Введение к работе
Актуальность темы. Одним из серьезных технических инструмен-ов теории пространств Банаха является "метод эквивалентных норм;' эторый заключается в возможности введения в банаховом простран-гве эквивалентной нормы, обладающей тем или иным "хороыим" свой-гвом. Например, М.И.Кадец сумел доказать топологическую эквива-знтность всех бесконечномерных сепарабелышх банаховых прост-1HCTB,, используя зтот метод. Следовательно, актуальными являют-і исследования о возможности или невозможности введения в данном шаховом пространстве" эквивалентных норм, обладающих разными ' сороашмл" свойствами. Известный результат такого характера впер-10 получил Дя.А.Кларксон в 1935 г.„ который ввел понятие строгой зриированностн и доказал, что любое сепарабельное банахово про-гранство изоморфно строго нормированному. Потом возник ряд дру-IX подобных понятий, как, например, гладкость, локальная равно-;рная выпуклость, п - свойство, \\( Г ) - свойство її другие эдобнне понятая.
Локально равномерно выпуклые (LUR) пространства были вве-jhh в 1955 г. А.Р.Ховалья. Позхе эти пространства исследовались юriL'.ui авторами. В 1959 г. М.И.Кадец доказал, что каждое сепаратное банахово пространство изоморфно локально равномерно ш-гклому. И.Линденшграус и независимо С.Л.Троянски показали, что ісепарабельное банахово пространство (, 00 не становится доїльно равномерно выпуклым ни в какой эквивалентной норме.
Троянски доказал теорему, дающую достаточные условия сущест— івания эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы в несе-ірабельннх банаховых пространствах и доказал, что любое V/CG-пространство Банаха изоморфно локально равномерно выпуклому, ратимся теперь к Ц - свойству.
Единичная сфера гильбертова пространства Н обладает следующий легко обнаруживаемым свойством: иа ней совпадают слабая н сильная сходимости последовательностей элементов.;
Говорят, что банахово пространство д обладает Ц -свойством, если на его единичной сфере 5(Х ) совпадают слабш и сильная сходимости последовательностей:
JCofc X, ix^T^ A, nx„.ii * і, сс^^аго^ ^VvHiocK-jCo»=<
Известно, что Н - овойством обладает каадое локально ра номерно выпуклое (LUiO банахово пространство. Напомним соответствующее определение:
n-t*o
Обратное, вообще говоря, неверно: в проотранотве t ^ совпадают слабая и сильная сходимости (свойство Щура), но оно і LUR и Даяе не сірого нормированное.
Долго оставался открытым следующий еотеотвенный вопрос: ее банахово пространство обладает р - свойством, будет ли оно локально равномерно выпуклым в некоторой эквивалетной норме? О' рицателышй ответ получен совсем недавно. Наличие у данного ба нахова пространства эквивалентной нормы о п - свойством (и эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы) использовало разными авторами в разных ситуациях (доказательство топологиче кой эквивалентноети рефлексивных сепарабелькых проогрансгв Банаха, доказательство существования оильно выставленных точек у
каждогб"слабо компактного подмножества банахова пространства,, некоторых случаях при применении "метода эквивалентных норм" с наруживалась необходимость заменить п - свойство более силі
ребованием, которое мы определим ниже. Это более сильное Н(Г)-войство применялось в доказательстве топологической эквивалент-ости сепарабельных сопряхенных банаховых пространств, и теории иортогональных систем, в теории абстрактных почти периодических ункций, при доказательстве гомеоморфизма всех бесконечномерных епарабельных пространств Банаха.
ОПРВДеШШИЕ і. Банахово пространство Д обладает Н(Г)-
р чу*
войством по отношению к тотальному подпространству | с д ,
оли для каждой последовательности (ХцЛ0 с. д выполнены сле-унцие условия:
(КА) если {(*) +f(Xc) для всех -f I , то иил цзс и И > ИХ oil. (Кг) если сверх того & 112:^.11 = Іі^ої . то гл \\Хп- oli-0.
Если в качестве 1 взять все л .то получится обычное П - свойство.
В случае сепарабельных пространств Банаха вопрос о наличии ошвалентной нормы, относительно которой Д обладает \\(Г) зойством, решется следующим утверндеішем, которое мы предварим зумя определениями.
OnPFJIPJIMIb 2. Подмножество называется тоталь-
гм, если условие ^1х)=-0 для всех Ld Г влечет X. - О.
ОПРїїСЕІЛШіЕ 3. Подпространство Г с Д называется ірмирунзім, если его характеристика Диксмье положительна:
КГ)>о.
Здесь
Г(Г)= Lafsup \.\(іх)\:((, Г, \ф\ї{\. * S(X)
Каждое нормирующее подпространство тотально. Обратное, вообще говоря, неверно.
Теперь сформулируем хорошо известную теорему М.И.Кадеца о связи между слабой и сильной сходимостью на единичной сфере се-парабельно'го банахова пространства.
ТЕОРЕМА (М.И.Кадец). Пусть X - сепарабельное пространство Банаха, Г с Л - нормирующее множество. Тогда в д можно ввести эквивалентную норму, относительно которой л ОбЛЕ дает Н(Г) - свойством^ Более того, можно добиться, чтобы ЭТ норма была локально равномерно выпуклой.
