Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О связи наилучших полиномиальных приближений целых трансцендентных функций и их основные характеристики 14
1.1. Основные сведения о целых функциях и характеристические величины целой функции конечной степени 16
1.1.1. Определение характеристических величин целой функции 16
1.1.2. Связь между ростом целых функций и скоростью убывания коэффициентов их степенного разложения 21
1.2. О шкалах характеристики целых функций в пространстве 7) определяемых через наилучшее полиномиальное приближение 25
1.3. О характеристиках целых функций в весовом пространстве Bqj7,1 < q < оо 31
1.4. Об обобщенном порядке роста целых функций и их связь с полиномиальной аппроксимацией целых функций в весовом пространстве Бергмана 36
Глава II. Классы целых функций конечной степени и их наилучшее приближение в весовом пространстве Бергмана ВЪ1,1<оо 41
2.1. Определение классов Бернштейна Ва и Винера-Пэли Wa и наилучшее приближение в этих пространствах 43
2.2. Основные теоремы о наилучшем приближении целых функций 49
2.3. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в Lo{R) 56
2.4. Точные значения средних поперечников некоторых классов функций 66
Литература 73
- Связь между ростом целых функций и скоростью убывания коэффициентов их степенного разложения
- Об обобщенном порядке роста целых функций и их связь с полиномиальной аппроксимацией целых функций в весовом пространстве Бергмана
- Определение классов Бернштейна Ва и Винера-Пэли Wa и наилучшее приближение в этих пространствах
- О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в Lo{R)
Введение к работе
Теория приближения целыми функциями является одним из наиболее активно развивающихся направлений в современной математике, имеющая важные приложения в различных ее областях.
Бурное развитие этой теории в действительной области благодаря работам С.Н.Бернштейна [5] Н.Винера и Н.Пэли [16], Н.И.Ахиезера [2], С.М.Никольского [33] в пятидесятых годах прошлого столетия, побудило интерес к ее проблемам в комплексной области. Позже, работами М.В.Келдыша [25], Дж.Кореваара [26], Р.П.Боаса [7], И.И.Ибрагимова [19;20], И.И.Ибрагимова и Н.П.Шихалиева [23;24], Ф.Г.Насибова [32], С.Б.Вакарчука [8-15], полностью сформулировалась теория наилучшего приближения целыми функциями как раздел теории функций в комплексной области.
В последнее время методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения функций целыми функциями, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что теория приближения на всей оси R = (—со, +со) целыми функциями по характеру и качеству результатов не уступает соответствующей теории полиномиального приближения на конечном промежутке [а, Ь]. Первые результаты, связанные с полиномиальной аппроксимацией целых трансцендентных функций, были получены С.Н.Бернштейном в случае равномерного приближения алгебраическими многочленами действительной на отрезке [—1,1] функции /(ж), которая являлась сужением на [—1,1] целой трансцендентной функции f(z) (см., например, [5], стр.176). Это в дальнейшем дало своеобразный толчок к исследованию связей между характеристиками роста максимума модуля целой трансцендентной функции и скоростью стремления к нулю последовательности ее наилучших полиномиальных приближений в С[—1,1] (см.,например, [36]). Распространение указанных исследований на случай произвольной замкнутой области в комплексной плоскости С было начато А.В.Батыревым [4] и продолжено в работах других математиков. М.Н.Шеремета [48;49] обобщил классические характеристики
роста целых функций. С.Б.Вакарчук и С.И.Жир [13;14], используя введенные М.Н.Шереметом [48] обобщенные характеристики роста, получили ряд содержательных результатов в этом направлении.
Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию исследований, начатых в указанных работах. Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий — на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе. Положим
Vn = \pn(z) : pn(z) = J2 a-kZk, ajb-Є С
І к=0
В первой главе диссертации установлены новые связи между наилучшими полиномиальными приближениями
En{f)Bqn = inf {||/ -pn-i||j3,i7 : pn-i(z) Є 7Vi}
целой трансцендентной функции f(z) и такими ее важными характеристиками, как порядок роста и тип целой функции в весовом пространстве Вдл, 1 < q < оо с конечной нормой
(л \1/9 Iі \1/9
Вд>7
7Г //7(W)I/(z)\qdxdy = /r7(r)M|(r;/)dr < оо,
Щ(г- /) = — / \f{r^)\4t, l
Напомним, что порядок р и тип а целой функции
Г%і<і у Vo /
00 *
f(z)~ Е ск* k=0
определяются равенствами
г п-юо 1 ' V ГУ п-юо ' /ч
ІП -: г
К-га
В первом параграфе первой главы изложены основные сведения и предварительные результаты о целых функциях, а также определение характеристических величин целой функции. Посредством максимума модуля
M(r)=max{|/(z)|:|z|=r},
определяются порядок роста
-—-ln(ln М(г))
о = lim :
г-їоо lnr
целой функции f(z) и ее тип
^- In М(г)
a = lim ^-^-
Г->0О у,
и основные соотношения между ними. Приведены также некоторые формулы, устанавливающие связь между ростом целых функций и скоростью убывания их коэффициентов Тейлора cn(f).
