О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом Алиев Ислам Рзаханович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Теоремы существования и единственности 23

1.1. Уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента 24

1.2 Случай маловозмущенного уравнения 43

ГЛАВА II. О нормальной разрешимости уравнения 50

2.1. Конечномерность ядра оператора Lpo 50

2.2 Конечномерность коядра оператора Lp0 55

2.3 Индекс оператора Lpo 64

ГЛАВА III. Уравнение в полупространстве 73

3.1 Вспомогательные леммы 73

3.2 Случай начальной задачи 76

3.3 Некоторые замечания по уравнениям с линейным отклонением аргумента 81

Литература

• Случай маловозмущенного уравнения
• Конечномерность коядра оператора Lp0
• Индекс оператора Lpo
• Случай начальной задачи

Введение к работе

Характерной особенностью современной теории дифференциальных уравнений состоит в использовании абстрактной теории операторов в гильбертовом пространстве. Это можно объяснить тем, что различные задачи могут быть записаны в виде уравнения Lu = f, изучение которого

позволяет отвлекаться от специфических и частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче, сосредоточив внимание на наиболее общих закономерностях. Другим преимуществом этой теории является то, что уравнения с неограниченными операторными коэффициентами охватывают как частный случай уравнения с частными производными, изученными не достаточно.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились еще в XVIII веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи были даны в диссертации А.Д. Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950).

Разработка теории таких уравнений начата, в основном, во второй половине 20 - века под влиянием запросов техники и естествознания. Теория этих уравнений стала применяться в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, техники и экономики. Особенно эта теория нашла свое применение в современной технике, где имеет дело с колебательными процессами в системах с последствием и в системах с запаздывающими связями, в автоматике и телемеханике, электросвязи, радиолокации и т.д. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе может высказать появление самовозбуждающихся колебаний, увеличение перерегулирования и даже неустойчивость систем.

Причиной неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях является, как принято считать, наличие времени запаздывания,

времени, необходимого для превращения топливной смеси в продукты сгорания. Все это объясняет значительное усиление внимания к уравнениям с запаздывающим аргументом в последнее время.

Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом определяется как уравнение, в которое, кроме аргумента /, входит искомая функция и её производные, взятые вообще говоря при различных значениях аргумента t. Такое уравнение имеет запаздывающий тип, если значения старшей производной при любом значении t = /₀ определяются через

младшие производные при t₀. Такие уравнения описывают процессы,

скорость которых определяется их предшествующим состоянием.

Переход от обычного уравнения *'(/) =/(/, *(/)) ^к уравнению с отклоняющимся аргументом означает, что вместо x(t) в правой части рассматривается функция x(t-h{t)), где h(t) - заданная функция.

Уравнение с сосредоточенным запаздыванием

Lu(t) = D,u(t)-t,Aj(tMt-hj(t)) = f«), D,=~, (1)

является частным случаем уравнения с распределенным запаздыванием

Lu{t) = D,u{t) - ju(t - T)d_xr{t,г) = f(t), (2)

" f 0-оо < t < 0,

когда г (г, г) = A j (/)/(г - hj (0), /(0 = '

]Ґ₀ { 1,0

Если решение уравнения (1) или (2) находится на участке |/₀,оо), то при подстановке u(t) в уравнение появляются значения u(t) при значениях аргумента, меньших /₀, т. е. там, где эта функция не определена. Поэтому эти значения надо задавать дополнительно. Задавая u{t) = g{t) при t₀, решение уравнения u(t) для t>t₀ рассматривается как бы продолжение начальной функции g(t). Если mf(t-h/t)J" =h, то начальную функцию

g{t)достаточно задать на участке [h,t₀].

Таким образом, получается естественное обобщение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Последним обобщением уравнения (1) является переход от уравнения (2) к системе уравнений вида (2), а также рассмотрение (1) в более общих пространствах.

Различные задачи могут быть записаны в виде уравнения (1) и в зависимости от дополнительных условий (начальных, граничных) появляются различные пространства в качестве области определения оператора L.

Операторному уравнению

D,u(t)-A(tMt) = 0 (3)

в случае, когда iA(i) - производящий оператор полугруппы или ограниченный оператор, посвящены многочисленные работы. Без этих предположений уравнение (3) с постоянным оператором изучено в работе Ш. Агмона и Л. Нирегберга [1]. В частности, в той статье выведены асимптотические формулы для решения экспоненциального типа при условии, что спектр оператора А состоит из нормальных собственных значений, расположенных (за исключением быть может конечного числа) в некотором двойном угле радиуса меньше ж. Эти результаты были распространены А.Пази [46] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые. При условии, что оператор A(t) стремится при / -» оо в некотором слабом смысле к оператору А, М.А. Евграфовым [24] была получена асимптотика при t -> оо решения уравнения (3).

( ' ^

u{t) = ехр

JA(s)ds сф(0 + О(1),

\ т J

где X{t) - собственное число оператора A(t), стремящееся при / —»оо к простому собственному числу Л оператора А, ф(1) - соответствующий собственный элемент.

Следующим шагом в этом направлении явилось работа А. Пази [46] , в которой получена асимптотика решения u(t) уравнения

^P--A{t)u{t) = f{t) (4)

в банаховом пространстве X для случая

т=\ I I

где А₀ - замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения. Дальнейшие исследования были посвящены уравнения (1) и принадлежат Р.Г.Алиеву [13]. Особое внимание было обращено на вопросы существования, единственности, устойчивости и асимптотического поведения решений. В работах Р.Г.Алиева рассмотрены линейные, нелинейные уравнения как первого так и высших порядков

п-\ т

А""(0 - І2Х(t)S_hk (/)/)>(/) = /(/),

А=0у=0

уравнения с периодическими коэффициентами, а также с распределенным запаздыванием типа (2).

