Содержание к диссертации
Введение
1 Необходимые сведения. 15
1.1 Связность Эресмана слоения 15
1.2 Поля алгебр 18
1.3 К -теория С*-алгебр 20
1.4 Счетные отношения эквивалентности 23
1.5 Классификация отношений эквивалентности и разложение пространств 24
1.6 Почти-периодические функции 26
1.7 Группоиды 26
1.8 Мера Хаара 29
1.9 Группоид гомотопических классов слоевых путей 30
1.10 Теорема Каца 30
1.11 Связь с теорией динамических систем 31
2 Структура многообразия М со слоением, порожденным ло кально свободным действием коммутативной группы Ли Н и связностью Эресмана. 33
2.1 Существование связности Эресмана, инвариантной относительно действия коммутативной группы, порождающей слоение 33
2.2 Основная теорема существования 35
2.2.1 Основные предположения 35
2.2.2 Стационарная подгруппа трансверсали 36
2.2.3 Я-дополнительная трансверсаль и связность Эресмана 36
2.2.4 Условия существования Н-дополнительной трансверсали 38
2.3 Существование Я-дополнительной трансверсали при условии существования компактной трансверсали 46
2.3.1 Свойства множества переносов 48
2.3.2 Существование инвариантной трансверсали, если группа переносов кристаллографическая 52
2.4 Существование связности Эресмана при условии существования некомпактной трансверсали Р 59
2.4.1 Построение компактной трансверсали 59
2.5 Структура аффинного пространства на множестве Н -дополнительных трансверсалей 63
2.6 Структура алгебры C(G) 66
3 Стабилизация группы Ко фильтрации алгебры C*(G(M)). 72
3.1 Алгебра измеримых функций, ассоциированная с парой слоев. 72
3.2 Алгебра функций C*{G) на G(M) 76
3.2.1 Определение пространства C*{G) 77
3.2.2 Отношение эквивалентности на группоиде G и определяемые им подалгебры алгебры C*(G) 78
3.3 Фильтрация C*(G) 79
3.4 Теорема о стабилизации Ко -групп Cgr(G) 86
4 Структура алгебры функций Со(М) \i. 88
4.1 Структура алгебры CQ(M)\L для слоений, удовлетворяющих условию 1 89
4.2 Структура алгебры CQ(M)\L для слоений, удовлетворяющих условию II 92
4.2.1 Метрики, инвариантные относительно диффеоморфизма 92
4.2.2 Структура C0(M)\L 97
4.3 Структура алгебры CO{M)\L для слоений, удовлетворяющих условию III 98
4.4 Общий случай 101
4.5 Семейство операторов типа Шредингера 105
4.5.1 Оператор типа Шредингера на универсальной накрывающей слоя 105
4.5.2 Оператор типа Шредингера на слое 107
Выводы
- Поля алгебр
- Основная теорема существования
- Структура аффинного пространства на множестве Н -дополнительных трансверсалей
- Структура алгебры CQ(M)\L для слоений, удовлетворяющих условию II
Введение к работе
В диссертации изучаются слоения, порожденные локально свободными действиями коммутативных групп Ли. Находятся условия, при которых такие слоения допускают связность Эресмана и адаптированную к ней трансвер-саль. Изучаются алгебры функций на группоиде слоения, порожденного локально свободным действием коммутативной группы Ли и допускающего связность Эресмана.
Актуальность.
Слоение, порожденное действием коммутативной группы, является естественным обобщением динамической системы. Основы качественной теории динамических систем заложены в работах А. Пуанкаре, ряд фундаментальных результатов в этой области был получен выдающимися советскими математиками А.Н.Колмогоровым, В.И.Арнольдом [2], Д.В.Аносовом [33]. Выдающиеся результаты в теории слоений были получены СП. Новиковым [18] и М.Л.Громовым [8].
К настоящему времени опубликован ряд монографий, посвященных общей теории слоений, например. [48, 25].
Одним из мощных инстументов исследования динамических систем является применение методов фукционального анализа. А. Конн развил новый подход к построению инвариантов слоения на основе изучения С -алгебр функций на группоидах [40] слоений с использованием топологической К -теории [16]. В связи с исследованием топологических свойств многообразий со слоениями нельзя не упомянуть монографию К.К. Мур и К.Шоке [49]. Ж.Рено, Ф.Каде [38] применяли эти методы, например, для решения задачи квантования скобки Пуассона на многообразии.
Слоения со связностями Эресмана были введены в работах Р. А. Блюмен-таля и Дж.Дж. Хебды [35]. Они подробно исследовались в работах Я.Л. Шапиро, Н.И.Жуковой [30, 31, 29], Р. Волака [53]. Отметим, что понятие связности Эресмана является обобщением структуры двуслоения, введенной Я.Л. Шапиро. Отметим, что несмотря на усилия многих ученых, вопрос о существовании связности Эресмана на слоении еще не полностью исследован. Например, для исследования существования связности Эресмана применялись тотально геодезические слоения [39, 45]. Существуют достаточно эффективные критерии существования связности Эресмана для слоений. Все они накладывают дополнительные требования на многообразие со слоением. Например, существование симплектической структуры и метрики с определенными свойствами, существование исчезающих циклов, отсутствие компонент Риба (в особенности на многообразиях размерности 3), отсутствие так называемых предельных циклов [5], наличие римановой метрики на многообразии и условия ограниченности длин стороны прямоугольников, построенных с помощью этой метрики. В настоящей работе эта проблема рассматривается для слоений, порожденных локально свободным действием коммутативной группы.