Во втором параграфе первой главы установлены новые связи между наилучшим полиномиальным приближением целой трансцендентной функции и порядок роста и тип целой функции.
Специфика гильбертова пространства дает возможность несложно доказать нижеприведенные теоремы 1.2.1-1.2.3. Используя равенство Парсеваля для f(z) Є -02,7 > легко доказать равенство
= inf{||/ -Рп-і|||2,7 :мєЦ = Е Ы2 J r2k+1j(r)dr:
к—п о
являющееся основным инструментом для доказательства нижеследующих утверждений.
Теорема 1.2.1. Пусть функция f(z) Є -#2,7- Условие
lim <
п—>оо
= 0
/і \ -1/2) 1/п
является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f{z) была целой.
Теорема 1.2.2. Для того, чтобы f(z) Є .Е?2)7 была целой функцией
конечного порядка р Є (0, со), необходимо и достаточно, чтобы имело
место предельное равенство
1/2 і ї -1
7J-»00
r^7(r)dr S-VK,
n In n = p.
Теорема 1.2.3. Для того, чтобы функция, f(z) Є Вча была целой функцией конечного порядка р Є (0, со) и нормального типа а Є (0, со), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
п—too
lim (ре) 1 п <
ЗД)і
'2,7
1 \ -1/2
^2n+17(r)rfr
/
/э/гг
= <7.
Теоремы 1.2.1-1.2.3 обобщают известные в теории целых функций результаты о порядке роста и тип целой функции, доказанные в работах A.R.Reddy [36-38], И.И.Ибрагимова и Н.П.Шихалиева [23-24] и С.Б.Вакарчука [10].
В параграфе 1.3 рассмотрен общий случай, когда целая функция f(z) G А?,75 1 < ^ < со и установлены аналогичные связи между характеристиками целой функции в этом случае. При этом широко используется неравенство С.М.Никольского [33] для целых функций. Различные обобщения неравенства С.М.Никольского [33] приведены в монографии И.И.Ибрагимова [21].
Теорема 1.3.1. Для того, чтобы функция f(z) Є Bqrr>1 < q < со была целой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предельное равенство
}^\En(f)Bq^[lr^+17(r)dr
-1АП
1/тг
= 0.
Теорема 1.3.2. Пусть f(z) Є Д?,7> 1 — Я. < - Для того> чтобы f(z) была целой функцией конечного порядка р Є (0,оо); необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предельное равенство
п \i/e ^-1
lim <
П—tod
> П ІП 71 = p.
/r»*«7(r)dr -E-\f)Bq^
Теорема 1.3.3. Пусть f(z) Є Bq,7, 1 < q < со. Для того, чтобы функция f(z) была целой функцией конечного порядка р Є (0,оо) и нормального типа а Є (0, со), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
х-1/длр/п
Jim (ре)"1 п En(f)Bq„ [fr^-ytfdr
> = СТ.
(1)
Отметим, что в случае j(r) = 1 из (1) получаем
Т5Г(ре)'' п {Я„(/)в,л (Щ + 2)^}""' = с, (2)
а в случае j(r) = (1 — г)А(1/р~1/^-1, 0 < А < со, 0<р<д<соиз теоремы 1.3.3 получаем
ТшГ(ре)-1 гг {„(/)*,„ В-^х ((п + 1)Л + 1; А(1/р - 1/д))}р/" = <т, (3)
где B(p, д) — бета функция Эйлера. Равенства (2) и (3) ранее были получены С.Б.Вакарчуком [10].
В заключении данного параграфа рассмотрен следующий вопрос. Пусть /(*) Є Bq, i7 — произвольная функция. Требуется оценить ее тейлоровские коэффициенты. Ответ на этот вопрос дает
Теорема 1.3.4. Пусть f(z) Є g>7, 1 < q < со. Тогда для коэффициентов cn(f) этой функции справедлива оценка
1/Q
-1/9
\сп\ < е<
/ rj(r)dr
[1-1/п
(4)
J n(r)M*(r,f)dr
[1-1/п
В параграфе 1.4 рассмотрен вопрос об обобщенном порядке роста целых функций и ее связь с наилучшей полиномиальной аппроксимацией в пространстве Вдл, 1 < q < со. Пусть V — класс функций h(х) > 0, х Є [1, +оо), удовлетворяющий условиям:
функции h(x) дифференцируемы на полуоси [1,+со), строго монотонно возрастают и стремятся к со при х —у со;
для произвольной функции 7(х) такой, что "у(х) —> 0, при х —У со, имеет
место равенство
fc(* + *7(s)) = (5)
x^ h(x)
Через Vo обозначим множество функций h{x) Є V, которые вместо (5) удовлетворяют более сильному условию
то есть являются медленно возрастающими.
