Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоремы типа колмогорова-сллщкого для алгебр поста и менгера непрерывных функций П-34
I. Основные определения JI-I5
2. Порождающие множества для алгебр Поста и Менгера над некоторыми пространствами 15-18
3. О строении алгебр Поста и алгебр Менгера над трехмерной сферой 18-34
ГЛАВА II. Некоторые свойства алгебр менгера.топологические алгебры поста и менгера 35-54
I. Алгебра Менгера как функтор. Определимость топологического пространства его алгеброй Менгера. Конгруэнции 35-44
2. Конечнопорожденные плотные подалгебры ...44-54
Литература
- Порождающие множества для алгебр Поста и Менгера над некоторыми пространствами
- О строении алгебр Поста и алгебр Менгера над трехмерной сферой
- Алгебра Менгера как функтор. Определимость топологического пространства его алгеброй Менгера. Конгруэнции
- Конечнопорожденные плотные подалгебры
Введение к работе
Поскольку конечные множества суть пространства с дискретной топологией, то возникает вопрос: для каких топологических пространств - кроме конечных множеств - справедлива теорема Слупецкого, другими словами, существуют ли топологические варианты теоремы Слупецкого? Ответ: да. Например, компактные абелевы группы Ли [10J Поскольку доказательства подобных результатов для некоторых пространств существенно используют либо саму теорему Колмогорова, либо ее модификацию, данную Острандом, то в дальнейшем будем называть их теоремами Колмогорова-Слупецкого о суперпозициях. Соответственно задачу о представлении функций ft переменных на пространстве X со значениями в X в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных будем называть задачей о суперпозициях для пространства .
Анализ доказательства этих теорем показывает, что стандартное рассуждение - сведение задачи о суперпозициях к аналогичной задаче для гомотопических классов отображений с последующей редукцией задачи о представимости произвольного отображения к задаче о представимости гомотопного нулю отображения - при известных условиях может привести к доказательству неразрешимости задачи о суперпозициях, например, когда задача в полной общности на гомотопическом уровне неразрешима, но решается положительно в малых арностях.
С другой стороны, если задача о суперпозициях разрешима на гомотопическом уровне, то для некоторого класса пространств, скажем, для компактных групп Ли, разрешима также собственно задача о суперпозициях.
Таким образом, задача о суперпозициях в общем случае имеет гомотопическое происхождение.
Перейдем теперь к некоторым результатам главы II.
Теорема 2,1.1. утверждает, что при довольно жестких ограничениях полугруппа 0 (Х) многозначных замкнутых отображений ЭС в себя может рассматриваться как функтор из некоторой подкатегории категории топологических пространств.
Следующий вопрос, рассмотренный в § I, касается определимости топологического пространства X алгеброй Менгера ci Cv.
Формулировки результатов и их доказательства во многом аналогичны имеющимся полугрупповым результатам, (см. Г8] , Г9J , [I2J , что вполне понятно.
Теорема 2.1.4 выявляет конгруэнции на алгебре Менгера Jln (х) приХ=Х,D . Под конгруэнцией на алгебре понимается, как обычно, отношение эквивалентности, сохраняемое сигнатурными операциями. Как и в случае алгебр Поста, конгруэнции тривиальны, т.е. на имеются две конгруэнции:
a) T—Q тогда и только тогда, когда F= &,
6)T=G ПрИ любых Т, & е Лп (X).
В § 2 изучается вопрос о существовании конечнопорожденных подалгебр в топологических алгебрах Поста и Менгера. В [11] это вопрос исследован для отрезка, канторова дисконтинуума и окружности. Используя идеи, предложенные в [ll] , доказана, в частности,
Теорема 2.2.? .Топологические алгебры 9 (X) и Jii (X) над абелевой компактной группой Ли JC обладают конечнопорожденными плотными подалгебрами.
Порождающие множества для алгебр Поста и Менгера над некоторыми пространствами
Теорема Колмогорова допускает следующую геометрическую интер претацию. Положим в (ї) Ф . . ЦО= Z! (ОСр) . Тогда набор функций (Ф} . ,,Ф ) задает вложение J в 7? . Теперь теорема Колмогорова означает, что каждая функция f , непрерывная на образе куба , есть сумма функций координат: Анализ доказательства теоремы Колмогорова показывает: 1) функции Ц (ос) можно выбрать в классе ЦрЫ (#гы 1) ( Г 30, ч. Ill) и даже в классе Lib 1 (f [7 J , {"383 ), но невозможно в классе С непрерывно дифференцируемых функций (LI8] , [I J ); 2) функции Ь) можно выбрать вида KJ сэс.) , где Я е R ( f29j, [38J , [30, ч.И] ); 3) функции можно выбрать одинаковыми ( f29j ,[30,чЛ2] ).
