Введение к работе
Актуальность теш. Ф. Клейн в 1872 году сформулировал общий взгляд на геометрию в известной Зрлангенсной программе: любая геометрия изучает свойства пространства, инвариантные относительно группы преобразований этого пространства,
С созданием теории полупростых групп и алгебр Ли и их инвариантов в работах Г. Вейля, Э. Картана, В. Киллинга вычисление инвариантных тензоров и инвариантов связывается с решением двух задач теории представлений: разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений групп (или алгебр) я сумму неприводимых слагаемых и разложение на неприводимые слг-гаемые ограничения представления группы Ли на ее подгруппу. Гір?, этом нахождение инвариантных тензоров и инвариантов пространств, в которых действует полупростая группа или алгебра, сводится к отысканию одномерных инвариантных подпространств, в которых действует нулевое представление (так как для полупростых групп и алгебр эти понятия эквивалентны).
Один из способов построения тензоров, инвариантных относительно заданного представления, описан О.В. ї^антуровнм *' и известен как принцип включения.
Все это позволяет сделать вывод о значительной роли полупростых алгебр Ли в современной математической теории, а следовательно, велика роль моделей.простых алгебр Ли.
Для бесконечных серий простых алгебр Ли Ал , Bn , С^ , t>^ хорошо известны их матричные модели, упрощающие работу с этими
алгебрами. С особыми алгебрами Ли дело обстоит слолнее.
' . »
I/ Ментуров О.В. Однородные пространства и инвариантные тензоры // . Итоги науки И техники: Проблемы геометрии / Науч. ред. проф. Н.М. Остиану. - К.: Изд. ВШИТИ, 1986. - Т.; 18. - С. 105-142.
. 4 -
Их, как известно, всего пять: Eg, Е^, EQ> G2, F4. Сни имеют довольно сложную структуру, что связено, в первую очередь, с большими, не образующими какой-либо системы размерностями этих алгебр (особенно, Eg, ^, Eg). Громоздкое и сложное описание структур этих алгебр весьма затрудняет работу с ними, использование особых алгебр в физике и механике. В связи с втим задача построения удобных, просто описываемых моделей особых алгебр Ли, очевидно, крайне актуальна.
Вопросы построения моделей особых алгебр Ли рассматривались
в работах 'многих математиков. Так, например, Й.Л. Кантор описал
модели градуированных особых алгебр Ли в терминах так называемых
обобшенно-йордановых тернарных операциях '. Э.Б. Винберг и А.Г.
Златвили построили модель особой алгебры Ли Eg, связанную с классу сификацией тривекторов девятимерного пространства ',
Главная цель работы состоит в построении моделей особых алгебр Ли типа Eg, En, и Eg, а также бесконечных серий простых алгебр Ли типа An. , Brv , С п. иОл , используя только алгебру Ли А* (К« 5, 6, 7 соответственно для Eg, Е^ и Eg, и К»Л- I для алгебр Ли типа An. , Bn. , С^ и Da) и несколько кососимметричес-ких неприводимых представлений этой алгебры (исключение составлят ет только модель алгебры C^ , для построения которой используются симметрические неприводимые представления алгебры А*) , Воз-мо;отость такого построения обусловлена существованием эквивариант-ного отобрєления, определению которого удовлетворяет оперший ком-
2/ Кантор И.Л. Ыодели особых алгебр Ли // Докл. АН СССР. - М.,-
1975. - Т. 208, W 6. - С. 1276 - 1279/ . 3/ Винберг З.Б-, йлавга'или А.Г. Классификация тривекторов девяти-
ыерного пространства // Труда сем. по вект. и тенз. анализу.-
М., ІЙ78. - Вып. 18. - С. IS7-233.
.-5-
мутирования простых алгебр Ли. Это отображение задается тензором структурных констант Cj* , инвариантным относительно присоединенного представления рассматриваемой простой алгебры Ли. ,
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Впервые вычислены числовые коэффициенты, позволявшие выразить операцию коммутирования, действующую в алгебрах Ли, через операцию свертки кососишетрических тензоров, принадлежащих различным пространствам представлений алгебры А к .
Методы исследования. Основными для выполнения работы явились следующие метода: метод простых корней п^іупростой алгебры Ли, методы теории представлений групп и алгебр Ли, построение градуировки простой алгебры Ли по ее простыл корням, принцип включения О.В. Нантурова и эквивгриантные отображения векторных пространств.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти приложения в теории полупростых алгебр Ли. Рекомендуется их использование при составлении спецкурсов и спецсеминаров в педагогических университетах и институтах..
Практическая ценность исследования состоит в построении таких моделей особых алгебр Ли & , которые являются конструкциями значительно более простыми и удобными для использования в прикладных целях, чем собственно особые алгебры Ли О . Это связано с . тем, что алгебра Ли типа Аа и ее кососимметрические непризодише представления изучены достаточно подробно, они обладают относительно несложными структурами, и их использование не представляет осо-
* »
бнх трудностей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Приложения теории инвариантных тензоров" в МПУ,
- б -
на научных конференциях преподавателей и аспирантов Физико-математического Факультета Ш (1990, I9SI гг., Москва), на ХП Конференции молодых ученых Университета дружбы народов им. П. Лумумбы (1969 г., Ыосква).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 5 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 125 машинописных страницах и состоит из введения, трех глав и десяти приложений. Библиография содержит 51 наименование.