Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию киази-сво-
бодных действий дискретных груші па многообразиях и соответствующей"! теории бордизмов.
Изучению множеств неподвижных точек гладких отображений п их инвариантов посвящено множество работ. В 1945 году, в связи с разработкой пятой ііро6лемі>і Гильберта, С. Бохнер1 доказал лииеаризуемость действия группы в окрестности неподвижных точек, примсішіі меру Хаара на компактной группе.
С тех пор возник ряд вопросов о свойствах множеств неподвижных точек. Например, вопрос о том, какие многообразии можно встретить в качестве множества неподвижных точек действия некоторой компактной группы. в частности, какова их размерность. Также возникли вопросы о линейных представлениях в разных 'точках многообразия.
В начале СО-х годов П. Копнер и Э. Флойд2, привлекая современные методы алгебраической топологии к решению задач о неподвижных точках, обосновали теорию эквивариантных бордизмов. Они создали так называемую фикспойнт-конетрукцню и показали на конкретных примерах мощность этой теории. Они также разработали методі»! описання бордизмов со свободным действием конечной группы в терминах ее классифицирующего пространства и применили свою конструкцию для вычисления бордизмов гладких инволюций.
А. С. Мищенко3 в 1969 году применил эту конструкцию для описания бордизмов с действием циклической конечной группы простого нечетного порядка. В результате была получена длинная точная последовательность для этих бордизмов в терминах бордизмов со свободным действием и бордизмов многообразий, оснащенных структурой нормального (векторного, конечномерного) расслоения.
'S. Boclmer. Compact graujM о/ diffcrentiable tnmsjormatiotu Ann. of 40 (1915),372 381. 2P. Conner. E. Floyd. Difftrmitiuhle jicriodic maps. Berlin, Springer-Verlag, 190-1.
'А. С. Мищенко. Бордизмы с действием группы Zp и неподвижные пшчки. Мнтем. сборник Т. 80(122). № 3(11) (19G9), 307-313.
Большинство проблем it задач о неподвижных точках были успешно решены только для компактных или конечных групп.
Однако в конкретных примерах часто встречаются бесконечные дискретные группы и некомпактные группы Ли. Поэтому возникает проблема редукции геометрических инвариантов действия групп к инвариантным действиям ее компактных или конечных подгрупп. Решение этой проблемы неизбежно приводит к задаче описания неподвижных точек для подгрупп. С другой сторош>!, необходимо описание инвариантных пространств орбит. Решение последнего вопроса хорошо известно в случае свободных действий и не зависит от конечности или компактности действующих групп.
Р. Пале заметил4, что один из главных инструментов для того, чтобы перевести топологические и геометрические свойства пространства с действием группы на пространство орбит — это существование так называемых орбнтпых разрезов, так как они позволяют применить теорию однородных пространств. Действия, для которых существуют разрезы, называются собственными. При них сохраняются хорошие топологические свойства. Пале также показал, что для других, более общих, классов действий, топологические свойства уже не наследуются пространством орбит.
В настоящее время одной из основных задач в случае собственных действий является установление или опровержение достоверности основных фактов теории свободных действий.
В частности, наши усилия в перспективе направлены на редукцию вычисления сигнатуры многообразия с собственным действием дискретной группы к ее вычислению на неподвижных точках. Подобные формулы можно найти для конечных групп и компактных многообразий в книге0.
Недавние работы С. Ильмана6 и его ученика Т. Корпии' об инвариантных триапгуляцнях подтверждают, что выбранный нами путь перспективен.
Цель работы.
4It. S. Palais. On the Existence, of Slices for Actions of Non-Compact Lie Groups Arm. Math., '2nd Ser., 73, No. 2, (1901), 293-323.
r'I). B. Zagier. Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to Orbit Spaces. Spriiiger-Vrrlag. Flt*rliii, Iloidell.rag, New York, 1972.
r'S. IHman. Existence and Uniqueness of equivariant triampdations of smooth proper G-vtanifoUls with some, applications to equivariant Whitehead torsion, J. Heine Angow. Math. 524 (2000), 129 183.
7T. Kotppi. Equiuaiiant trinnfjulations of differcntiuble and real-analytic manifolds with a properly discontinuous action Annates Acadeuiia; acientiarum fcnnicic matematiea dissertationes 141, Helsinki, Suomakuncri Tiedeakatcrnia, 2005.
Целью работы является получение: спектральной последовательности для бордизмои многообразий с киазн-оюбодпым действием дискретной группы, а также вычисление первого члена этой спектральной последовательности и описание экшшариантных векторных расслоений с киазн-свободным действием.
Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
Получено описание экшшариантных конечномерных векторных расслоений с квази-евободным действием дискретной группы в терминах классифицирующих пространств группы п ее подгрупп и линейных представлений конечных подгрупп.
Получена спектральная последовательность для бордизмов многообразий с квазн-свободным действием дискретной группы но фильтрации, заданной структурой множеств неподвижных точек различного ранга.
Получено описание первого члена указанной спектральной последовательности.
Методы исследования.
В данной работе применяются методы алгебраической топологии (спектральные последовательности, теория экшшариантных бордизмов, классифицирующие пространства) и топологии многообразий.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к эквивариаптной алгебраической топологии и могут применяться при исследовании многообразий с: квази-свободным действием бесконечных групп.
Апробация диссертации.
Результаты диссертации докладывались:
На научно-исследовательском семинаре семинаре "Некоммутативная геометрия и топология" механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. А. С. Мищенко, в 2009 г.
На международной конференции "С*-алгсбры и эллиптическая теория III" (Бедлево, Польша, 26-31 января 2009 г.).
На семинаре по топологии Института Математики Национального Автономного Университета Мексики под руководством преподавателя-ученого Хосе Луиса Сиснсроса Молины в 2009 г.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведи' в конце автореферата [1-3].
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 89 страницах. Список литературы содержит 24 наименования.
