Введение к работе
Актуальность теш исследования. Одной из важных проблем современной математики является изучение инвариантов и инвариантных тензоров, с которыми связаны любые задачи, где рассматриваются представления групп и алгебр Ли, изучаются вопросы симметричности тензорных инвариантов, их валентности и т.д. Важность тензорных инвариантов подчеркивает и тот факт, что даже тензоры невысоких валентностей, например второй, описывают весьма содержательные объекты в различных теориях математики, физики, естествознания. Так, в математике симметрический g и кососимметрический J двухвалентные тензоры определяют обычным образом метрику и косую метрику соответствующих пространств.
Инвариантные тензоры играют существенную роль в изучении одного из центральных объектов геометрии - однородных пространств, т.е. множеств на которых транзитивно действует какая-либо группа преобразований. Рассмотрим касательное пространство к многообразию в начале координат. Вычисляя в этом пространстве тензоры инвариантные относительно группы изотропии, получим инвариантные поля биективно соответствующие таким тензорам. Многие важные характеристики однородных пространств определяются в терминах инвариантного тензорного поля. Например, однородные римановы многообразия являются пространствами, где задано поле дважды ковариантного симметрического тензора g , инвариантное относительно действия группа G, и задающее в каждой точке р положительно определенную квадратичную форму ds2=g (pj-dx1-^ (риманова метрика).
Безусловно интересны трехвалентные инварианты однородных пространств. Их наличие эквивалентно существованию алгебры инвариантных векторных полей на однородном пространстве.
Задача диссертационного исследования органически связана с теорией инвариантных тензоров.Так, если в линейном пространстве I над полем С задана алгебра о билинейной операцией l-.lxL * L, где 1 - инвариантна относительно неприводимой линейной группы Ф(Н) автоморфизмов этой алгебры, то инвариантность операции і тождественна инвариантности тензора о1 структурных констант рассматриваемой алгебры. Тем самым, ответ
на вопрос о существовании алгебр с неприводимой группой автоморфизмов дает изучение размерностей пространств тензоров с1 инвариантных относительно неприводимого представления Ф(Н).
Е.Б.Дынкин показал1, что почти всякая простая неприводимая группа Ли максимальна в одной из классических. В силу этого, класс простых неприводимых груші очень обширен, что определенным образом затрудняет его изучение.
Вопрос о максимальных подгруппах классических груш самым тесным образом связан с очень интересными в геометрическом плане объектами - включениями между неприводимыми группами линейных унимодулярных преобразований. Е.Б.Дынкиным в ходе сложного исследования был получен исключительный результат: в большинстве своем простые неприводимые группы максимальны среда неприводимых групп, т.е. как правило не являются подгруппой никакой другой неприводимой группы (если не рассматривать случай классических групп Ли). А значит включения, о которых шла речь выше, очень редки, и тем самым представляют определенный интерес для изучения.
Учитывая все выше сказанное, в данной работе мы обратили особое внимание на изучение алгебр, чья группа автоморфизмов Ф(С) неприводима и немаксимальна, т.е. является подгруппой некоторой простой неприводимой группы (G*), которая отлична от SL(N), Sp(N). и 0(N).
Кроме тензоров с1 нами исследованы пространства инвари-антных тензоров с , а также тензоров четвертой валентности
І J К
инвариантных относительно неприводимых представлений линейных унимодулярных групп G Алгебры с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов имеют непосредственное отношение к теории однородных пространств. Рассмотрим более подробно римановы однородные пространства. Пусть однородное пространство GJH редуктивно, т.е. G=H+B, где О, Н - алгебры Ли групп G и Н соответственно, пространство В - ad -неприводимо и [Н, В] с В. Скобки [...] означают комму- Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп. // Тр. моок. мат. общ-ва, 1952. - Т.1. - С.39 - 166. татор в алгебре Ли. Если [В, В] = {О}, то пара (G, Н) определяет аффинный случай однородного пространства, т.е. пространства постоянной кривизны. Если коммутатор [В, В] = Н при условии простой G, то получаем симметрическое риманово пространство. Эти пространства классифицированы и полностью описаны Э.Картавом. В случае простой G = [В, В] получаем изотропно неприводимые однородные пространства, полностью классифицированные О.В.Мантуровым. Берестовским В.