Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоремы существования и единственности
1.1. Стационарные уравнения 26
1.2. Нестационарные уравнения 51
1.3. Примеры 59
ГЛАВА II. О нормальной разрешимости
2.1. Теоремы о размерностях ядра и коядра 68
2.2. Теорема о нулевом индексе 81
Литература 87
- Стационарные уравнения
- Нестационарные уравнения
- Теоремы о размерностях ядра и коядра
- Теорема о нулевом индексе
Введение к работе
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом возникают в самых разнообразных областях современной науки и техники: автоматике и телемеханике, радиоэлектронике и электрорадиосвязи, радиолокации и радионавигации ([46],[51]), в теории упругости, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе ([19],[36],[46]), в математической теории управления [53], биолого-математической теории флуктуации совместно живущих видов [18], при описании изменений антигенов и антител в организме [48], при описании явлений микромира, задачах теории поля, релятивистской динамике, физике плазмы, физике твердого тела [49]. Применения дифференциально - функциональных уравнений "пронизывают все ветви современной науки" ([10],с.9).
Согласно [44] дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом (ДУ с ОА) называется уравнение, в которое искомая функция и ее производные входят при различных значениях аргумента t. Учет "феномена запаздывания" важен для правильного качественного и количественного описания различных систем и процессов. Пренебрежение наличием даже малых запаздываний ведет к парадоксальным выводам [29].
Во многих случаях системы с последействием и запаздыванием можно рассматривать как системы с сосредоточенными параметрами, но некоторые системы имеют звенья с существенно распределенными параметрами (системы управления прокатными станами, нагревательными печами, гидротехническими сооружениями [51], биодинамические системы [18], длинные электрические линии [29], уравнение нелокальной квантовой теории поля [49]).
Первоначальное появление ДУ с ОА в 18 веке связывается с именами Кондорсе, Эйлера и Бернулли. Наиболее ранние исследования задач, сводящиеся к решению ДУ с ОА принадлежат Эйлеру [52]. Первая из этих задач была опубликована в его работе 1751 года "Новый метод нахождения взаимных алгебраических траекторий".
С середины 20 века теория дифференциально - разностных уравнений получила значительное развитие. Существенно способствовал этому интерес к теории автоматического регулирования. Имеется обширная библиография (главным образом относящаяся к случаю конечномерного пространства), посвященная различным аспектам этой теории. Отметим монографии А.Д.Мышкиса [44], Р.Беллмана, К.Кука [10], Дж.Хейла [55], Э.Пинни [48], Л.Э.Эльсгольца [58], С.Б.Норкина [46], Н.В.Азбелева [2], В.Г.Курбатова [34], Г.А.Каменского, А.Л.Скубачевского [24], В.Б.Колмановского, В.Р.Носова [29], А.А.Миролюбова, М.А.Солдатов [43], авторы которых внесли значительный вклад в развитие теории ДУ сОА.
Теория уравнений с ОА со значениями в банаховом прстранстве в целом разработана менее, чем для уравнений без отклонений аргумента.
Уравнение _?# = / с линейным оператором .if : Q) -» I?, где В -банахово пространство, а @ - банахово пространство, изоморфное прямому произведению В хЖп, называется абстрактным функционально - дифференциальным уравнением [2]. Теория абстрактного функционально - дифференциального уравнения сформировалась за последние годы и начинает играть заметную роль в различных исследованиях. В [2] общая теория абстрактного функционально - дифференциального уравнения использована для изучения линейного скалярного уравнения п - го порядка и некоторых классов импульсивных систем, при изучении приводимости нелинейных уравнений, в математическом моделировании детерминированных линейных систем.
Основы теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторами в банаховом пространстве были заложены в работах Э.Хилле Р.Филлипса [56], К.Иосиды [23], Т.Като [27]. Дальнейшее развитие их фундаментальные результаты получили в работах С.Агмона, Л.Ниренберг [1], С.Г.Крейна [32], СЯ.Якубова [59].
Теория слабых и обобщенных решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве рассмотрена Лионсом Ж.-Л. и Ма-дженесом Э. в [35].
Изучением операторных интегро - дифференциальных уравнений в банаховом пространстве занимался Я.В.Быков [11].
В последнее время появилось немало работ, в которых изучаются вопросы разрешимости и устойчивости для функционально - дифференциальных уравнений в банаховых и, в частности, в гильбертовых пространствах (см. [4] - [8], [12] - [17], [38], [41], [42], а также указанную там литературу).
