Введение к работе
Актуальность темы. Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования. Изучение дифференциальных уравнений в банаховом пространстве позволяет взглянуть с единой точки зрения как на обыкновенные дифференциальные уравнения, так и на уравнения в частных производных.
Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Хилле и Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имееются монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца, К. Иосиды, С. Г. Крейна, Т. Като, Дж. Голдстейна, и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп, а также обширные обзоры С.Г. Крейна и М. И. Хазана, В. В. Васильева, С. Г. Крейна и С. И. Пискарева научных публикаций, начиная с 1968 года.
Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных косинус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве.
Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t —» оо и т.д.
При рассмотрении ряда основных задач математической физики существенную роль играет уравнение Лежандра
(1 - z2)w"{z) - 1z vf(z) + v{v + l)iu(z) = 0,
которое также может быть записано в виде
u"(t) + cth t v!{t) - v {у + 1) u[t) = 0,
и исследованием которого начали заниматься в начале двадцатого века параллельно с далеко развитой теорией сингулярных уравнений Бесселя и Эйлера-Пуассона-Дарбу.
Аналогичная ситуация складывается и с соответствующими уравнениями в банаховом пространстве. В то время как абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу
u"(t) + ^u'{t) = Au(t)
РОЦІІДЦИІЖіШогіаі.
йНБЛИОТЕКА j
С Петербург їді t 03 Mttftm/M I
уже достаточно хорошо исследовано в работах Л. Брэгга, Дж.А. Дональдсона, Р. Кэррола, Р. Шоуолтера и др., абстрактное уравнение Лежандра
u"{t) + 7к cth jt u'(t) + ( u{t) = Au{t)
изучено сравнительно мало.
Изучение абстрактного уравнения Лежандра было начато в работах А. В. Гдушака, где исследовались некоторые свойства разрешающего оператора PjJ () задачи Коши для абстрактного уравнения Лежандра с линейным замкнутым оператором А. При этом ряд свойств, в частности, вопросы дифференцирования операторной функции Лежандра P%(t)„ возмущение оператора^ и др. остались не изученными.
Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений при t —> 00.
В последнее время в теории стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений получено немало окончательных результатов. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым по телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения.
Среди работ, посвященных исследованию стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, отметим монографию Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна, в которой поведение решения при t — оо определялось расположением спектра ограниченного оператора А, и статьи Дж. Голдстейна, С. Радина и Р. Шоуолтера, М.Л. Горбачука, В.М. Горбачука, где исследовался случай генератора равномерно ограниченной полугруппы. Отметим также работу А. В. Глушака и В. Д. Репникова, в которой критерии стабилизации сформулированы в терминах операторной функции Бесселя.
Во второй главе диссертации теоремы о стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка формулируются в терминах операторной функции Лежандра P^ify-
Часть теории некорректно поставленных задач составляют обратные задачи для дифференциальных уравнений, которые находят приложения в естественных науках (см. монографии АН. Тихонова и В.Я. Арсенина, М.М. Лаврентьева и др.).
В заключительной третьей главе изучается обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра. Устанавливаются условия однозначной разрешимости обратной задачи, содержащей ограниченный оператор. В случае неограниченного оператора приводится необходимое условие однозначной разрешимости обратной задачи.
Цель работы. Основной целью является исследование свойств операторной функции Лежандра, которая возникает при решении абстрактного уравнения Лежандра, изучение вопросов разрешимости абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра, нахождение необходимых и достаточных условий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка, получение условий однозначной разрешимости обратной задачи для уравнения Лежандра, содержащей ограниченный оператор.
Методы исследования; В работе используются методы функционального анализа и теории операторов в банаховом пространстве, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Наиболее важные из них:
Исследованы дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра.
Исследованы вопросы возмущения оператора, порождающего операторную функцию Лежандра, себе подобным оператором, ограниченным оператором и генератором группы.
Изучены вопросы разрешимости задачи Дирихле для сингулярного эллиптического уравнения и доказана теорема о регулярном возмущении.
Получены интегральные представления для решений различных итерированных уравнений, содержащих дифференциальный оператор Лежандра.
Найдено необходимое и достаточное условие стабилизации решения дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве, которое формулируется в терминах операторной функции Лежандра.
Указан критерий однозначной разрешимости обратной задачи для абстрактного уравнения Лежандра с ограниченным оператором.
Практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные результаты и методы их обоснования могут быть использованы в дальнейшем при установлении корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях "Понтрягинские чтения ХП XIII" (Воронеж, 2001, 2002), в Зимней математической школе (Воронеж, 2002), на международной конференции по функциональному анализу (Воронеж, 2003), а также на семинарах кафедры уравнений с частными производными и теории вероятностей ВГУ (2000 - 2003 г. г.), проф. Репникова В.Д. (2000 - 2003 г. г.), семинарах проф. Баскакова А.Г. в 2003 г. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [8].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы. Объем работы 92 страницы. Библиография содержит 55 наименований.
Похожие диссертации на Операторная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
