Оперативная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Гончарова Марина Алексеевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Операторная функция Лежандра и ее свойства 19

1.1. Абстрактное уравнение Лежандра и операторная функция Лежандра 19

1.2. Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра 29

1.3. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра оператором из G 39

1.4. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра ограниченным оператором 40

1.5. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра генератором соответствующей Со-групны 46

1.6. Сведение задачи о возмущении к задаче Коши для полного уравнения второго порядка 50

Глава II. Вопросы разрешимости и стабилизации абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра 51

2.1. Задача Коши для дифференциального уравнения Лежандра с тремя параметрами 51

2.2. Задача Дирихле для абстрактного сингулярного уравнения 57

2.3. Итерированная задача Коши 63

2.4. Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка 72

Глава III. Обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра 78

3.1. Обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра с ограниченным оператором 78

3.2. Необходимое условие единственности решения обратной задачи для абстрактного уравнения Лежандра с неограниченным оператором 86

Библиография 88

• Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра
• Возмущение абстрактного уравнения Лежандра генератором соответствующей Со-групны
• Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка
• Обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра с ограниченным оператором

Введение к работе

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования.

Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Хилле и Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеется ряд монографий, излагающих теорию и применение линейных полугрупп [14, 17, 19, 21, 24, 48], а также обширные обзоры [3, 25, 36] научных публикаций, начиная с 19G8 года.

Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных косинус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве [3, 14].

Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при і-юои т.д.

Известно, что задача Коши для дифференциального уравнения

uⁿ(t) = Au(t), t > О

равномерно корректна, если при п = 1 А — генератор Со-полугруииы, при п = 2 А — генератор косинус-оператор функции (КОФ), при п > З А — ограниченный оператор.

При рассмотрении ряда основных задач математической физики существенную роль играет уравнение Лежандра

_1л о.сРіи _rt dw . ,_ч (1-^-2^ + ^ + 1)^ = 0,

которое после замены может быть записано в виде

u"(t) + cth t u'(t) -i/(i/+l) u{t) = 0,

и исследованием которого начали заниматься в начале двадцатого века параллельно с далеко развитой теорией уравнений Бесселя и Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Аналогичная ситуация складывается и с соответствующими уравнениями в банаховом пространстве. В то время как абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу

u"{t) + -u'(t) = Au(t)

уже достаточно хорошо исследовано в работах [52-55, 4-6] и др., абстрактное уравнение Лежандра

u"{t) + jk cth ₇* u'(t) + (y) u(t) = Au(t) (1.1.1)

сравнительно мало изучено.

Уравнение (1.1.1) в предположении, что А - оператор Бельтрами А₂ в пространстве З" постоянной кривизны а = —7² < 0 было изучено М.Н.Олевским в [38], где оно названо обобщенным волновым уравнением. Естественно было продолжить его изучение для случая, когда А - линейный замкнутый оператор.

Исследование абстрактного уравнения (1.1.1) было начато в работе [7], где исследовались свойства разрешающего оператора Р(t) задачи Коши для абстрактного уравнения (1.1.1), названного абстрактным уравнением Лежандра с линейным неограниченным оператором А. Установлена его связь с разрешающим оператором Yk(t) задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и доказано совпадение множеств операторов Л, с которыми равномерно корректны задачи Коши для уравнения Лежандра и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Вопрос об изменении дифференциальных свойств с ростом параметра к в [7] не рассматривался. Исследования, посвященные решению указанной проблемы и ее применение для уточнения условий разрешимости неоднородного уравнения Лежандра, а также теория возмущения уравнения (1.1.1) составили содержание первой главы диссертации.

Опираясь на установленные свойства операторной функции Лежандра Pf!{t), ^в0 второй главе изучаются вопросы разрешимости.абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра. В частности, рассмотрены задача Коши для уравнения Лежандра с тремя параметрами и итерированная задача Коши для сингулярного дифференциального уравнения высокого порядка, содержащего неограниченные операторы. Кроме того, в этой главе находится решение задачи Дирихле для сингулярного эллиптического уравнения.

Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений задачи Коши для параболических уравнений при t —* со. Обзор публикаций по данной тематике можно найти в [18, 49]. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым но телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения. Работа [43] положила начало исследованиям но стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве посто-

янной отрицательной кривизны. В [43] рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны а = —7² < 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации решения уравнения теплопроводности u(t,x) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда 7 = 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако, в случае —7² < 0 они различны.

В [41] получено необходимое и одновременно достаточное условие стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве отрицательной кривизны любой размерности с помощью некоторых средних по шарам радиуса р с центром в точке х.

Во второй главе диссертации теоремы о стабилизации решения задачи Ко-ши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка формулируются в терминах операторной функции Лежандра Pjj!(t), что в применении к уравнениям в частных производных соответствует использованию вместо средних Пуассона других средних по пространственным переменным. Новые условия стабилизации решения задачи лучше приспособлены, например, к уравнению теплопроводности в случае, когда А - оператор Лапласа, записанный в координатах вытянутого эллипсоида, а также к уравнению теплопроводности в пространстве S_m отрицательной кривизны, равной (—7²)-

В заключительной третьей главе изучается задача определения параметра, которую, следуя сложившейся терминологии, будем называть также обратной задачей для абстрактного уравнения Лежандра. Устанавливаются условия однозначной разрешимости обратной задачи, содержащей ограниченный оператор. В случае неограниченного оператора приводится необходимое условие однозначной разрешимости обратной задачи.

Возвращаясь к обзору публикаций, заметим, что в каждом разделе будут еще приведены ссылки на работы, которые примыкают к теме диссертации.

Переходим к формулировке результатов диссертации, сохранив номера утверждений и формул, которыми они обозначены в основном тексте.

В первой главе в п. 1.1 вводится основополагающее для дальнейших исследований понятие операторной функции Лежандра, дающей решение задачи Коши для уравнения Лежандра.

Пусть А — линейный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения D(A). При к > 0, 7 > 0 рассматривается абстрактная задача Коши

Llu(t) = u"(t) + 7& cth 7* u'(t) + C-j) u(t) = Au(t)_t t > 0, (1.1.1)

u(0) = w₀, ^/(0) = 0. (1.1.2)

Уравнение (1.1.1) следуя [7], будем называть абстрактным уравнением Ле-жандра. Параметр у > О введен для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение

(1.1.1) при 7-^0 превращается в абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-
Дарбу (ЭПД)

B_ku{t) = u"(t) + -u'{t) = Au(t), t > 0, (1.1.3)

с которым оно тесно связано и которое хорошо изучено (см.[4-6, 11, 12]). Определение 1.1.1. Решением задачи (1.1.1), (1.1.2) будем называть функцию u(t) Є С²((0, со), Е) П C^l([Q, со), ) П С((0, оо), D(A)), которая удовлетворяет уравнению (1.1.1) и начальным условиям (1.1.2). Определение 1.1.2. Задача Коши (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) называется равномерно корректной, если существует заданная на Е, коммутирующая с А операторная функция Pj!(t) (Yk(t)) и числа М > 1, и > 0 такие, что для любого щ Є D(A) функция Р^{Ь)щ (Yk(t)uo) является ее единственным решением, и при этом

||ІЇ(0||<М<нфМ), (1.1.4)

(|| Y_k{t) ||< Мехр (tut)). (1.1.5)

Операторную функцию Р^{і) (^fc(O) назовем операторной функцией Ле-жандра ( в дальнейшем ОФЛ) (операторной функцией Бесселя ( в дальнейшем ОФБ)), а множество операторов Л, для которых задача (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) равномерно корректна, обозначим через G^ ((.

Обозначим также через Gq = Gq множество генераторов косинус оператор-функций ( в дальнейшем КОФ).

Далее в и. 1.1 перечисляются доказанные ранее утверждения и формулировки теорем, которые используются в дальнейшем изложении. Приводятся теоремы о сдвиге по параметру для задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)), согласно которым, если известно решение задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) при некотором к > 0, то можно получить решение задачи (1.1.1),

(1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) при значении параметра т > к. Указаны формулы
для построения решения задачи (1.1.1), (1.1.2) прит < к, но в случае тп < к
разрешающий оператор задачи Коши P(t) уже не будет, вообще говоря,
принадлежать пространству линейных ограниченных операторов из Е в Е.

Также приводятся формулы, выражающие операторную функцию Лежан-дра через операторную функцию Бесселя и формула для решения неоднородной задачи Коши

и" (t) + 7m cth 7* u'(t) + C^yJ u(t) = Au{t) + f(t), 0_u (1.1.22)

«(0) = 0, Vim(^y_u'(t)=0.

(1.1.23)

При решении неоднородной задачи важно знать, области определения какой степени оператора А Є Gj. должна принадлежать функция /(), чтобы можно было использовать формулу для решения такой задачи

sh jt

-Pl(t) J-^Pl_m(r)f(r) dr

(1.1.21)

Поскольку в формуле (1.1.21) при т Є (2 — к, к) присутствуют неограниченные операторы, то возникла необходимость изучения дифференциальных свойств ОФЛ jP^(), если А Є Gj., то есть оператор А = А{к) таков, что с ним равномерно корректна задача (1.1.1), (1.1.2).

Сначала, основываясь на теореме о сдвиге по параметру для ОФБ исследуется, как изменяются дифференциальные свойства ОФБ Y_m(t) с ростом параметра т. Отмстим,что в частном случае А Є Go аналогичная задача исследовалась ранее в [39].

Теорема 1.2.1. Пусть А Є G^, щ Є Е, т > к > 0, тогда функция У_ТТІ(і)щ будет п = [(т — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива оценка

^Y_m(t)uo

< Mt~^jcxp(cvt)\\u₀\\, j = 0,1,...п.

(1.2.1)

Теорема 1.2.2. Пусть А Є Gk, т> к, г Є N, тогда операторная функция Бесселя Y_m(t) переводит область определения D{A^r) в D(A^r+^^m~^k^⁴^).

Используя теорему 1.2.1 и формулы связи между операторной функцией Лежандра и операторной функцией Бесселя, затем исследуется изменение с ростом параметра т дифференциальных свойств и ОФЛ P^{t). Теорема 1.2.3. Пусть А Є ( щ Є Е, т > к > 0, тогда P^(t)u₀ будет п = [{га — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива оценка.

ij^pM"

< Mt ^jexp(u>t)\\u₀\\, j = 0,l,...п.

(1.2.9)

Теорема 1.2.4. Пусть А Є Gl, т > к, г Є N, тогда операторная функция Лео/сандра (ОФЛ) P(t) переводит область определения D{A^r) в

Е,(Дг+[{т-к)14]у

Используя теорему 1.2.4 можно указать конкретную степень п оператора, позволяющую использовать формулу (1.1.21) для решения неоднородной задачи Коши.

Теорема 1.2.5. Пусть т> к, п= [N/2] + 2 — [(т — к)/4], если 2 — га < к и п = 1, если 2 — m > к, N — наименьшее натуральное число, такое, что 2N + 2 — т > к. Тогда, определяемая формулой (1.1.21) функция u(t) является единственным решением задачи (1.1.22), (1.1.23).

Аналогичная теорема доказывается для случая т < к.

В первой главе наряду с дифференциальными свойствами исследуются также вопросы сохранения свойства равномерной корректности задачи Коши для уравнения Лежандра при возмущении оператора Л. В п. 1.3 оператор, порождающий ОФЛ, возмущается "подобным" себе, в п. 1.4 — ограниченным оператором, а в п. 1.5 — генератором соответствующей Со-группы (то есть оператор В² возмущается оператором аВ).

Теорема 1.3.2. Пусть для некоторого к > 0 Лі Є Gj., Л2 Є СР_т_ь_і при т > к + 1, P}?(t, Аі) и P?_n__k_i(t, А2) коммутируют па D = D(A\) П )(^2), D = E. Тогда замыкание оператора A\ + A2 принадлеоісит G^.

Представление для ОФЛ Pf!(t, А\ + А2) ввиду его громоздкости выписывать не будем. В дальнейшем приведем его в частных случаях, когда А2 — ограниченный оператор или Лг — генератор сильно непрерывной группы.

В следующей теореме через В(Е) обозначено пространство линейных ограниченных операторов из Е в Е.

Теорема 1.4.1. Пусть для некоторого к > О А\ Є Gl, А2 Є В(Е), P^(t,Ai) и ^2 коммутируют. Тогда А\ + Лг Є СЛ для любого q > к и при этом

{-\)^m2^kl²-^m-^lT{{k + 1)/2) /sh 7г⁴¹~^к

W, Аг + А₂)_Щ = т, А_і)щ + V(_{m +} l/2)r(fc/2) Ьг) *

^{х м} І Рт²)*" fe|)" ^F^'^у'^Ai)PUy'^{м)щ dy}'

где т - наименьшее целое число такое, что 2т > к,

_F а _у. а_{2) =} f 4 ^fch^-chTv/^+F^²-'

i-i(t,y,A₂) Ь_{2ЩКі + 1)1} у у ₇₂ J х ах,

a P7(t,A\ + Л2) при q > к определяется через Pj!(t,Ai + Л2) по формуле сдвига по параметру, записанной для А = А\ + Лг.

Теорема 1.5.2. Пусть к > О, А = В² + аВ + сі, В — генератор сильно непрерывной группыТ(Ь,В) класса Со. Тогда А Є G]. и операторная функция Леоісандра имеет вид

mt л^ t^k,2t fsh 4t\^l~^k } /ch -ft - ch 7^/^2-1 „, . ,

2^fc/2^2 ,_{sh 7І}ч 1-А; «

B(A/2,1/2)V 7

^fB(fc/21/2) Ьг) / ^^ ' "^)U **

KUs,t,_V)=J ^_V_^ ( ₇1 J ^srfs> * = \/^c - ^a2/4-

C_a(0 = C(«, Б + a/2 /) = 1/2 (ехр(-а*/2)Г(-*, В) + exp(at/2)T(t, В)), j hiWW-ri*) fch Tt - ch jts^²-¹ Ф

Кроме того, в п. 1.6 показано, что в некоторых случаях задача о возмущении неограниченным оператором может быть сведена к исследованию равномерной корректности задачи Коши для полного уравнения второго порядка.

Вторая глава посвящена исследованию вопросов разрешимости и стабилизации абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежаидра.

В и. 2.1 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения Лежандра с тремя параметрами

Ll_tqu(t) = и"{t) + 7& cth 7* u'{t) + 277 cth 27^ u'(t)+

+ {Y ^{+ 7q}) ^и№=М*), *>0, (2.1.1)

u(0) = u₀, k'(0) = 0, (2.1.2)

где к > 0, q > 0, А Є G₀.

Введем в рассмотрение операторы

_ 2*Г((д + 1)/2) /sh гтіЧ¹"» ( 1 dy** 7 ,₂ - ₅₎

с помощью которых строится решение задачи (2.1.1), (2.1.2).

Теорема 2.1.5. Пусть А Є Go, C(t) — соответствующая КОФ, к > О,

q > 0, тогда функция

_u(t) = (^)'Vj, (±J!)Vy?w_Uo =

_ 2^+^-^((/^ + 1)/2)Г((д + 1)/2)
тгГ((*+ (/)/2) ^Х

/sh ₇*\'* /sh 27А¹"⁷ } /ch 7* - ch 7s \^(fc+9)/2_1, , , _W2 ,

x₂F, (/:/2,1 - g/2; (/: + _g)/2; ^f^) ОД«о Л

является решением задачи (2.1.1), (2.1.2).

П. 2.2 посвящен исследованию задачи Дирихле для сингулярного уравнения. Под задачей Дирихле будем понимать задачу отыскания ограниченного решения уравнения

Л>(0 - 9l(t)w{t) = -Aw(t), t > О, (2.2.1)

удовлетворяющего граничным условиям

гу(0) = w₀ Є >(Л), sup |И*)|| < М, (2.2.2)

где 7 > 0, m < 1,

Alu(t) ЕЕ «"(О + ₇m Cth 7* «'(О, ^W = Кг U²-^² {:

т/2>

Вначале устанавливается связь между решением задачи (2.2.1), (2.2.2) и решением начальной задачи

v'(t) = Av{t), v{0) = w₀, (2.2.3)

где оператор А — генератор Co-полугруппы. В частности, если А Є Gj., то решение задачи (2.2.1), (2.2.2) можно выразить, через решение задачи (2.2.3). Теорема 2.2.1. Пусть v(t) — ограниченное решение задачи (2.2.3), тогда при т < 1 функция

отп-Ы2-т)/2 / -, ч т/2 ор / +2 \

<^Г₍₁/2-_т/2)Ш /^"«Р(-У»М^ (2.2.5)

является решением задачи Дирихле (2.2.1), (2.2.2).

Используя формулу (2.2.5) далее доказывается теорема, которую естественно назвать теоремой о регулярном возмущении, поскольку изменяется коэффициент при первой производной.

Теорема 2.2.2. Пусть А — генератор равномерно ограниченной Со-полугруппы T(t), т < 1, р < 1, тогда равномерно note [0, to], to > О

$1^^(0==^(0. 11

где w^t) — решение задачи (2.2.1), (2.2.2).

Аналогичная теорема справедлива и для предельного случая 7 — 0. Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2, тогда равномерно note [0,t₀], t₀>0

Vimw_m(t)=w_p(t),

где w_m(t) — решение задачи

w"(t) + —w'(t) = -Aw(t), t > 0,

С/

Ц0) = w₀ Є D(A), sup ІКОН < ^м-

te[0;oo)

В п. 2.3 изучаются дифференциальные уравнения порядка2п > 2. Вначале рассматривается дифференциальное уравнение вида

{Ll-A)ⁿu{t) = Aⁿou{t), t>0,

(2.3.1)

где Ао принадлежит банахову пространству линейных ограниченных операторов В(Е), А Є Gj. с начальными условиями

lim(Z3 - AYu(t) = x_j+1, lim((L2 - Л)''гі(*))' = 0, 0 < j < п - 1. (2.3.2)

Определение 2.3.1. Решением уравнения (2.3.1) называется функцияи(і), для которой при j = 0,1, ...,п — 1 выполняются условия (Lj. — Ayu(t) Є Є (7(72+,1)(^))06^(/2+,.5¹) w которая удовлетворяет этому уравнению при t>0.

Вид уравнения (2.3.1) и начальных условий (2.3.2) позволяет установить корректную разрешимость задачи (2.3.1), (2.3.2) для итерированного уравнения высокого порядка, содержащего неограниченный оператор А, что в случае задачи Коши для уравнения и^ = Аи невозможно. Для этого введем следующие обозначения. Пусть Е_п - банахово пространство элементов U = (щ,.. .и_п)^Т (значок т означает транспонирование) с нормой \\\V\\\= Е|Ы|; X = (х_их₂,...х_п)^т; щ(і) = u(t), щ{і) = (L\ - А)щ-і{Ь),

г=1

A(n) =

(A 0 0 О Л 0

0\ 0

Q =

/0 0

_{о о о о л}

\Aⁿ_Q 0 0 .

Учитывая введенные обозначения, задачу (2.3.1), (2.3.2) можно записать в виде

LlU(t) = (A_{n) + Q)U(t), (2.3.3)

ЩО) = X, [/'(О) = О, (2.3.4)

при этом, если U(t) — решение задачи (2.3.3), (2.3.4), то u(t) = щ(і) — решение задачи (2.3.1), (2.3.2).

Определение 2.3.2. Задача (2.3.1), (2.3.2) называется равномерно корректной, если в Е_п равномерно корректна задача (2.3.3), (2.3.4), т.е. если Л(_п) + Q Є G].(E_n).

Теорема 2.3.1. Пусть А Є CP_k{E), оператор Aq Є В{Е) такой, что область определения D{A) инвариантна относительно Aq, и на D(A) оператор А коммутирует с Aq, хі Є D{A) для і = 1,..., гг. Тогда задача (2.3.1), (2.3.2) равномерно корректна, и при этом ее решение имеет вид

u(t) - PVt ЛЬ + (-1)"2*/²-*-'Г№+ 1)/2) (±lt\^l~^k u(t)-P_k(t,A)x_{l+ r{N + 1/2)г(А;/2)} [ ₇ ) *

{\ 1 ) ) \ _Jt'o2²("J+"-¹)(nj + n-l)!r(ni + n + l)

(2.3.5)

^(t, у) = Т"(^с"^7<" y^+g)*""' ^+- _dSt

т = 1,3,..., 2п — 3, ЛГ - наименьшее натуральное число такое, что2Ы > к. Далее в этом же пункте показывается, как ОФЛ Р(t) может быть использована для построения решения дифференциального уравнения вида

с классическими начальными условиями

и/(0) = w'{0) = ... = w(²ⁿ-²\0) = 0, «^""^(О) = w_2n-i. (2.3.10)

Установлено, что решением задачи (2.3.9), (2.3.10) служит функция

_u._(t) (-l)"+'(n-l) ..

"^W 2²-³((га - 1)!)²(2ЛГ - 1)!!

N - наименьшее натуральное число, такое, что 2N > к.

Дальнейшее исследование этого раздела посвящено изучению итерированного уравнения, в некотором смысле более общего, чем (2.3.1), а именно

f[(Ll-Ai)u(t) = 0, t>0, (2.3.15)

г=1

где ki > 0, Аі — различные некоммутирующие операторы, принадлежащие множеству GJ..,

Введя обозначения щ(Ь) = u{t), щ{) = (Lj. — Ai-\)ui-\(t) для і = 2,...71, будем искать решение уравнения (2.3.15), удовлетворяющее начальным условиям вида

щ{0) = х_и uj(0) = О, і = 1,2,...п. (2.3.16)

Теорема 2.3.2. Пусть для і = 1,2, ...n / > 0 и Аі Є G\.. Тогда существует единственное решение задачи (2.3.15), (2.3.16), и это решение представимо в виде

u(t) = f(Mi)*i + JQl(t,t₁,A_l)Pl(t_uA₂)x₂ dt_x+

+ JJQl(t,t_l,A_l)Ql(t₁,t₂,A₂)Pl(t_2iA₃)x₃ dt₂ Л1 + ...+

th t_n-2

+ //--- I QUt,tbAi)QL(h,t2,A₂)-'-Ql_n__l{t_n-₂,t_n-_l,A_n_._l)x

xP2_n{t_n-i, A_n)x_n dt_n.i dt_n-₂ ---dti, (2.3.17)

где при ki 7^ 1

Ql(t,r,Ai) = ^ [(^)^ Pl_kSi^i)m^^)--(^)mt^i)Pl_ki^Лi)),

Ql{t,r,Ai) = ^Jlz^A^P^Ai) - ^S^Jlp^t,Ai)ZUr,Ai),

Zllr, Ad = & /(eh ,t - sh _w)-* in 2(sh7^sh₇;;)

7Г j' 7 sn 7c

Предполагается таксисе, что xi таковы, что определены все операторы, входящие в (2.3.17).

Заключительный раздел второй главы посвящен исследованию вопросов стабилизации решений уравнений первого порядка на основании интегральных представлений, записанных с помощью ОФЛ.

При исследовании стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, в зависимости от рассматриваемой задачи, критерий стабилизации можно формулировать в терминах ОФБ Yk(t) или ОФЛ PfJ(t) (см. [8] и имеющуюся там библиографию). Так в [8] в терминах Pjl (t) формулируется как необходимое, так и достаточное условие стабилизации решения задачи

V'(t) = AV(t)-h(k,4)V(t), t>0, (2.4.1)

V(t) = v₀, (2.4.2)

но эти условия не совпадают. В п. 2.4 приводится формулируемое в терминах Р^ () условие, которое является одновременно и необходимым, и достаточным условием стабилизации.

Решение задачи (2.4.1), (2.4.2) имеет вид

V(t)=exp(-th(k,j))v(t),

\k/2

"⁽*^)_2*/²Г((*+1)/2) V*/^^P( 4t) 7 Vsh₇J

x((^)^W4(Ja

7 - решение задачи

v'(t) = Av(t), v{0) =v₀e D{A).

Теорема 2.4.1. Пусть A e ( n = k/2 Є N, /i(fc,7) = (l^/2)² , v₀ Є D(A),

sup ||-Р&()|| — M. Тогда lim V(t) = l только в том случае, когда для любого
t>o ^f_>0

6 > 0 и для всех s таких, что \s\ > 6

₁ pt²+st ^St №

где Р = 7п/2.

Теорема 2.4.2. Пусть А Є ( {k/2} ф 0, h{k,i) = 7²([&/2] + I)², v₀ Є

Є D(A), sup 11 PZkn] +2 (011 — M. Тогда lim V{t) = l только в том случае, когда для любого S > 0 и для всех s таких, что \s\ > S

.. pt²+st l^oTt l ^P2[k/2]₊2(r)V0dT = l,

где0 = -у([к/2] + 1).

В третьей главе изучается обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра. Под обратной задачей понимается задача определения функции u(t) Є C²((0,i],) П C^l([Q,ti],E) П С((0,і),>(Л)) и параметра р є Е из условий

u"(t)+4kcth-ytu'{t) + (^-) u(t) = Au(t) + f(t) + tp(t)p, 0_u (3.1.2)

u(0) = щ, u{ti) = щ, u'(0) = 0, (3.1.3)

где f(t) непрерывная на [0, ti] функция со значениями в Е, tp(t) непрерывная на [0, t\] скалярная функция, к > 0, 7 > 0.

В п. 3.1 исследуется, каким образом однозначная разрешимость задачи (3.1.2), (3.1.3) с переопределенными граничными условиями зависит от расположения спектра ограниченного оператора А и поведения функции Получено необходимое и достаточное условие, при котором существует элемент р Є Е обеспечивающий возможность нахождения решения u(t) задачи (3.1.2), (3.1.3).

Введем в рассмотрение функцию

xl(z)=JS2(T,zMr)dr, о

где для к ф 2п + 1, п Є N,

1-А; /„і ч к

PZ-_k{T,z)PZ(ti,*);

7 / V 7 sh 7^Т

7 для к = 2п + 1, п Є N,

для к = 1

S1{t,z) = (^) (zi{t_ltz)I?(T,z) - Я?(т, *)*№,*)) При этом, для к > О

^Р'^(І'²⁾-В(І/2;1/2)1₇) S (2O1/I 7² ) ^{У dV}'

для A; > 2, /г ^ 2n + 1, n Є iV,

^Р2^^(І'^{г) =} (3-k)(5-k)---(a-l)^X

где m — наименьшее натуральное число такое, что a = 2т + 2 — А; > 0; для /г > 2, & = 2п + 1, п Є N

^P2-^^z)-₂n-i(n-l)\ [—) [shTm) ^Zl[t'^Z)-

Наконец,

Zl(t, z) = ^2 /(ch 7t - ch _7!/)-^ln fetilU ^_{y dy}.

Теорема 3.1.1. Для того, чтобы задача (3.1.2), (3.1.3) при любых к > 0, ио, щ Є Е, / Є С([0, ti],E) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы па спектре оператора А не обращалась в пуль функция x1(^z)i ^то єсть, чтобы

xl(z)?Q_t zea(A). (3.1.10)

В частном случае (p(t) = 1 условие (3.1.10) может быть конкретизировано. Теорема 3.1.2. Пусть к > 0 и tp{t) = 1. Для того, чтобы задача (3.1.1), (3.1.2) при любых щ, и\ Є Е, /є С([0, t{\,E) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы на спектре оператора А выполнялось условие

-1-^^)-1)^0, zea{A). (3.1.19)

z - (7&/2)

Например, если ip(t) = 1 и к = 2, то условие (3.1.10) может быть записано в виде

У - z \y/z sh 7*i J

В случае неограниченного оператора А, который рассматривается в п. 3.2 для случая cp(t) = 1 указано только необходимое условие единственности решения обратной задачи

u"(t) +7&cth7i u'{t) + П-\ u(t) = Au(t) + f(t)+p, 0_h (3.2.2)

u(0) = гго, u(ti) = ui, u'(0) = 0, (3.2.3)

При этом на спектр оператора Л не накладываются условия, обеспечивающие корректность прямой задачи.

Теорема 3.2.1. Для того, чтобы решение задачи (3.2.2), (3.2.3) было единственным, необходимо, чтобы ни один корень Zj уравнения

^-(^(^)-1) = 0

z - (7&/2)

не являлся собственным значением линейного замкнутого оператора А.

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях "Пон-трягипские чтения XII, XIII"(Воронеж, 2001, 2002), в Зимней математической школе (Воронеж, 2002), на международной конференции по функциональному анализу (Воронеж, 2003), на семинарах кафедры уравнений с частными производными и теории вероятностей ВГУ (2000 - 2003), семинарах проф. Репникова В.Д.(2000 - 2003 г.г.), проф. Баскакова А.Г. в 2003 г., на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ в 2004 г. и опубликованы в [15, 26-32],

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему руководителю Глушаку А.В. за ценные замечания и обсуждение результатов работы.

Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования.

Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Хилле и Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеется ряд монографий, излагающих теорию и применение линейных полугрупп [14, 17, 19, 21, 24, 48], а также обширные обзоры [3, 25, 36] научных публикаций, начиная с 19G8 года.

Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных косинус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве [3, 14]. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при і-юои т.д. Известно, что задача Коши для дифференциального уравнения равномерно корректна, если при п = 1 А — генератор Со-полугруииы, при п = 2 А — генератор косинус-оператор функции (КОФ), при п З А — ограниченный оператор. При рассмотрении ряда основных задач математической физики существенную роль играет уравнение Лежандра которое после замены может быть записано в виде и исследованием которого начали заниматься в начале двадцатого века параллельно с далеко развитой теорией уравнений Бесселя и Эйлера-Пуассона-Дарбу. Аналогичная ситуация складывается и с соответствующими уравнениями в банаховом пространстве. В то время как абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу u"{t) + -u (t) = Au(t) уже достаточно хорошо исследовано в работах [52-55, 4-6] и др., абстрактное уравнение Лежандра сравнительно мало изучено. Уравнение (1.1.1) в предположении, что А - оператор Бельтрами А2 в пространстве З" постоянной кривизны а = —72 0 было изучено М.Н.Олевским в [38], где оно названо обобщенным волновым уравнением. Естественно было продолжить его изучение для случая, когда А - линейный замкнутый оператор. Исследование абстрактного уравнения (1.1.1) было начато в работе [7], где исследовались свойства разрешающего оператора Р(t) задачи Коши для абстрактного уравнения (1.1.1), названного абстрактным уравнением Лежандра с линейным неограниченным оператором А. Установлена его связь с разрешающим оператором Yk(t) задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и доказано совпадение множеств операторов Л, с которыми равномерно корректны задачи Коши для уравнения Лежандра и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Вопрос об изменении дифференциальных свойств с ростом параметра к в [7] не рассматривался. Исследования, посвященные решению указанной проблемы и ее применение для уточнения условий разрешимости неоднородного уравнения Лежандра, а также теория возмущения уравнения (1.1.1) составили содержание первой главы диссертации. Опираясь на установленные свойства операторной функции Лежандра Pf!{t), в0 второй главе изучаются вопросы разрешимости.абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра. В частности, рассмотрены задача Коши для уравнения Лежандра с тремя параметрами и итерированная задача Коши для сингулярного дифференциального уравнения высокого порядка, содержащего неограниченные операторы. Кроме того, в этой главе находится решение задачи Дирихле для сингулярного эллиптического уравнения. Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений задачи Коши для параболических уравнений при t — со. Обзор публикаций по данной тематике можно найти в [18, 49]. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым но телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения. Работа [43] положила начало исследованиям но стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве посто янной отрицательной кривизны. В [43] рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны а = —72 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации решения уравнения теплопроводности u(t,x) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда 7 = 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако, в случае —72 0 они различны.

В [41] получено необходимое и одновременно достаточное условие стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве отрицательной кривизны любой размерности с помощью некоторых средних по шарам радиуса р с центром в точке х.

Во второй главе диссертации теоремы о стабилизации решения задачи Ко-ши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка формулируются в терминах операторной функции Лежандра Pjj!(t), что в применении к уравнениям в частных производных соответствует использованию вместо средних Пуассона других средних по пространственным переменным. Новые условия стабилизации решения задачи лучше приспособлены, например, к уравнению теплопроводности в случае, когда А - оператор Лапласа, записанный в координатах вытянутого эллипсоида, а также к уравнению теплопроводности в пространстве Sm отрицательной кривизны, равной (—72) В заключительной третьей главе изучается задача определения параметра, которую, следуя сложившейся терминологии, будем называть также обратной задачей для абстрактного уравнения Лежандра. Устанавливаются условия однозначной разрешимости обратной задачи, содержащей ограниченный оператор. В случае неограниченного оператора приводится необходимое условие однозначной разрешимости обратной задачи. Возвращаясь к обзору публикаций, заметим, что в каждом разделе будут еще приведены ссылки на работы, которые примыкают к теме диссертации. Переходим к формулировке результатов диссертации, сохранив номера утверждений и формул, которыми они обозначены в основном тексте.

В первой главе в п. 1.1 вводится основополагающее для дальнейших исследований понятие операторной функции Лежандра, дающей решение задачи Коши для уравнения Лежандра.

Возмущение абстрактного уравнения Лежандра генератором соответствующей Со-групны

Исследование ряда физических процессов опирается на решение уравнений, содержащих оператор Лапласа, которые путем разделения переменных в некоторых системах криволинейных координат приводят к дифференциальным уравнениям, содержащим сингулярность. При наличии определенной симметрии эти уравнения превращаются в уравнения Лежандра, исследованию которых посвящена эта глава.

В этом пункте введем основополагающее для дальнейших исследований понятие операторной функции Лежандра, дающей решение задачи Коши для уравнения Лежандра.

Пусть А — линейный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения D(A). При к О, 7 О рассматривается абстрактная задача Коши

Дифференциальный оператор L]. в левой части уравнения (1.1.1) возникает при решении уравнения Лапласа в координатах вытянутого эллипсоида вращения ([1] с. 138). Если А — оператор умножения на скаляр, то уравнению (1.1.1) при к = 1, 7 = 2 удовлетворяют сферические функции, рассматриваемые в ([47] с. 53). Отметим также работы [22], [23], [38], [50], в которых изучались уравнения в частных производных, содержащие сингулярный оператор, рассматриваемого здесь типа. Абстрактное уравнение (1.1.1), когда Л является линейным, замкнутым оператором в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения впервые рассматривалось в [7].

Следуя [7], уравнение (1.1.1) будем называть абстрактным уравнением Лежандра. Параметр 7 0 введен для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение (1.1.1) при 7 — 0 превращается в абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) с которым оно тесно связано и которое хорошо изучено [4-6, 11, 12, 52-55]. Сформулируем необходимые нам в дальнейшем определения и свойства операторной функции Лежандра, установленные в [7]. Определение 1.1.1. Решением задачи (1.1.1), (1.1.2) будем называть функцию u(t) Є С2((0, со), Е) П С1ф, оо), Е) П С((0, со), (Л)), которая удовлетворяет уравнению (1.1.1) и начальным условиям (1.1.2). Определение 1.1.2. Задача Коши (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) называется равномерно корректной, если существует заданная па Е, коммутирующая с А операторная функция Pf!(t) iXk{t)) и числа М 1, си О такие, что для любого щ Є D(A) функция Р (Ь)щ (Yk(t)uo) является ее единственным решением, и при этом Операторную функцию Pk{t) (Yk{t)) назовем операторной функцией Ле-жандра (в дальнейшем ОФЛ) (операторной функцией Бесселя (в дальнейшем ОФБ)), а множество операторов Л, для которых задача (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) равномерно корректна, обозначим через G]. (Gk). Обозначим также через Go = GQ множество генераторов косинус оператор-функций (в дальнейшем КОФ) [3, 14]. В [7] показано, что если с оператором А задача (1.1.1), (1.1.2) равномерно корректна при значении параметра равном к, то с этим же оператором будет равномерно корректна задача и для значений параметра т к. Можно построить решение задачи и для т к, но при этом разрешающий оператор задачи Коши уже не будет, вообще говоря, принадлежать пространству В(Е) всех линейных ограниченных операторов из Е в Е, т.е. не будет выполняться неравенство (1.1.4). Кроме того, при отрицательных значениях параметра происходит и потеря единственности. Сформулированная теорема 1.1.1 в работе [7] приводится без доказательства. Ее справедливость была проверена автором настоящей диссертационной работы. Поскольку ряд утверждений, используемых при доказательстве теоремы 1.1.1 понадобится нам в дальнейшем, то приведем здесь ее доказательство, которое опирается на леммы, аналогичные соответствующим леммам работы [23], сформулированным для случая скалярных функций при 7 = 1 Лемма 1.1.2 Пусть т Є R, тогда для дважды непрерывно дифференцируемых при t О функций g{t) справедливо следующее коммутационное соотношение Определим дробную степень оператора ( ) при а 0 следующим образом Подставляя это выражение в левую часть (1.1.10), получаем Отсюда следует, что доказательство (1.1.10) сводится к доказательству соотношения Пусть теперь s 0. Будем пользоваться следующим свойством дробной степени ( 3 ) : при Р а 0 для непрерывной функции g(t) справедли во \8h ytdt) [shytdtj 9{) {sh tdt) 9{t) Полагая — (/? — a) = s и взяв о; натуральным, мы из последнего равенства с помощью (1.1.10) приходим к (1.1.13), при этом опять можно выбрать/? 2. Докажем равенство (1.1.13). Используя интегральное представление (1.1.9) правую часть равенства (1.1.13) можно записать Для вычисления левой части равенства (1.1.13) продифференцируем дважды (1.1.9). Полученные интегралы будут сходящимися, так как/? 2. Проинтегрировав по частям полученные интегралы и воспользовавшись условием д(0) = 0, получим (1.1.13). Подробные вычисления ввиду громоздкости опускаем. Тем самым лемма доказана.

Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка

Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений при t —» со.

В последнее время в теории стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений получено немало окончательных результатов. Обзор публикаций но данной тематике можно найти в [18, 49]. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым по телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения. Работа [43] положила начало исследованиям по стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве постоянной отрицательной кривизны —72 0. В [43] рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны —72 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации решения уравнения теплопроводности u(t,x) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда 7 — 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако, в случае -72 0 они различны.

В [41] получено необходимое и одновременно достаточное условие стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве отрицательной кривизны любой размерности с помощью некоторых средних но шарам радиуса р с центром в точке х.

При исследовании стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, в зависимости от рассматриваемой задачи, критерий стабилизации можно формулировать в терминах ОФБ Yk(t) или ОФЛ Pf!{t) (см. [8] и имеющуюся там библиографию). Так в [8] в терминах Р (t) формулируется как необходимое, так и достаточное условие стабилизации решения задачи

В настоящей работе мы приводим условие, которое является одновременно и необходимым, и достаточным условием стабилизации. Это условие формулируется в терминах предела специальных усреднений функции P {t)vQ. В банаховом пространстве Е рассматривается абстрактная задача Коши (2.4.1), (2.4.2), где А - такой, что при к О, 7 О равномерно корректна задача Коши (1.1.1), (1.1.2), то есть А Є G].. Как отмечалось выше решение задачи (1.1.1), (1.1.2) имеет вид u(t) = Pj?(t)uo. Отметим, что функцию P (t)uo можно продолжить четным образом на всю ось и за продолженной функцией сохраним прежнее обозначение. Решение задачи (2.4.1), (2.4.2) имеет вид (см. [8]) lim V() = / только в том случае, когда для любого Пусть a(t) - бесконечно малая функция при t — оо . Учитывая (2.4.6), (2.4.7), для достаточно больших t О и малых 5 0 оценим норму разности Т.е., для любого є 0 и достаточно больших t справедливо неравенство \\V{t) - 1\\ є, а, значит, lim V{t) = I. Докажем обратное утверждение. Пусть теперь lim V(t) — I. Требуется доказать справедливость равенства (2.4.4). Выполнив в интеграле (2.4.5) замену переменной, будем иметь где г = 2@y/t. Воспользуемся теоремой 4.21.2 [48], согласно которой, если и(у) - ограниченная сильно измеримая функция, заданная на (—со; со) и со значениями в банаховом пространстве Е, и если для некоторой функции f(y) Є Ь\{—со; со), такой что

Обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра с ограниченным оператором

Уравнение (1.1.1) следуя [7], будем называть абстрактным уравнением Ле-жандра. Параметр у > О введен для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение (1.1.1) при 7-^0 превращается в абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона- с которым оно тесно связано и которое хорошо изучено (см.[4-6, 11, 12]). Определение 1.1.1. Решением задачи (1.1.1), (1.1.2) будем называть функцию u(t) Є С2((0, со), Е) П Cl([Q, со), ) П С((0, оо), D(A)), которая удовлетворяет уравнению (1.1.1) и начальным условиям (1.1.2). Определение 1.1.2. Задача Коши (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) называется равномерно корректной, если существует заданная на Е, коммутирующая с А операторная функция Pj!(t) (Yk(t)) и числа М > 1, и > 0 такие, что для любого щ Є D(A) функция Р^{Ь)щ (Yk(t)uo) является ее единственным решением, и при этом

Операторную функцию Р^{і) (^fc(O) назовем операторной функцией Ле-жандра ( в дальнейшем ОФЛ) (операторной функцией Бесселя ( в дальнейшем ОФБ)), а множество операторов Л, для которых задача (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) равномерно корректна, обозначим через G^ ((. Обозначим также через GQ = GQ множество генераторов косинус оператор-функций ( в дальнейшем КОФ). Далее в и. 1.1 перечисляются доказанные ранее утверждения и формулировки теорем, которые используются в дальнейшем изложении. Приводятся теоремы о сдвиге по параметру для задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)), согласно которым, если известно решение задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) при некотором к > 0, то можно получить решение задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) при значении параметра т > к. Указаны формулы для построения решения задачи (1.1.1), (1.1.2) прит < к, но в случае тп < к разрешающий оператор задачи Коши P(t) уже не будет, вообще говоря, принадлежать пространству линейных ограниченных операторов из Е в Е. Также приводятся формулы, выражающие операторную функцию Лежан-дра через операторную функцию Бесселя и формула для решения неоднородной задачи Коши При решении неоднородной задачи важно знать, области определения какой степени оператора А Є Gj. должна принадлежать функция /(), чтобы можно было использовать формулу для решения такой задачи Поскольку в формуле (1.1.21) при т Є (2 — к, к) присутствуют неограниченные операторы, то возникла необходимость изучения дифференциальных свойств ОФЛ JP^(), если А Є Gj., то есть оператор А = А{к) таков, что с ним равномерно корректна задача (1.1.1), (1.1.2). Сначала, основываясь на теореме о сдвиге по параметру для ОФБ исследуется, как изменяются дифференциальные свойства ОФБ Ym(t) с ростом параметра т. Отмстим,что в частном случае А Є Go аналогичная задача исследовалась ранее в [39]. Теорема 1.2.1. Пусть А Є G^, щ Є Е, т > к > 0, тогда функция УТТІ(і)щ будет п = [(т — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива оценка Теорема 1.2.2. Пусть А Є Gk, т> к, г Є N, тогда операторная функция Бесселя Ym(t) переводит область определения D{Ar) в D(Ar+^m~k^4^). Используя теорему 1.2.1 и формулы связи между операторной функцией Лежандра и операторной функцией Бесселя, затем исследуется изменение с ростом параметра т дифференциальных свойств и ОФЛ P^{t). Теорема 1.2.3. Пусть А Є ( щ Є Е, т > к > 0, тогда P^(t)u0 будет п = [{га — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива оценка. Теорема 1.2.4. Пусть А Є Gl, т > к, г Є N, тогда операторная функция Лео/сандра (ОФЛ) P(t) переводит область определения D{Ar) в Используя теорему 1.2.4 можно указать конкретную степень п оператора, позволяющую использовать формулу (1.1.21) для решения неоднородной задачи Коши. Теорема 1.2.5. Пусть т> к, п= [N/2] + 2 — [(т — к)/4], если 2 — га < к и п = 1, если 2 — m > к, N — наименьшее натуральное число, такое, что 2N + 2 — т > к. Тогда, определяемая формулой (1.1.21) функция u(t) является единственным решением задачи (1.1.22), (1.1.23). Аналогичная теорема доказывается для случая т < к. В первой главе наряду с дифференциальными свойствами исследуются также вопросы сохранения свойства равномерной корректности задачи Коши для уравнения Лежандра при возмущении оператора Л. В п. 1.3 оператор, порождающий ОФЛ, возмущается "подобным" себе, в п. 1.4 — ограниченным оператором, а в п. 1.5 — генератором соответствующей Со-группы (то есть оператор В2 возмущается оператором аВ). Теорема 1.3.2. Пусть для некоторого к > 0 Лі Є Gj., Л2 Є СРт_ь_і при т > к + 1, P}?(t, Аі) и P?n_k_i(t, А2) коммутируют па D = D(A\) П )(^2), D = E. Тогда замыкание оператора A\ + A2 принадлеоісит G^. Представление для ОФЛ Pf!(t, А\ + А2) ввиду его громоздкости выписывать не будем. В дальнейшем приведем его в частных случаях, когда А2 — ограниченный оператор или Лг — генератор сильно непрерывной группы. В следующей теореме через В(Е) обозначено пространство линейных ограниченных операторов из Е в Е.Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений при t —» со. В последнее время в теории стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений получено немало окончательных результатов. Обзор публикаций но данной тематике можно найти в [18, 49]. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым по телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения. Работа [43] положила начало исследованиям по стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве постоянной отрицательной кривизны —72 0. В [43] рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны —72 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации решения уравнения теплопроводности u(t,x) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда 7 — 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако, в случае -72 0 они различны. В [41] получено необходимое и одновременно достаточное условие стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве отрицательной кривизны любой размерности с помощью некоторых средних но шарам радиуса р с центром в точке х. При исследовании стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, в зависимости от рассматриваемой задачи, критерий стабилизации можно формулировать в терминах ОФБ Yk(t) или ОФЛ Pf!{t) (см. [8] и имеющуюся там библиографию). Так в [8] в терминах Р (t) формулируется как необходимое, так и достаточное условие стабилизации решения задачи В настоящей работе мы приводим условие, которое является одновременно и необходимым, и достаточным условием стабилизации. Это условие формулируется в терминах предела специальных усреднений функции P {t)vQ. В банаховом пространстве Е рассматривается абстрактная задача Коши (2.4.1), (2.4.2), где А - такой, что при к О, 7 О равномерно корректна задача Коши (1.1.1), (1.1.2), то есть А Є G].. Как отмечалось выше решение задачи (1.1.1), (1.1.2) имеет вид u(t) = Pj?(t)uo. Отметим, что функцию P (t)uo можно продолжить четным образом на всю ось и за продолженной функцией сохраним прежнее обозначение. Решение задачи (2.4.1), (2.4.2) имеет вид (см. [8]) lim V() = / только в том случае, когда для любого Пусть a(t) - бесконечно малая функция при t — оо . Учитывая (2.4.6), (2.4.7), для достаточно больших t О и малых 5 0 оценим норму разности Т.е., для любого є 0 и достаточно больших t справедливо неравенство \\V{t) - 1\\ є, а, значит, lim V{t) = I. Докажем обратное утверждение. Пусть теперь lim V(t) — I. Требуется доказать справедливость равенства (2.4.4). Выполнив в интеграле (2.4.5) замену переменной, будем иметь где г = 2@y/t. Воспользуемся теоремой 4.21.2 [48], согласно которой, если и(у) - ограниченная сильно измеримая функция, заданная на (—со; со) и со значениями в банаховом пространстве Е, и если для некоторой функции f(y) Є Ь\{—со; со).

Похожие диссертации на Оперативная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

Операторная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространствеГончарова Марина Алексеевна

К теории разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах ЛебегаГуломнабиев Сардор Гуломайдарович

О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весомАлиев Ислам Рзаханович

О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах СтепановаГорлов, Владимир Александрович

Пространства Соболева-Безиковича бесконечного порядка и разрешимость нелинейных уравненийГрошев, Лев Николаевич

Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах СоболеваГордеев Александр Николаевич

О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве Мерданова Наима Шамильевна

Нелинейные интегральные операторы и уравнения в пространстве ограниченных функцийЗимина Наталья Анатольевна

Задача Коши для параболических уравнений с некоторыми вырождениями в пространствах обобщенных функцийЖитарюк, Иван Васильевич

Задача Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений с начальными условиями в пространствах обощенных функций типа распределенийЛитовченко, Владислав Антонович