Н.2 доказано, что кроме трех перечисленных случаев рвдуктавнсго разложения однородного пространства GJH возможны и другие, когда в алгебре Ли G найдутся adh-инвариантные пространства, содержащие алгебру Ли Н и сами являющиеся подалгебрами относительно 5. Пусть для однородного пространства GjH имеет место разложение G = Н + в 4 С, где В и С - ad -неприводимые и инвариантные подпространства (L Рассмотрим линейное векторное пространство G = В 4- в, которое является аа -инвариантным подпространством алгебры Ли G. Допустим, что G - алгебра Ли. Тогда можно говорить, что линейное пространство 0 инвариантно и не-приводимо одновременно относительно двух присоединенных представлений ad и ad . И, значит, на С каждое из неприводимых h *с представлений ad и ad будет зздазать сбою алгебру с нелри- h % водимой группой автоморфизмов. Причем, мы будем иметь двойное включение алгебр Ли H<:G cG. Как показано Дынкиным Е.Б. алгебры Ли Н с GQ, удовлетворяющие выше перечисленным условиям, действительно существуют и исчерпываются "исключениями Дынкина", т.е. непосредственными объектами нашего исследования. Здесь G - проста и не совпадает с алгебрами Ли классических групп Ли. Резюмируя сказанное выше, можно утверждать, что изучение инвариантных тензоров и алгебр с неприводимой немаксималъной группой автоморфизмов является актуальным и представляет определенный интерес на современном этапе развития геометрических теорий. 2 Берестовский В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой. // Доклады АН СССР, 1988. - Т-301, N 2. - С.268 - 271. Цель исследования. Пусть G и G - неприводимые группы Ли унимодулярных линейных; преобразований- G является максимальной подгруппой группы G*, причем G* - проста и отлична от SL(N), Sp(N), Q(N). Наша задача состоит в определении размерностей пространств инвариантных тензоров третьей и четвертой валентностей неприводимых линейных групп Ли G и G* включения GcG*, а также в исследовании изменения пространств таких тензоров при переходе от подгруппы Ли G к объемлющей группе G*. Научная новизна работы состоит правде всего в том, что впервые объектом изучения стал такой исключительный результат Е.Б.Дынкина, как включения между неприводимыми линейными группами Ли G с G , где G является простой и не совпадает с SL(M), Sp(N) и 0(N). 1. В нашем исследовании определены размерности про Б работе найдены размерности пространств инвариантных тензоров четвертой валентности с и с^1 для "исключений Дынкина". В некоторых случаях включений GcG* определены размерности пространств тензоров с1 инвариантных относительно неприводимых представлений групп G и G*. В настоящей работе решена задача выражения в аналитическом виде функции P(z) - количества разбиений линейной комбинации z корней полупроетой алгебры Ли в сумму положительных корней данной алгебры. Результаты получены для всех алгебр Ли второго ранга. На основании полученных формул, и за счет значительного упрощения вследствие втого вычислений по формуле Костанта, составлены программы нахождения кратности неприводимых слагаемых в разложении кронекеровского произведения любых двух неприводимых представлений алгебр Ли В = С и G . Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. ( Методы исследования, в основном, взяты из теории представлений групп, которая позволяет разрешить проблему отыскания инвариантных тензоров. Математический аппарат диссертации включает в себя алгоритм Ричардсона-Литтлзуда, методы крайних векторов, "линейного программирования", неопределенных коэффициентов, теоремы "о части", "о цепочке", "о подчинении", формулы Картье и Костанта. К математическому аппарату можно отнести полученные нами аналитические формулы нахождения значений функции P(z) для алгебр Ли ранга два, и программы вычисления кратностей компонент в разложениях в прямую сумму неприводимых слагаемых тензорных произведений двух неприводимых представлений алгебр Ли В„ и G . Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в дальнейших исследованиях в теории инвариантов, теории представлений групп, теории однородных пространств, а также в теоретической физике. Апробация диссертации. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры геометрии МПУ, на X и XI конференциях молодых ученых в УДН им. П.Лумумбы, на IX Всесоюзной геометрической конференции в Кишиневе 1988 г. Публикации. По теме диссертации имеется восемь публикаций, список которых приведен в конце автореферата. Структура и объем работы. Диссертационная работа выполнена на 180 страницах машинописного текста, из них 135 страниц основного текста, диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Библиография содержит 52 наименования.
странств инвариантных тензоров третьей валентности различных
типов у групп Ли G и G и просле&ено изменение таких про
странств при расширении неприводимой подгруппы G до группы Ли
G . Одновременно с 9ТИМ мы получили решение задачи о существо
вании и количестве алгебр с неприводимой немаксимальной груп
пой автоморфизмов <(G), где G является подгруппой простой не
приводимой группы G*, отличной от классических групп Ли.
Похожие диссертации на Инвариантные тензоры и алгебры с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов
