательства (3.37) оценим сначала Mq(n, к) сверху МЛщ к) = max 1 = max 11 l }\q Докажем теперь первое неравенство в (3.37). Пусть z = z (q,n — к) есть корень экстремального многочлена (t — z )n k неравенства разных метрик Первое соотношение (3.38) содержится в теореме 3. Для обоснования второго воспользуемся уже доказанным неравенством (3.37) для q = со. Если к фиксировано, то для величины Моо(п, к) мы будем иметь двусторонние оценки вида dnkM k(l, 0) М іп к) c"nfcM(l, 0), где с7, с" зависят только от &. Таким образом, следствия 1, 2 доказаны. 53 2. В. И. Ивановым в [4] установлен порядок роста точной константы по п в весовом аналоге неравенства (0.4) на множестве Тп тригонометрических полиномов степени не выше п на периоде. В частности, он доказал следующее утверждение. Теорема (В. И. Иванов) Пусть 0 q, р сю, к Є Z+; р, сг Є Ш, 7 -l/q, /і -1/р, \ = (т-р + ц- Из этой теоремы В. И. Иванова вытекает порядковое соотношение (0.5), а точнее, следующее утверждение. Следствие Пусть 0 q, р со, пик целые числа, п 1, 0 к п. Тогда при п — со Как мы уже отмечали во введении, в ряде случаев это утверждение было известно до работы В. И. Иванова [4]. Автор считает целесообразным привести здесь обоснование следствия. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ. Через с мы будем обозначать положительные константы (возможно, разные в разных местах), не зависящие от п и ограниченные по q и р при q, р — со.

Похожие диссертации на Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве L0 на отрезке

Экстремальные свойства многочленов с ограничением на расположение нулейАкопян Роман Размикович

Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сеткахНурмагомедов Алим Алаутдинович

Асимптотические свойства полуклассических совместно-ортогональных многочленов БесселяАхмедов Руслан Эльдар оглы

Аппроксимативные свойства сумм Фурье и их средних типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках Шихшинатова Муминат Магомедрасуловна

Сходимость многочленов на пространствах с мерамиБережной Василий Евгеньевич