Под обобщенным порядком роста целой функции
к=0
понимаем величину
^ ск(1пМ(/,г)) ,п.
p(f;a,P) = lim v пгл yj' }\ (6)
где а{х) Є Ро, і%) Є Л M(/,r) d- max{|/(»| : \z\ = г]. Полагая, например, а(х) = Ых и /?(ж) = ж, из (6) получим традиционное определение порядка целой функции.
Основное содержание параграфа 1.4 составляет
Теорема 1.4.1. I. Пустъ а(х),/3(х) Є? и F(x,c) d= /З'1 (са(х)) и для всех с Є (0, оо) выполнено условие
d\nF(x,c) 1
lim -1 = -, 0 < р < +оо
х^ d]n.x р
и пустъ г] — некоторое фиксированное конечное положительное число.
Тогда для функции f(z) Є Д^, 1 < q < оо равенство
является необходимым и достаточным для того, чтобы f(z) была целой функцией обобщенного порядка pf(a,j3) = ц.
II. Пустъ а(х),/3(х) Є Vo и для любого с Є (0, оо) выполнено условие
d\nF(x.c) _...
—і '- = Oil) при х —>> оо.
a In ж
Тогда для любой функции f(z) Є BQj7,1 < q < оо условие
Ш . .а{п) .- = . (8)
п—юо
/з (l/^„(/)B„)
где — некоторое фиксированное конечное положительное число, является необходимым и достаточным для того, чтобы f{z) была целой функцией обобш^нного порядка pf(a,/3) — .
Во второй главе диссертации рассматриваются экстремальные задачи наилучшего приближения функций f(x) Є L2(R), R = (-00,+00) целыми функциями конечной степени. В первом параграфе второй главы даются необходимые для дальнейшего понятия, определения и краткая история вопроса.
Напомним, что для любого неотрицательного вещественного числа а через На обозначается множество всех целых функций конечной степени таких, что степень каждой из них не превосходит а. Для любой целой функции f(z) через f(x) обозначается ее сужение на вещественную ось. Множество всех целых функций f(z) Є На таких, что f(x) Є C(R) является линейным нормированным пространством с конечной нормой ІІ/Ц = sup{|/(a:)|, х Є R}, которое называется пространством Бернштейна и обозначается через Ва. Аналогичным образом, множество всех целых функций f(z) Є і/о- таких, что f{x) Є L,2(R) является линейным нормированным пространством с конечной нормой
/ +00 \ V2
= \j\f(x)\4X\ :=||Лк(л).
называемым пространством Винера-Пэли, и обозначается через Wa. Известно, что функция
f(z) = 4=/ e
—а
где (р(и) Є L2[—сг, сг] принадлежит пространству Wa и что имеют место равенства
ll/Hw„ = ||/|І2(Д) = IMU2[- В работе В.Ю.Попова [34] показывается, что результаты Н.И.Черных [40] о наилучшей константе в неравенстве Джексона для наилучших приближений функции f(t) Є Хг[0,27г] тригонометрическими полиномами порядка п справедливы для функции f(x) Є L2(R), если в качестве аппарата приближения взять класс На — целых функций экспоненциального типа а. Во второй главе диссертации продолжены исследования В.Ю.Попова [34], С.Б.Вакарчука [12] в этом направлении и доказаны неравенства между наилучшими приближениями функций / Є Wa и модулями непрерывности высших порядков этих функций, причем все полученные результаты являются неулучшаемыми. Всюду в дальнейшем символом Mf) = Aa(f,L2(R)) = mfi\\f-ga\\ :gaeWa} (10) обозначим наилучшее приближение функции f(t) Є L2 (R) целыми функциями ga(z) Є Еа класса Wa (ga(z) С Wa С Ha). Величина и;т(/>*) = а;т(/;*,Ь2(Л))^/8ир{||Д?/(Я;)|| : |Л| <*}, (И) — разность m-ro порядка с шагом h функции f(x) Є L2{R), называется интегральным модулем непрерывности 777-го порядка. Нам в дальнейшем понадобиться следующая вспомогательная Лемма [22]. Пусть f(x) Є L2(R) и F(x) — ее преобразование Фурье в смысле L2(R), то есть 1 И +? pixt — 1 1 +? f(x) = -4= -г- / Fit) Jy J v^F dx_l w it v^F-io W где F{x) Є L2(—oo,-\-oo). Тогда функция F„(f, *) = -4= / F(t)eMdt является целой функцией из класса Wa, наименее уклоняющейся от f(x) в смысле метрики L2(R). Кроме того, Mf) = inf {II/ - 9*\\l2{r) 9а(х) Є Wa} = ч 1/2 = \\f-Fa(f)\\L2{R)= I / \F(t)\4t (12) Обозначим через щ (R) множество функций /(ж) G L2(R), У которых существует абсолютно непрерывная производная (г — 1)-го порядка и производная f^r\x) Є І^(-й) Если F(it) — преобразование Фурье функции f(x) Є Ц[ (R), то, как известно функция