В отличие от работ Р.Г. Алиева, в которых уравнения рассматривались в пространствах с экспоненциальным весом, дальнейшие исследования

проводились в пространствах со степенным весом вида (і + |'|²") [4, 5, 6].

В настоящей работе продолжаются исследования уравнения (1) в пространствах с произвольным степенным весом вида (l + |/|^2arJ, 2ar = « + /?, 00.

Для изучения рассматриваемых уравнений используются известные методы из теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории функции комплексного переменного, так и методы, подсказанные спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом.

Изучая уравнения в гильбертовом пространстве, мы все время имели в виду применение полученных результатов к уравнениям в частных производных, к бесконечным системам, хотя в равной степени эта теория

может быть использована и к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которыми занимаются многие.

Существенным моментом применяемого метода является преобразование дифференциального уравнения в алгебраическое уравнение (уравнения в частных производных в обыкновенное уравнение) с помощью преобразования Фурье, чем преодолеваются определенные трудности и обходят встречаемые препятствия. Однако после решения «облегченной» задачи для получения решения первоначальной задачи надо применить обратное преобразование Фурье, где существенную роль играет хорошо известная теорема Планшереля (Парсеваля), связывающая решения этих двух задач.

Когда уравнения рассматриваются в пространствах с экспоненциальным весом exp(ctf), a = const є R, то теорему Планшереля [13] применяем к равенству

и(/) = -^= J е^іМи(Л)сіЯ = е-^а'-^=\е^ши((т + іа)сіа,

л/2л- ,_тЯ=в 72^.00

т. е. пользуемся равенством

Если весовая функция степенного вида \t\" целой степени п, то

применяя теорему Планшереля к равенству

|ехр(-іЛ/)(-/ї)^{и и}(*№

d"u(A) ₌ 1 dX" ~л/2^_:

имеем утверждение

d"u(X)

dX"

t\u(t)

0(R,X)

Г(!тЛ=ОД)

Существенно меняется положение, когда весовая функция имеет форму произвольной степени \t\^a, 0 < а < 1.

Чтобы применить известные и использованные в предыдущих случаях методы здесь обходится применение дробного дифференцирования по Лиувиллю [35]

D^au(t) = ! f ^U'(^s) ds, 0<а<1.

Основные обозначения и определения

Приведем сначала наиболее часто встречающиеся в работе обозначения и определения, а также некоторые к ним пояснения. X, Y - гильбертовы пространства, X с Y , |-|| (|-|_у) - норма в пространстве

X(y), ЦІ > ||-|| . Последнее неравенство предлагается выполненным.

L_X(E_X,E₂) - множество вполне непрерывных операторов из ,в Е₂.

L(E_X,E₂) - множество ограниченных операторов из ,в Е₂.

L₀ (,, Е₂) - множество замкнутых операторов из ,в Е₂.

F(E_t,E₂) - множество фредгольмовых операторов из Я,в Е₂.

Е_],Е₂ - линейные нормированные пространства.

u(t), а = О,

D^au(t) =

і^аП\-а) l(t-s)^a

1 du(t)

, a = 1.

і dt

Г(а) - гамма функция. А - равно по определению.

ІИЦДІИІ,,^ ^ :,->,.

R" - п- мерное евклидово вещественное пространство, R = (-оо,оо).

R';={t>t₀}, R'_={t₀}.

AC_X - множество абсолютно непрерывных скалярных функций с интервалом

определения I.

Suppu{t) = {t,u(t)*o}r\G - носитель определенной и непрерывной на

открытом множестве GczR функции.

С - плоскость комплексного переменного.

Cq(G) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве

G функций с компактными в G носителями.

Говорят, что / на Е имеет порядок ср или / есть О большое от <р на Е и пишут при этом /(/) = 0(на Е, если ||/(0|| ^ ^с||^(0| ^на Е> ^гД^е С -не зависящая от / положительная константа. В частности, /(/) = 0(ї) на Е означает тот факт, что / на Е ограничено.

L²{R',x) - пополнение множества сильно непрерывных функций u(t) с компактными носителями в R+' и со значениями X по норме

1/2

_{«oh ЛИС*}

V»

/₀>-со.

Х - пополнение множества функций u(t), u{t) = 0, t ₀, с компактными

носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные производные в Y по норме

,а = const,t₀ > -со,

_{IHoh Jo+И}^2в_{)(|«(о1і+Ио1 J )*}

7_Л,;- пополнение множества функций w(/), и(/) = 0, /0, с компактными носителями R' и со значениями в У по норме

\\и(0\ = [)(\Щ^2а)\\иЩ]^
U )

1/2

,а = const, t₀ > -оо,

h'S _ HI X^і" ' НИ ЛІ» _llllY";"

ЯЛ* = \h(t)AC_R,_:, ,h'(t) ₀

S_mu(t)Au(t-h(t)).

X_A (т) - характеристическая функция оператора A. Она вводится для вполне непрерывных операторов и по заданному є определяется из неравенства

\\Аи\\_у<44_х⁺хЛф\\у V*. VueXaY. u(A)A(u(t)) - преобразование Фурье функции u{t).

С_а - постоянная, зависящая от а.

Под решением уравнения (1), коэффициенты которого принадлежат пространству L(X,Y), понимается функция u(t) сильно непрерывная в Y, имеющая сильную производную при почти всех / в Y и удовлетворяющая уравнению.