Цель работы. Исследование структуры многообразий со слоениями, порожденными действием коммутативной группы Ли и связностью Эресмана, а также алгебр функций, ассоциированных с группоидами слоений.
Методика исследования. В работе использовались методы теории слоений, дифференциальной топологии, функционального анализа, эрго-дической теории.
Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце Введения.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе LaTeX и содержит 114 страниц. Список литературы насчитывает 54 названия.
На защиту выносятся следующие результаты.
1. Для многообразия со слоением коразмерности 1, порожденным локально свободным действием группы Шп, в терминах действия этой группы найдены необходимые и достаточные условия существования связности Эресмана.
2. Построена почти всюду непрерывная биекция многообразия М со слоением F, порожденным действием коммутативной группы Ли Я, и связностью Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы, на произведение Я-дополнительной трансверсали Р и фактора Н по инвариантной подгруппе Нр = {h Є H\hp Є Р}.
3. Для алгебры скрещенного произведения C {G) на группоиде слоения построена фильтрация, сходящаяся к C (G); доказана стабилизация группы Ко алгебр из фильтрации.
4. Построено вложение алгебры функций CQ(M)\L, полученных ограничением непрерывных функций, обращающихся в 0 на бесконечности, на слой слоения, в CQ(L)XY[C([0, 1]). Выяснено, как свойства этого вложения зависят от структуры множества точек пересечения слоя и трансверсали.
Поля алгебр
Все определения параграфа взяты из [9]. Поля алгебр естественно появляются на группоидах многообразий со слоениями, например в [49]. Определение 7. Инволютивной нормированной алгеброй называется нормированная алгебра А, снабженная такой инволюцией х — х , что \\х \\ = \\х\\ для каждого х Є А. Если, кроме того, А полна по норме , то А называется инволютивной банаховой алгеброй. Определение 8. С -алгеброй называется такая инволютивная банахова алгебра А, что \\х\\2 — \\х х\\ для любого х Є А. Определение 9. С -алгебра А называется элементарной, если существует такое гильбертово пространство Н, что А изоморфна алгебре компактных операторов ВС(Н). Определение 10. Аппроксимативной единицей нормированной алгебры А называется семейство (Щ)ІЄІ элементов А, индексированное возрастающим семейством индексов и обладающее свойствами: Определение 11. Линейная форма f на инволютивной алгебре А называется положительной, если для любого х Є А имеем f(x x) 0. Если А — инволютивная нормированная алгебра, то состоянием на А называется положительная непрерывная линейная форма f на А с / = 1. Непрерывная положительная форма f называется чистой, если,/ 0 и все положительные непрерывные формы на А, мажорируемые f, имеют вид А/ (0 А 1). Пусть Т — топологическое пространство. Непрерывное поле Е банаховых пространств на Т — это семейство (E(t))t T банаховых пространств, снабженное таким множеством Г С ГГ- ОО векторных полей, 1) Г — комплексное векторное подпространство в Yl E{t); 2) для каждого t Є Т множество x(t), где х Є Г, всюду плотно в E(t); 3) для каждого а; Є Г функция t —» JC() непрерывна; 4) Пусть х Є П E(t) — векторное поле; если для каждого t Є Т и каж- teT дого є 0 существует такой ж Є Г, что \\x(t) — xf(t)\\ є в окрестности Непрерывное поле С -алгебр на Г — это непрерывное поле (A(t), Г) банаховых пространств на Т, где каждое A(t) снабжено умножением и инволюцией, превращающими его в С -алгебру, и Г инвариантно относительно умножения и инволюции. Теорема 2. [9] Пусть А — инволютивная алгебра, Н — гильбертово пространство, -тг — представление А в Н. Следующие условия эквивалентны: 1) единственными замкнутыми векторными подпространствами Н, инвариантными относительно 7г(Л), являются 0 и Н; 2) коммутант 7г(А) в В(Н) сводится к скалярам.
Определение 12. Пусть А — инволютивная алгебра, Л — гильбертово пространство, к — представление А в Н. Говорят, что ТТ топологически неприводимо, если Н ф О и 7Г удовлетворяет одному из условий 1) или 2) предыдущей теоремы. 1.3 К -теория С -алгебр. Наиболее полное изложение этой темы.можно найти в [16]. Определение 13. Пусть А — С -алгебра. Проекторы р, q Є Р[А] = {J {р G Gl(n, А)\р — ортопроектор} назовем стабильно эквивалентны- ми, если существуют такие п Є N и и Є Gl(n-\-1,А)), что р = ии и q = и и. Обозначим через Ко(А)+ мнооюество таких классов эквивалентности. Пусть А — С -алгебра, допускающая аппроксимативную единицу. Теорема 3. [9] Пусть R — мнооюество представлений алгебры A, R — мнооюество топологически неприводимых представлений алгебры А, В — мнооюество непрерывных положительных форм на А с нормой 1, Р — мнооюество чистых состояний алгебры А. Для любого х Є А имеем Эта теорема позволяет ввести определение, необходимое для рассмотрения пределов С -алгебр. Пусть / — множество таких х Є А, что ж = 0. Это замкнутый самосопряженный двусторонний идеал в А. Отображение х — ж определяет при переходе к фактору норму на A/I. Снабженная этой нормой А/1 удовлетворяет всем аксиомам С -алгебры кроме, может быть, аксиомы полноты. Определение 14. Пополнение В инволютивной нормированной алгебры А/1 есть С -алгебра, называемая обертывающей С -алгеброй алгебры А. Пусть N — коммутативная полугруппа с сокращением, содержащая нулевой элемент. Зададим на N х N отношение эквивалентности, положив (х, у) (г, t) если х + t = у + z. Множество классов эквивалентности G(N) есть коммутативная группа относительно операции +: Определение 15. G(N) называется группой Гротендика полугруппы N. Через Ко(А) обозначается группа Гротендика полугруппы KQ(A)+ . Если ф : А — В есть -гомоморфизм, то он индуцирует гомоморфизм ф : Ко(А) - Ко(В). Определение 16. Пусть (An)%Li —последовательность С -алгебр, такая что для каждого п задан -гомоморфизм фп : Ап — An+i. Тогда (л4п, $„)?_! называется прямой последовательностью С -алгебр. Пусть {Ak)kLi — прямая последовательность С -алгебр. Произведение J"! Ак является -алгеброй с покоординатными алгебраическими ОПераЦИ-ЯМИ. Пусть A — множество всех элементов (at) из Yi А\., таких что суще- fc=i ствует целое число N, для которого ak+i = Фк{&к) при всех к N. Тогда А является -подалгеброй в []4 k=i Положим р(а) = lim ajt. Можно показать, что есть С -полунорма на А . Определение 17. Прямой предел последовательности (Ап,фп) =і есть обертывающая С -алгебра пары (А ,р), обозначим ее через А. Определение 18. Пусть X,Y — топологические пространства.