Существует прямое обобщение теоремы Колмогорова, полученное Острандом [33 J : формула Ш верна, когда переменные « ,..., «2-Vi принимают значения, в конечномерных метрических компактах Xi,../%„, а а пробегает значения 13.-. %Qmt ,где т =2LoUmX0 .
Теорема Колмогорова очень близка по формулировке к известной в алгебре логик теореме Слупецкого (см. Г22] ): Если X - конечное множество, то существует функция двух пере С — Х такая, что любая функцияХ—мпредставля ется в виде суперпозиции одноместных функций и функции
Поскольку конечные множества суть пространства с дискретной топологией, то возникает вопрос: для каких топологических пространств - кроме конечных множеств - справедлива теорема Слупецкого, другими словами, существуют ли топологические варианты теоремы Слупецкого? Ответ: да. Например, компактные абелевы группы Ли [10J Поскольку доказательства подобных результатов для некоторых пространств существенно используют либо саму теорему Колмогорова, либо ее модификацию, данную Острандом, то в дальнейшем будем называть их теоремами Колмогорова-Слупецкого о суперпозициях. Соответственно задачу о представлении функций ft переменных на пространстве X со значениями в X в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных будем называть задачей о суперпозициях для пространства
Прежде чем перейти к изложению результатов нам необходимо фор мализовать само понятие суперпозиции. В диссертации для этой цели используются два языка: итеративные алгебры " Поста и алгебры Менге ра Приведем соответствующие определения, следуя С13Л [32] , І.4ІД. Для любого множества X пусть Р (X) - совокупность всех /с -мест ных функций X -Of , Т(Х) — U Рк(Х) . На множестве Т СХ) определим четыре одноместные операции s, Т; Л У и двуместную Алгебраическая система Р(Х) — {PCX) і s А м J с основным, множеством "Р(Х) и сигнатурными операциями С} у А} Vf % называется итеративной алгеброй Поста [13 ] .
В некоторых случаях удобно работать в алгебре v (Х)-[Р(Х)}) 4?jT, Д, } 9 называемой предытеративной алгеброй Поста, поскольку, во-первых, в ее подалгебре У= [р± РСУ ЬДА, [операции $ , А тривиальны, а совпадает с обычной композицией отображений, что позволяет смотреть на подалгебру О" в некотором смысле как на полугруппу $ (X) отображений X в себя; во-вторых, наличие в рассматриваемой подалгебре функции Я (.Qijj) = У приводит к выра s зимости операции V через
Теория итеративных алгебр Поста над множеством была разработана А.И.Мальцевым в [13 J . Теперь дадим определение алгебр Менгера. Пусть /? - конечное или счетное множество индексов, {сМ- у і в в] семейство непересека ющихся множеств, = М; и ІЄ ІЄ.А J набор (тг -l) -арных частичных операций на Ж таких, что каждому элементу из Ж и всякому набору ть элементов изУотображение s сопоставляет эле мент из cMj .
О строении алгебр Поста и алгебр Менгера над трехмерной сферой
В соответствии с результатами Досса мы можем установить лишь следующие факты. Теорема 1.2.5. Любое, состоящее из не более чем ТІ - местных функций Кт/Ц 9 подмножество алгебры Я СЮ содержится в подалгебре, обладающей порождающим множеством, состоящим из всех одноместных функций, двуместной функции (сложения) и конечного числа не более чем П - местных функций. Теорема 1.2.6. обладает порождающим множеством множество из местных функций.
Основным результатом этого параграфа является Теорема 1.3Л. Для каждого целого П /2. существует конечный набор (проиндексированный элементами гомотопических групп Ж 3 2 к Ґі ) функции от не более чем fl переменных на сфере о ,/3 - группе единичных кватернионов - со значениями в /5 такой,что 3 .3 всякая непрерывная функция 72- переменных на /5 со значениями в S представляется в виде конечной суперпозиции функций одной перемен ной, умножения на и функций этого набора.
При -n-j3 удается доказать более сильное утверждение: з з з Теорема 1.3.2. Существует непрерывное отображение д xS— S такое, что всякая непрерывная функция 71 переменных Tl-B,Z представляется в виде конечной суперпозиции функций одной переменной, указанной функции двух переменных и умножения на Напротив, при справедлива Теорема 1.3.3. Существует функция четырех переменных на о со значениями в 33 не представимая в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных.
Доказательство теоремы І.ЗЛ будет следовать из теореми леммы І.ЗЛЗ. 1 существенной функцией к переменных, если она не представляется в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных. В качестве следствия из теорем І.ЗЛ, 1.3.3 и 1.3.И вытекает
Теорема 1.3.4. Любое порождающее множество алгебры CS J и алгебры Лі (S J содержит кроме одноместных функций по крайней мере одну двуместную и для каждого к ъ 4 конечный набор существенных функций к переменных.
