Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 2. Предварительные сведения 12
2.1, Вспомогательные сведения из теории упорядоченных пространств 12
2.2. Вспомогательные факты из теории меры 20
ГЛАВА 3. Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций 42
3.1. Понятие переходной функции 42
3.2. Изоморфизмы между пространством переходных и функций и другими классическими пространствами 44
3.3. Счетно-аддитивные и чисто конечно-аддитивные переходные функции 54
3.4. Сильно аддитивные переходные функции 63
Список литературы 72
- Вспомогательные факты из теории меры
- Изоморфизмы между пространством переходных и функций и другими классическими пространствами
- Счетно-аддитивные и чисто конечно-аддитивные переходные функции
- Сильно аддитивные переходные функции
Введение к работе
Г. Актуальность темы. Сегодня общепризнанна важная роль вероятностных методов исследования как во многих прикладных задачах, так и в естественных науках. Одним из наиболее часто возникающих вероятностных объектов при построении математической модели разнообразных явлений являются марковские случайные процессы. В соответствии с запросами практики большинство исследований проводится в рамках теории случайных процессов с дискретным временем, т. е. цепей Маркова. Суть этих процессов заключается в том, что развивающаяся в дискретном времени динамическая стохастическая система имеет некоторую вероятностную закономерность, учитывающую свою предысторию только за один прошлый шаг либо за заранее фиксированное конечное число предыдущих шагов.
Развитие теории марковских процессов началось сразу же после основополагающих работ А. А. Маркова в начале прошлого века. В настоящее время лишь одно перечисление авторов, занимающихся исследованиями в этой области, может занять несколько страниц. Следует выделить два подхода, используемых при изучении цепей Маркова. Один из них базируется на исследованиях по цепям Маркова, выполняемых в рамках классической трактовки случайных процессов на языке случайных величин. Другой — функционально операторный — подход берет свое начало от работы К. Иосиды и С. Какутани, в которой теория цепей Маркова была переведена на язык теории линейных операторов в некоторых пространствах функций и пространствах мер.
Исследования последних лет характеризуются более широким использованием топологических и функциональных методов, стремлением ослабить ограничения на фазовое пространство и на сами марковские процессы. Эта тенденция нашла свое отражение в работах Э. Шида-ка, С.Фогеля, У.Херкенрата, А.А.Боровкова, Ю.В.Прохорова. Однако продвижение в этом направлении сдерживалось традиционной трактовкой вероятности как счетно-аддитивной меры. Придание конечно-аддитивной мере вероятностного смысла было инициировано Л.Е.Ду-
'FSfcMl
ЙОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА | СП 03
бинсом и Л. И. Сэвиджем в рамках задач по теории игр и послужило отправной точкой для изучения конечно-аддитивных цепей Маркова. В этом направлении отметим работы А. И. Жданка, в которых разрабатывается функциональный подход к изучению конечно-аддитивных цепей Маркова на произвольном измеримом пространстве. Последние результаты в этом направлении указывают на необходимость отдельного и широкого исследования конечно-аддитивных цепей Маркова.
2. Цель работы. Цель настоящей работы заключается в применении порядкового подхода к исследованию конечно-аддитивных цепей Маркова на произвольном измеримом пространстве.
3. Методы исследования. В основу диссертационной работы легло применение аппарата теории операторов, теории упорядоченных банаховых пространств и теории векторных мер к конечно-аддитивным цепям Маркова. Изложенный в этой работе подход позволяет преодолеть еще один психологический барьер при изучении цепей Маркова — отказаться от положительности «переходных функций» цепей Маркова и их нормированное, т. е. выйти за рамки вероятностного языка.
4. Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Исследована взаимосвязь пространства конечно-аддитивных переходных функций с пространствами линейных операторов, векторных мер, и измеримых вектор-функций. Установлено, что упорядоченное векторное пространство переходных функций в общем случае не является векторной решеткой. На пространстве переходных функций введено естественное отношение дизъюнктности. Показано, что пространства счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных переходных функций являются взаимно дополнительными полосами относительно введенного отношения дизъюнктности. Установлено, что разложение конечно-аддитивной переходной функции в сумму счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной переходных функций, вообще говоря, не имеет места. Ведено пространство сильно аддитив-
ных переходных функций. Показано, что любая такая переходная функция допускает (единственное) разложение в сумму счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной составляющих. Также исследованы порядковые, метрические и алгебраические свойства пространства сильно аддитивных переходных функций и установлена его взаимосвязь с соответствующими пространствами линейных операторов, векторных мер и измеримых вектор-функций. В работе даны ответы на некоторые открытые вопросы, обозначенные в работах А. И. Жданка.
5. Теоретическая ценность. Теоретическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они открывают новые возможности для более детального и широкого изучения конечно-аддитивных цепей Маркова. Полученные в работе результаты касаются не только исследования переходных функций с абстрактной точки зрения теории упорядоченных пространств и банаховых алгебр. Из них также следуют некоторые новые утверждения и для традиционных цепей Маркова, востребованность которых в математических приложениях общеизвестна.
6. Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», на ежегодной республиканской научно-практической конференции, проводимой в Тывинском государственном университете, на объединенном семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, на заседании кафедры математического анализа Новосибирского государственного университета, а также на еженедельных семинарах лаборатории функционального анализа в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6], указанных в конце автореферата.
7. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка основных обозначений, трех глав и списка литературы и занимает 74 страницы. Библиография включает 43 наименования.
Вспомогательные факты из теории меры
В этом параграфе мы приводим основные сведения из теории меры (в том числе, касающиеся конечно-аддитивных мер [25-28,42], векторных мер [7,31,32] и измеримых вектор-функций [5,31]), а также устанавливаем некоторые вспомогательные факты, затрагивающие пространства с мерой и лифтинги (см. [5,32,38,39]). Определение 2.2.1. Под пространством с мерой в данной работе понимается тройка (X, Е, -), где (X, Е) — измеримое пространство, а (( — положительная счетно-аддитивная функция изЕвК (традиционно называемая мерой), удовлетворяющая следующим условиям:
Множества ,Fe S называются эквивалентными, если ? Д і 1) = 0. Класс эквивалентности, содержащий множество eS, условимся обозна-чать символом Е , а фактор-множество Е по отношению .эквивалентности — символов Е. Снабженное естественным порядкомДиндуцироваи-ным отношением включения) множество S является булевой алгеброй и называется фактор-алгеброй пространства с мерой (Л", S; «). Как обычно, мы будем говорить что то или иное условие выполнено почти всюду, если оно имеет место для всех элементов X, за исключением некоторого множества нулевой меры. Символом С(Х) обозначается совокупность всех определенных почти всюду существенно ограниченных измеримых вещественных функций, а символом L(X) — пространство (решеточно упорядоченная банахова алгебра) классов эквивалентности таких функций по отношению равенства почти всюду. Класс эквивалентности, содержащий функцию / Є (Х), условимся обозначать через / \ Отображение р: L{X) —» {Х) называется лифтингом пространства с мерой {X, Е, ) или лифтингом пространства Loc(X), если для любых а,/З Є К и f, g Є L(X) имеют место следующие соотношения: (Некоторые из перечисленных условий являются следствиями остальных.) Если / Є JC(-Y), то для функции р(/ ) принято более короткое обозначение: p(f). Поскольку лифтинг является правым обратным к отображению / 1-4 / , мы будем иногда использовать запись / вместо р(/). {Отображение р: Е —) Е называется лифтингом фактор-алгебры Е, если для любых классов Е, F Є Е имеют место следующие соотношения: По аналогии с лифтингом пространства Lco(X) мы будем иногда писать р(Е) или U, вместо р( ) и тем самым считать, что р: Е — S.
