Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена точным неравенствам Бернштейна и обратным им неравенствам Турана в пространстве if 2 и паре пространств if „о, if 2 на единичном круге комплексной плоскости для линейных операторов, и в первую очередь, операторов дифференцирования, во множестве Vn{G) алгебраических многочленов порядка п > 1, все нули которых принадлежат замкнутому подмножеству G расширенной комплексной плоскости.
Точные неравенства и другие экстремальные задачи для многочленов являются классическим и трудным разделом теории функций. Впервые точные неравенства для многочленов изучали Д.И. Менделеев, братья А.А. и В.А. Марковы, П.Л. Чебышев, С.Н. Бернштейн. К настоящему времени этой тематике посвящено большое число работ Г. Cere, С.Н. Бернштейна, А. Зигмунда, СМ. Никольского, СБ. Стечкина, Г. Харди, В.В. Арестова, Л.В. Тай-кова и др. (см. [2],[7] и приведенную там библиографию). Нас интересуют точные неравенства для алгебраических многочленов в пространствах Нр. На множестве алгебраических многочленов Vn степени не более чем п с комплексными коэффициентами в пространстве Нр, 0 < р < +оо, на единичном круге справедливо неравенство Бернштейна
\\Р'\\Р<п\\Р\\р, PGVn. (1)
Константа п в этом неравенстве точная; неравенство обращается в равенство на многочленах вида cz11, и в случае 0 < р < ос других экстремальных многочленов нет. Это утверждение при р = оо является классическим неравенством С.Н.Бернштейна [5]; в случае 1 < р < оо оно доказано А.Зигмундом [6], в случае 0 < р < 1 -В.В.Арестовым [2]. Кроме оператора дифференцирования неравенства вида (1) исследовались и для других линейных операторов на множестве Vn. Так известно, что при р > 1 и любом р, 0 < р < оо, справедливо точное неравенство Харди [13]
\\P(j>z)\\p
Композицией Сеге многочленов L(z) = Y^k=o^n^kZk и P{z) = Sfc=o CnPkZk называют многочлен
(LP)(z) = J2cknlkPkzk. (3)
fc=0
При фиксированном L композиция Сеге (3) задает линейный оператор на множестве многочленов "Р„; этот оператор в дальнейшем будет обозначаться тем же символом L. В частности, многочлен L(z) = E(z) = (z + 1)" порождает тождественный оператор ЕР = Р, многочлен L(z) = hp(z) = (pz + 1)" - оператор hpP(z) = P(pz), a многочлен L(z) = D(z) = nz(z + l)-1 порождает оператор дифференцирования DP(z) = zP'(z). В.В.Арестов [2], [3] показал, что для любых двух многочленов іиРиз Vn справедливо неравенство
\\LP\\P < \\Ц\о\\Р\\р, 0<р<оо. (4)
В случае, когда многочлен L имеет все п нулей в круге \z\ < 1 или во множестве \z\ > 1, константа ||Ь||о в этом неравенстве на множестве многочленов Р Є Vn точная [2]. Нули многочленов D(z) = nz(z + I)-1 и hp(z) = (pz + l)n при \p\ > 1 лежат в единичном круге \z\ < 1, поэтому неравенства (1) и (2) являются частным случаем (4).
Одним из интенсивно исследуемых направлений в проблематике экстремальных свойств многочленов являются задачи с ограничениями на многочлены, в частности, с ограничением на расположение нулей многочленов. Точное неравенство для многочленов с ограничением на расположение нулей впервые было рассмотрено П.Тураном [19] в 1939г. Он доказал, что на множестве многочленов из Vn, имеющих все п нулей в замкнутом единичном круге, справедливо точное нера-
ВЄНСТВО ЦР'Цоо > f ЦРЦоо.
Изучение точных неравенств Бернштейна на множестве многочленов с ограничением на расположение их нулей началось с гипотезы П.Эрдеша [16] о том, что в Н^ на множестве многочленов, не имеющих нулей в открытом единичном круге, точная константа в неравенстве (1) равна п/2. Эта гипотеза была доказана в 1947г. П.Лаксом [16]. На множестве многочленов, не обращающихся в нуль в открытом единичном круге, т.е. на множестве Vn{G{\)) многочленов, все нули которых лежат во внешности единичного круга G(l) = {z Є С : \z\ > 1}, точная константа неравенства Бернштейна в Нр известна при всех р, 0 < р < со; она найдена П.Лаксом [16] (р = 2, ос), Н.Де Брюйном [11] (1 < р < ос) в 1947г., К.Рахманом и Г.Шмейсером [18] (0 < р < 1) в 1988г. В аналогичном случае, точную константу в неравенстве (2) получили Н.Анкени, Т.Ривлин [9] в 1955г., Р.Боас, К.Рахман [10] (1 < р < ос) в 1968г., К.Рахман и Г.Шмейсер [18] (0 < р < 1) в 1988г. В более общем неравенстве (4) для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом L, имеющим все п нулей в круге \z\ < 1, при всех 0 < р < ос
на множестве многочленов Vn(G(l)) точная константа определена В.В.Арестовым [8] в 1991г. На множестве многочленов, не обращающихся в нуль в круге \z\ < R, R > 1, точную константу в неравенстве Бернштейна (для оператора дифференцирования) при р = ос нашел М.Малик [17] в 1969г.