Линейный оператор А:Х->Y называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1. область значений Im A = Y,

2. оператор Л обратим,

3. А'¹ ограничен.

Обозначения для операторов:

л^[л, + л,.(0]^_+м<>>

7=0

т т

L_P - А - I AjS_k , L₀^D,-Y Aj {t)S_hj (t) ,

L(X)^R-\X),

J=0

Г _m V^і

R_P{X)= AE-Y.AjCxpi-ilhj)

( ^m V^і

Л_в&') = Л-л_у(/)ехр(-Ш/0) ,

V J= J

R(A,t)=(XE-A₀-A₀(t)Y\

Я_л(і)=(ЛЕ-А₀(і)У\

Во всех рассмотренных выражениях Aj,Aj(t) - ограниченные

операторы, области определения которых принадлежат пространству X, а области значений - пространству Y.

Как операторы из У в 7 их полагают неограниченными замкнутыми операторами.

Если при Л = Л₀ область значений lm(L (Л₀)) операторного квазипучка

L_p(Л) = ЛЕ-^Ajexp(-iZhj) плотна в пространстве X и оператор L_p(Я₀)

обладает непрерывным обратным оператором Я_р{Л₀), то говорят, что комплексное число 4, принадлежит резольвентному множеству р(А^р) оператора А^р :Х -» Г.

Оператор Я_р(Л₀) называется резольвентой оператора А^р в точке Л = Л₀. Совокупность всех комплексных чисел Л, не принадлежащих резольвентному множеству р(А^р), называется спектром оператора А^р и обозначается сг(А^р). Спектр бывает трех типов: 1) точечный спектр Р_а -множество таких значений Л = Л₀, при котором обратный оператор Я_р(Л) не существует. Другими словами, уравнение

ЬріЯоУРо = Я₀<р₀ -^Aj; exp(-U₀hj)(p₀ =0 имеет ненулевое решение <р₀ с

2) Непрерывный спектр С_а - множество таких значений Л = Л₀, для которых существует обратный оператор Л_р(Д₀), но он не является непрерывным. Другими словами Ь_р(Л₀) обладает обратным оператором Я_р(Л₀) с плотной в Y областью определения, но существует последовательность (р_п є X, И^оІІл- =1, такая, что 8_п =1^(^)^1 -> 0 при л->со.

3) Остаточный спектр R_a - множество таких значений Л = Л₀, для которых существует обратный оператор К_р(Л₀), область определения которого не плотна в Y, т.е. существует элемент <р є Y такой, что для любого элемента цг є X имеет место равенство [ь_р (Я₀ )ц/, (р) = 0.

КегА - ядро оператора А:Е_х-*Е_г, то есть совокупность всех решений

уравнения Ах = О, х є ,. КегА - замкнутое подпространство (как образ точки

при непрерывном отображении).

Im А - образ оператора А\Е_Х -> Е₂, то есть совокупность тех уєЕ₂, для

которых разрешимо уравнение Ах = у. Множество Im А не всегда замкнуто. Со ker А - коядро оператора А\Е_Х -> Е₂ определяется как фактор пространство Е₂/1тА.

i(A) - индекс определяется как разность dim КегА-dim Сокег А = а(А)-/3(А). Числа а(А) и /3(A) являются конечными для фредгольмового оператора.

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа

В этом пункте дается краткое изложение некоторых математических понятий и утверждений, используемых в дальнейшем.

Преобразование Фурье функций из L²(R,H), где Я - гильбертово

пространство.

~ 1 ^N

Если L²(R,Н), то функция f^)=\im—j= \exp(-Mt)f(t)dt называется

преобразованием Фурье функции /(/), где под lim понимается предел по L²(R,H) норме. Преобразованием Фурье для всякой функции L²(R,H) определяется по формуле

/(Л) = -j= )exp(-at)f(t)dt.

ЧІП -00

Если f(t)eL²(R",H), то 7(Л) = (2л-)"⁵ Jexp(-iA/)/(0

Л" *='

Я = (Л, ,...,4,), / = (/,,...,0-

Функция /(/) = (2л-) ² |ехр(//1/)7(Я)с/Я называется обратным

/г"

преобразованием Фурье функции f(t).

Теорема Планшереля. Преобразование Фурье переводит функции из L²(R,H) в L²(R,H). Более точно, если f(t)eL²(R",H), то функция /(Я) существует и /(/) є L²(R,H). При этом

]||7(д)|^д = Jl|/(o||>, до = fc-7= 1^ехР(^ао/(я)с/д.

2;г_^ Из этой теоремы следует, что если JmZ = or * 0, то

1 Г If ~

/(О = —j= J exp(iAt)f(A,)dA = -= J exp(i(cr + ia)t)f(cr + ia)da =

v2;r _ІтЯ=в v2;r i_m/t=0

1 ~

= exp(-crt) ,— fexp(/o?)/((T + ia)da, откуда

л/2я-_І

1 ~

exp(otf )/(/) = -7= fexp(/o/)/(cr + /a)cfcr и по классической теореме

л/2л"і

Планшереля

Л7(Я)|_яс/Дв ||7(А)||/Л = J|exp(a/)/(/)|> з Jexp(aO||A/)||;>

\л\Л=а

обобщенная теорема Планшереля.

Непрерывность, дифференцируемость, регулярность.

Функция u(t) є Н называется непрерывной в точке /₀, если

[|и(/)-и(/₀)|| -> 0 при / -» /₀ и непрерывной на [от, 6], если она непрерывна в

каждой точке отрезка [а, Ь]. Норма непрерывной на [а,Ь] функции есть скалярная непрерывная функция.