Следующее достаточно очевидное наблюдение иногда позволяет упростить проверку того факта, обладает ли какое-либо конкретное отображение всеми свойствами лифтинга. Предложение 2.2.2. Пусть (X, Е, -) —пространство с мерой. Ото-бражение р: Е - Е является лифтингом фактор-алгебры Е в том и только том случае, если оно удовлетворяет след)гюіцим двум условиям: (a) для каждой точки х X множество {Е Є Е : х Є р(Е)} является ультрафильтром булевой алгебры Е. І Покажем, что отображение р: Е — Е удовлетворяющее условиям (а) и (Ь) действительно является лифтингом. В проверки нуждаются лишь соотношения (2)-(4) определения лифтинга (условия (1) и (5) весьма очевидны). Для удобства, положим, Fx = {Е Є Е : х Є р(Е)} для всех х Є А\ Пусть Е, F є Е. Если Е F то в силу того, что Тх ультрафильтр, условие Е є tFx влечет за собой FeJj для всех х X. Следовательно, для каждой точки х Є р(Е) класс F лежит в гга значит х Є p(F), т. е. р(Е) С p(F). Ясно, что р(Е Л F) С р(Е) П p(F). Проверим обратное включение. Действительно, пусть х Є р(Е) Г) p(F). Значит, Е, F Є Тх, что влечет за собой ЕЛF 3х (т. кТх — ультрафильтр). Следовательно, х Є р(Е AF). Для каждого множества Е Є Е классы Е и (Х\Ё\ дизъюнктны, учитывая, что !FX является ультрафильтром для всех х Є X, заключаем, р({Х\Е) ) = Х\р(Е ) для всех ЕЄ2. 1 С учетом двойственности ясно, что р(Е V F) = р(Е) U p(F). t Если р: LOQ(X) - С(Х) — лифтинг пространства Ь (Х)7 то отображение Е н- {х Є X : Р(1Е)(ГС) 5 Of является лифтингом фактор-алгебры Е (здесь 1Е 1 {Х) — класс, содержащий характеристические функции І множеств КЕ). Наоборот, для любого лифтинга фактор-алгебры Е существует единственный лифтинг пространства L(X), связанный с лифтингом Е указанным выше образом (см. [32, 11]). Известно (см. [32,38]), что пространство с мерой (X, Е, j-j) имеет лифтинг тогда и только тогда, когда оно обладает так называемым свойством прямой суммы: существует семейство (E ) s попарно не пересекающихся измеримых множеств конечной меры такое, что в булевой алгебре Е справедливо соотношение эир ез &? — (т. е. для любого измеримого множества Е из \Е\ 0 вытекает і?ПІ?І 0 при некотором Є Н). В частности, лифтингом обладает всякое пространство с конечной или а-конечной мерой (последний факт впервые установлен в [39]). дальнейшем нам пригодится следующий легко устанавливаемый результат. Лемма 2.2.3. Пусть (X, Е, ) — пространство с мерой, причем булева, алгебра. не имеет атомов. (1) Если х 6 Е 6 и i? оо, то существует такое множество FeS, что ж Є FC En\F\ = ±. (2) Если пространство (X, Е, ) обладает лифтйнгом, х Є є , і? = ? и оо, то существует такое множество F , что х F С Е, F„ = F и \F\ = $\Е\. ] Утверждение (1) непосредственно вытекает из классической тео ремы П.