Fr(u) = (iu)rF(u) является преобразованием Фурье функции f^(x). Поэтому из (12) следует, что 4(/(r))= / \F(u)\2-u24u>a2r-Al(f). \и\>(7 Таким образом, всегда Л(/)<*-гАг(/(г)). (із) Рассмотрим теперь задачу об оценках наилучших приближений Aa{f) через интегральный модуль непрерывности (11). Основными результатами параграфа 2.2 являются следующие теоремы Теорема 2.2.1. Пусть а > 0 и т, г Є N. Тогда для 0 < h < к/а и любой функции f(x) Є L\ (R) справедливо неравенство 1/2 Г h -1/2 (14) 2mcj2r|(1 - cosat)mdt /uj2m{f^]t)dt о J U Для любых фиксированных m,r Є N и а > 0 неравенство (14) в классе всех функций f(x) Є Щ {R) неулучшаемо. Следствие 2.2.1 При выполнении условий теоремы 2.2.1 справедливо неравенство 1/2 / тг/о- ^ / (/«; і)Л 7Г га! (15) 1/2 адл < - o-r [2m(2m- 1)!!, v„ 0 При m = 1 из (15) в свою очередь вытекает неравенство ж/а АЛ/)^^-и/ш2(/(г);^ 1/2 лДо-Т >;- (16) ранее другим путем доказанное в работе И.И.Ибрагимова и Ф.Г.Насибова [22]. Неулучшаемость (16) доказал В.Ю.Попов [34]. Теорема 2.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.1. Тогда справедливо неравенство -1/2 1/2 МЛ < 2та2г /(1 - cos at)m sin "Udt \ I j u>l{f{r); t) sin "Udt (17) Следствие 2.2.2. При выполнении условия теоремы 2.2.2 справедливо неравенство ж/а 1/2 - f <4,{fV;t)s\n л/т +1 1 (а (18) )т Mf) < В частности, из (18) при т = 1 получаем результат В.Ю.Попова [34] 1 а п/а МЛ<-Г- |/w2(/(r);*)sin«rtcft 1/2 Следующее утверждение является обобщением теоремы 2.2.1. Теорема 2.2.3. Пусть а > О, т, г Є N и 1/г < р < 2. Тогда для О < h < 7г/сг и любой функции f(x) Є Li2 (R) справедливо неравенство -1/р ( h ї 1Ір ( h /а&(/М;*)<й| . (19) МЛ < 2~m/2 f {1-cosat)mp'2dt\ При любых фиксированных m Є N и о > 0 неравенство (19) в классе всех функций f(x) Є L\r (R) для значений 1/r < p < 2, r Є N неулучшаемо. Следствие 2.2.3. 5 условиях теоремы 2.2.3 справедливо неравенство 1/р ^2 J ] J/<(/w;^[ , .<А Г (f* + l) I о АЛ/) < 2-т <7"г' а ггамма-функция Эйлера. В заключении параграфа 2.2 отмечено, что все вышеприведенные теоремы 2.2.1-2.2.3 являются неулучшаемыми. Их неулучшаемость вытекает из того факта, что при соответствующем определении классов функций, на них реализуются средние п-поперечники в параграфе 2.4. Кроме приведенных выше утверждений, в третьем параграфе второй главы доказаны следующие теоремы, характеризующие как скорость сходимости наилучших приближений целыми функциями, так и структурные свойства самых функций. Теорема 2.3.1. Для любого а > 2, любого т Є N и любой функции f(x) Е Li2{R), не эквивалентной нулю, справедливо неравенство (а *fa \ 1/2 Mf) < Km I 2 / о&(/;*)2 sin trfett j , (20) ( И/2] N -1/2 Km = \С?т - 2 (4*2 - l)-1^2* [га/2] — целая часть числа т/2. При любых фиксированных т и а > 2 константа К,т в классе всех функций f{x) Є ^(-R) неулучшаема. Из теоремы 2.3.1 вытекает Следствие 2.3.1. Пусть а > 2 и г Є N. Тогда для любой функции f(x) Є L\ (R) справедливо неравенство A^f)<^k-Y^m(f^;thSinatdt) . (21) Неравенство (21) вытекает из соотношения Aa(f) < а"Т Aa{pr'). Теорема 2.3.2. Для любой функции f(x) Є L2(R), не эквивалентной нулю, любого числа а > 2 и любого mN при условии выпуклости Lom(f;t) на всей оси, справедливо неравенство Mf) < {CfmT112 <*. (/; g) (22) Константу (С^)-1/2 в правой части неравенства (22) нельзя заменить меньшей во всем классе функций f{x) Є 1^0^)- Общеизвестно, что в случае приближения функций действительного переменного в пространстве LP(R), 1 р оо, где R = (—оо,+оо) основными аппроксимативными множествами являются бесконечномерные подпространства целых функций конечной степени, подпространства сплайнов и тригонометрические полиномы. Для аналитических функций комплексного переменного спектр задач, связанных с приближением в бесконечных областях (полуплоскость, полоса, угол и т.д.) намного шире, чем в LP(R), и естественно, их решение связано с определенными трудностями. В теории наилучшее приближение функции f(x) Є LP(R) целыми функциями известен ряд важных первоклассных работ, среди которых в первую очередь следует отметить работы С.