Наряду с неравенствами Бернштейна многими авторами изучались обратные им неравенства Турана. В настоящий момент полностью исследовано неравенство Турана для оператора дифференцирования в Ноо на множестве многочленов, имеющих все нули в круге \z\ < R, R > 0. Точную константу в этом случае определили П.Туран [19] (Д = 1) в 1939г., М.Малик [17](Д < 1) в 1969г., Н.Говил [12] (Д > 1) в 1973г. В работе В.М.Бадкова [4] 1992г. доказано, что неравенство Турана (Д = 1) справедливо поточечно.
Таким образом, к настоящему времени неравенства Бернштейна изучались либо на всем множестве многочленов Vn степени п > 1, либо на множестве Vn(G) многочленов из Vn, все нули которых лежат во внешности круга G = G(R) = {z Є С : \z\ > R} радиуса Д, а неравенство Турана - на множестве Vn(G) для замкнутого круга G = K(R) = {z Є С : \z\ < R}. Даже для таких множеств G тематика далека от завершения. Она мало изучена для произвольных замкнутых множеств G даже для оператора дифференцирования и тем более для линейных операторов в Vn. В силу сказанного тема исследования данной диссертации является актуальной.
Цель работы. Основной целью работы является изучение неравенств Бернштейна в пространстве Н^ и на паре пространств Н^ и Доо (неравенства Бернштейна - Джексона) и неравенства Турана в і?2 Для линейных операторов, и в первую очередь, операторов дифференцирования, на множестве Т^а (G) алгебраических многочленов порядка не более чем п, п > 1, с комплексными коэффициентами, все нули которых принадлежат замкнутому подмножеству G расширенной комплексной плоскости С. Исследование свойств экстремальных многочленов неравенств. Вычисление точных констант в неравенствах Бернштейна, когда множество G есть дополнение G{R) открытого круга радиуса R, и в неравенствах Турана, когда G есть замкнутый круг K(R) радиуса R.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.
I. Определены достаточные условия на линейный оператор и за-
мкнутое подмножество G расширенной комплексной плоскости, при выполнении которых экстремальные многочлены неравенств Берн-штейна в пространстве Нъ, Бернштейна - Джексона из Ні в Н^ и Турана в Н^ имеют все нули на границе множества G.
П. Для неравенств Бернштейна и Турана в Н^ на множестве многочленов степени п, имеющих все нули на окружности \z\ = R, для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом L, найдены необходимое и достаточное условие на L и R экстремальности многочленов c(zn + (Rn), \(\ = 1; достаточное условие экстремальности многочленов c{z + C-R), || = 1; точные константы для любых L и R при п = 2,3,4.
Найдена точная константа в неравенстве Бернштейна в Н^ на множестве многочленов, не обращающихся в нуль в круге \z\ < R, R < 1, для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом L, имеющем все нули в круге \z\ < 1 и нуль в точке z = 0.
Вычислена константа в неравенстве Бернштейна - Джексона из і?2 в Нао на множестве многочленов с нулями во внешности открытого единичного круга для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом, все нули которого принадлежат замкнутому единичному кругу. Найдена наилучшая константа неравенства на множестве многочленов с нулями в замкнутом подмножестве G расширенной комплексной плоскости для оператора дифференцирования и тождественного оператора при больших значениях величины R(G) =min{|z| :zGG}.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при дальнейшем изучении точных неравенств для многочленов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских математических конференциях, в частности, на всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач" (г.Екатеринбург, 1998г.); на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ"(г.Тула, 1998г.); на международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б.Стечкина (г.Екатеринбург, 2000); на всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г.Екатеринбург, 2001г.); и на международной школе С.Б.Стечкина по теории функций (г. Миасс, 1995-2001гг.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в статьях [20] - [22] автора; выступления автора на конференциях отражены в тезисах докладов [23] - [27].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем диссертации - 69 страниц. Список литературы содержит 30 наименований.