Халмоша об образе меры (см. [35]), а (2) следует из (1) и элемен тарных свойств лифтинга. t ; ! Следствие 2.2.4. Если фактор-алгебра пространства с мерой (X, S, ) ібезатомла, то все одноточечные подмножества X измеримы и ] Достаточно заметить, что благодаря 2.2.1(1) каждая точка принадлежит какому-либо измеримому множеству конечной меры, и воспользоваться утверждением (1) леммы 2.2.3. t Отметим, что утверждение, обратное следствию 2.2.4, не имеет места. Действительно, если множество X несчетно, 7-алгебр а состоит их всех счетных подмножеств X и их дополнений, а мера « равна нулю на счетных множествах и единице на их дополнениях, то все одноточечные подмножества X имеют нулевую меру, но тем не менее Х является атомом фактор-алгебры пространства с мерой (X, Е, ). Пусть (X, Е) — произвольное измеримое пространство. Для любой точки х Є X и множества Е Є Е положим 8Х{Е) = 1, если х Е, и &Х{Е) = 0 в противном случае. Определенную таким образом меру
Изоморфизмы между пространством переходных и функций и другими классическими пространствами
В; данном параграфе мы наделим множество переходных функций V{XjH) структурой упорядоченной нормированной алгебры и исследуем его взаимосвязи с пространствами линейных операторов, векторных мер и измеримых вектор-функций. Будет также установлено, что упорядо ченное векторное пространство переходных функций в общем случае не является векторной решеткой. J Определение 3.2.1. Пусть X — произвольное множество, j и Е2 — сг-алгебры подмножеств X. Обозначим .через Ppf, Ei,E2) множество функций р: X х Di —t R, удовлетворяющих следующим условиям: Теорема 3.2.2. Если р Є V(X,Si,Иг), то функция р равномерно ограничена и, более того, supl6 - \\р(х, -)]j со. Для каждой точки х X положим fix = р{х, ). Согласно (1) и (2) имеем \іх Є 6а(Еі) и supxe \ftx(E)\ oo для всех Е Si- Из теоремы Никодима об ограниченности (см. [31,1.3.1]) следует, что supx \\р{х, ) = supxX[[Mx[ = С со. В частности, \р(х, Е)\ p(a;, )ii С для всех х Є X и Е Є Si. С Для любой функции р Є V(X, 1,) обозначим через Тр функцию из В(Х, Ei) в Жх, определяемую равенством (Тр/)(х) = (f,p(x, )) для любых / Є В(Х, Ei) и х Є X. Лемма 3.2.3. Еслирє7?(Л",ЕьЕ2), то Тр є (В(Х,Еі),В(Х,Е2)). Ярл этом jTp supjX р(ж, -)ij. Очевидно, что Тр — линейный оператор из В(Х, Еі) в Rx. Покажем, что оператор Тр действует в4tB(X, Е2). Для каждого элемента Е Є Si имеем 7}Д: = р{ Е) Є -В(Х, Е2). Из линейности Тр заключаем, что Тр$ Є В(Х, Е2) для любой ступенчатой функции s Є St{X, Si). Пусть теперь / — произвольный элемент В(Х, Ej) и sn Є Si (Л", Ei) (п Є N) — последовательность ступенчатых функций, равномерно сходящаяся к /. Заметим, что (Тр( ))(х) Є (Х, Si) для всех х X. Следовательно, (Tpsn)(x) - (Tpf)(х) при п —» со для всех х Є X, а. значит, функция Tpf является Е2-измеримой, будучи поточечным пределом Е2-измеримых функций. Кроме того, для всех х k X имеем Учитывая 3.2.2, заключаем, что Tpf В(Х, Е2). Таким образом, Тр — линейный оператор из В(Х, Еі) в В(Х, Е2). Из ( ) также вытекает оценка для нормы оператора Тр. Пусть (Х,Е) — произвольное измеримое пространство и V(X, Е) — множество переходных функций, введенное в 1. Из теоремы 3.2.2 непосредственно следует, что каждая функция р Є V{X, Е) равномерно ограничена и s\ipx&x р(я» )И со Наделим множество V{Xy Е) структурой векторного пространства с поточечными операциями суммы и произведения на число.
В полученном векторном пространстве введем норму, полагая Надел им пространство V(X, Е) поточечным порядком: Определим операцию умножения переходных функций рьрг Т Х, Е) следующим образом: Несложно убедиться в том, что произведение переходных функций действительно является переходной функцией и относительно введенных операций V(X, Е) является упорядоченной нормированной алгеброй. Ниже мы покажем изоморфность упорядоченных нормированных ал- Иными словами, при естественном отождествлении пространств В{Х) и Ьа(Е) (см. замечание 2.2.17) справедливо соотношение Ах = Т . Поскольку Лг, = Тр (см. 3-2.5), из предложения 2.1.6 вытекает включение АрСю(Ьа{И)). Включение nij, Є ba{T, B(X)) очевидно. Покажем, что vp Є f(X, Ьа(Е)). Для любого множества Е Є Е имеем (1і?,Гр(-)) = р(-,Е) — ТР1Е- Следовательно, {s,vp{ )} = Tps для всех s Si (A , E). Если теперь / — произвольный элемент В(Х). то для всех х Є X, где (sn) — равномерно сходящаяся к / последовательность элементов St(Xy Е). Остается заметить, что Включения рт Є T{Xt Т) и mx fca(E, В(Х)) очевидны. Справедливость включения вытекает из леммы З.г.Ъ и предложения 2.1.6. , Для доказательства включения v? Є (X, ba(T,)) достаточно заметить, что VT(X)(E) = (Т1Е)(Х) — Р${%,Е) — vpr(x)(E) для всех а; Л и Е Є Е, и воспользоваться пунктом (1) доказываемого предложения. Включение PA Є V(X, Т) легко установить, воспользовавшись равенством рл{ , Е) — АЕ, справедливым для всех Е Е, и замечанием 2.2.19. Для доказательства включений ТА Є C(B(X))t ТПА Є ba(T,B(X)) и t ,4 Є Sf (- i ba{T,)) достаточно заметить, что для всех аг Є X, / Є i?(X) и " Є Е, и применить утверждение (1) доказываемого предложения. (4) Пусть т є Ьа(Е,В{Х)). Включение рт Є V(X, ) очевидно. Включение Тт Є С(В(Х)) вытекает из равенства Т„, = {-,т?г) и теоремы [31, 1.1.13]. Для доказательства включений Ат Є „,{ба(Е)) и vv, Є t r (X, Ьа{Е)) достаточно заметить, что
Счетно-аддитивные и чисто конечно-аддитивные переходные функции
В этом параграфе мы вводим и исследуем пространства Pca(Xt Е) и Vpfa(X, Е) счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных переходных функций, показываем, что они являются взаимно дополнительными полосами относительно естественной дизъюнктности и рассматриваем вопрос о разложении V{X, Е) = Vca{X, Е) ф Vp/a X, ) Попутно мы плотным образом вкладываем Р(Х, Е) в некоторое банахово К-пространство V(X, Е) и изучаем порядковые свойства этого вложения. Пусть (X, ) — произвольное измеримое пространство. Определение 3.3.1. Переходную функцию р V(Xt Е) будем называть счетно-аддитивной, если р(х, ) Є са(Е) для всех х Є X. Множество всех счетно-аддитивных переходных функций обозначим символом Pca(XtX). Теорема 3.3.2. Пространства TcaC S)» o{B(X))f wc(ba(E)). D-CO(E, B(X)) И i (Xt ca(E)) являются упорядоченными банаховыми подалгебрами 7 (XtE), C(B(X))t (6a(E)), ЦЕ, B{X)) и e%(X,ba(L)) соответственно. Диаграмма, вершинами которой являются эти пять пространств, а ребрами — сужения двадцати отображений, определенных в 3.2.4, коммутативна. Кроме того, каждое из двадцати сужений является изоморфизмом между соответствующими пространствами, где под изоморфизмом понимается линейная изометрия, сохраняющая произведение и являющаяся порядковым изоморфизмом. С учетом теоремы 3.2.8 достаточно заметить, что С0(В(Х)) является упорядоченной банаховой подалгеброй {В(Х)), и установить включения Тр Є Со{В{Х)) АТ Є Cwc(ba{Z)), mA Є о-са(Z,B{X)), vTn Є (X,ca(E)), Л, Є Pca(X,E) для любых p Є 7 m(X,E), Г Є 0(В Х)), Л Є „,с(бо(Е)), m o-ca(L,B(X)), v Є С ( .« ()) В приводимых ниже рассуждениях мы многократно используем за мечания 2.1.4 без явных ссылок. N4 Докажем, что Тр Є 0{В{Х)). Пусть последовательность (/«)«EN элементов В(Х) о-сходится к / Є В[Х). Так как р(г, ) є са(Е) (х Є X), в силу теоремы Лебега для всех х Є X имеем Кроме того, ЦТр/nll [ГрЦ supmeN [/m[[ для всех п є N, а значит, Tpfn 4 ТР/. і Установим включение Ау Є щ,с(Ьа(Е)). Пусть ц Є ca(E), ?„ Є Е 1 (п Є N) и I7J 4- 0- Секвенциальная о-непрерывность оператора Т влечет л сходимость ТІП А 0. Следовательно, в силу теоремы Лебега (Ат ){Еп) = {Т1ЕП7(Л} — 0 при п - оо, т. е. ATV ca(E). Покажем, что тд Є о-са(%,В(Х)).. Пусть Еп Є Е (п N), „ і 0. Для всех х Є X с учетом включения А5Х са{ ) имеем Кроме того, тл(2п) "Ы Для всех п Є N, а значит, ГПА{ЕП) А 0. Включения vm Є %?(Х,са(Е)) и р„ Є «(Х, ) очевидны.
Введем обозначение для отношения Е-неразделимости на X, т.е. запись х у означает, что точки #, у Є X лежат в одном комке измеримого пространства (X, Е). Обозначим символом T fX, Е) множество всех функций р: X х Е - Е; удовлетворяющих следующим условиям для любых х,уеХи еЕ: Превратим множество V(X, Е) в упорядоченное нормированное пространство, наделив его поточечными операциями суммы и произведения на число, поточечным порядком и нормой конечность которой обеспечивается теоремой 3.2.2 в силу очевидного равенства Т{Х)Т) = V(X,Е,Е), где Е — сг-алгебра Е-согласованных подмножеств X, Упорядоченное нормированное пространство V(X ) с очевидностью изоморфно банаховому К-пространству {Х,Ьа(Е)) всех ограниченных Е-согласованных 6а(Е)-значнык функций, т.е. ограниченных функций і v. X -» Ьа(Е), удовлетворяющих условию v{x) = v(y) при х у. Тем ; самым, V[Xt Е) также является банаховым К-пространством. Кроме то-,,; го, совершенно аналогично доказательству теоремы 3.2.8 устанавливается изоморфность V{Xt Е) банаховым К-пространствам С(В(Х, Ti)tB(X, Е)), ш(6а(Е),6а(Е)) и ba(E, S(X, Е)). Конкретные изоморфизмы между всеми упомянутыми пространствами определяются формулами, приведенными в определении 3.2.4. Определение 3.3.3. Будем говорить, что переходные функции РиРг Є "Р(Х; Е) дизъюнктны и писать р\ X р2, если меры р\(ж, ) и Р2{х, ) дизъюнктны для каждой точки х Є X. Заметим, что переходные функции р\,р2 V(X, Е) дизъюнктны в смысле приведенного выше определения тогда и только тогда, когда pi и рп дизъюнктны в К-пространстве V{X,Yi). . Теорема 3.3.4. Пусть (X, Е) — атомное измеримое пространство. (1) Множество V(Xt Е) минорирует V{X, Е). (2) Множество V{X, Е) наследственно вложено в V(X, Е). (3) Если семейство переходных функций {p ) s имеет в V{X Е) супремум или иифимум, то соответственно для всех х Є X, где точные границы в правых частях равенств вычисляются в К-пространстве Ьа(Е). (4) Введенное в 3.3.3 отношение JL является отношением дизъюнкт ности.на векторном пространстве V(X,T,) в смысле определе 1 Ї (5) Каждый элемент р Є V(X, } представим в виде р = О-Ц ЕРЄ для некоторого семейства (р єн С "Р(Х, Е) поцарно дизъюнкт ных переходных функций. А __ _ ,[ О Докажем (1). Пусть 0 р Є "Р(Х,S). Выберем произвольную точку XQ Є Л", для которой P(XQ, ) 0, обозначим через А атом , содержащий XQ, и положим p(z, і?) = 1А{Х)Р(Х &) Для всех х X я Е Є Т,. Очевидно, что р V(X, Е) и 0 р р. Утверждения {2)-(4) следуют из (1), теоремы 2.1.3 и того факта, что точные границы в К-пространстве Р(Х, Е) определяются формулами, фигурирующими в утверждении (3) (последнее вытекает, например, из изо-морфности Р(Х,Е) К-пространству (Х,6а(Е)), в котором точные границы вычисляются поточечно). Упомянутое в (5) семейство (р ) н можно определить формулами pf (х, Е) = 1{{х)р{х, Е) для всех Є 3, х Є X и Е Е, где Е — множество всех атомов Е.