Н.Бернштейна [5], Н.Винера и Н.Пэли [16], С.М.Никольского [33], И.И.Ибрагимова [19-21], Ф.Г.Насибова [32], С.Б.Вакарчука [8-12] и др. Подчеркнем, что в перечисленных работах в качестве аппарата приближения служат подпространства целых функций конечной степени. Естественно, возникает следующий вопрос: каким образом развивать теорию n-поперечников для классов бесконечномерных подпространств в существующих нормированных пространствах Бернштейна Ва [5] и Винера Wa [16]. Именно с этой целью Г.Г.Магарил-Ильяев [28;29], используя некоторые результаты К.Шеннона, В.М.Тихомирова, Динь-Зунга (см.,например, [39]) для широкого класса бесконечномерных подпространств в Lp(R), ввел понятие средней размерности и определил соответствующие аналоги колмогоровского, линейного и бернштейновского поперечников. В этих терминах получили естественное толкование точные результаты, связанные с приближением целыми функциями и сплайнами, поскольку они оказались экстремальными подпространствами. Касаясь других известных подходов к определению поперечников, основанных на использовании бесконечномерных подпространств, отметим работы Ф.Г.Насибова [32] и С.Б.Вакарчука [8-12]. Таким образом, и в комплексной плоскости имеется все предпосылки для возможности использования идеи средней размерности к приближающим бесконечномерным подмножествам для определения новых аппроксимативных характеристик функциональных классов. Заключительный параграф данной главы посвящен решению сформулированной проблемы. В этом параграфе дадим необходимые понятия и определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Будем рассматривать классы целых функций конечной степени, характеризующиеся различными свойствами, к числе которых относятся известные классы функций Бернштейна Ва и Винера-Пэли Wa. Напомним, что для любого неотрицательного вещественного числа а через На обозначается множество всех целых функций конечной степени таких, что степень каждой из них не превосходит т. Для любой целой функции f(z) через f(x) обозначим ее сужение на вещественную ось, полагая при этом f(x) = \im f(z) = f(x -\- iy) . Очевидно, что множество всех целых функций f(z) Є На таких, что f(x) Є C(R),R = (—00, +00) является линейным нормированным пространством с конечной нормой / = 8ир{/(аО:яЄД}, которое называется пространством С.Н.Бернштейна и обозначается через Ва. Аналогичным образом, множество всех целых функций f(z) Є На таких, что f(x) Є I;2(R) является линейным нормированным пространством с конечной нормой -foe \1/2 \— оо / называемым пространством Винера-Пэли, и обозначается через Wa. Покажем, что для любой функции ш(и), и Є [-0-,0-] с конечной вариацией множество функций вида принадлежит Ва. Прежде всего заметим, что g(z) — непрерывно дифференцируемая в каждой точке z комплексной плоскости и поэтому является оо где С(и) є Li[—а, а] и суммы вида Y1 скШкг, где Y1 \ск\ оо и ск Є [—0", tf] (к = 0,1,2,...). В частности, тригонометрические полиномы порядка п принадлежат пространству Вп. Покажем, что /( ) = -7 } eizMu)du, (2.1.0) где ср(и) Є Ьг[—сг, сг] принадлежит пространству Wa. Выше установлено, что функция (2.1.0) принадлежит пространству Ва, поэтому осталось показать, что f(x) Є 1 (- ), а это следует из того, что f(x) по определению есть преобразование Фурье функции из 1 (- )- В частности, имеют место равенства. До недавнего времени подпространство Wa было изолированным и в некотором смысле уникальным аппаратом приближения в Li2(R). Введение Г.Г.Магарил-Ильяевым [29] определения средней размерности, явившегося определенной модификацией соответствующего понятия, данного ранее В.М.