Вначале мы займемся изучением групп свободных гомотопических классов [(S3) ;S J Структура группы на [CtfJ ; S J индуцирована групповой структурой на , именно: пусть f9f(S5f - S3 . Положим Знание строения этих групп ( в действительности знание лишь ее образующих элементов) позволяет решать задачу о суперпозициях на гомотопическом уровне, и, затем, пользуясь леммой 1.3ЛЗ (см. ниже) мы можем решить собственно задачу о суперпозициях. Нетрудно доказать изоморфизм пользуясь, например, теоремой Борсука о продолжении гомотопии, поэтому вплоть до леммы 1.3ЛЗ мы будем работать лишь в категории пространств с отмеченной точкой. Гомотопии также рассматриваются в этой категории. Для краткости будем опускать отмеченные точки.
Пусть Отмеченной точкой в 3 будем считать единичный элементе группы о . Пространство X является конечным клеточным разбиением с клетками в размерностях В/г , О П к . Выпишем остовы Пусть Tj 1-B,i, .-,k _ множество всех гомотопических клас сов отображений таких, что fj несущественно, т.е. гомотопно отображению в точку . Очевидно, все 7} - нормальные делители в [X; S ] и [X;S3]= 7J= 7J э... z Tk Tk = [і] . Доказательства нижеследующих предложений 1.3.5 иі.3.7 можно найти в Г40 J , но для полноты изложения мы проведем их следуя опять же работе [40 ]
Алгебра Менгера как функтор. Определимость топологического пространства его алгеброй Менгера. Конгруэнции
Теорема 2.1.3. Пусть X допустимое, 2 - транзитивное прост ранство, У - допустимое пространство, содержащее более одной точ ки; Ж CX)tJKn(y)- соответствующие алгебры Менгера всех непрерыв ных отображений и к эпиморфизм сЖп Сх)— М ( ґ) Тогда пространства X и "V гомеоморфны, причем отображение =f мо жет быть записано в виде для любой функции fejHn(X) и любого набора - указанный выше гомеоморфизм. Обратно, всякий гомеоморфизм пространств X" и Y индуцирует по формуле (х) изоморфизм соответствующих алгебр Менгера непрерывных функций.
Доказательство. Очевидно, что алгебрыЛіп (X) и Мп CY) содержат все константные функции. Поэтому, согласно лемме 2.1.2 су-ществует отображение cf X на Y , определяемое формулой " (%)= %(t )( 17) Докажем, что в данном случае отображение является, на самом деле биекцией. Так как для любой точки уеУ существует точка ЖєХ такая, что$ сх) = 2/, то определим отображение "
Замкнутость отображения ч доказывается почти аналогичными рассуждениями в другую сторону, поэтому доказательство этого факта опускаем. Теорема доказана.
В этом пункте рассматривается вопрос о конгруэнциях на алгебре dKn Сх) всех непрерывных отображений X — - X Под конгруэнцией на алгебре понимается, как обычно, отношение эквивалентности, сохраняемое сигнатурными операциями. Очевидно, на Jtn СХ) имеются две тривиальные конгруэнции &0 и # , именно: F = (г С ЭСд) тогда и только тогда, когда для любых / , Q Топологические полугруппы, являющиеся частным случаем топологических алгебр Менгера, в некоторых случаях содержат плотные конечно-порожденные подполугруппы. Например, известен следующий результат:
Теорема 2.2.І. [39] . Пусть X - одно из следующих пространств: мерный куб / ; пространство рациональных чисел с? ; пространство иррациональных чисел 7?-О : канторов дисконтинуум Dc ; счетное дискретное пространство N . Полугруппа ,3(0() имеет 2 -порожденную плотную полугруппу. Отсюда и из теорем 1.2Л, 1.2.3 следует, что алгебра 7чХ)обладает в этих случаях 3 - порожденной плотной подалгеброй. Однако З.Г.Садыхов заметил, что, пользуясь некоторой модификацией конструкция работы [39] , можно доказать максимальный в этих случаях результат. Именно:
Теорема (Садыхов).Алгебра 9 (X) над пространствами I , Q , R-Q , J)T , Jf содержит плотную Z - порожденную подалгебру (порождающее множество состоит из одноместной и двуместной функций).
Этот результат улучшить невозможно, т.к. в противном случае подалгебра одноместных функций оказалось бы коммутативной, что неверно.
