Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Два результата из теории суперрефлексивных пространств 15
1. Двумерная универсальность пространств Банаха 15
2. Устойчивость суперрефлексивности 22
Глава 2. Комплексно равномерно выпуклые пространства 29
1. Общие результаты. Комплексная равномерная выпуклость пространств Лебега - Бохнера 29
2. Комплексная равномерная выпуклость и котип 41
3. Комплексные деревья 49
Глава 3. Выпуклые пространства Банаха 61
1. Условно сходящиеся ряды в 2)-выпуклом пространстве 61
2. Об условиях выпуклости множества пределов римановых сумм векторнозначной функции 74
Литература 89
- Двумерная универсальность пространств Банаха
- Общие результаты. Комплексная равномерная выпуклость пространств Лебега - Бохнера
- Условно сходящиеся ряды в 2)-выпуклом пространстве
Введение к работе
Одна из самых важных задач, возникающих при изучении банахова пространства - это задача описания его подпространств. Такие классические результаты, как теорема об универсальности пространства С [О, і ] (см. _8\, стр.256), как критерий Р.К.Джеймса рефлексивности пространства с безусловным базисом (см. [зз], стр. 23], как теорема о выделении базисной последовательности (см. [ЗЗ], стр. 4) являются теоремами о множестве подпространств банахова пространства. От того, каковы подпространства данного банахова пространства, зависят .многие свойства этого пространства.
Самыми простыми банаховыми пространствами являются конечномерные нормированные пространства. Поэтому задача описания конечномерных подпространств банахова пространства возникает как естественный шаг при изучении свойств банахова пространства, и свойства, определяемые набором конечномерных подпространств банахова пространства, являются интересным объектом для изучения.
Теория финитных свойств банаховых пространств, то есть, свойств, определяемых конечномерными подпространствами,- это относительно новая область современного функционального анализа. Хотя эпизодически финитные свойства рассматривались ещё основоположниками теории банаховых пространств, в отдельную область функционального анализа теория финитных свойств выделилась лишь в начале семидесятых годов.
Наиболее известным финитным свойством является, пожалуй, введённая Дж.А.Кларксоном в 1936 году равномерная выпуклость. Равномерно выпуклые пространства с различных точек зрения исследовались в работах М.М.Дэя [15], [іб], \І7], М.И.Ка-деца [4], [б], Р.К.Джеймса [25], В.И.Гурария [I], Б.Дж.Петти-са [Зб] и многих других авторов. Понятие равномерной выпуклости активно применяется в теории наилучших приближений, теории безусловно сходящихся рядов и в теории базисов в пространствах Банаха.
Дальнейшее развитие теории банаховых пространств привело к активному изучению таких финитных свойств, как суперрефлексивность, 3-выпуклость, наличие типа и котила, [ -выпуклость. Большая часть этих свойств ещё недостаточно исследована, и вся теория финитных свойств далека от завершения. В этой области работают такие известные математики, как Ж.Бургейн, Р.К.Джеймс, СВ. Кисляков, И. Линд енштраус с, Б. М. Макаров, А. Пелчинс кий, Ж.ІІизье, С Л.Троянски, П.Энфло. Особый интерес к финитным свойствам банаховых пространств вызывает обнаружившаяся в последнее десятилетие близость методов теории финитных свойств к методам теории вероятностей и теории функций комплексного переменного .
Перейдём к обзору содержания диссертации. Диссертация состоит из трёх глав. В каждой главе изучается какое-то финитное свойство. В первой главе изучается суперрефлексивность, во второй - комплексная равномерная выпуклость, в третьей - 5 выпуклость банахова пространства.
Понятие суперрефлексивности, которое является основным для первой главы настоящей диссертации, было введено и подробно исследовано Р.К.Джеймсом в работах [26 , \_27 , [.28), а немного позднее П.Энфло \j8] доказал, что каждое суперрефлексивное пространство изоморфно равномерно выпуклому пространству Банаха. Кроме того известно, что все равномерно выпуклые, равномерно гладкие и равномерно неквадратные пространства суперрефлексивны.
Первый параграф первой главы ("Двумерная универсальность пространств Банаха") посвящен исследованию вопроса, любое ли "существенное" ограничение на множество двумерных подпространств банахова пространства влечёт оупэррефлексивность пространства. Этот вопрос решается положительно. А именно, доказана следующая теорема:
Теорема I.I.I. Пусть банахово пространство д не суперрефлексивно. Тогда оно является универсальным для класса всех двумерных нормированных пространств.
Теорему можно переформулировать следующим образом: пусть пространство Е обладает свойством, из которого следует, что все двумерные подпространства пространства Е равномерно (в смысле дистанции Банаха - Мазура.) удалены от некоторого фиксированного двумерного нормированного пространства (примерами таких свойств являются равномерная выпуклость, равномерная гладкость, равномерная неквадратность). Тогда Е - суперрефлексивное пространство.
Двумерная универсальность пространств Банаха
Банахово пространство д называется двумерно универсальным (универсальным для класса двумерных нормированных пространств) , если для любого 8 0 и любого гт - двумерного нормированного пространства найдётся такое двумерное подпространство В пространства X , что d{f\,b) l+t.
Другими словами, банахово пространство двумерно универсально, если в нём финитно представимо любое двумерное пространство Банаха.
Как доказал И.Линденштраусс [32], двумерно универсальным пространством является пространство LL L 0 , L\ . Следовательно, так как пространство A, L У , і J финитно представимо в tL t пространство Ь1 также двумерно универсально. Поэтому каждое не о -выпуклое банахово пространство универсально для класса двумерных нормированных пространств.