Тихомировым [39], позволило определить асимптотическую структуру подпространств, подобную поперечникам, где роль размерности выполняет средняя размерность. В результате этого оказалось возможным сравнивать аппроксимативные свойства подпространств Ва с аналогичными характеристиками других подпространств из L2 (R) той же размерности и решать в L2(R) экстремальные задачи теории приближения, имеющие оптимизационное содержание. Прежде чем ввести необходимые характеристики, приведем ряд определений из работ [28;29]. Пусть BL2OR) есть единичный шар в 1/2(М) : BL2(R) = {/ є L2(R) : 11/11 1}; Lin(L2(R)) является совокупностью всех линейных подпространств в L2(R); Linn(L2(R)) = {J Є Lin(L2(R)) : dim J п},пЄ N; — есть наилучшее приближение множества С С . (М) множеством А С L2(R). Под Ат, Т О, понимаем сужение множества А С (R) на отрезок [—Т,Т], а через Linc(L2(R)) обозначим совокупность таких подпространств J Є Lin{L2{K)) для которых множество {Jї\Ш Ь2(Щ)т предкомпактно в L2([,T]) при любом Т 0. Если J Е Linc(L2(R)) и Т, є 0, то существуют такие п Є Z+ и М Є Linn(L2(R)), для которых Данная величина, как доказал Г.Г.Магарил-Ильяев [29], не убывает по Т и не возрастает по е. Величину dmi(J, L2(R)) = 1іт{1ітіпі{Д,(Т, J, L2(R))/(2T) : T -+ 00} : є -+ 0}, где J E Linc(L2(№)), называют средней размерностью подпространства J в Zr20R)- В работе [29] показано, что Пусть ЗЯ — центрально-симметричное подмножество ИЗ L2 Q&) и V 0 является произвольным числом. Тогда под средним -поперечником по Колмогорову множества Ш в 2 (К) понимают величину ЗДЯЯ, L2(R)) = = inf{sup{inf{/- :ipeJ}:feM}:Je Linc(L2(R) :dn (J, L2(R)) 4 Подпространство, на котором достигается внешняя точная нижняя грань, называется экстремальным. Средним линейным і/-поперечииком множества SOT в L2(R) называют величину МЯП,ЫЩ = inf{sup{/ - Л/11 : / Є Ж} : (Х,Л)}, где точная нижняя грань берется по всем парам (X, Л) таким, что X есть нормированное пространство, непрерывно вложенное в L2(R); 9Я С X; Л : X — Ь2(Ж) является непрерывным линейным оператором, для которого Imh Е Ыпс(Ь2(Ш)) и dim(ImA, L2(R)) v. Здесь ImA есть образ оператора Л. Пару, на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной. Величину называют средним -поперечником по Бернштейну множества ЯЯ в (М). Последнее условие, налагаемое на J при вычислении внешней точной верхней грани, означает, что рассматриваются только те подпространства, для которых справедлив аналог теоремы В.М.Тихомирова о поперечнике шара. Этому требованию удовлетворяет, например, пространство Wai если а 1У7т [28]. Между перечисленными экстремальными характеристиками множества 9Я имеют место следующие неравенства Точные и асимптотически точные значения средних поперечников некоторых классов функций вычислены, например, в работах [12] и [28;29]. Через Ь2(Ш) обозначим множество функций f(x) Є L2 (Щ, у которых (г — 1)-я производная /(г-1)(ж) локально абсолютно непрерывна и f {x) Є L2(R). Пусть Ф(), 0 — произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Символом ]$(Ф), г Є N, обозначим множество функций / Є L2(R), r-тые производные f (t) которых удовлетворяют условию для любого h Є (0,7г]. Теорема 2.4.1. Пусть для заданного А Є (0,1) и для всех чисел ц Є (0,оо); h Є (0,7г] функция Ф() удовлетворяет условию где nv — любой из средних v-поперечников: бернштейновский Ър(-), колмого-ровский dv(-) или линейный 5и(-)] {W$m = sup{ (/) : f Є И# (Ф)}. При этом пара (L2(R),A /), где AV7rf определяется из условия ( — преобразование Фурье в Ь2(Ш), х — характеристическая функция интервала (—итг,и7г))} будет экстремальной для среднего v-поперечника #!/(), а подпространство WV7: является экстремальным для среднего v-поперечника по Колмогорову du(-). Пусть С — множество всевозможных чисел вида а = а + г(3, а, (3 ф О комплексной плоскости. Всюду далее, в случае приближения на всей действительной оси R = (—оо, +оо) в качестве аппарата приближения будем рассматривать целые функции конечной степени. Напомним, что целая функция т = Ё %\ akGC называется конечной степени а, если lira Ісглгі1 = сг со. &- оо Класс таких функций обозначается через Еа. Общеизвестно, что теория приближения на всей оси R — (—оо,+оо) функциями класса На по характеру и качеству полученных результатов не уступает соответствующей теории полиномиального приближения на конечном промежутке [а, 6], (—со а Ъ +со). Функция f{z) называется целой аналитической, если она является регулярной во всей комплексной плоскости и представляется всюду сходящимся степенным рядом где ZQ — произвольная точка плоскости, а коэффициенты Ск удовлетворяют условию lim \ck\l k = 0. к—J-oo Примерами целых аналитических функций являются показательные функции f(z) = ez,f(z) — ez ,..., тригонометрические функции f(z) = sinz, f(z) = cos r, f(z) = tgz, и др. Отметим, что одной из важнейших характеристик целых функций является их максимум модуля M(r) = тах{/( ) : \z\ = г}. Посредством максимума модуля М{т) определяется порядок роста lu(lnM(r)) целой функции f(z) и ее ТИП а = ш1пМИ (112) Г-»00 у ч Простейшими из целых трансцендентных функций являются функции экспоненциального типа. Так называются целые функции первого порядка и конечного типа, а также функции порядка ниже первого. Таким образом, f(z) называется целой функцией экспоненциального типа т, если при всяком є О для всех z с достаточно большим модулем \z\ = г имеет место неравенство где M(r) = max{/( ) : \z\ = г}. В силу этих неравенств запишем -— ЫМ(г) a = lim -, Г-ЇОО ff что и оправдывает формулу (1.1.2), причем число а называется показателем или степенью целой функции f(z). Заметим, что если для каждого є О существует постоянная С = С{є) такая, что целая функция f(z) для всех комплексных z удовлетворяет неравенству \f(z)\ Cei T+ W, то функция f(z) есть целая функция степени а. В случае, когда а — конечное число, говорят, что f(z) есть целая функция конечной степени а. Целая функция экспоненциального типа а, очевидно, в то же время является целой функцией конечной степени а. Таким образом, класс Нецелых функций конечной степени а содержит, например, функции &az Pn(z) sinaz, pn(z) cos(az + «),, n где pn(z) = X) akZk, «А; Є С — многочлен степени п, а — любое действи-тельное число. Приведем теперь некоторые утверждения относительно функций из класса На, которыми будем пользоваться в дальнейшем изложении результатов. Теорема А [22]. Если f(z) -— целая функция конечной степени а, то, каково бы ни было число с, степень функции f{z + c) равна степени функции f(z). Так как M{r) = max{/(z) : \z\ = г} есть возрастающая функция от г, то при г \с\ имеем М{г- \с\) М(г) М(г+ с). Отсюда, в силу (1.1.2) имеем т,— lnM(r-lcl) г-Id -Л—ЬМ(г + с) г + \с\ -г.— М(г) lim v і , — = lim і , — = lim —— = o", Г— 0O у \Q\ J. Г—ЮО у I \Q\ ip Г-400 у что и доказывает теорему А. Теорема Б [22]. Для любой целой функции оо А;=0 конечной степени а соотношения іпмм (112) roo Г = \ М (» 1) (1Л-3 В дальнейшем мы обобщим теорему Б на более широкие нормированные пространства, поэтому приводим ее элементарное доказательство. Доказательство. Пусть выполнено условие ТшГ « а. (1.1.4) г- оо г — Из (1-1-4) следует, что при любом є 0 существует константа С (є), такая, что М(г) С{є) е{а+є)г. С другой стороны, воспользуясь неравенством Копій ДЛЯ коэффициентов степенного ряда Сп, получаем е(а + е)1П п \сп\ limr-nM(r) С(є)\їт{г-пе г} С (є) Отсюда сразу следует, что пЫ1/п /Ще) [( + № или, ЧТО то же TinT(ncJ1/n) (а + є)е, и ввиду произвольности числа є 0, имеем lim (nlcJ1/) ае. Очевидно что, для максимального члена степенного ряда в разложении Г—ЮО j Таким образом, мы вывели соотношение (1-1.2) из (1.1.3) и, наоборот, соотношение (1.1.3) из (1.1.2), что равносильно теореме Б. Общеизвестно, что в случае приближения функций действительного переменного в пространстве LP(R), 1 р оо, где R = (—оо,+оо) основными аппроксимативными множествами являются бесконечномерные подпространства целых функций конечной степени, подпространства сплайнов и тригонометрические полиномы. Для аналитических функций комплексного переменного спектр задач, связанных с приближением в бесконечных областях (полуплоскость, полоса, угол и т.д.) намного шире, чем в LP(R), и естественно, их решение связано с определенными трудностями. В теории наилучшее приближение функции f(x) Є LP(R) целыми функциями известен ряд важных первоклассных работ, среди которых в первую очередь следует отметить работы С.Н.Бернштейна [5], Н.Винера и Н.Пэли [16], С.М.Никольского [33], И.И.Ибрагимова [19-21], Ф.Г.Насибова [32], С.Б.Вакарчука [8-12] и др. Подчеркнем, что в перечисленных работах в качестве аппарата приближения служат подпространства целых функций конечной степени. Естественно, возникает следующий вопрос: каким образом развивать теорию n-поперечников для классов бесконечномерных подпространств в существующих нормированных пространствах Бернштейна Ва [5] и Винера Wa [16]. Именно с этой целью Г.Г.Магарил-Ильяев [28;29], используя некоторые результаты К.Шеннона, В.М.Тихомирова, Динь-Зунга (см.,например, [39]) для широкого класса бесконечномерных подпространств в Lp(R), ввел понятие средней размерности и определил соответствующие аналоги колмогоровского, линейного и бернштейновского поперечников. В этих терминах получили естественное толкование точные результаты, связанные с приближением целыми функциями и сплайнами, поскольку они оказались экстремальными подпространствами. Касаясь других известных подходов к определению поперечников, основанных на использовании бесконечномерных подпространств, отметим работы Ф.Г.Насибова [32] и С.Б.Вакарчука [8-12]. Таким образом, и в комплексной плоскости имеется все предпосылки для возможности использования идеи средней размерности к приближающим бесконечномерным подмножествам для определения новых аппроксимативных характеристик функциональных классов. Заключительный параграф данной главы посвящен решению сформулированной проблемы. В этом параграфе дадим необходимые понятия и определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Будем рассматривать классы целых функций конечной степени, характеризующиеся различными свойствами, к числе которых относятся известные классы функций Бернштейна Ва и Винера-Пэли Wa. Напомним, что для любого неотрицательного вещественного числа а через На обозначается множество всех целых функций конечной степени таких, что степень каждой из них не превосходит т. Для любой целой функции f(z) через f(x) обозначим ее сужение на вещественную ось, полагая при этом f(x) = \im f(z) = f(x -\- iy) . Очевидно, что множество всех целых функций f(z) Є На таких, что f(x) Є C(R),R = (—00, +00) является линейным нормированным пространством с конечной нормой / = 8ир{/(аО:яЄД}, которое называется пространством С.Н.Бернштейна и обозначается через Ва. Аналогичным образом, множество всех целых функций f(z) Є На таких, что f(x) Є I;2(R) является линейным нормированным пространством с конечной нормой -foe \1/2 \— оо / называемым пространством Винера-Пэли, и обозначается через Wa. Покажем, что для любой функции ш(и), и Є [-0-,0-] с конечной вариацией множество функций вида а а это означает, что степень функции g(z) не превосходит т. Таким образом, g(z) Є Ва. Отсюда, в частности, следует, что пространству Ва принадлежат интегралы вида а оо где С(и) є Li[—а, а] и суммы вида Y1 скШкг, где Y1 \ск\ оо и ск Є [—0", tf] (к = 0,1,2,...). В частности, тригонометрические полиномы порядка п принадлежат пространству Вп. Покажем, что /( ) = -7 } eizMu)du, (2.1.0) где ср(и) Є Ьг[—сг, сг] принадлежит пространству Wa. Выше установлено, что функция (2.1.0) принадлежит пространству Ва, поэтому осталось показать, что f(x) Є 1 (- ), а это следует из того, что f(x) по определению есть преобразование Фурье функции из 1 (- )- В частности, имеют место равенства. dt = -4= F(t)eixtdt,Связь между ростом целых функций и скоростью убывания коэффициентов их степенного разложения
Об обобщенном порядке роста целых функций и их связь с полиномиальной аппроксимацией целых функций в весовом пространстве Бергмана
Определение классов Бернштейна Ва и Винера-Пэли Wa и наилучшее приближение в этих пространствах
О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в Lo{R)
Похожие диссертации на Некоторые вопросы приближения целыми функциями
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