В доказательствах этих теорем существенно используются свойства пространства, вытекающие либо из его нульмерности, либо из компактности и стягиваемости в конечномерном случае. Однако, если пространство конечномерно и гомотопически нетривиально, то ситуация может сильно усложниться. Например, полугруппа S(T) непрерывных отображений окружности Т в себя не имеет конечнопорож-денных плотных подполугрупп. Тем не менее, используя богатую структуру алгебры Поста, А.А.Мальцев обнаружил следующий факт:
Теорема 2.2.2.Алгебра Поста9 СТ) (и тем болееФ(Т)) обладает плотной подалгеброй, порожденной одной двуместной функцией Ч (ОС)У)-Х-У (композиция групповой операции на окружности и взятия обратного элемента) и тремя одноместными функциями (гомеоморфизмом, отображением степени I и отображением в точку).
Конечнопорожденные плотные подалгебры
Как итеративные алгебры Поста так и алгебры Менгера являются алгебраическими системами, в которых описываются суперпозиции функций. В итеративной алгебре Поста любая формула, составленная из элементов алгебры, является результатом применения сигнатурных операций к заданным элементам, а в алгебре Менгера мы вынуждены привлекать дополнительно функции проектирования - очевидное следствие определения операций .
Теперь можно на языке алгебр Поста и алгебр Менгера сформулировать теоремы типа Колмогорова-Слупецкого. Первый результат в этом направлении был получен А.А.Мальцевым в 1969 году в: пусть X - одно из следующих пространств: т - мерный куб X , 17- мерный тор / , произведение куба и тора, канто ров дисконтинуум D . Существует функция /е ОО такая, что алгебраическое замыкание множества [fJuT совпадает с9(х).
Затем А.А.Мальцев доказал, что аналогичное утверждение верно и для произведений указанных конечномерных компактов и конечной дискретной абелевой группы, в частности, для компактных абелевых групп Ли
Роль двуместной функции играет в этих случаях групповая опера - 8 ция, если -л - группа, либо полугрупповая - еслиХ= или X - конечная дискретная абелева группа.
В дальнейшем подобные результаты были получены для некоторых нульмерных и бесконечномерных пространств (теоремы 1.2.I, 1.2.2. или [15] , [16] ). Однако, аппарат, используемый в С16] работает почти только в нульмерном и бесконечномерном случае; двуместная функция - это просто гомеоморфизм X на "X .
Сформулируем теперь "менгеровский" вариант этих результатов: Теорема 1.2.4. Пусть X - одно из следующих пространств: либо - конечная дискретная абелева группа, либо их произведение, либо гильбертов куб гильбертово пространство К , пространство рациональных чисел Q пространство иррациональных чисел і?-6? . Существует элемент. порождающий вместе с одноместными функциями и соответствующими 1 к /с проектированиями алгебры В конечномерном некомпактном случае теорем типа Колмогорова-Слупецкого неизвестно. Однако Досс IZ3J в 1977 году доказал: для любого fi7/Z существуют такие, что для любой функции справедливо разложение: где непрерывные функции, зависящие
В диссертации показано, что в конечномерном пространстве, снабженном неабелевой групповой структурой, теорема Колмогорова Слупецкого может не иметь места. Именно, доказана следующая w з Теорема 1.3.3. На трехмерной сфере j существует функция с3 четырех переменных со значениями на , не представимая никакими суперпозициями функций меньшего числа переменных. - 9 Напротив, справедлива з з з Теорема 1.3.2. Существует функция двух переменных -f:xS- 3 такая, что дгабую функцию двух или трех переменных на со значениями в S можно представить в виде суперпозиции функций одной переменной, функции -С и умножения на сфере.
Доказательство этих утверждений существенно опирается на знание образующих гомотопических групп 1Z S и на условие нильпотентнос з к Зі ти группы гомотопических классов [(S ) % S J
Анализ доказательства этих теорем показывает, что стандартное рассуждение - сведение задачи о суперпозициях к аналогичной задаче для гомотопических классов отображений с последующей редукцией задачи о представимости произвольного отображения к задаче о представимости гомотопного нулю отображения - при известных условиях может привести к доказательству неразрешимости задачи о суперпозициях, например, когда задача в полной общности на гомотопическом уровне неразрешима, но решается положительно в малых арностях.
С другой стороны, если задача о суперпозициях разрешима на гомотопическом уровне, то для некоторого класса пространств, скажем, для компактных групп Ли, разрешима также собственно задача о суперпозициях. Таким образом, задача о суперпозициях в общем случае имеет гомотопическое происхождение. Перейдем теперь к некоторым результатам главы П.
Теорема 2,1.1. утверждает, что при довольно жестких ограничениях полугруппа 0 (Х) многозначных замкнутых отображений ЭС в себя может рассматриваться как функтор из некоторой подкатегории категории топологических пространств.