Сильно аддитивные переходные функции
Пусть (X, Е) — произвольное измеримое пространство. В 3.3 по казано, что введенное в 3.3.3 отношение J_ является отношением дизъ юнктности на векторном пространстве V{X% Е) в смысле определения 2.1.2 и множества Vca{X, Е) и "Рр/а{Х,Е) представляют собой взаимно допол нительные _L-полосы в V(X, Е). Тем не менее разложение V{X, Е) =. VcaiXyT) фТр/аІХ,!!,) не всегда имеет место (см. 3.3.7). Ниже мы опре деляем класс сильно аддитивных переходных функций и показываем, что для этого класса аналогичное разложение справедливо для любых изме римых пространств. і Определение 3.4.4. Переходную функцию р Є Р(ХУИ) будем называть равномерно абсолютно непрерывной относительно положительной меры ft Є f a(E) и писать р С ju, если для любого числа є 0 найдется число 8 0 такое, что для всех Е Є Е из () У вытекает \\р(т, Е)\\ є. Переходную функцию р V(X1 Е) назовем сильно аддитивной, если существует такая положительная мера \х Є Ьа(Е), что р /і. Множество всех сильно аддитивных переходных функций обозначим символом Vm{X, Е). Как показывает следующая теорема, VsaiX, Е) изоморфно пространству сильно аддитивных векторных мер, чем и обусловлено употребление соответствующих терминов и обозначений. Теорема 3.4.5. Пространства 7 0(Л",), fCw(B{X))1 K.Cw{ba{H)). sa(, В(Х}) и . (ЛГ, 6a(E)) являются упорядоченными банаховыми под 0 алгебрами Т(Х,Я), С(В{Х)), Cw(ba{Y,j), ba{Z,B(X)) и i%(X,ba{Z)) соответственно. Диаграмма, вершинами которой служат эти пять подалгебр, а ребрами — соответствующие сужения двадцати отображении, определенных в 3.2.4 коммутативна. Кроме того, каждое из двадцати су-жений является изоморфизмом между соответствующими пространствами, где под изоморфизмом понимается линейная изометрия, сохраняющая ф произведение и являющаяся порядковым изоморфизмом. С учетом теоремы 3.2.8 достаточно заметить, что Kw (В{X)) является упорядоченной банаховой подалгеброй С(В{Х)) / (см., например, [7, VI.4.4]), и установить включения тр sa(E,В(Х)), Тт Є K-w BiX)), ф Докажем включение mp Є sa(E, B(X)). Согласно определениям 3.2.4 и 3.4.4 существует положительная мера р, Є Ьа(Е) такая, что mp «С р. Следовательно, векторная мера тпр сильно аддитивна (см. [31, 1.5.3]). Включения Тт Є KW{B{X)) и АТ Є /Cw(6a{)) установлены в [31, VI. 1.1] и [7, VI.4.8] соответственно. Для доказательства включения ьд Є %?k(X,ia(E)) достаточно заметить, что множество мер {5Х : х X} ограничено по норме, а следовательно множество УД(Х) = {А6Х : х Є X} слабо компактно в Ьа(Е). m
Покажем включение , Є 7 sa(X}E). Поскольку множество {pv{x,-) : х Є X} слабо компактно в Ьа(Е), в силу [7, IV.9.12] существует положительная мера р. Є 6a(E) такая, что р(х, ) С р- равномерно по х Є X. В параграфе 3.3 множество V(X, ) плотным образом вкладывается в некоторое банахово К-пространство V{X, ) и изучаются порядковые свойства этого вложения. Ниже (см. теорема 3.4.6) показано, что множество Vsa{X,T.) плотным образом вкладывается в V{X, ). Напомним, что измеримое пространство (X, ) назовем атомным, если объединение всех атомов булевой алгебры совпадает с X. Заметим, что атомность в общем случае не является достаточным условием для атомности измеримого пространства (X, ) (см. например замечание 2.2.5). Теорема 3.4.6. Пусть (X, ) — атомное измеримое пространство. (1) Множество VSa{Xy) является порядковым идеалом в V(XiT.), т. е. для всехр є Т{Х, ) и ро Є PSa(-X\ ) из 0 р : ро вытекает (2) Множество Vsa{X, ) минорирует ЯрС, ). (3) Множество Vsa(X, ) наследственно вложено в V{X, 2). (4) Введенное в 3.3.3 отношение _1_ является отношением днзъюнкт-ности на Vsa{X, ) в смысле определения 2.1.2. (5) Каждый элемент р V(Xt ) представим в виде р = 5 єгР для некоторого дизъюнктного семейства (р ) е С 7 в(-Х\ ) (6) Множество Рва(АГ, ) представляет собой алгебраический идеал в V{X,Г), т. е. р ро,ро Р Є TW , ) для любых р є V{X, Е) и Утверждение (1) с очевидностью вытекает из определения 3.4.4 в силу монотонности нормы в В(Х). (2) Пусть 0 р V{X, ). Выберем произвольную точку хо X, для которой P(XQ, ) 0, обозначим через А атом , содержащий хо, и положим Ро(х,) = l fxjpfx. ) для всех х Є X и Є - Тогда ро Vsa{X,Y.) и О ро Р ( Аналогично доказательству утверждения (2) можно показать, что Тза(Х,1!,) минорирует К-пространство V(X, ), а значит, наследственно вложено в V(X, ) в силу теоремы 2.1.3. Остается сослаться на утверждение (2) теоремы 3.3.4 и замечание 2.1.1. (3) Поскольку V3a[X, ) минорирует V(X,T.) (см. выше), достаточно использовать теорему 2.1.3. Упомянутое в (5) семейство (Р ) Е можно определить формулами Pt(z, Е) = 1 (х)р(х, В) для всех Є Ьч, х Є X и Е Є 12, где Е — множество всех атомов . Утверждение (6) вытекает из теоремы 3.4.5 с учетом аналогичного свойства слабо компактных операторов (см., например, [7, VI.4.5]). Если р Є V{X, S) и tp Є B(X) 7 то, как легко видеть, \р о тр Є Ьа(Е), где векторная мера тр Є Ьа(, В(X)) определена в 3.2.4. Будем говорить, что переходная функция р V(X, Е) слабо дизъюнктна мере р Є 6а(Е), если ір о mp J_ р для всех Є В(Х) . Теорема 3.4,7. Пусть (X, ) — измеримое пространство и р Є ba(E). Тогда каждая сильно аддитивная переходная функцияр Є Vaa(X, Е) единственным образом разлагается в сумму р — рс+р$ двух сильно аддитивных переходных функций таких, что рс -С р и ps слабо дизъюнктна р. Достаточно воспользоваться аналогичным результатом для сильно аддитивных векторных мер (см. [31, 1.5.9]) и теоремой 3.4.5. Определение 3.4.8. Переходную функцию р Є "Р(Х,) назовем сильно счетно-аддитивной, если существует положительная мера р ca(S) такая, что р С р. (Этот термин впервые возник в работе [12], где он определен иным, но эквивалентным образом.) Множество всех сильно счетно-аддитивных переходных функций обозначим символом V aiX, ). Ясно, что VSca{X ) является упорядоченным нормированным подпространством V(X, ). Несложно заметить, что любая сильно счетно-аддитивная переходная функция является счетно-аддитивной (в смысле определения