Функция u(t) называется дифференцируемой в точке /₀, если

при At -> 0.

и(/₀+Д/)-и(/₀)

существует элемент и є Н такой, что

Д/

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале), если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция u(i) называется регулярной в области G сС, если она имеет в каждой точке этой области производную.

Аналитическая функция в окрестности каждой точки /₀ є G разлагается

вряд

со 1

"(» = 1Х('-'оГ, где a_n=-/ⁿ\t₀)eH.

Ограниченный линейный оператор - функция R(X) называется регу -

лярной функцией Я в некоторой области D, если в каждой точке этой

- R(X + h)-R(X)

области отношение — ^-*- сходится по норме пространства X к

некоторому пределу /?'(Я). Для R(X) имеет место теорема Коши об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру. В окрестности

изолированной особой точки имеет место разложение R(X) = ^TB_n(X-X₀)",

—со

сходящиеся по норме локально равномерно относительно X . Особая точка Х₀ есть полюс, если последнее содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями X - Х₀. Если R (Я) в области D имеет в качестве

особых точек лишь полюса, то R(X) называется мероморфной функцией.

Линейный оператор А: X -> Y называется замкнутым, если из х_п є D(A) и {х_п, Ах_п} -» (jc, у) следует, что х є D(A) и у = АХ. С оператором А замкнут или не замкнут и оператор ХЕ - А (с областью определения D(A)). Поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (ХЕ-А)~¹, то оператор А замкнут.

Если Vw є X выполнено неравенство \Аи\ < С\и\ , то оператор А

называется ограниченным, а наименьшее значение константы С называется нормой l^l^j, = \a\_y оператора А. Ограниченный оператор непрерывен.

Обратно, определенный на всем пространстве X непрерывный линейный оператор ограничен.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в Y.

Ограниченный линейный оператор A{t) называется сильно непрерывным, если \A(j-И)- A(t)\\-» 0 при h ->0.

Теорема Ариеля. Пусть //, компактно вложено в Н₂. Если семейство функций {«(/)}, определенных на компакте [а,Ь], равномерно ограниченно по норме пространства Я, и равномерно непрерывно по норме пространства Н₂, то есть \\u(t)l <С, \\u(t + И)-u(t)\ <є, \h\это семейство функций

компактно в Н₂.

Теорема о голоморфной оператор функции. Известно, что, если Т(Л):Х^>У голоморфна и существует T~^X(X):Y -+ X, то Г"¹ (Я) -голоморфная оператор - функция. Это является следствием теоремы об устойчивости ограниченной обратимости.

Теорема Пели — Винера. Для того, чтобы функция f(x) (-00 < х < оо) допускала представление f{x) = |ехр(/Ях)^/(Я)с/Я (^(Я) є L² (a,b)), необходимо

и достаточно, чтобы функция f(x) имела интегрируемый квадрат на всей числовой оси и могла быть доопределена в плоскости как целая функция конечной степени. При этом, если интервал (a,b) не может быть заменен

меньшим интервалом, то отрезок [га, ib] мнимой оси совпадает с сопряженной диаграммой функции /(г).

Неравенство для вполне непрерывных операторов. [13] Если А\Х-> Г вполне непрерывный оператор, то для любого є>О существует константа Х_А(є), что имеет место неравенство

\\Ли\\_у < є\\и\\_х + Ха (*)|М1к Д^ля любого и є X с Y.

Разбиение единицы.

Пусть G- открытое множество в пространстве R^l. Допустим, что семейство открытых множеств {(?,.: / є /} покрывает G, то есть G = JJ G_t.

/є/

Тогда система функций {#,.(*):/є/} класса С₀^Л(7?) такая, что для любого /є/ носитель suppOjit) содержится в некотором множестве G,, О<0,(/)<1 для

всех ієі, X!^/(0-1 Д^{ля всех} teG> называется разбиением единицы, соответствующим покрытию {G_i : / є /}.

Альтернатива Фредгольма.

Пусть Т - вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве В и Я- фиксированное и отличное от нуля число. При этих условиях неоднородные уравнения

(ЛЕ-Т)х = у, (5)

[ЛЕ-ГУ=у (6)

при любых у є В и у* є В' имеют единственные решения тогда и только
тогда, когда однородные уравнения

(ЛЕ-Т)х = 0, (7)

(ЛЕ-Т'У=0 (8)

имеют лишь нулевые решения. Кроме того, если одно из однородных уравнений имеет ненулевое решение, то они оба имеют одно и тоже число независимых решений. В этом случае уравнения (5) и (6) имеют решение тогда и только тогда, когда векторы у и у ортогональны ко всем решениям уравнений (7) и (8) соответственно.

Компактное вложение.

Тождественный оператор А: Я, -> Я₂, ставящий в соответствие

элементу х є Я, тот же элемент как элемент пространства Я₂, называется оператором вложения пространства Я, в пространство Я₂. Если оператор вложения есть вполне непрерывный оператор, то вложение называется компактным.