Два отображения f,g:X— Y называются гомотопными, если существует такое непрерывное отображение ф : [0,1] х X —- Если мы предположим, что X, Y — -алгебры, f,g — -гомоморфизмы алгебр, то если ф(Ь, ) есть -гомоморфизм для каждого t Є [0,1], то f и g называются гомотопными -гомоморфизмами С -алгебр. Теорема 4. [16] Пусть ф,ф : А —» В — гомотопные -гомоморфизмы между С -алгебрами А и Теорема 5. [16] Пусть А= lim Ап — прямой предел последовательно- сти С -алгебр (Ап, фп)=\, и пусть G = lim Gn есть прямой предел последовательности абелевых групп (ifo(Ai)j0n )n =i Обозначим через фп : Ап — А и тп : Ко(Ап) — G естественные отображения. Тогда существует единственный изоморфизм г : G — Ко(А), такой что для каждого п диаграмма Ко(А) коммутативна. Все определения параграфа взяты из [42]. Определение 19. [42] Пусть X — некоторое множество, a R С X х X — отношение эквивалентности. Обозначим в(х, у) = (у, х) для (х,у) Є X х X. Рассмотрим для х Є X R(x) = {у\(х,у) Є R} — класс эквивалентности х и для А С X R(A) = \J{R(x)\x Є А} — насыщение А. Назовем отношение R счетным (конечным) если R(x) счетно (конечно ) для каждого х Є X. Определим также проекции щ(х,у) — х и irr(x,y) = у для (х,у) Є R. Пусть X — стандартное борелевское пространство (пространство с мерой /І ; у которого а -алгебра измеримых множеств В порождена семейством открытых множеств ). Назовем R стандартным, если R — борелевское подмножество X х X, то есть R Є В х В. Тогда из А Є В следует R(A) Є В. Если \х — такая а -конечная мера на (X, В), что ц(А) = 0 влечет fi(R(A)) = 0 то \L называется квазиинвариантной мерой для R, a R называется неособым по отношению к її. Подобные отношения эквивалентности индуцированы на трансверсали iV многообразия М со слоением F следующим образом: для любых х, у Є N, х у тогда и только тогда, когда х и у лежат на одном листе слоения F. Теорема 6. [42] (a) Для любого С Є С = (Вх В)\л, функция х ь-» \щ1(х) [)С\ борелев- ская и мера а -конечна; она называется левой считающей мерой \L . (b) Множества щ -нулевой меры суть те и только те С Є С, для которых верно fi(7Ti(C)) = 0. (c) Правая считающая мера vT меры \i, определенная аналогично, удовлетворяет тождеству vT = щ о в, кроме того vr щ . Поскольку vr щ, по теореме Радона-Никодима существует такая функция D : R —» R, что для каждого С Є С имеем щ (С) = J Ddur. Определение 20. Производная Радона-Никодима меры fi по отношению эквивалентности R есть борелевская функция D(x,y) = = dv\jdvr{x,y) на R. Она единственна с точностью до множеств щ, vr -меры пуль, и мы говорим, что ц инвариантна, если D = 1 почти всюду. Мера ц называется квазиинвариантной если D ф О почти всюду. Теорема 7. [42] Существует такое множество N [і -нулевой меры, что для у . N и х у z, имеем (ж, y)D(y, z) = D(x, z) Таким образом, D есть 1-коцикл со значениями в группе (R+, ) и для /л // имеем D (x,y) = g{x) 1D(x,y)g(y) для g G B(R+) борелевской, то есть D и D когомологичны. Отсюда следует, что /І есть инвариантная мера если и только если /І когомологична 1.
