Введение к работе
Актуальность темы. Широкий спектр приложений, где исполь-уются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументі, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует 'величению интереса к изучению абстрактных функционалыю-щфференциальных уравнений.
Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в на-ледственной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.
Наибольшее применение нашла эта теория в современной техни-;е, где имеются колебательные процессы в системах с последействием н в системах с запаздывающими связями, в теории автоматическо-о управления, в теории автоколебательных систем.
Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были аложены в конце 40-х - начале 50-х годов в работах Э.Хилле и \Филлипса, К.Иосиды, Т.Като. Этим вопросам посвящены целый >яд монографий отечественных и зарубежных математиков таких, ;ак Э. Пинни, Р.Беллман, К.Кук, Дж.Хейл, А.Д.Мышкис и др.
Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргумен-ом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д.Мышкис, і с 50-х годов Л.Э.Эльсгольц, Н.Н.Красовский, С.Б.Норкин. Ими
изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактны: дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящень работы Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна, С.Г.Крейна. Позже исследова ниє в этом направлении продолжили такие математики, каї Н.В.Азбелев, Г.А.Каменский, В.Б.Колмановский, В.Г. Курбатов А.Л.Скубачевский и т.д.
Одной из важных проблем при изучении дифференциальны: уравнений и их приложений является проблема описания характер; поведений решений при больших значениях независимой перемен ной и по отношению к возмущениям начальных данных.
Вопросы асимптотического поведения решений в случае опера торного уравнения первого порядка рассмотрены в работе Ш.Агмоні и Л.Ниренберга, А. Пази, В.А.Кондратьева, М.А.Евграфова Исследованию асимптотического поведения решений дифференци ального уравнения произвольного порядка с неограниченными one раторными коэффициентами в гильбертовом пространстве посвя щены работы В.Г.Мазьи и Б.А. Пламеневского.
Вопросы устойчивости абстрактных дифференциальны} уравнений в банаховом пространстве изучены в работах Ю.Л. Да лецкого и М.Г.Крейна и С.Г.Крейна. В последние годы вопросамі разрешимости и изучением свойств решений функционально дифференциальных уравнений (ФДУ) в гильбертовых пространства: занимается В.В.Власов.
Операторно-дифференциалыюе уравнение первого порядка < отклоняющимся аргументом с неограниченными операторным! коэффициентами в гильбертовом пространстве
Ц u(t)- X [^ + A, (t)]u(t- h, + h, (t)) = f (t), t є (-00,+00)
в пространствах с экспоненциальным весом изучено Р.Г.Алиевым.
В настоящей диссертации рассматриваются вопросы асимптотических разложений решений абстрактных ФДУ второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами, а также исследуются вопросы ограниченности и устойчивости решений этих уравнений.
Целью работы является:
-
получение асимптотического разложения решений уравнения с переменными неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента из некоторых классов через решения соответствующего однородного стационарного уравнения;
-
получение условий ограниченности и устойчивости решений стационарных уравнений и уравнений с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента;
-
исследование аналогичных вопросов для уравнений с линейным отклонением аргумента.
Методика исследования. В основу получения результатов были положены методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости, теории линейных операторов, метод преобразования Фурье.
Научная новизна: -получены асимптотические разложения решений исследуемых уравнений;
6 -получены условия на резольвентный оператор, запаздывания аргумента, коэффициенты и на правую часть уравнения, при которых решения исследуемых уравнений являются ограниченными и устойчивыми.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты дополняют теорию абстрактных функционально дифференциальных уравнений. Уравнения с запаздывающим аргументом встречаются во многих приложениях и эти результаты могут найти применение в гех областях, где возникают явления с последействием. Эта теория может быть применена к уравнениям в частных производных.
Апробация работы. Результаты данной диссертации доложены на четвертой Северо-Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 1997 г.), на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава ДГУ (Махачкала, 1998 г.), на научно-исследовательских семинарах профессора Р.Г.Алиева (кафедра математического анализа, ДГУ, Махачкала), на конференции, посвященной памяти Х.Ш.Мухтарова (Махачкала, 1999 г.), на городском математическом семинаре (Махачкала, 2000г.), на Пятой Крымской международной математической школе (Алушта, 2000г.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано і 6 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 88 страницах, состоит из введения, двух глав и списка литературы. Библиография содержит 51 наименование.