В работах [12] - [17] В.В.Власовым получены результаты о нетеровой и корректной разрешимости в весовых пространствах Соболева некоторых начально - краевых задач на полуоси для некоторого класса функционально - дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, включающих в себя некоторые интегро - дифференциальные уравнения, а также дифференциально - разностные уравнения с операторными коэффициентами. В [13], [15] изучены некоторые свойства оператор - функций, являющихся характеристическими многочленами уравнений u'{t) + Cu{t) + BCu(t) + І' Ki(t- s)Cu(s)ds + f K2(t, s)Cu{s)ds = f(t), u'(t) + (I+Bi)Au(t)+ J Ki{t-s)Au(s)ds+Y^Q^-h^CjAu^t-hj) = f(t) І з=і с компактными операторами В\ , Cj в гильбертовом пространстве. Ряд результатов о разрешимости и устойчивости для интегро - дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием приведены в работе Миллера К. [41].
Малыгина В.В. в [38] установила теоремы об устойчивости для уравнения x'(t)+ J dTR(t,s)x(s) = 0, t^r (тЄЯ+), (1) где R : А —> Л?(В), 56'(В) - банахова алгебра действующих из В в В линейных ограниченных операторов с естественной нормой и единицей Е, R+ = [0,+оо); Л = {(, s) Є R+ х R+ : t ^ s}. При некоторых предположениях относительно функции R(tj s), при любой начальной точке г Є Л+ решение уравнения (1) с заданными начальными условиями существует, единственно и имеет представление x(t) = C(t, т)х(т), где C(t,r) : А —> Л?(В) - функция Коши уравнения (1).
Вопросы разрешимости и устойчивости д,л.я уравнения (1) в конечномерном пространстве исследованы в [2], [3].
В работе [28] М.Квапиша установлены теоремы о существовании, единственности и сходимости последовательных приближений для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида x'(t) = F I t,x(t), / g0(t,s,x(s))ds, / gx (t,s,x(t - s)) dari(s,t),... ..., / gi(t,s,x(t-s))d8ri{s,t) в банаховом пространстве, являющихся обобщением дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, рассмотренных в работе [44].
Некоторые результаты о разрешимости и устойчивости для уравнения ь x'(t) — / d8K(t,s)x(t — s) = f(t) в конечномерном пространстве устано- влены в [29].
Наиболее близкими к предмету настоящего исследования являются работы Р.Г.Алиева [4] - [7] по изучению операторно - дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида Dtu(t) - J2 \АІ + AJ(01 u (* - hi - MO) = /(0 (2)
Алиевым Р.Г. получены условия на резольвенту R(X), коэффициенты Aj , Aj(t), отклонения аргумента hj , hj(t), j = 0,га и правую часть /(), обеспечивающие однозначную и нетеровую разрешимость уравнения (2), устойчивость и асимптотическую устойчивость решений уравнения (2). Причем было доказано существование как односторонних, так и двусторонних, т.е. существующих на всей оси, решений. Были также исследованы вопросы разрешимости и устойчивости для уравнения (2) с периодическими и почти - периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента.
Целью настоящей диссертации является изучение функционально -дифференциального уравнения второго порядка
1 / т Lpou(t) =D2tu{t) -YL\H 1Лк* + ^(01 ShkJ+hhitt) + fe=0 \j=0 + Jdr [Ak(r) + Bk(t,t)] St J Dktu(t) = /(0, (3) t > to ^ —oo, -co < a ^ b < со, коэффициентами которого являются оператор - функции, принимающие значения в множестве, вообще говоря, неограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Рассматриваются случаи как постоянного, так и переменного запаздывания.
Такое уравнение до настоящего времени не было исследовано.
Нами получены условия, обеспечивающие корректную разрешимость уравнения (3) в пространствах с экспоненциальным весом вида exp(2at), аІ, исследована нормальная разрешимость уравнения в смысле конечномерности ядра и коядра оператора Lpo. Условия накладываются на резольвенту, оператор - функцию, являющуюся квазимногочленом данного уравнения, операторные коэффициенты, отклонения аргумента и правую часть.
Отличие приводимых в данной работе результатов от предыдущих состоит, прежде всего, в иной интерпретации решения, представления его в явном виде, наложении условий на резольвенту, переменные отклонения аргумента. Наличие в уравнении "распределенного запаздывания" требует менее ограничительных условий на оператор - функцию Bk(t,r).
Стационарные уравнения
В этом параграфе рассматривается уравнение с постоянными операторными коэффициентами Akj Є B(X,Y), к = = 0,1, j = 0,m, оператор - функциями ограниченной вариации в равномерном смысле Ак(т), к — О,1, причем полагается hkj О, г О при to —oo, fc = 0,1, j = 0,m. Уравнение вида (1-1.1) является фактически обобщением дифференциально - разностных уравнений второго порядка и содержит в себе уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом, а также классические уравнения. В случае to —oo для t to решение полагается известным: u k\t) = gk(t), uW(t0+0)=gk(t0), fc = 0,l. Без ограничения общности можно считать gk(t) = 0 (См. замечание в конце параграфа). ТЕОРЕМА 1.1.1. Для того, чтобы оператор Lp : C!to Y IQ o = — oo ( o —oo) был непрерывно обратим, необходимо и достаточно выполнение условий: резольвента RP(X) регулярна, \\XRP(X)\\X — 0(1), ]JA2-Rp(A)y = 0(1), Л — oo, ImX — a {ImX а). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай to = —oo. Достаточность. Формально применив к уравнению (1.1.1) преобразование Фурье, получим Существование функции й(А) = ЯР(А)/(А) следует из условий теоремы на f(i)j RP(X) и теоремы Планшереля. Рассмотрим функцию и формальные ее производные Так как функции #Р(А)/(А), АЯР(А)/(А), X2Rp(X)f(X) Є L2(ImX = a) в силу условий теоремы, то из равенств и теоремы Планшереля следует существование функций u(t), u (t), u". Докажем сильную непрерывность u(t), полагая для простоты ImX = a неравенство Коши - Буняковского, получим при г = /І_І , С = const. Для Ve 0 возьмем 5 = є8с-4, тогда при /г 8 имеет место неравенство \\u(t + h) — u(t)\\x є, что означает сильную непрерывность функции u{t) в пространстве X. Аналогично доказывается сильная непрерывность функции u {t) в пространстве Y, используя условия Абсолютную непрерывность функции u (t) покажем непосредствен г но- Обозначим u N(t) = —4— / iXexp(iXt)Rp(X)f(X)dX. Тогда u (t) = г v п -N = \A.mu N(t). Пусть tj{t) = lim u {t) в Y. Для последовательно N—too АГ—юо сти г4дг(і), сходящейся в L2(]R, У), существует подпоследовательность u N (t), сходящаяся почти всюду: lim u NAt ) — u {t ) (См., напри t мер, [30], c.445). Теперь, рассматривая интеграл Ju (s)ds, заметим, стороны / u x(s)ds — fw(s)ds. Значит u {t) —u {t ) = f u (s)ds, и no теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега ([30], с.345), функция и {і) есть почти всюду дифференцируемая функция. Аналогично доказывается сильная дифференцируемость почти всюду функции u(t) в X. То, что функция u(t), определяемая равенством (1.1.2) является решением уравнения (1.1.1) проверяется непосредственной подстановкой.
Единственность решения доказывается методом от противного. До пустим существование еще одного решения (t) ф u(t). Обозна чим U(t) = u(t) -#( ) Имеем U{t) Є Х%а и LpU(t) = 0, тогда jL U(X) = Rp(X)0, откуда U(X) = 0 или U(t) = 0 почти для всех зна чений t Є R в силу теоремы Планшереля. Далее, докажем что u(t) Є XR,a для любой функции f(t) Є У а В силу условий теоремы и равенств (1.1.3), используя теорему Планшереля, получим оценки: \\exp{at)u(t)\\L2{RjX) = w(A)L2 C\\RP(\)\\X 11/(0 HR"» \\exp(at)u (t)\\L2iRtX) = XRp(X)f(X) L2(Im\=a,X) L2(Im\=a,X) единственное решение гф), определяемое равенством (1.1.2) и принадлежащее пространству XR a, т.е. L l существует. Оператор Lp : XR a — YR,a как сумма замкнутого оператора D] [21] с областью определения $){D\) С IR Q и ограниченного оператора ЛР = Е (І А , + (dAk(r)ST ] Z : в " i,e, fc=o V=o і / причем $){р\) С (Лр), является замкнутым оператором на @(D%) (см.[56], с.58). В силу доказанного существует оператор L l : YRa — — -XR ", который является замкнутым оператором (см. [56], с.55). Так как область определения (L"1) = YR,a то L"1 - ограниченный оператор (см. [56], с.60) и справедлива оценка u()R a c/(0IU a , где константа с не зависит от нормы резольвенты Rp(\). Значит можно заключить, что оператор Lp : XR a — YR,a непрерывно обратим, ч.т.д. Доказательство необходимости. Пусть Lp : XRa - YR a непрерывно обратим. Тогда R(LP) = YR,Q и для всех u(t) Є XRa выполняется неравенство \\«(щ1а с\\т\ , (1.1.4) с константой с 0, не зависящей от нормы резольвенты. Докажем, что резольвента RP(X) регулярна на ImX = а методом от противного. Допустим, что на прямой ImX = а имеются точки, принадлежащие точечному спектру Ра операторного квазипучка Пусть Ао Ра, т.е. 3 р0 Є X, \\ р0\\х = 1, L(X0)ip0 = R-1 ) = 0. Введем в рассмотрение функцию иє(і) = ехр (г(Ло + іє)і) r)(t)(po, где2 + m
Нестационарные уравнения
Исследуется уравнение с малыми в некотором смысле переменными возмущениями Akj(t), hkj {t), Вк {t, т), j = 0, m, к = 0,1. В этом случае выявляется специфика уравнения с отклоняющимся аргуентом. Известная теорема о том, что если оператор А обратим, а норма оператора В не превосходит числа - 4-1 , то оператор А + В тоже обратим [30], не переносится очевидным образом на случай оператора Lpo. Для доказательства основной теоремы нам понадобятся следующие леммы. $ ЛЕММА 1.2.1 ([7], С.26). Если А : Y -у Y - замкнутый оператор, А : X — Y — вполне непрерывный оператор, то Ve 0 ЗХА (Є) что имеет место неравенство ЛЕММА 1.2.2. Если A:Y - Y - замкнутый оператор, А: X -+Y -вполне непрерывный оператор, h(t) Є HR, t ЄШ, то для любого у О существует є О такое, что при \h(t)\ є справедливо неравенство \\А (Sm - 1) N«C 7М )ІІЇ" . k = 0,1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 1.2.1 для V5 0 существует %д ( ) j что имеет место Произведя замену переменной во втором интеграле, применяя неравенство Коши - Буняковского к третьему интегралу, предварительно умножив подынтегральное выражение на exp(as)exp(—as), получим где -1(s) - функция, обратная для функции 5 = ip(t) =t — h(t). Так как \h(t)\ є, то -1(s) — s є, поэтому где под dr.Bfc(,T)y понимается функция dT I у Bk(t,s) J . Таким образом, (lILiuWIlJ") e? (МОІІЇ") , т.е. Z,lljf.-.,, - e,. Выберем є 0 так, чтобы выполнялось неравенство є\ \ Ц- РІІ Это значит, что существует ограниченный обратный оператор Lpo к а - - R и лля любой правой части f(t) Є YR a существует единственное решение уравнения Lpou(t) = /() причем справедливо неравенство u(i)R Q c/(t)R,a , где постоянная с не зависит от а. Для случая to —оо теорема доказывается аналогично. То, что u(t) = О при t to доказывается используя последнее неравенство как и в теореме 1.1.1. ТЕОРЕМА 1.2.2. При выполнении условий: a) Akj : У — У - замкнутые операторы, j = 0, m, к = 0,1, Akj : X -ї У - вполне непрерывные операторы, j = l,m, к — 0,1, АкоеВ(Х,У), к = 0,1; б; /ifcj() Є ЯМ _, А; = 0,1, j = T fK; в)резольвента RP(X) регулярна, \\XRP(X)\\X = 0(1), A2-Rp(A)r = 0(1), Л — оо, ImX a; rj/(t) Є ,a, ACRV0 существует є 0 такое, что если ЩлДОНг є І іСОІ » ь sup / тДк(,т)у є, t Є R, A; = 0,1, j = 0,m, то уравнение (1.2.1) tR J a имеет еди любого у О существует є О такое, что при \h(t)\ є справедливо неравенство \\А (Sm - 1) N«C 7М )ІІЇ" . k = 0,1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 1.2.1 для V5 0 существует %д ( ) j что имеет место Произведя замену переменной во втором интеграле, применяя неравенство Коши - Буняковского к третьему интегралу, предварительно умножив подынтегральное выражение на exp(as)exp(—as), получим где -1(s) - функция, обратная для функции 5 = ip(t) =t — h(t). Так как \h(t)\ є, то -1(s) — s є, поэтому где под dr.Bfc(,T)y понимается фун некотором смысле переменными возмущениями Akj(t), hkj {t), Вк {t, т), j = 0, m, к = 0,1.
В этом случае выявляется специфика уравнения с отклоняющимся аргуентом. Известная теорема о том, что если оператор А обратим, а норма оператора В не превосходит числа - 4-1 , то оператор А + В тоже обратим [30], не переносится очевидным образом на случай оператора Lpo. Для доказательства основной теоремы нам понадобятся следующие леммы. $ ЛЕММА 1.2.1 ([7], С.26). Если А : Y -у Y - замкнутый оператор, А : X — Y — вполне непрерывный оператор, то Ve 0 ЗХА (Є) что имеет место неравенство ЛЕММА 1.2.2. Если A:Y - Y - замкнутый оператор, А: X -+Y -вполне непрерывный оператор, h(t) Є HR, t ЄШ, то для любого у О существует є О такое, что при \h(t)\ є справедливо неравенство \\А (Sm - 1) N«C 7М )ІІЇ" . k = 0,1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 1.2.1 для V5 0 существует %д ( ) j что имеет место Произведя замену переменной во втором интеграле, применяя неравенство Коши - Буняковского к третьему интегралу, предварительно умножив подынтегральное выражение на exp(as)exp(—as), получим где -1(s) - функция, обратная для функции 5 = ip(t) =t — h(t). Так как \h(t)\ є, то -1(s) — s є, поэтому где под dr.Bfc(,T)y понимается функция dT I у Bk(t,s) J . Таким образом, (lILiuWIlJ") e? (МОІІЇ") , т.е. Z,lljf.-.,, - e,. Выберем є 0 так, чтобы выполнялось неравенство є\ \ Ц- РІІ Это значит, что существует ограниченный обратный оператор Lpo к а - - R и лля любой правой части f(t) Є YR a существует единственное решение уравнения Lpou(t) = /() причем справедливо неравенство u(i)R Q c/(t)R,a , где постоянная с не зависит от а. Для случая to —оо теорема доказывается аналогично. То, что u(t) = О при t to доказывается используя последнее неравенство как и в теореме 1.1.1. ТЕОРЕМА 1.2.2. При выполнении условий: a) Akj : У — У - замкнутые операторы, j = 0, m, к = 0,1, Akj : X -ї У - вполне непрерывные операторы, j = l,m, к — 0,1, АкоеВ(Х,У), к = 0,1; б; /ifcj() Є ЯМ _, А; = 0,1, j = T fK; в)резольвента RP(X) регулярна, \\XRP(X)\\X = 0(1), A2-Rp(A)r = 0(1), Л — оо, ImX a; rj/(t) Є ,a, ACRV0 существует є 0 такое, что если ЩлДОНг є І іСОІ » ь sup / тДк(,т)у є, t Є R, A; = 0,1, j = 0,m, то уравнение (1.2.1) tR J a имеет еди любого у О существует є О такое, что при \h(t)\ є справедливо неравенство \\А (Sm - 1) кция dT I у Bk(t,s) J . Таким образом, (lILiuWIlJ") e? (МОІІЇ") , т.е. Z,lljf.-.,, - e,. Выберем є 0 так, чтобы выполнялось неравенство є\ \ Ц- РІІ Это значит, что существует ограниченный обратный оператор Lpo к а - - R и лля любой правой части f(t) Є YR a существует единственное решение уравнения Lpou(t) = /() причем справедливо неравенство u(i)R Q c/(t)R,a , где постоянная с не зависит от а. Для случая to —оо теорема доказывается аналогично. То, нственное решение u(t) такое, что u(t) = 0, t $С to . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть d(t) = Q(t)U(t), где U(t) = ui(t) - u2{t), ui(t),U2{t) - различные решения уравнения (1.2.1) и 6(0 = (1, w \0, t T+l, T-h, Т-\ G( )GC(R), Tel, h = max{hkj,b}. Действуя оператором Lpo на "0{t), имеем Lpo0(t) = U{t)D2Q(t) + 2DtU(t)Dte(t) + e(t)D2U(t) - E (E Hfci + 4yMl SfcW+fcfci(o + /V И М + Bk(t,r)\ sT) x
Теоремы о размерностях ядра и коядра