Основная теорема существования
Рассмотрим многообразие М со слоением F, образованным орбитами локально свободного действия п -мерной коммутативной группы Ли Н: L : G х М - M L : (g,p) - Lg(p)=pg. Пусть р : Н — Н — универсальное накрытие. Действие L индуцирует локально свободное действие L универсальной накрывающей Н\ др — р(д)р, причем орбиты этих действий совпадают. Поэтому, в дальнейшем будем предполагать, что Н односвязна, то есть Н = W1 [36]. В этом параграфе на слоение F накладываются дополнительные условия: 1) codimF = 1. 2) Существует замкнутая трансверсаль Р С М слоения F (определение трансверсали см. в [48]). Так как слои слоения F суть орбиты действия группы Ли Я, для любой трансверсали Р слоения F и каждого элемента h Є Я, подмногообразие hP есть снова трансверсаль. Таким образом, действие группы Я порождает семейство трансверсалей {hP}heH к данному слоению F. Пусть Р — некоторая трансверсаль слоения F (она существует по предположению 2 из 2.2.1.) Для каждого х Є Р положим Лемма 1. Следующие условия эквивалентны: і) Р есть Я-дополнительная к F трансверсаль; г, іі) существует такая подгруппа Щ группы Я, что Щ = Нх для всех Доказательство, і) =Ф- іі) Покажем, что для любых х,у Є Р верно равенство НХ = НУ, Действительно, по определению Я-дополнительной трансверсали, если h Нх, то hP = Р, и тогда h Є Ну. Теперь осталось положить Но = НХо для некоторой XQ Є Р. Из іі) следует, что если h лежит в НХо для некоторого XQ Є Р, TO hP С Р. Действительно, в этом случае, в силу предположения ii), h лежит в Нх для любого х Є Я. Пусть /JP П Р т 0 Ї тогда существует 2 такой, что hxq — у о Є Р. В силу вышесказанного, отсюда следует, что /іР С Р и h lP С Р, поэтому выполняется hP = Р. Таким образом, і) доказано. D 2.2.3 Я-дополнительная трансверсаль и связность Эресмана Пусть слоение F допускает Я-дополнительную трансверсаль Р. Определим одномерное распределение Е на М следующим образом. Так как трансверсаль Р пересекает все слои слоения F (орбиты действия Я), для любой х Є М существуют р Є Р и h Є Я такие, что х = hp. Положим Покажем, что это определение корректно. Пусть х = hp = Ыр , где Д, Ы Є Ht р,р Є Р. Тогда р — {h!) lhp, откуда в силу определения Я-дополнительной трансверсали, следует, что {h!) lhP = Р. Отсюда следует равенство d({h )-lh)v(TpP) = ТР Р, поэтому dh p,{Tp P) = dhp(TpP).
Докажем, что распределение Е дифференцируемо. Прежде всего, в силу того, что группа Я действует локально свободно, для любой точки ро Є Р существует окрестность V(po) в Р и окрестность W(0) в Я такие, что отображение a : V(po) х W(0) — U(po), (р, h) — hp, где U(po) — окрестность ро в M, есть диффеоморфизм. Ясно, что а переводит дифференцируемое распределение TpV(po) на V(po) х W(0) в ограничение распределения Е на U(po). Поэтому распределение Е дифференцируемо в окрестности каждой р Є Р. Далее, так как по построению распределение Е является Я-инвариантным, Е дифференцируемо во всех точках М. Из построения распределения Е ясно, что оно касается подмногообразий hP. Таким образом, семейство подмногообразий {hP} является одномерным слоением на М. Теорема 15. Распределение Е есть связность Эресмана на М. Доказательство. Из построения распределения Е следует, что Е дополнительно к распределению TF. Проверим, что для каждой горизонтальной кривой а и вертикальной кривой т найдется прямоугольник для которого сгит суть начальные кривые (см. Определение [35]). Пусть П : [0,1] х [0,1] — М — прямоугольник. Тогда в силу Н-инвариантности распределения Е, для любого h Є Я отображение hU : [0,1] х [0,1] — М тоже есть прямоугольник. Далее, для любой точки р Є М существует h Я такой, что hp лежит в Р, причем сдвиг на h переводит любую горизонтальную (вертикальную) кривую с началом в р в горизонтальную (вертикальную) кривую с началом в hp. Поэтому, для доказательства того, что Е есть связность Эресмана достаточно доказать, что для любых вертикальной кривой а и горизонтальной кривой г таких, что сг(0) = т(0) = ро Є Р существует прямоугольник П, для которого а и г суть начальные кривые. Так как отображение ф : Я — LQ, h — /іро, есть универсальное накрытие (см. [26]), получаем, что существует единственная кривая /i: [0,1] — Я такая, что h(0) = О Є Я и т() = h(t)pQ. Положим, Ясно, что П есть прямоугольник и утверждение доказано. 2.2.4 Условия существования Я-дополнительной трансверсали Предлолсение 1. Отображение R : Р х Я — М, R{h,p) = рД, есть локальный диффеоморфизм. Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что для лю бых h Є Я, р Є М дифференциал сШ : T h){P х Я — Т М есть изоморфизм. Рассмотрим диффеоморфизмы: Ясно, что следующая диаграмма коммутативна: есть изоморфизм. Из определения R непосредственно следует, что имеет место коммутативная диаграмма где L(p) — слой слоения, проходящий через р, а вертикальные стрелки суть изоморфизмы. При этом линейный оператор А обладает следующими свойствами: Так как Н действует на М локально свободно, отображение д(#) — ТРМ, а — сг(а) есть мономорфизм. Тогда, по соображениям размерности А — изоморфизм. Следовательно, йЩр,е) тоже есть изоморфизм. Следствие 1.1. В = R l(P) есть подмногообразие Р х Н размерности равной размерности Р. Доказательство. Отображение R : Р х Н — М есть локальный диф феоморфизм, следовательно трансверсально R любому подмногообразию в М. Отсюда следует, что прообраз подмногообразия есть подмногообра зия (см. Теорему 3.2 Главы 1 из [28]). D Каноническое накрытие Для многообразия В определены два гладких отображения 7Го,7Гі : В — Р, 7г0(р,/і)=р, 7Ti(p,h)=ph.