Случай маловозмущенного уравнения

Здесь мы рассматриваем случай, когда коэффициенты Aj{t) и отклонения hj(t) в (1.1.1) мало отличаются от постоянных, то есть уравнение вида / (/) D,u(t)Uj + Л (0 vM )w( ) = /( ) (1.2.1) где Aj = const, / ; = const, а Л,(/) и ЛД/)- «малые» в некотором смысле, teR, j = 0,1,..., m. Оператор Z, , вообще говоря, не обладает свойством непрерывной обратимости. Вопрос о непрерывной обратимости оператора Lpo можно свести к вопросу о непрерывной обратимости оператора Lp. Для этого, прибавляя и вычитая левой части уравнения Lpou(t) = f(t), выражения т jAjShu(t), перепишем уравнение (1.2.1) в виде ЬРа=Ьр+Ц, где A =tkk - v )-4( )v ,w]- L2-2

Что касается первого члена, на первый взгляд кажется, его малости можно добиться за счет малости / ,(/). В действительности же, учитывая только ограниченность операторов AjiX- Y, j = 0,1,..., т, можно получить неравенство {hk -VM,)k l,J sckJ1+i r) ,-hrht{,) ju (s)ds l-h. dt, которое вообще говоря, не имеет смысла, ибо u {t) может не принадлежать пространству X. Впервые на это было обращено внимание [8] и выход был найден в виде

Лемма 1.2.1 ([13], Лемма 1.2.1). Если A =L0(Y,Y)V\LX(X,Y), то для любого 0 существует Хл(є) чт0 имеет место \\Auj -их+ (е)му ДЛЯ любого и(і)єХ.

Здесь L0(Y,Y) {Ln{X,Y))- множество замкнутых ( вполне непрерывных) операторов из Y в Y (X в Y). Лемма 1.2.2 Если А є L0(Y,Y)f] Lm(X,Y), то для любого / 0 существует - 0такое, что при выполнении условия \h{f\ є, t є R, справедливо неравенство Цл ,) - l)w(/) " уЦийЦ .

В первой главе мы рассматривали уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента и маловозмущенный случай таковых, т.е. уравнения Lpu(t) = /(/) и Lpou(t) = f(t), \\Aj(t)\\Y є, \hj(t)\ s, teR, j = 0,1,...,т. В случае оператора Lp, порождаемого функционально - дифференциальными уравнением с постоянными неограниченными операторными коэффициентами Aj и отклонениями аргумента Л. получены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости оператора Lp: X]f - Y ,Qr. В случае же «малых» в некотором смысле переменных составляющих Aj(t) и hj(t) получены достаточные условия непрерывной обратимости оператора Lp0 : X]f - Y ,or при более жестких условиях на Аг В данной главе, при более слабых условиях, мы докажем фредгольмовость оператора Lpo : Xі/ - Y a в следующем понимании: оператор L:Bl B2, Вх, В2 - банаховы пространства, называется нормально - разрешимым, если выполнены условия: 1) уравнения Lu = 0 имеет конечное число а линейно -независимых решений в Вх; 2) его область значений LBXзамкнута в В2; 3) фактор - пространство В21LBX имеет конечную размерность /?.

Предполагается компактное вложение пространства X в пространство Y.

При снятии условия малости переменных составляющих Aj(t) операторных коэффициентов и /гД/) отклонений аргументов оператора Lpo уравнения может не иметь место однозначная разрешимость уравнения /, ( ) = 0, т.е. оператор L : Х " - Y " может иметь ядро конечномерной или бесконечномерной размерности. В этом случае интерес представляет вопрос существования конечного числа решений уравнения LpoU(t) = Q в пространстве Х а. В последнем случае уравнение Lpau(t)=0 называется нормально разрешимым уравнением.

Умножая теперь обе части равенства v (Л) = R (A,)F(A) на Ла, интегрируя полученное равенство вдоль прямой ImA = О и применяя теорему Планшереля, будем иметь j\\rvWfydZ= ftf1v (0l = )\\ГЯр(Л)ПЛ) -00 —00 —00 max 1тЯ=0 с/Я С,. \ЛаЯр(Л)( ]р(Я) dЛ (2.1.8) Так как v(0 = и(/) для / /, + Ni, то выбрав є = -, (с, + с2) и полагая //(-,) ґ, + JV, , из (2.1.7), (2.1.8) получим первое из неравенств (2.1.2). Совершенно аналогично, рассматривая функцию ()J 0,/ -/,- u 1,/ -/1,о Г(о -/1 -лг, / -/„ можно доказать справедливость второго из неравенств (2.1.2).

Легко видеть, что множество решений u(t) уравнения Lpou - О, нормированных единицей в пространстве Хх, равномерно ограничено по норме пространства Y{fN N) вместе со своими производными, причем множество таких решений образует подпространство пространства Y(lfNN), так как KerL - замкнутое подпространство. Отсюда и из теоремы Арцела следует компактность множества решений u(t) в Y aN N)i что означает существование є - сети: \u{t)-u,(t)\ "NN є для любого решения u(t) и некоторого / = 1,2,...,п.

Конечномерность коядра оператора Lp0

Таким образом, вопрос о разрешимости уравнения Lpov(t) = 0 или все равно, что уравнения (2.2.5), сведен к вопросу о разрешимости уравнения (2.2.4). Так как Т - вполне непрерывный оператор, то согласно теореме Фредгольма либо уравнение (2.2.4) имеет единственное решение при любой правой части p(t), либо оно разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть (p{t) ортогональна ко всем решениям соответствующего сопряженного уравнения (Е + Ґ )/ (/) = 0. Последнее уравнение, в силу полной непрерывности оператора Т, имеет конечное число решений.

Таким образом, уравнение (2.2.4) разрешимо, если (p{t) ортогональна некоторому конечномерному подпространству пространства Y ". Так как из разрешимости уравнения (2.2.4) следует разрешимость уравнения (2.2.5), то отсюда конечномерность коядра оператора L . Теорема доказана.

Тогда оператор L є F[X]f - VR")- фредгольмовый Замечание 2.2.1. Условие о существовании нулевых пределов у Aj(t) и hj (t) при / - оо является существенным как показывает следующий пример. Пример 2.2.1. Пусть p (t)eC", /? (/) = 1 для 0 / 1, p (t) = 0 Для /є ґ w-1 Л (п w + \\ ,ґ ,. , )[ T J Р l) + P (/ + 1) = I - 2 Продолженную на всю ось функцию p\t) с периодом w 4 обозначим через p{t). Тогда уравнение Lu(t) = u (t) - p\t)[u{t -1) + u{t +1)] = 0, і є R (2.2.6) имеет своими решениями функцию u(t) = p(j) и все функции, полученные ее сдвигами. Условие а) следствия 2.2.1 1іт//(0І = 0 не выполняется .

Уравнение (2.2.6) имеет бесконечное множество решений, т.е. KerL = со. Пример 2.2.2. Уравнение теплопроводности с запаздыванием du(x,t) d2u(x,t) n« V = 2 +bu(x,t-h) + f(x,t), (2.2.7) ot ox где h = const 0, b = const 0 .Рассмотрим для уравнения задачу без начального условия, но с граничными условиями u(0,t) = u(l,t) = Q. Причиной отсутствия начального условия связано с тем, что нам приходится применит к этому уравнению преобразования Фурье по переменной /. Задача для уравнения теплопроводности без запаздывания и без начального условия была исследована академиком А.Н. Тихоновым [38].

Так как u(t) - абстрактная функция со значениями в гильбертовом пространстве X, то фактически u{t) = u(t, х), где х - пространственная переменная, т.е. х = (х],...,хп,...) - бесконечномерный вектор.

В данном случае х - одномерный вектор и в качестве X мы имеем гильбертово пространство функций одной пространственной переменной. Определим его следующим образом: X = W(JC),W(0) = и(1) = О, Н2 = j(\u(xf +\u\xf + \u\xf)h

В качестве пространства Y возьмем Y = м(л;),и2 = Jw(x)2a6c Устойчивость решений данного уравнения, однозначная разрешимость его, т.е. непрерывная обратимость оператора L aSh зависят от dt дґ величины запаздывания, от его «малости». В частности известно [13], что для рассматриваемого уравнения выполняются условия, гарантирующие фредгольмовость оператора L, если Л тіщ(я2 -к4л4) 2 arccos L Данный вопрос связан с мероморфностью резольвентного оператора і ( d2 Л ,№ = іЛ - b ехр(-іЛИ) в некоторой полосе Л - плоскости. dx ) Уравнение (2.2.7) получится из абстрактного уравнения Lpu(t) = f(t), если в нем полагать AQ--i—=-, Ai=-ib, h0=0, h0 =0,A, =h 0, /я = 1, dx /(/) = /(/,x). Очевидно, что Al = -ib є L0{Yj)nL„{Xj). Из Яр(Л)ц/ = u, /л = Ьехтр( іЛИ)-іЛ следует, что и"(х) + /м(х) = y/(x)t и(0) = w(l) = 0. (2.2.8) Полагая Л = а + іт, имеем /л = т + Ь ехр(тй) cos oh - i(cr + b ехр(тй) sin oh). (2.2.9) Отсюда видно, что горизонтальная полоса іт/і СЯ - плоскости отображается в вертикальную полосу Re//j С, /І - плоскости. Выполнение условий на резольвентный оператор Яр(Л) показано в [13], используя задачу (2.2.8) и равенство (2.2.9).

Индекс оператора Lpo

В этом параграфе рассматривается для уравнения начальная задача А «(0=/( ). о. (3-2Л) n(/) = g(0, t t0,u(to+0) = g(t0). (3.2.2) Как показано в конце параграфа 1.2.1 неоднородное начальное условие (3.2.2) всегда можно свести к однородному условию u(t) = О, / /0. Теорема 3.2.1 Пусть выполнены условия: Яр(Л) регулярна, dkRU) dK = 0(1), d\m(X)) dX = 0(1), Я- оо, ІтЯ О, А: = 0,1. Тогда для любой f(t)eY,f существует единственное решение уравнения Lpu(t) = f(t), принадлежащее пространству Xі . Доказательство.

В силу теоремы 1.1.1, условия которой здесь выполнены существует единственное решение u(t) уравнения L u{t) = f(t), принадлежащее пространству Х. Докажем, что это решение обращается в нуль там, где /(/) = 0, то есть u(t) = 0 для / /0. В силу леммы 3.1.1 и условий на R (Я) в полуплоскости 1тЯ О для данного решения выполняется оценка (3.2.3) я;» жр(/»)(і +\t\2a)u(t] С exp(/?/)(l +\t\2a}f(t Докажем, что это решение u(t) обладает свойством u(t) = О для t t0. Из (3.2.3) подавно следует неравенство 7ехр(2/»)(і + /2в)іі( Л с]ехр(2/»)(і + І Г )\f(t%dt. (3.2.4) -СО t„ Умножим обе части неравенства на exp(-2/fr0): 7ехр(2/)(, - ,,)І + f \\«(,fx Л с]ехр(2/!(/ - ,„)І + И2 \\f(,fr Л -со /„ c){l + \t\2a}\f(tfYdt = Cf , (3.2.5) о так как exp(2/?(f-/0)) l для / f0. В силу очевидного неравенства J exp(2/l(t0)il + \t\2a)\\u(tfxdt exp(-2jfe)"j (і + /2аг)«( Л оценка (3.2.5) —00 —00 принимает вид ехр(- 2/fe) J (l +1/2" ) ( Л Су или -оо J (l + /2arjw(r)J, C/exp(2/?f). Так как 1 + /2а 1, то из последнего неравенства при р - оо следует, что u(t) = 0 для t t0-s. Утверждение теоремы следует теперь из произвольности є 0. Теорема 3.2.2 Пусть выполнены условия а) Л; (06/,(,(7,7)0/ ( , У), teR, j = 0,1,. ..,m,Aj(t) сильно равномерно непрерывны в R1?, j = 0,1,..., т; б) Резольвента R0(A,t)= ЛЕ - ]Г Л, (/)ехр(- iXhj (/)) регулярна, « Ч( . ) «/ faofo )) ). = 0(і), А- оо, ІтЛ 0, /єі?;, = 0,1; с1Як сіЯ" B)f(t)eY?a,AczR :; г) hj{t)GHR, hj(t) 0, hj{t) равномерно непрерывно зависит от teR Q, j = 1,2,..., т.

Тогда уравнение 0м(/) = /(/)имеет единственное решение u(t) такое, что u(t) = 0 при / /0. Доказательство. Уравнение /,0 (/) = (/)- (/) (, (/) = /(0 всегда можно переписать в виде уравнения Lpu(t) = f(t). В самом деле, если положим Aj0(t)= Aj(t)- Aj{t0), / ,.„(/)=/гу(/)-Л,(/0), j = 0,1,..., m, то уравнение L0u(t) = f(t) можно записать в виде D,u(t)- [Aj(t0) + AJ0(t) t)Shj{loy+hjell)u(t) = f(t). Теперь по заданному є 0 рассмотрим интервал (/0,/,) такой, чтобы для любого / є (/о,/,) выполнялись неравенства /4у0(/ є, \hj0{tt є. Таким образом получаем маловозмущенное уравнение, но только для /є(/0,/,). Если продолжим их, то есть малых возмущений константами на всю ось из (/0 О то получим маловозмущенное уравнение для оси. Таким образом, рассматривая в качестве возмущений операторов ЛД/0)и отклонений аргумента Л/г0) в виде A)0(t) и h]0(t), где A j0(t) = AJ0(t), h J0(t) = hJQ(t) для te{t0,tx), продолжая далее A J0(t) постоянным оператором Aj0(t0) для t t0 и Луо і) для / /,, соответственно h jQ{t) продолжая для / /0 и / /, значениями hj0(t0) и / ;0(/,) мы получим маловозмущенное на всей оси уравнение p0«(OsA«(0-2 ( )+ 0(0 (,,,, (,) (0 =/(О, Для которого выполнены все условия теоремы 3.2.1, в силу которой существует є 0 такое, что при выполнении неравенств Л 0(0 є, \h J0(tt є, teR, 7 = 0,1,...,//7, это уравнение имеет единственное решение и0(/)такое, что и0 (/)=0 для / /0. Далее надо подобные решения строить для следующих интервалов (/,,/2) ( з) и так Далее. Понятно, что uQ(t) является решением уравнения L0u{t)-fit) только для /є(ґ0,ґ,), где коэффициенты уравнения остались неизменными. Далее поступаем следующим образом. Рассмотрим произвольный интервал (/,,/,+Г), где Т- произвольное положительное число и разобьем его на интервалы типа (/0,/j). Для полученной системы интервалов (tk,tk+l), п к = 0,1,...,/7, построим разбиение единицы 2 (0=1» о» гДе # (0єСо 0,(/) = 0 для іА к=((ґк,Ґш)), Ak=((tkyt ))czAk. Тогда п п f(t)= 2#А(0/(0 = Ц/к(0- Далее, как и выше, рассмотрим интервал (tk,tk+l) и к-0 к-0 введем в рассмотрение AJk(t)= А )-А к), hJk(t)=hj(t)-hj(tk), к = 0,\,...,п и соответствующие малые возмущения А к (/) и h jk (/) по формулам Ajk{tk), t tk, AJk{t), tk t tk+], hjk(t) = 4(0 = KM t tk tM Д ( +.) t tM Как установлено выше уравнение Lpou(t) = f(t) имеет единственное решение u0(t), обладающее свойством: u0(t) = 0 для / /0. Что касается интервала (/,,/2), то имеем «(0=Л(0+/і(0- о(0=/і(0. 4"(0=/o(0+/,(0+/2(0-4W0+",(0)= =/о(0+/(0+/2(0-/о(0-./;(0=/2(0 и вообще Ko =tf )-L0(Zuv(t)\ k l. (3.2.6) Таким образом, получаем систему п уравнений со специально подобранными правыми частями. Решения этих уравнений обозначим через uk(t), к = \,2,-..,п. п Покажем, что ы(0=Хм (0 Дает искомое решение. Для этого заметим, что f0(t)+fi(t)-Lou0(t) = Q для t t tx, ибо Уі(0 = 0 для t (t0,t[) по определению. Совершенно аналогично можно показать, что 1УЛ0-4Ем (0=о для / /;, fk / /;+1. Таким образом, уравнение (3.2.6) обладает тем свойством, что его правая часть обращается в нуль при t t k, к \. Отсюда и из теоремы 3.2.1. Следует, что uk(t)=0 для t t[. Для любого конечного интервала (t0,t0+T) п решение уравнение w(0=Xw (0 где и = и(/)-целое число. Действительно, если tn T tn+i, то все решения ий+(0 мп+2(0 — равны нулю для 00 я t t n t n T и YJик(О = 2]wi(0 Для te(t0,tQ +Т). Поэтому для любого к=0 к=0 конечного интервала (/0,/0+Г) мы имеем дело с конечной суммой и в силу линейности оператора L0

Случай начальной задачи

Доказател ьство. Допустим, что решение единственно. Это означает, что ядро оператора Lpo равно нулю, ибо из единственности решения однородного уравнения следует единственность решения неоднородного уравнения. Но так как индекс оператора (Lpo -iy) равен нулю, то коядро оператора тоже равно нулю исходя из определения индекс оператора. Последнее означает, что Y al\mLpo=Q, а следовательно Lpo:X a Y a и по теореме Бананха существует линейный ограниченный оператор L po : 7Л0а - Х , что означает существование решения u(t)=L pof{t). ГЛАВА III. Уравнение в полупространстве

В предыдущих главах мы рассмотрели вопросы однозначной разрешимости на всей оси и на полуоси уравнения с постоянными и с малыми в некотором смысле переменными коэффициентами и отклонениями аргумента. В данной главе в полупространстве t t0 -оо изучается поведение решений уравнения L0u(t) Ди(/)-Лу(ОЯМ)и(0 = ДО (3.0.1) с запаздывающим аргументом и с произвольными операторными коэффициентами Aj(t) и отклонений аргумента ЛД/)» у = 0,1,...,/я. Для t t0 предполагается решение заданным, т.е. u{t) = g(t), t t0, n(fo + 0) = g(f0). (3.0.2)

Как было отмечено выше случай gO) можно введением неизвестной функции свести к нулевому начальному условию, что было учтено нами при определении пространств XlR" и Y;".

В теории уравнений с отклоняющимся аргументом особое место занимают уравнения с линейным отклонением аргумента. Это объясняется тем, что линейное отклонение аргумента невозможно положение каких- либо условий роста, ибо линейностью запаздывания определяется полностью: u{at)= u(t-h(t))= h(t) = (і-a)t, 0 a 1. Так как частным случаем уравнения с линейным отклонением аргумента !«(/) = Д«(0-Ё ( М=Л0, 0 д, 1, (3.3.1) является простейшее уравнение D,u{t) - Au{t) = f{t), естественно полагать А0 (t) А0 = const, а0= 1, 0 dj l, j = 1,2,...,т, Ajit):X-»У линейные ограниченные операторы и выяснить условия на резольвненту ЯЯ(А0) = (ЯЕ-А0) Х: Y- Хоператора А0, на операторы A jit), j = 1,2,..., т, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения (3.3.1) в пространстве Xі . Другой особенностью этих уравнений является то, что если /0 = 0, то начальное множество Е0 = {о} состоит из одного элемента и начальное условие сводится к и(о) = и0.

Чтобы рассматривать уравнение (3.3.1) на полуоси / 0 лучше поступить следующим образом. Пусть//(ґ) є С", //(/) = 1 " /N J /w /w \i,/ i,o (0 i. Тогда для v{t) = r)(t)u{t) имеем Lv(t)= 1{t)f(t)+u(t)Dl?J(t)-±AJ, (0[7M-7«Mv)s A ( ). + Применяя к последнему уравнению преобразование Фурье, получим и(я) = Rx(А0) (7(07(0)+ («(ОДг,(0) + 1 -=2— /ехР V/Л- у= Яу _«, -Д ч аи Ґ . \ \aJJ (, \ \аи u(t)dt = RA(A0)F(A). (3.3.2) і Функция v(t) = —j= jexp(iAt)Rx(A0)F(X) формально является решением уравнения D,v(t)-A0v(t) = F(t) и принадлежность её к пространству Хх а можно доказать при определенных условиях на RX{A0), на A.(t) и /(/). Так как v{t) = u{t) при / 1, то отсюда будет следовать существование решения и{і)єХх уравнения (3.3.1). Оператор L = к. 0 + L,, т где 0 = D, -А0, L, =-Y,Aj(t)Sx_ai. 7=1 Используя представление (3.3.3) можно доказать следующую теорему (3.3.3) Теорема 3.3.1 Пусть КЛ(А0) регулярна, dk(XRxM) dXk = 0(1), Д - oo, ІтЛ = 0. dkRAA0) dkk = 0(1), Тогда существует є 0, такое что 114,.(/)1 5-, J = l,2,...,m, то оператор L: Х а -» Y а непрерывно обратим. Доказательство. В условиях теоремы существует решение u{t) уравнения 0u(t) = f(t), принадлежащее пространству Х а. Далее, используя условие на Aj (t) доказываем неравенство

Похожие диссертации на О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом

О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве Мерданова Наима Шамильевна

О функционально-дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве, решения которых убывают быстрее экспонентыШамов, Энвер Шамсудинович

О некоторых классах интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в гильбертовом пространствеСёмкина Екатерина Владимировна

Асимптотические разложения и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространствеАлиева, Людмила Марковна

Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве Семенов Сергей Митрофанович

О существовании периодических и почти периодических решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка в гильбертовом пространствеШахпазова, Ирина Фридуновна

Функционально-дифференциальные уравнения второго порядка с быстро убывающими решениями в гильбертовом пространстве Атагишиева Гульнара Солтанмурадовна

Асимптотические разложения, ограниченность и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве Айгубов Сайдархан Занкуевич

О разрешимости уравнений на стратифицированных множествах с жестким оператором ЛапласаСеменов Сергей Леонидович

Разрешимость уравнений сжимаемой жидкости БингамаБасов Иван Владимирович