Цель этого параграфа - доказать, что каждое не суперрефлексивное пространство Банаха двумерно универсально. Для до -До казательства нам понадобятся некоторые дополнительные сведения.
Символом 0L обозначим п -мерное пространство строк ОС — \ L, xz; , ) с нормой, задаваемой равенством 1\ х II - 21 \ А.
Правильным подмножеством в Yi -мерном пространстве строк будем называть совокупность таких строк (оск , что либо все координаты неотрицательны, либо все неположительны, либо, наконец, в строке ( -х х знак меняется ровно один раз.
Лемма I.I.I. (Джеймс, Шеффер \30]). Пусть у - не суперрефлексивное банахово пространство. Тогда для любого натурального Yt и любого , большего нуля, в V вкладывается 1 + - изоморфно некоторое v\ -мерное нормированное пространство строк р такое, что на правильном его подмножест 0 ("О ве норма задаётся таким же образом, как и в пространстве.
Верно и обратное утверждение. То есть, здесь мы имеем необходимое и достаточное условие суперрефлексивности банахова пространства.
Введём векторы ЪС и V . так, чтобы для любого натурального К - 1 , УгД их компоненты равнялись соответственно X w ч и U r \ . Векторы XL и XF натягивают дву - 18 мерное подпространство и , изометричное пространству О . Докажем, что это С- и есть требуемое подпространство. Для этого нужно доказать, что для любого вектор bi + i-V принадлежит правильному подмножеству пространства l _ , А этот факт верен по следующей причине. Пусть для некоторых
Общие результаты. Комплексная равномерная выпуклость пространств Лебега - Бохнера
Пусть X - комплексное банахово пространство, /S -его единичная сфера. Пространство X называется комплексно строго выпуклым, если для любой пары векторов X, U, Є /S и любого положительного 6 выполняется неравенство.
Класс комплексно равномерно выпуклых пространств существенно шире класса обычных равномерно выпуклых пространств. Так, согласно теореме И.Глобевника из работы \_23], нерефлексивное банахово пространство LL является комплексно равномерно выпуклым с модулем, допускающим квадратичную оценку при малых .
Понятия комплексной строгой выпуклости и комплексной равномерной выпуклости были введены как удобный аппарат в теории векторнозначных функций комплексного переменного. Так, например, верна следующая теорема ( см. 23]):
Пусть + - аналитическая функция, определённая в круге \"2г\ І. со значениями в комплексно строго выпуклом пространстве X Пусть также выполняются следующие условия:
Тогда функция -f есть тождественная постоянная.
Мы же будем исследовать комплексную равномерную выпуклость с точки зрения теории банаховых пространств.
Цель настоящего параграфа - выяснить, как наследуется свойство комплексной равномерной выпуклости данного банахова пространства д пространством Лебега - Бохнера ZJ1LE, M,XJ всех X -значных функкций, определённых на множестве Н. с мерой U, и интегрируемых по Бохнеру.
На протяжении всей этой главы банаховы пространства будут рассматриваться только над полем комплексных чисел.
Прежде всего выясним некоторые свойства модуля комплексной выпуклости.
Лемма 2.І.І. Функция Qv \) непрерывна и не убывает с ростом t , Sх (0") — 0 . Функция -- &М ) не убывает с ростом .
Доказательство. Первые два утверждения очевидны. Докажем последнее утверждение. Для данных ее и а из единичной сферы пространства X и данного ,_ О возьмём то г0 & Н , при котором выполняется неравенство
Условно сходящиеся ряды в 2)-выпуклом пространстве
Пусть 2- X к - условно сходящийся ряд в банаховом пространстве д . Областью сумм этого ряда называется множество тех векторов х С X » чт0 существует перестановка множества натуральных чисел такая, что
Множество в банаховом пространстве будем называть линейным, если оно вместе с любыми двумя несовпадающими точками содержит и соединяющую их прямую. Известно (см. [39[, {ХП, что область сумм условно сходящегося ряда в конечномерном пространстве есть линейное множество. В бесконечномерном случае это не так (см. [_7], \$\\ Но всё же в некоторых пространствах при некоторых ограничениях на нормы членов ряда область сумм условно сходящегося ряда линейна. Примером результата такого рода может служить следующая теорема М.И.Кадеца из работы [з].
В настоящем параграфе будет доказано, что наиболее широкий класс пространств, на который можно распространить приве - 63 дённый выше аналог леммы Штейница, - это класс В-выпуклых пространств.
Для удобства дальнейшего рассуждения мы сейчас введём не сколько модификаций свойства Штейница.
Будем говорить, что в пространстве X выполняется условие $L с константами р 1 и С- " 0 . если для любого натурального п. и любого такого набора векторов { ЭС„Л CL X , что существует перестановка о первых Уь натуральных чисел, для которой при любом [ І 4 VI выполняется неравенство.
Будем говорить, что в банаховом пространстве X выполняется условие Ьх с константами р 1 и С О , если для любого УЬ е /JSJ и любого набора векторов { ЭС \ 1 из пространства X существует такая перестановка Є первых V\ натуральных чисел, что при любом { і 4 VT выполняется неравенство
Очевидно, что из РЛ следует 5 , а из выполнения в пространстве д условия $ ъ с константами р 1 и С О следует наличие у пространства инфратипа с константой Z С Сейчас мы докажем, что все условия 21 »