Предложение 2. 7Го : В —» Р есть локальный диффеоморфизм. Доказательство. Достаточно доказать, что есть изоморфизм. Локальный диффеоморфизм R переводит Н в слой, который трансвер-сален Р, следовательно В трансверсально Н в точке (р, К) Є В. Поэтому, Следовательно, кег 7Го = {0}, и требуемое утверждение следует из сооб ражений размерности. Условия существования Я-дополнительной трансверсали на двумерном многообразии Наша цель — найти условия, при которых данная трансверсаль гомотопна Н-дополнительной. Теорема 16. Пусть (М, F) — двумерное многообразие со слоением, порожденным локально свободным действием коммутативной группы Ли Н = Ж. Пусть существует тотальная связная замкнутая трансверсаль Р, для которой щ : В — Р — глобально тривиальное накрытие. Тогда Р гомотопна Н -дополнительной к слоению F. Доказательство. Возьмем точку х Є Р. Покажем, что Нх = Z. a) По условию 7Го : В — В — накрытие, следовательно его слой KQ1(X) = {(х, К) h Є Нх} дискретен в В. Следовательно, это множество дискретно и в {х} х Н. Таким образом, Нх — дискретно в Н = Ш. b) Докажем, что Нх бесконечна. Рассмотрим х, h Є Нх. Пусть у : Так как 7Го : В —- Р глобально тривиально, и J% = {(х, 0) х Р} есть связная компонента В, получаем, что h! Q. Будем считать, что h! 0, тогда h\ h. Возьмем /її = Л. + /г , тогда /її Є Ях. Таким же образом, построим h" Є HhxX и /i2 = /її + /і" Є Нх по точке /їж и /її. Так как точки (ж, /і), (/їж, /і ), (/ііж, /і") лежат в одной компоненте связности В отличной от Во, то h" 0 и /і2 /її. Продолжая этот процесс, получим монотонно возрастающую последовательность элементов Нх. Следовательно, Нх — бесконечное множество. c) Докажем, что Нх не имеет ни максимума , ни минимума. Для этого отметим, что на Нх С R определен естественный порядок. Предположим, что для х Є Р существует минимальный элемент hmin. Пусть hmin = 0. Возьмем h 0 из Нх. Тогда —h Є Hhx- Возьмем 7 : [0,1] — Р, 7(0) — Лж, 7(1) — х Пусть 7 : [0,1] — В есть лифт 7, 7(0) = (hx,— /і), 7(1) = (x,h ). Тогда /і 0, так как компонента связности В, содержащая j не пересекает Во. Так как по построению h Є Нх, получаем противоречие с минимальностью hmin = О. Пусть теперь hmin 0. Аналогично пункту Ь) построим последовательность hk Є Нх по точке х и элементу hm{n Тогда эта последовательность монотонно убывает, что противоречит минимальности hmin. d) Построим диффеоморфизм / o:PxR— РхМ, ф(В) = Р х \J {г}. fez Из а)-с) следует, что В С Р х R состоит из дизъюнктного объединения графиков функций /г-, г GZ. Построим отображение Фі : Р х R — Р х 5 (#32/) _ (хіФі(х,у)) Для каждого фиксированного х Є Р фі(х,-) -диффеоморфизм М, удовлетворяющий следующим условиям: Тогда Фі((#, /і(ж)) = (ж, 1), Фі((я, f-i(x)) = (х, — 1)
Структура аффинного пространства на множестве Н -дополнительных трансверсалей
В этом параграфе мы вводим структуру аффинного пространства на множестве Л"-дополнительных трансверсалей. Это свойство аналогично соответствующему свойству пространства линейных связностей. Рассмотрим связную трансверсаль Р С М слоения F на М коразмерности 1, порожденного локально свободным действием коммутативной группы Н. Обозначим Нр = {h Є Н\ для каждого х Є P,hx б Р}. Лемма 3. Для любых ho,hi Є Нр, ho h\ не существует пути, лежащего в Нр, соединяющего ho с Доказательство. Пусть наоборот, существует 7 : [0,1] —+ Н, yfO, 1] Є Н. Тогда для произвольного х Є Р, (7[0, 1])# С Р. То есть Р не трансверсаль размерности 1. Полученное противоречие доказывает утверждение. Предложение 11. Если Р Н -дополнительна к слоению F, то для каждой х Є М группа изотропии Доказательство. Утверждение следует из того, что для любого h Є Нх и любого х Є Р hPf]P3 {х} влечет, что hP f] Р = Р по определению Я-дополнительной к слоению F трансверсали. То есть, h Є Нр. Рассмотрим теперь множество Г трансверсалей на М, Н -дополнительных к слоению F с группами изотропии Н1, 7 Є Г. Каждая из этих трансверсалей задает связность Эресмана. Пусть j,7 Є Г. Определим отображение /i: R — Н, /1( )7( ) = 7 (. ) Для этого рассмотрим слой /у С М и точки ж Є 7» х 7;J z,x Є L. Тогда существует h Є Н xh = х . Определим отображение Д : Ж —» Л" следующим образом. Положим /г(0) = /І . Далее, заметим, что в некоторой окрестности кривой /[0,1}х I : [0,1] — Н, /(0) = е, Z(l) = /і определен перенос этой кривой вдоль трансверсалей 7 и 7 (см- условие ( ) в начале параграфа). Достаточно показать, что это отображение продолжимо на трансверсали целиком. Возможные варианты: 1) На обеих трансверсалях концы переносимого отрезка имеют предельные точки Х\,Х2- Пусть х\, Х2 лежат на одном и том же слое L. Тогда либо существует lim h{t), либо нет. В первом случае положим h{x{) := lim h(t) и продолжим по алгоритму, описанному выше. Пусть теперь h(t) неогра-ничена при t — х\. В силу полноты трансверсали существует х1 Є 7 П рассмотрим Satft/fzj). Найдется такой t Є U (xi), что (t) = h(t)x" для некоторого х" Є (#і), следовательно, Х\ = /i(t)a;1, что противоречит предположению, так как в окрестности особого слоя можно перевести одну трансверсаль в другую с помощью непрерывной ограниченной функции. Пусть теперь 1, 2 лежат на разных слоях. Тогда, в силу того, что каждая из рассмотренных трансверсалей полна, найдется интервал, пересекающий и слой, проходящий через предельную точку другой трансверсали, и остальные слои рядом, то есть трансверсали не Я -дополнительны к слоению F. 2) На обеих трансверсалях предельных точек нет. Алгоритм окончен.
Отображение h корректно определено. 3) Последняя нетривиальная ситуация — на одной трансверсали есть предельная точка х, а на второй - нет. Рассмотрим Sat((cc — є, х 4- є)). Поскольку вторая трансверсаль по условию полна, имеем у Є 7 П Ьх Рассмотрим Бак(у—є, у+є). Поскольку на j нет предельных точек 7 бесконечно близко приближается к слою Lx пересекая при этом все соседние слои, теперь рассмотрев слой из Sat(?/ — є,у + є), получаем противоречие с Я-дополнительностью к слоению Заметим, что для фиксированного 5 Є [0,1], sh(t) (t) Є Г. Зафиксируем некоторую трансверсаль 7о Є Г, тогда для каждой пары 7 і Г можно определить 7+7 Є Г. Зафиксируем некоторую точку х Є 7о, тогда существуют однозначно определенные отображения /г, Ь! : Е —» Я, (t) = M )7o(i), YW = hf(t)4o(t) и рассмотрим (7 + У)№ = (МО + Л ММО Группой изотропии последней трансверсали будет ЩНу. Таким образом можно определить сложение двух трансверсалей вдоль пути, соединяющего их. Подобную операцию можно определить и для связностей Эресмана, порожденных трансверсалями. Итак, пусть V, V —- две связности Эресмана, Я-дополнительные к слоению F. Зафиксируем XQ М. Рассмотрим трансверсали Р и Р горизонтальные относительно связностей V и V, соответственно и проходящие через XQ . Построим Р" Р + Р вдоль нулевого пути 7([0) 1]) = хо- Таким образом, верна Теорема 20. Пусть слоение коразмерности 1 на многообразии М порождено действием коммутативной группы Ли. Пусть еще множество Я -дополнительных к слоению F трансверсалей не пусто. Тогда на множестве инвариантных связностей Эресмана можно ввести структуру аффинного пространства. Пример 20. Обмотка тора Т2. Пусть слои слоения F — меридианы. Рассмотрим подмножество Г множества всех трансверсалей Г Э Г = 1, здесь отображение Г —+ Ш задано отношением -у і— а, где (а, 1) есть вектор, задающий трансверсальную обмотку j. То есть, группа всех Н-дополнительных к слоению F трансверсалей на торе естественно содержит (К, +) в качестве подгруппы. То есть каждая трансверсаль к слоению пересекает каждый слой под одним и тем же углом относительно естественной метрики на Т2. Естественно, соответствующие углы складываются, при этом естественные ограничения на значения этих углов и обеспечивают изоморфизм соответствующей группы (R, +). Пусть М — п-мерное многообразие со слоением, порожденным локально свободным действием коммутативной группы Н. Предположим, что на М задана связность Эресмана, инвариантная относительно действия Н (dimЯ = р). Пусть Р(хо) — множество точек, которые могут быть соединены с выделенной точкой XQ Є М горизонтальной кривой.
Для любой точки х М обозначим через Нх стационарную подгруппу этой точки. Теорема 21. Предположим, что существует такая точка Хо Є М, что 1) Р(хо) - связное подмногообразие М размерности, равной коразмерности слоения. 2) Слой S, проходящий через точку XQ, пересекает Р(хо) только в Пусть S есть связное подмножество в Н такое, что существует универсальное накрытие р : Н — S, со свойствами: р(е) = хо, p\s : S —+ S есть биекция и p\s S — S есть гомеоморфизм, здесь Л — внутренность множества А. Тогда существует почти всюду непрерывная биекция ф Доказательство. Для простоты обозначим Р(хо) через Р. Возьмем XQ Є S. Покажем, что для любой точки у Є Р Ну С НХо. Пусть h Є Ну, тогда так как S П Р = {XQ} , и h переводит горизонтальные кривые в горизонтальные кривые, то h переводит горизонтальную кривую, соединяющую у и XQ В горизонтальную кривую, соединяющую у с hxo. Так как уЄР, hxQ Є Р то в силу 2) hxo = XQ , и h лежит в группе НХй. Определим проекции 7Гр : М — Р, ns : М — S следующим образом. Пусть х Є М. Рассмотрим некоторую кривую, соединяющую Хо ш х. Она определяет прямоугольник, нижняя сторона которого есть горизонтальная кривая на Р с конечной точкой у, а левая сторона есть кривая на S (Глава I, 1.1). Зафиксируем гомеоморфизм между пространством гомотопических классов путей в S, начинающихся в точке XQ Є S, которое является универсальной накрывающей S [26] и группой Н. Тогда левая сторона данного прямоугольника определяет точку s Є Н, и существует единственное s Є S: s = s ho, где ho Є HXo. Положим 7Гр(х) = ho ly, 7Ts(x) — s . Заметим, что ho переводит Р в Р, так как XQ неподвижна при действии ho Є НХо и в силу инвариантности связности Эресмана, горизонтальные кривые переходят в горизонтальные кривые. Пусть даны две кривые 7ь 72 : [0,1] —» М, 7i(0) — 72(0) = XQ, 7I(1) = 72(1) — х. Они определяют прямоугольники с нижними сторонами 9i{t) и pfW» tff» : [0,1] - Р и левыми сторонами f(t)ar0 и р( )ж0, где pf,pf : [0,1] -» Я, причем pf(0) = р(0) = ж0, sf(0) = pf(0) = є, где є — единица Н, #f(l) = yi, #f(l) — 2/2- В силу единственности прямоугольника с начальными вертикальной и горизонтальной сторонами верхние стороны прямоугольников есть, соответственно g[(t) = gi(t)gi(l) и 02 W — РІГМРІМ И имеем Рі(1) — й(1) = ж- Получаем горизонтальную кривую с началом #і(0) и концом в (0) » лежащими в S. Применив (gf(l))"""1, получим горизонтальную кривую, начинающуюся в точке XQ И заканчивающуюся в некоторой точке х\ Є 5. В силу 3) х\ = хо, следовательно, д[{0) = й(0). Поэтому pf(l)i0 = /f(l)pf(0) = (0) = д 2{0) = 02 (1) 0) = рКЧ о, НО тогда (1) 1(1) - элемент НХо. То есть ух = Pf (1) = (l) f(l)-1 = f(l)"1 = АО-ШГ1 = (1) (1) (1)-1 = y2gi(l)gf(І)""1, то есть yigf(l) = ifepf (1) Таким образом, 7гР и тг5 не зависят от выбора кривой 7 и мы получили отображение ф : М — ф{х) = {ітр(х), 7Ts(x)).
Структура алгебры CQ(M)\L для слоений, удовлетворяющих условию II
Доказательство. Заметим, что для любого п Є Ъ и каждой точки х Є Р fn(x) ф х, иначе существует такая точка х Є Р, что множество {fn(x)\n є N} конечно, поэтому оно не может быть плотно в многообразии положительной размерности. Теперь для компактного многообразия Р определим следующую форму как искомую метрику р здесь р есть некоторая несингулярная (топология, индуцированная этой метрикой эквивалентна исходной топологии на Р) метрика на Р. Обратимся к аксиомам метрики. Докажем сначала, что р(х, у) 0 х ф у Є Р. Пусть это неверно. Тогда существует такое подмножество J плотности О множества N (то есть lim \Jf][0,N]\/N — 0), что последовательность Р существует такая точка z Є Р, что f nk {x)1f lk\y) — z, что противоречит второму условию предложения. В этом случае в окрестности Z существуют последовательности точек f(Uk\x) и f(nk\y), для которых p(f(nk}(x),f{nk4y)) -+ 0, но p(f(-nk\f(nkKx)),f( nk)(f(nh)(y))) = const. Остальные аксиомы следуют из построения р . Докажем, что метрика, определенная выше эквивалентна начальной метрике. Пусть наоборот, существуют такие є 0 и точка х Є Р, что для всех а 0 существует у Є Р р (х, у) о р{х, у) є. Тогда опять существует последовательность, состоящая из таких пар точек fnk(x),fUk(y), что p {fUk{x)i fnk{y)) є. В случае если а достаточно мало и є/а 8 мы снова получаем противоречие с условием 2. Аналогичные построения показывают, что уп — р х влечет уп — у х. Опять допустим противное, то есть существование последовательности уп — р х но уп /у х. Из первой сходимости следует, что для каждого є О существуют п(є),1(є) Є N такие , что- p (fk(уn),fk(x)) є выполнено для всех п п(е) и к \к\ 1(e), плотности 1. Тогда опять по третьему условию pf(yn, х) = р (Гк о fk(yn)J-k о fk(x)) Dp (fk(yn)Jk(x)) + о(є) = о(є), противо-речие. Пусть теперь Р некомпактно и множество образов fn(p) плотно в Р, тогда любые две точки из А = (Р/ ) неотделимы, здесь х у если существует h Є Нр, х = hy. Построим инвариантную метрику на Р следующим образом: Пусть р — некоторая фиксированная метрика на Р. Рассмотрим окрестность Ue{x) произвольно фиксированной точки х Є Р. Определим метрику внутри U(x) следующим образом: на всюду плотном множестве {fn(x)\n Є Z} положим fn+k(x),fn(x) Є U{x) p(fn+k(x)Jn(x)) = sup{p(r+k+l(x)Jn+l(x))\fn+k x),r+l(x) Є иф)}. Поскольку множество fn(p) плотно, существует I С N — счетное множество, такое что fn(Ue(x)) определяет локально конечный атлас на Р, то есть каждое компактное подмножество К С Р можно покрыть конечным числом множеств вида fn(UE(x)), п Є /.
Определим метрику на fn(U(x)) как образ метрики на U(x) при действии /n. Склеим метрику на образах U(x) как в предыдущем предложении в случае, когда Р/Нр есть отделимое пространство. То есть, мы рассматриваем систему множеств U(x), fnx(U(x)) \ U{x), ..., щ Є I. Устремим далее є —» 0 и рассмотрим предельную метрику pi. Отметим, что по определению ф pi р рєі для О є є . То есть, предельная метрика может, вообще говоря, определять антидискретную топологию на Р. Таким образом, определение корректно. Эквивалентность метрики, построенной выше и первоначальной снова есть следствие условия 2) и алгоритма построения поскольку у —» х 5д{х,у) рі(х,у) Ад(х,у). Отметим, что вторая конструкция инвариантной метрики подходит и для компактного случая. Замечание 10. Отметим еще, что если все точки имеют одну и ту же группу изотропии и существует инвариантная метрика, то можно показать плотность множества образов любой точки у Є Р при действии / в случае, если найдется хотя бы одна точка х Є Р с таким свойством. Итак, пусть наоборот, существует такая точка у Є Р, что множество fn(y), п Є Z не всюду плотно. Пусть fnk(x) — у есть подпоследовательность fn(x). Тогда для произвольного І Є Z fl о fnk(x) — fl(y) (щ — со), более того, объединение всех сдвинутых на І Є Z подпоследовательностей совпадает с самой последовательностью fn(x) и множество всех предельных точек fn(x) вследствие существования инвариантной метрики должно совпадать с множеством предельных точек последовательности fn(y). Пусть хПк — Z к- со к хП1 - у, I - со. Тогда у-щ+пк -» z, 1,к—юо. Пример 30. Если рассматривать не степени одного отображения, но семейство последовательно применяемых отображений и пытаться строить инвариантную метрику относительно этого семейства, то возникают естественные препятствия, проясняющие необходимость условия 2). Рассмотрим иррациональную обмотку тора (слоение Кронекера) Т2. Рассмотрим в качестве трансверсали параллель тора. Слои таким образом, определяют повороты трансверсали, которые для стандартного слоения Кронекера удовлетворяют всем условиям Леммы 4, и стандартная метрика на окружности будет инвариантной относительно действия группы поворотов. Деформируем это слоение следующим образом: отождествим сначала окружность S1 с Ш/w, (х = у = х = уто&тт). Рассмотрим произвольное семейство отображений поточечно сходящихся к Это семейство не будет сжатием, образы каждой точки плотны, но условие 2) Леммы 1 не удовлетворено. Инвариантной метрики, определяющей топологию, эквивалентную заданной мерой угла, нет, поскольку каждый сегмент окружности под действием fnk (щ —- со, (пк)к имеет нулевую плотность в N), стягивается к точке 3/2.
Отметим, что всегда существует гомеоморфизм ф : S1 — S1 такой что / о ф есть поворот на угол рационально независимый с тг [43], [12]. Существует пример, построенный В.И. Арнольдом, который показывает, что гомеоморфизм ф может не быть диффеоморфизмом на плотном в S1 множестве точек [12]. Пример 31. Еще раз проиллюстрируем условие 2) предыдущего утверждения. Рассмотрим последовательность точек хп = ї/п на Е, п 6.N. Рассмотрим цилиндр S1 х R. Пусть слоение на нем задано с помощью отображения последования / : Ж — R, где f(xn) = хп для каждого числа п Є N и каждой точки а;ЄІ\ (хп) f(x) ф х. Пусть связность Эресмана задана трансверсалями {а} xR, а Є S1 — естественная координата на S1. Нет ни инвариантной метрики, ни меры на Ш. Этот случай по классификации А. Конна [40] есть 1П\. Вообще, верно следующее Предложение 23. Если dim Р = 1, то метрика из леммы 4 единственна. Доказательство. Рассмотрим группоид геодезических линий (то есть группоид, порожденный геодезическими и их конкатенациями) с фиксированными началом и концом на многообразии Р. j : [0,1] — Р, 7(0) = х 7(1) = у, 7У = 7") Для У(0) = 7(1) гДе і" есть геодезическая из 7(0) в 7;(1) В рассматриваемой ситуации эти пути однозначно определяются началом и концом на универсальной накрывающей Ж многообразия Р. Отметим, что метрика р на Р порождает коцикл (см. [51] и Введение, пункт 1.4. Счетные отношения эквивалентности), определенный на произ- х ведении накрывающих пространств Р D:PxP- I. Поскольку опре- делена ориентация на Р мы можем задать D(x, у) = р(х, у) если х у и D(x,y) = —р(х,у) в противном случае. Поскольку р — неособая метрика, то D порождает инвариантную меру на Р [51]. И поскольку такая мера единственна D должен совпадать с К для некоторого К ЄШ+. Отсюда следует предложение. Предложение 23 можно естественно обобщить на многомерный случай. Предположим теперь, что для каждой пары х,у Є Р направления, опре деляемые касательными к геодезическим (fn(x)i fn{y))nez в начальных точках fn(x) плотны в ТР и для точки х С Р (а значит и для плотного в Р множества точек) существует такое плотное в пространстве направлений gdimP-i множество геодезических Г;, проходящих через Х(, что на каждой геодезической 7 Є Г множество (/п( ))пємГІ7 плотно в 7- Рассмотрим ц снова геодезические начинающиеся в точке ібРи проходящие в любом направлении v Є ТХХ, : Ш — Р, j(0) = х, - — v. Построим пару отображений для fk:P— P, к Є Z 7Ї71 / 7 : Для любых j , 7±(±(А;)) = f(x), здесь х = 7(0), и t(k) = р(ж, fk(x)). Это возможно для почти всех 7 поскольку пространство направлений компактно. Так как f(x) всюду плотно, множество точек t{k) плотно на Ж. Таким образом, можно свести общий случай к 1-мерному.