Ранее мы доказали, что уравнение (1.2.1) при малых переменных возмущениях Akj(t), hkj{t), Bk{t,r), к = 0,1, j = 0,m, t 6 К имеет единственное решение в пространстве XR . Здесь мы докажем при более слабых условиях на возмущения нормальную разрешимость этого уравнения в пространствах XR a, YR ,а, предполагая компактное вложение X в У. Напомним, что действующий в банаховом пространстве оператор А называется фредгольмовым (F — оператором), если он имеет замкнутый образ, конечномерное ядро и коядро [5]. Для доказательства основных теорем нам понадобится ТЕОРЕМА АРЦЕЛА [1]. Пусть X компактно вложено в У. Если семейство функций {u(t)}, определенных на компакте [a,b] равномерно ограничено по норме пространства X и равностепенно непрерывно по норме пространства Y, то это семейство компактно в Y. ТЕОРЕМА 2.1.1. Для конечномерности ядра оператора Lpo достаточно выполнения следующих условий: a)Akj : Y — У - замкнутые операторы, j = О, тп, к = 0,1, Akj : X — У -вполне непрерывные операторы, j = l,m, к = 0,1, Afc0 Є В(Х,У), к = 0,1; существует lim I Mfcj( )r + I \\dTBk(t,r)\\Y + \hkj(t)\ І = 0, M V J J к = 0,1, j = 0,m; hkj(t) Є HR, к = 0,1, j = l,m; б)резольвента RP(X) регулярна, АЯР(А)Х = 0(1), А2і?р(А)у = = 0(1), A - oo, ImX = a. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу замкнутости оператора Lpo, решения од + Далее, проинтегрировав равенства Antf(A) = АПЯР(А)Ф(А), n = 1,2 вдоль прямой ImX = а и применяя теорему Планшереля, получим /ЛЛІ«2 Так как $() = u(t) для t ti + N\, то выбрав є = є\(сі + сг + C3)2 , ЛГ(ё) = t! + JVi, из (2.1.3), (2.1.4), (2.1.5) получим аналогично докажем справедливость и первого из неравенств (2.1.1). Очевидно, что множество решений уравнения Lpou(t) = О, llw(0llit a = 1 равномерно ограничено по норме пространства Y,_fNN-i вместе со всеми производными. Действительно, \\u(t)(LN м) I1W(0IIR = ! Так как равномерно ограничены по норме Y,J N и его производные, то отсюда следует равностепенная непрерывность множества решений и{і) Є Кег Lpo. По теореме Арцела отсюда следует компактность семейства решений u(t) в У(_1 Л0 что означает существование є -сети: ui(t),v,2(t),... ,un(t) в Y, ltfN\- Обозначим через u (t) Є YR a функции Ui(t), і = 1,п, продолженные нулем на всю ось. Имеем +
Таким образом, функции и (t), і = 1,п образуют є = у/Зє - сеть для множества решений u(t) в пространстве YR,а, что означает компактность семейства { /()} в пространстве Уж,а. Так как КетЬро -замкнутое подпространство пространства У а, то по теореме о локальной компактности линейного нормированного пространства ([37], с.70), отсюда следует конечномерность ядра оператора Lpo : XR,ot — Y ,a. ТЕОРЕМА 2.1.2. При выполнении условий: a)Akj, Akj{t) :Y -+Y - замкнутые операторы, j = 0,га, к = 0,1, Akj, Akj{t) : X - Y - вполне непрерывные операторы, j = l,m, к = 0,1, Л о, Ako{t) B(X,Y), к = 0,1; существует \t ІІГІ I Hfci Wll + У А:( Х)Г + ДЛІ(0! J =0, Л = 0,1, j = 0,m, hkj(t) Є #R, fc = 0,1, У = l,m; Uj() сильно непрерывны по f GR, i = 0,m, A; = 0,1; Bk(t,r) непрерывны по вариации при t Є №. ь lim f \\dr [Bk(t + /i,r) - Л( ,т)]у = 0, Л = 0,1; a 6)Vt резольвенты Лр(Л) и R{X,t) = ( X2E - ]ГЛ (Ak0 + -Afc0(t)) ) \ Jfc=0 / регулярны, причем ЛЯр(Л)х = 0(1), А2Яр(л)г = 0(1), \\XR(\,t)\\x = 0(1), А2Д(А,г)у = 0(1), Є R, A -+ со, /mA = a коядро оператора Lpo : XR a — V 0 является конечномерным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО заданному є 0 возьмем ЛГ = N(e) так, ь ЧТобы ДЛЯ N ВЫПОЛНЯЛОСЬ \\Akj(t)\\y , / fl?TI?fc(, T)y Є, /i -(t) є, j = 0,т, Аг = 0,1. Сегмент [—iV,JV] покроем системой интервалов Дг-,г = 2,п —1, такими чтобы для Vti,t2 Є Аг выполнялись неравенства Afco(i) — 0( 2)Ну & = 0,1. Рассмотрим п r?W Є CQ30, supp Г7г(0 С Д,, J3»7i(0 = 1, є R, RIN = (-00,-N) С t=i Заметим, что для этих уравнений выполнены все условия теоремы 1.2.1, с Яр(А) = R(X,U), і = 2,п-1, Rp{\) = Rp{\), г = 1, г = n, /(і) = /І(0» = 1,та, и значит, каждое из этих уравнений имеет единственное решение Ui(t) Є XR,a, для которого справедлива оценка ІМ )ІІЇ" еВ/( )С. = ІЯ (2-1-7) Воспользуемся функцией 0»() Є Со 1, t Є згфр 77«( ) С А», t Д Э Ai, «« = {І n т.е. rji(t) = 0"j()77i(). Для i?() = y2 7i(t)ui(t), t Є Ш, имеем і=1 п n LPOm = x w/t w+ /(0 = 5 (Ф М/(О+л/м І=1 1 = 1 Если мы докажем, что оператор А : У ,а —У YR,a является вполне непрерывным, то вопрос разрешимости уравнения Lpod(t) = ip(t), і G К, выясняется теоремами Фредгольма [30]. Покажем, что А переводит ограниченное множество w(0 И/(011к cr в компактное
{И/(011К }. Так как n(t) = 1 для t Є Rl (J + , то D a t) = 0, к = 1,2, і = 1, г = п. Далее, (і - Shkj+hkj(t)) Jf(0 = 0, (1 - Я) Сг(0 = 0, = 1, г = п, JGRI LW, N N, W -W = max{/ijy,a,6} + e, є 0. Зна-чит (А/)! (0 = (Af)n (0 = 0, т.е. (Л/j (0 = 0 вне интервала [-JV , N ]. По теореме Арцела для компактности множества {(Af) (0} необходимо и достаточно, чтобы элементы этого множества были равномерно ограничены и равностепенно непрерывны в пространстве Y, N, N,y что означает равномерную ограниченность множества {(Af) (t)}. Докажем равностепенную непрерывность элементов этого множества, т.е. покажем, что каково бы ни было наперед заданное число є 0, найдется такое число 6 0, зависящее только от є, что для всякого элемента рассматриваемого семейства при любом t Є (—N i N ), если только \h\ 6. Оценим эту норму для каждого слагаемого в выражении для {А/) (t) в отдельности. 0,а (-N ,N ) dt Тогда, пользуясь непрерывностью u\ (і), a\ (), hkj(t), к = 0,1, применив лемму 1.2.1 к первому слагаемому, используя ограниченность \\Akj-\- Akj(t)\\Y во втором слагаемом и непрерывную зависимость Akj(t) от t Є Ш в последнем, получим оценку
Теорема о нулевом индексе
В этом параграфе при некоторых условиях на резольвенту мы покажем фредгольмовость оператора Lpo — Ї7 ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть выполнены условия: a)Akj :Y —yY - замкнутые операторы, j = 0,m, k = 0,1, Akj : X —У Y -вполне непрерывные операторы, j = l,m, к = 0,1, Ако Є В(Х, Y), к = 0,1; существует регулярна, АДР(А,7)Х = 0(1), А2ДР(А,7)У = 0(1), Л - оо, ImX = a, lim Яр(А,7)Их = 0? Im\ = a. Тогда ядро оператора (LPQ — г 7) : XR,a — YR a при достаточно больших значениях 7 равно нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Аналогично тому, как мы это делали в доказательстве теоремы 2.1.1, можно показать, что для нормированных единицей решений уравнения (Lpo — ij) u(t) = 0 имеют место оценки: + Остается показать, что существует 7 (є) j такой что для 7 7() выполняется неравенство (011г лглг) є- Для этого рассмотрим функцию Так как fi(t) Є L2 {{-N , N ) ,X), N = N+S, то применив к последнему уравнению преобразование Фурье, получим $(А) = Rp(\, y)F(X), Щ По теореме Планшереля По условию б) теоремы для V є 0 3(7 = G(e), что для І7І G, ЦДр(А,7)ІІх е. В силу произвольности є 0 отсюда следует ti()/!?N N\ Тогда u()R a є, откуда в силу произвольности є 0 следует утверждение теоремы. ТЕОРЕМА 2.2.2. Пусть выполнены условия: a)Akj, Akj{t) : Y — Y - замкнутые операторы, j = 0, га, к = 0,1, Akj,Akj(t) : X —» У - вполне непрерывные операторы, j = 1,га, & = 0,1, .Afco, Цо(0 Є #(- ) & = 0,1, Л () сильно непрерывны по t El, j = 0,m, fc = 0,1; -?