Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Теория банаховых и гильбертовых пространств аналитических функций является неотъемлимои частью современной теории функций. При этом широкий круг вопросов связан с мультипликативными свойствами этих пространств, т.е. с описанием мультипликаторов, свойствами операторов умножения и деления на функции, факторизацией функций, выделением нулей и т.д. Многие, задачи, возникающие и этой области, оказываются тесно связанными с вопросами тео рии операторов и теории потенциала.
В последние годы внимание многих аналитиков привлекают
пространств,') аналитических п единичном круге В) комплекс
ной плоскости функций из шкалы Бесова, в частности, гильбер
товы пространства п s из этой шкалы, состоящие из функ
ций \vi)- _ >i*v> *- , ?.) , для которых при некотором
Ь U. } IhwI (п»1) < + <». Так, например, в недавних
»V»0
работах Х.Хедепмальма устанавливается . что для функций из некоторых пространств Еергмана имеет места факторігсашш, аналогичная выделению нулей с помощью произведений Бляшке в пространствах Хардн. Результаты С.Рихтера показывают связь мезду свойствами инвариантных относительно умножения на " подпространств и мультипликаторами. Наконец, из діілаташюнной- теории Еерковнчи, Фэяша и Пирси вытекает вал-
ный вывод о связи общей проблеми инвариантных подпространств с описанием свойств 'г.-иннариантних подпространств п пространстве Бергмана.
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Основная цель работы ~ установить аналоги для пространств As некоторых классических ре аультатон, имеющих место в пространстве Харди И. В частное ти, в диссертации изучаются свойства экстремальных функций для Ъ -инвариантных подпространств - функций, которые ыо гут служить аналогами классических внутренних функций.
ОПЦАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ. В диссертации используются методы теории аналитических функций в пространствах Харди и теории потенциала. При этом в работе разрабатывается аппарат специальных интегро-дифференциалышх операторов Дм обладающих рядом свойств, аналогичных свойствам классичес кого оператора Лапласа.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы, касающиеся пространств Ks , являются новими. Новым является также разработанный в диссертации аппарат операторов Дл .
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический /.а рактер. Ее результаты могут бить поле&ни в теории опера торов. Разработанный в диссертации аппарат операторов Ь.^ представляет самостоятельный интерес и может найти прило.т.е пия как в теории функций, так и в теории потенциала.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре но спектральной теории функций и теории операторов в ПОМП им.Стеклова и на второй августовской конференции но спектральной теории функций 17-18 августа 1993 г, ПОМИ
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работе Ш.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из впеде ния, трех глав и списка литературы. Общий объем работы -61 стр. машинописного текста. Список литературы содержит 19 названий.
