Введение к работе
Актуальность работы. Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) привлекла к себе внимание огромного числа исследователей, интересующихся как самой теорией, так и её приложениями. Неограниченно расширяющийся круг приложений теории ФДУ к самым разнообразным разделам науки и техники стимулировал её бурное развитие. Начиная с 50-х годов XX века, под влиянием запросов техники и естествознания была начата разработка теории таких уравнений. В самых разнообразных областях механики, физики, биологии, медицины, техники и экономики стала применяться теория ФДУ.
Много приложений находят дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом (ДУОА), особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (ДУЗА), описывающие процессы с последействием. Например, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе. Также во многих экономических задачах необходим учёт запаздывания для правильного описания различных явлений. Например, задачи управления запасами строятся с учётом запаздывания или при рассмотрении проблемы долгосрочного прогнозирования.
Первоначальное появление ДУОА в XVIII веке связывается с именами Кондорсе, Эйлера. Теория ФДУ сформировалась в последние полвека и играет заметную роль в научных исследованиях. Основные теоремы общей теории ДУОА и постановка начальной задачи были даны в диссертации А.Д. Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950 г.)
Начальным этапом было изучение скалярных ДУОА. Здесь следует отметить вклад таких учёных, как А.Д.Мышкис, Л.Э.Эльсгольц, Э. Пинни, Р.Беллман, К.Кук, Н.В. Азбелев, Г.А.Каменский, В.Хан и другие.
В последние годы широкое развитие получили исследования по опера- торно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах. Исследованиями дифференциально-разностных и ФДУ путём изучения обратимости соответствующих операторов занимался Курбатов В.Г. Классическими стали результаты исследований Э.Хилле, Р.Филлипса, К.Иосиды, Т.Като в этом направлении, которыми были получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения первого порядка с неограниченным оператором в банаховом пространстве. Задачу Коши для операторов более широкого класса изучали С. Агмон и Л. Ниренберг.
Наиболее близкими к предмету настоящего исследования являются работы Р.Г.Алиева по изучению операторно-дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида
Dtu(t)~ [Aj + Aj(t)]u(t - hj - hj(t)) = f (t), Dt = - d ,
j=0 і dt
Исследования Р.Г.Алиева были продолжены в работах его учеников С.М.Алейдарова, Асила Мустафы, Чана Рортха, Омара Халеда, Х.И.Дыдымовой, И.С.Эмировой, Н.Ш.Мердановой, Г.С.Атагишиевой и др.
п-1 т г „ - dk
IkItk
В данной диссертации продолжаются исследования, начатые Р.Г. Алиевым на случай ФДУ п - го порядка
It ± Ul р і
LnpAt)=Dn u(t)- ХЕК,+j)jt.)D;u(t)=f(t), D =TF-Tk
п-1 т
" Х : Y ^ X,
V k=0 j=0 J
k=0 j=0
с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. В частности, получены условия на операторные коэффициенты
Akj' Akj(t), на отклонения аргументов hkj(t) и на резольвентный опе-
ґ і V1
' п-1 _т. t \
ратор p
R (Л) = Лп E - ЕЕ j expt- MkJ)
при которых
любое решение исследуемого уравнения из L((t0; ж), X) обладает свойст-
вом JexpI2atp(tЦXdt < ж, в> 1, X — гильбертово пространство, кото-
рому принадлежать область определения и (t 1.
Цель диссертационной работы состоит в выяснении условий, при которых решения LpoP (t )=f (t) убывают быстрее экспоненты, обращаются в нуль начиная с некоторого значений t > T > —ж, То есть на полуоси
(т; + ж).
Методика исследования. В представляемой работе применены методы интегральных преобразований Фурье, методы функционального анализа.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
-
Выяснены условия на резольвентный оператор, операторные коэффициенты, отклонения аргумента и на правую часть уравнения
LpoU (t )=f (t), при которых его решения убывают как экспонента и
быстрее экспоненты.
(t о; + ж).
-
Получены интегральные оценки решений, условия обращения в нуль
решений на полуоси
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты дополняют теорию абстрактных ФДУ первого и второго порядков и могут быть применены в тех областях, в которых возникают эти уравнения. Актуально их применение в теории уравнений в частных производных, а также при чтении лекций по спецкурсам для студентов математических факультетов университетов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Четвёртой Международной конференции «ФДУ и их приложения» (Махачкала, 2009 г.) [3], на Всероссийской научно-практической конференции студен
тов, аспирантов и молодых учёных «Молодёжь, наука и инновации» (Махачкала, 2009 г.) [5]; на Российской Школы-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» с международным участием (Москва, 2009 г., РУДН) [6]; на Международной конференции «Современные проблемы математики и смежные вопросы» («Мухтаровские чтения», Махачкала, 2010 г.) [7]; на XLVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2010 г., РУДН) [8], на семинарах Р.Г.Алиева.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1-12]. Из совместных работ [1,11] научному руководителю принадлежат постановки задач. Работы [9,11,12] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии, включающей 48 наименований. Общий объём диссертации составляет 132 страницы.