Как показывает пример Д. Ван Дульсга, требование v(\)>0
иногда может быть опущено. Окончательно вопрос о необходимости
условия h(l ) > 0 решает результат Б.В.Годуна, согласно кото
рому, если сепарабельное банахово пространство д содержит по;
пространство, изоморфное Сі .то найдется (тотальное) под
пространство I с д с нулевой характеристикой, для которого
на Д существует эквивалентная норма с Н(Г) - свойством^
Если д не содержит С4 и обладает - свойством
для некоторого Г , ю Г - нормирующее.
В случае несепарабельного пространства Д условие НГ)>С
может оказаться недостаточным для наличия у него эквивалентной
нормы с - свойством. В настоящей работе приводится одні
из способов обнаружения таких I » Доказанная в диссертации теорема 2.2Л позволяет указывать многочисленные примеры несепа-рабельных пространств Д и нормирующих подпространств ГСД на которые не распространяется теорема М.И.Кадеца;
Банаховы пространства непрерывных функций на метр
ческих-компактах К изучены достаточно хорошо как в смысле их изоморфной классификации (теорема Милютина, теорема Бессаги-Пел чинского), так и в других отношениях (базисы, биортогональные
системы и прочее).
Теория эквивалентных норм для пространств С ( v\) с метрическим К есть, в основном, следствие этой теории для общих зепарабелышх пространств Банаха ( С(Ю сепарабельно в том и только том случае, если К - метрический компакт, сопряженное пространство [,С(Ю] сепарабельно в том и только том случае, эелн К - счетный метрический компакт).-
Для случая неметризуемых компактов в теорій пространств С (К) получено много глубоких результатов, однако эта теория эчень далека от завершения и находится сейчас в стадии активной разработки.
Среди всех компактов естественно выделяется класс компактов з первой аксиомой счетности. Он включает в себя класс метрических компактов, но не совпадает с ним. Примеры неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности - две стрелки, лексикографический квадрат, компакт Хелли и др.- - хорошо известны и приводятся практически во всех учебниках топологии. Однако общей теории этих компактов, по существу, нет,; Тем более, мало что известно о Занаховых пространствах С(К) для неметризуемых компактов с яерзой аксиомой счетности. Если ограничиться теорией эквивалентных норм, то все, пожалуй, сводится к результатам Г.А.Александрова; Поэтому исследование этих вопросов, проведенное в диссерга-[рш, представляется актуальны:.!.
До недавнего времени единственным примером банахова пространства, не допускающего эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы, было пространство всех ограниченных последовательности С о (а такхе, разумеется, все пространства, содержащие L со в качестве подпространства). В работе [*] Р.Хейдон и
Haydon R., Zinler V. A new space with no locally uniformly renorning.- Can.Math.Bull.,19П9, v.32, no 1, pp.122-128.
В.Эизлер построили пример банахова пространства, которое не допускает эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы, хотя и не содержит подпространств, изоморфных С со і В диссертации доказывается, что пространство Хейдона-Зизлера не допускает эквивалентной слабо симметричной локально равномерно выпуклой нормы, а также не обладает Н - свойством ни в какой эквивал( тной норме.
Норма банахова пространства Л называется слабо локальні равномерно выпуклой (WLUR) , если из условий
следует слабая сходимость последовательности ОС^ к элементу ЭС0 і в геометрии банаховых пространств, кроме свойства ло кально равномерная выпуклость ( uUvn ) большое применение и ют ее модификации ( MLUR И Т.П.)і
Напомним соответствующее определение,-
Пространство д называется (слабо) симметрично локально равномерно выпуклым ( Х^ WMLUR , X ^ MLUR. ), о из условий
Х,Ч^ Є X, & \\^±^\\ = 1
с и. * со
следует (слабая) сходимость Цл к 0;
Перечисленные свойства связаны между собой следующим обр*
(WLUR)* (LUIO* (И). IWMLUR)<= ( MLUR)
- .8 -
В диссертации вводится некоторое обобщение слабой локально равномерной выпуклости, а именно I - локальная равномерная выпуклость, и изучаются ее свойства;
Цель работы: исследование вопроса о наличии, в данной банаховом пространстве эквивалентных норм с теми или иными "хорошими" свойствами выпуклости (строгая выпуклость, локально равномерная выпуклость, слабая локально равномерная выпуклость, п - свойство и некоторые другие).
В качестве методов исследования используются приемы геометрической теории пространств Банаха, топологии, теории пространств непрерывных функций на компактных множествах.*
Результаты диссертации являются новыми и получены самостс—
ЯТвЛЬНО;
Новизна результатов заключается и в том, что впервые введено и исследовано новое понятие Г - локально равномерно выпуклой нормы.
Диссертация имеет теоретический характер; Ее результаты могут найти применение в геометрической теории банаховых пространств, в топологии и теории пространств непрерывных функций на компактных множествах.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Содержание изложено на 93 страницах, библиография содержит 54 наименования; Главы делятся на параграфы; Внутри параграфов нумерация сквозная и состоит из трех цифр: первая - номер главы, вторая - номер параграфа, третья - порядковый номер утверждения»