&(, т) непрерывны по вариации при t Є R: б А; = 0,1, j = 0,m; hkj{t) Є HR, к = 0,1, j = 1,га; б)резольвенты Rp (A, 7), Я(Л, 4,7) = Є Ш регулярны на прямой ImX = a, ЛІ?Р(Л,7) x = 0(1), A — oo, Im\ = a; nm( (A,7)x + (A,t,7)x)=0, GR, ImX = a; B)f(t)eY a. Тогда коядро оператора (Lpo — г 7) : XR,a — Y a при достаточно больших значениях 7 равно нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как мы находимся в условиях теоремы 2.1.2, то повторяя рассуждения доказательства упомянутой теоремы применительно к уравнению (Lp0 — і у) u(t) = /( ), получим компактный опе ратор Af{t) = ]Р (Af){ (t) и оценку »=i Так как щ(і) Є Xa, то применив преобразование Фурье, получим Тогда по теореме Планшереля Умножив обе части (2.2.1) на А имеем что означает в силу последних условий пункта б) теоремы Луо,а_ уо,а є 1 для достаточно больших значений 7- По известной теореме это доказывает, что уравнение (Е + A) f(t) = ф{І) имеет единственное решение для V ф(Ь). Так как (I + A) f(t) =
О имеет единственное решение, то и (I -\- A ) f(t) = О имеет единственное нулевое решение, то есть коядро оператора Lpo — 27 равно нулю. СЛЕДСТВИЕ 2.2.1. При выполнении условий теоремы 2.2.2 индекс оператора (Lpo — 27) : XR,a YR a Р&вен нулю. СЛЕДСТВИЕ 2.2.2. В условиях теоремы 2.2.2 из единственности решения уравнения (1.2.1) в пространстве XRa следует его существование. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть уравнение (2.1.1) имеет единственное решение. Это означает, что ядро оператора Lpo равно нулю. Так как мы доказали фред-гольмовость оператора (Lpo — 27) для любого действительного 7 [33], то индекс оператора Lpo тоже равен нулю. Значит, коядро оператора Lpo тоже равно нулю, т.е. YR a \ ImLpo = 0, Lpo : XR a — YRa и по теореме Банаха существует линейный ограниченный оператор L } : YR,a - XRa, что означает существование решения u(t) = = Lf(t). 1. Адтоп S., Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differential Equation in Banach Space // Comm. on pure and appl. Math. V. 16. 1963. P. 121-239. 2. Азбелев H.B., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 3. Азбелев Н.В., Сулавко Т.С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. Т. 10, № 12. 1974. С. 2091-2100. 4. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 274, JV» 6. 1979. С. 1289-1291. 5. Алиев Р. Г. К вопросу о необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 267, № 1. 1982. С. 11-14. 6. Алиев Р.Г. Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Диффференц. уравнения. Т. 23, JY 4. 1987. С. 555-568. 7. Алиев Р.Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами. Махачкала: Изд-во Даг-госуниверситета, 1992. 8. Асланов Г.И. О дифференциальных уравнениях с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Матем. заметки. Т. 53, № 3. 1993. С. 153-155. 9. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков: Вища школа, 1977. 10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
Похожие диссертации на О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве
