Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Орбиобразия и их стратификации 19
1.1. Категория орбиобразий 19
1.1.1. Определение орбиобразия 19
1.1.2. Примеры орбиобразий 26
1.1.3. Определение морфизма * 31
1.1.4. Примеры морфизмов орбиобразий 37
1.2. Стратификация орбиобразий и ее свойства 41
1.2.1. Орбифолдный тип точек орбиобразия 41
1.2.2. Свойства стратификации орбиобразия 43
1.2.3. Примеры орбиобразий с указанием их стратификации 44
Глава 2. Группы автоморфизмов g-структур конечного типа на орбиобразиях 48
2.1. Расслоенные пространства над орбиобразиями 48
2.1.1. Определение расслоенного ^пространства над орбиобразием 48
2.1.2. Векторные расслоенные пространства и их сечения . 50
2.1.3. Касательное векторное пространство к орбиобразию . 53
2.2. G-структуры на орбиобразий 57
2.2.1. Главное расслоенное пространство над орбиобразием 57
2.2.2. G-структура 58
2.2.3. Связность в главном G-расслоении 61
2.3. Продолжение (7-структур 67
2.4. Группа автоморфизмов (^-структуры 70
2.5. Влияние стратификации на размерность группы автомор-физмов G-структуры на орбиобразий 75
Глава 3. Группы автоморфизмов римановых орбиобразий и орбиобразий аффинной связности 78
3.1. Группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности 78
3.1.1. Аффинные связности на орбиобразиях 78
3.1.2. Автоморфизмы орбиобразий аффинной связности 81
3.1.3. Накрытия орбиобразий 81
3.1.4. Влияние стратификации не размерность группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности 83
3.2. Группы изометрий римановых орбиобразий 94
3.2.1. Римановы связности на орбиобразиях 95
3.2.2. Топология в группе изометрий риманова орбиобразия 96
3.2.3. Аналог теоремы Бохнера 104
3.2.4. Оценки размерности группы изометрий в зависимости от стратификации 109
3.3. Группы аффинных преобразований римановых орбиобразий 111
Литература
- Определение орбиобразия
- Стратификация орбиобразий и ее свойства
- Векторные расслоенные пространства и их сечения
- Влияние стратификации не размерность группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности
Введение к работе
Актуальность темы. Понятие орбиобразия введено И. Сатаки [72] иод названием V-многообразия. Сам термин орбиобразие предложен У. Тер-стоном [78].
Орбиобразия естественным образом появляются и используются в различных областях математики и теоретической физики: в теории струн [49, 16, 17], в симнлектической геометрии [57, 68], в деформационном квантовании [67].
Орбиобразия возникают в теории слоений в качестве "хороших" пространств слоев. Как доказано в [85], из существования собственного слоя с конечной группой голономии для трансверсально полного риманова слоения вытекает, что все слои этого слоения собственные, замкнутые, имеют конечные группы голономии, а пространство слоев является орбиобрази-ем. Известно [70], что это выполняется также в случае замкнутости всех слоев слоения на полном римаповом многообразии с "bundle-like" метрикой. Верно и обратное [22], каждое орбиобразие является пространством слоев некоторого трансверсально полного риманова слоения с замкнутыми слоями. Известно также [21, 50], что компактное слоение имеет в качестве пространства слоев орбиобразие тогда и только тогда, когда оно локально стабильно.
У. Терстон [78] использовал двумерные орбиобразия при классификации трехмерных многообразий.
Гладкое орбиобразие является одним из естественных обобщений гладкого многообразия: в качестве модельного пространства берется не Rn,
а фактор-пространство Ш.п по конечной группе диффеоморфизмов Г, при этом группа Г не является фиксированной и может меняться при переходе от одной окрестности орбиобразия к другой.
Гладкие орбиобразия образуют категорию, которая является подкатегорией категории А-пространств М.В. Лосика [26, 27].
Для гладкого орбиобразия естественным образом вводится понятие стратификации. Изоморфизм координатных окрестностей в категории орбиоб-разий соответствует эквивалентным действиям одной и той же группы Г на Rn. Мы говорим, что две точки орбиобразия имеют один орбифолд-
ный тип, если у них существуют изоморфцые координатные окрестности. На множестве точек одного орбифолдного типа индуцируется структура гладкого, вообще говоря, несвязного многообразия. Стратификацией n-мерного орбиобразия Af называется его разбиение А (Л/*) = {А&} на А;-мерные, вообще говоря, несвязные подмногообразия Д&, где к принимает значения в множестве {0,1,... ,п}. При этом каждая компонента связности многообразия А^ образована точками одного орбифолдного типа. Таким образом, гладкие орбиобразия являются стратифицированными пространствами, причем указанная стратификация совпадает с известной стратификацией орбиобразия [66, 67, 74].
Поскольку страта максимальной размерности Ап n-мерного орбиобразия Я является связным открытым всюду плотным подмногообразием в jV и Я = Ап тогда и только тогда, когда N — многообразие, то орбиоб-разие можно рассматривать также как n-мерное многообразие с особенностями, где иод особенностями понимаются страты размерности < п.
Первой работой по римановой геометрии орбиобразий является статья И. Сатаки [73], где он распространил теорему Гаусса-Бонне на римановы орбиобразия. К. Ситон [74] обобщил теоремы Гаусса-Бонне и Пуанкаре-Хопфа на римановы орбиобразия с краем.
Римановой геометрии орбиобразий посвящены работы Ж. Борзели-но [43, 44], Ж. Борзелино и С. Жу [46]. Ж. Борзелино получил обобщения на орбиобразия некоторых результатов римановой геометрии многообразий. В частности, им доказано [44], что компактное n-мерное риманово орбиобразие с неотрицательной кривизной Риччи и первым числом Бетти Ь\{Я) = п изометрично n-мерному плоскому тору.
Ж. Борзелино и В. Брансденом [45] показано, что топологическая структура гладкого компактного орбиобразия определяется его группой диффеоморфизмов.
Взаимосвязи между кривизнами римановых орбиобразий и их группами изометрий, а также влиянию стратификации на размерности групп изометрий римановых орбиобразий и групп автоморфизмов орбиобразий аффинной связности посвящены статьи диссертанта и Н.И. Жуковой [4, 7, 11, 38], а также диссертанта [12, 13].
Согласно результату У. Терстона [78] (X, С)-орбиобразие, где G — груп-
па вещественно-аналитических диффеоморфизмов вещественно-аналитического многообразия X, является хорошим. В [35] показано, в частности, что кокстеровы орбиобразия являются хорошими.
Группы автоморфизмов различных геометрических структур на многообразиях исследовались ван Данцигом (van D. Dantzig) и ван дер Вар-деном (van der B.L. Waerden), Ш. Эресманом (С. Ehresmann), А. Лихне-ровичем (A. Lichnerowicz), Д. Монтгомери (D. Montgomery), Л. Ципии-hom(L. Zippin), П. Либерманн (P. Libermann), Р. Пале (R. Palais), С. Бох-нером (S. Bochner), С. Стернбергом (S. Sternberg), К. Яно (К. Yano), Т. Нагано (Т. Nagano), Ш. Кобаяси (S. Kobayashi), Е. Ру (Е.А. Ruh), X. Ямабе (Н. Yamabe), Н. Танака (N. Tanaka), X. Чжу (Н. Chu) (см. обзоры [2, 3, 24, 25]).
Инфинитезимальным группам автоморфизмов римановых многообразий и многообразий аффинной связности, а также оценкам их размерностей посвящены работы И.П. Егорова [18, 19, 20]. Исследованию и классификации римановых пространств по группам проективных преобразований посвящены труды Г. Фубини [52], А.С. Солодовникова [29, 30, 31]. А.В. Аминовой и ее учениками решается проблема классификации лорен-цевых многообразий по алгебрам Ли проективных и аффинных преобразований [3].
Одной из центральных задач дифференциальной геометрии является вопрос о том, когда группа автоморфизмов геометрической структуры является группой Ли [23]. С. Майерс и Н. Стипрод [63] доказали, что группа всех изометрий риманова многообразия, наделенная компактно-открытой топологией, есть группа Ли. К. Номидзу [64] показал, что группы всех автоморфизмов полного многообразия аффинной связности является группой Ли. Позже Дж. Хано и А. Моримото [53] получили этот результат без предположения полноты аффинной связности. Теорема о том, что группа автоморфизмов G-структуры конечного Типа на многообразии допускает структуру группы Ли, принадлежит Ш. Эресману [51]. Известно также, что группа изометрий n-мерного риманова многообразия имеет максимальную размерность п(п + 1)/2 только тогда, когда оно является одним из следующих n-мерных римановых многообразий постоянной кривизны: евклидово пространство Е"; сфера Sn; проективное пространство RPn; од-
носвязное гиперболическое пространство ЕР, а размерность группы автоморфизмов n-мерного многообразия аффинной связности Л/" максимальна и равна п2 + п только тогда, когда N есть обычное n-мерное аффинное пространство А".
Исследованию групп автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях в зависимости от топологических свойств стратификации орбиобразий посвящена данная диссертационная работа.
Одним из аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии является техника Бохнера, основанная на получении и использовании интегральных формул. Этот метод, нашел развитие и применение в работах А. Лихнеровича, К. Номидзу, Б.-Я. Чена (B.-Y. Chen), К. Яно, что отражено в обзорах [32,40, 65, 76, 79, 80] и монографиях [34, 75, 81, 83], а также в работах отечественных геометров Н.С. Синюкова, СЕ. Степанова [76, 77].
Интегральные формулы для орбиобразий применяется нами при получении аналогов указанных ниже теорем Бохнера и Яно для римановых орбиобразий.
Цель диссертационной работы — исследование взаимосвязи между кривизнами, стратификациями и размерностями групп автоморфизмов римановых орбиобразий и орбиобразий аффинной связности.
Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной и глобальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, а также теории расслоенных пространств.
Научная новизна. Все результаты диссертационной работы, выноси-мые на защиту, являются новыми и заключаются в следующем:
1. Доказана теорема о том, что группа У(ЛҐ) всех изометрий произвольного n-мерного риманова орбиобразия Л/", наделенная компактно-открытой топологией, является группой Ли преобразований N размерности dim0(Af) < " 2 > пРичем равенство d\m3(Af) = n(n2+ ' возможно только в случае, когда N изометрично одному из следующих n-мерных римановых многообразий постоянной кривизны: а) евклидову пространству En; Ь) сфере Sn; с) проективному простран-
ству RPn; d) односвязному гиперболическому пространству ЕР (теорема 3.2.1).
Доказана теорема о конечности группы изометрий компактного ри-манова орбиобразия с неположительно определенным тензором Рич-чи, имеющего точку, в которой тензор Риччи отрицательно определен (аналог теоремы Бохнера) (теорема 3.2.2).
Найдены оценки размерности группы автоморфизмов n-мерного орбиобразия аффинной связности в следующих двух случаях: когда ор-биобразие допускает А;-мерную страту, и когда орбиобразие допускает незамкнутую А>мерную страту, где к < п в обоих случаях, а также доказана точность полученных оценок (теорема 3.1.2, предложение 3.1.5). Таким образом показано как существование орбифолдных точек орбиобразия аффинной связности уменьшает размерность его группы автоморфизмов.
Доказана теорема о совпадении компонент связности единицы группы Ли 3(ftf) всех изометрий и группы Ли A{J\f) всех аффинных преобразований компактного риманова орбиобразия N (аналог теоремы Яно). С помощью этой теоремы получены оценки размерности группы аффинных преобразований собственного риманова орбиобразия, имеющего либо компактную компоненту связности страты, либо незамкнутую компоненту связности, замыкание которой компактно. Доказана точность полученных оценок (теорема 3.3.1, следствие 3.3.1, теорема 3.3.2, предложение 3.3.1).
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использованы при исследовании геометрии орбиобразий, в теории слоений и расслоений, применены в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов-математиков.
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались: на международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, ТГПУ, 2003); на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, МГУ, 2003);
на международной конференции "Неевклидова геометрия в современной физике и математике" (Н. Новгород, ННГУ, 2004); на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2005); на международных летних школах-семинарах по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения" (Казань, КГУ, 2003, 2004, 2005); дважды на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения" (Казань, КГУ, 2003, 2005).
По теме диссертации сделаны доклады: на геометрических семинарах кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. доц. Н.И. Жукова и проф. Е.И. Яковлев); на семинаре кафедры теории статистических решений факультета ВМК ННГУ (сентябрь 2006 г., рук. проф. А.П. Колда-нов); а также на трех конференциях студентов и аспирантов механико-математического факультета ННГУ (2002, 2003, 2006). По результатам диссертации сделан доклад на геометрическом семинаре кафедры геометрии КГУ (май 2006 г., рук. проф. Б.Н. Шапуков).
Исследования но теме диссертации вошли в научные проекты, поддержанные следующими грантами: грант Российского Фонда Фундаментальных Исследований (тема НИР "Слоения и расслоения со связностями и их приложения", науч. рук. Е.И. Яковлев, № 01-01-590-а); грант для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗов Министерства образования России (тема НИР "Группы автоморфизмов геометрических структур на орбиобразиях", науч. рук. Н.И. Жукова, № А03-2.8-480); ведомственная программа "Развитие научного потенциала высшей школы" (тема НИР "Группы автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях", науч. рук. Н.И. Жукова, № 4603).
Публикации и вклад соискателя. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце введения. Во всех совместных работах научному руководителю Н.И. Жуковой принадлежат постановки задач, руководство работой и идеи доказательств некоторых теорем.
В [4] доказательство теорем 1, 2 и 3 получено научным руководителем
и диссертантом совместно. Кроме того, Н.И. Жуковой введены индуцированные группы автоморфизмов компонент связности страт орбиобразия, ею доказаны лемма 4 и теорема 5, А.В. Багаевым доказана теорема 4.
В [7] научному руководителю принадлежит доказательство предложения 2, диссертанту — доказательство предложения 1 и теоремы.
В [11] научным руководителем доказаны теорема о том, что группа автоморфизмов орбиобразия аффинной связности является группой Ли, и утверждение о замыкании компонент связности страт. Диссертантом получены оценки размерностей групп автоморфизмов орбиобразий аффинной связности в зависимости от стратификации.
В [38] научным руководителем доказаны теоремы 1, 3, предложения 2, 4, 6, 7, 8, а соискателем — теоремы 2, 4 и предложения 1, 3, 5 и 9.
Теорема 5 из [4], а также доказательства теорем 1 и 3 из [38] не включены в диссертацию.
Результаты, анонсированные в тезисах совместных докладов [5]-[6], [8]-[10], [37], включенные в диссертацию, вошли в статьи [4, 7, 11, 38].
Все результаты, выносящиеся на защиту, получены лично А.В. Багаевым.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы и подразделы, списка литературы и включает в себя 10 рисунков. Объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы состоит из 85 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы основные результаты диссертации, кратко описано ее содержание и приведен список публикаций автора но теме диссертации.
Определение орбиобразия
Везде далее под гладким многообразием мы понимаем многообразие класса гладкости С00, а под гладким отображением многообразий — отображение класса гладкости С. Если /: М — N — гладкое отображение многообразий, то через / (соответственно / ) мы обозначаем дифференциал (соответственно, кодифференциал) отображения /.
Пусть N — связное хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, U — открытое подмножество в Л/", п — фиксированное натуральное число. Картой на N называется тройка (Г2, Г,р), где Q — связное открытое подмножество в n-мерном арифметическом пространстве Мп, Г — конечная группа диффеоморфизмов Q, а р: Q —» N — композиция фактор-отображения г: Q, — fi/Г и некоторого гомеоморфизма q: Q/T — U фактор-пространства Г2/Г на U. Подмножество U называется координатной окрестностью карты (fi, Г,р) (см. рис. 1.1).
Две карты (П,Г,р) и (0, ,Г ,р ) на N с общей координатной окрестностью U = U называются изоморфными, если существует диффеоморфизм многообразий Л: О, — С такой, что р о Л = р. Класс изоморфных карт, содержащий карту (Q,T,p), будем обозначать через [(Q, Г,р)].
Пусть U — связное открытое подмножество U, i: U - U — включение, (Гі,Г,р) и (17 , Г , р ) — карты с координатными окрестностями U и U . Говорят, что (У, Г ,р ) индуцирована картой (0,Г,р), если существует такое вложение ф: О — fi, что і о р — р о ф. Отображение ф: ГУ — Г2 называется [73] инъекцией карты (flf, Г ,р ) в карту (П,Г,р), соответствующей включению U С /7.
Как показано в [61, Proposition А.5], если ф и ф — две инъекции карты (ГУ, Г ,р ) в карту (0,Г,р), соответствующие включению / С U, то существует единственный элемент 7 Г такой, что 7 Ф = Ф Заметим, что каждый элемент 7 Є Г можно рассматривать как инъекцию карты (ГУ, Г ,р ) в себя. Поэтому согласно указанному результату [61, Proposition А.5] для инъекций ф и фо у1 существует такой единственный диффеоморфизм 7 Є Г, что / о 7 = 7 0- Таким образом, инъекция / индуцирует мономорфизм групп ф . Г —» Г: 7 -» 7? ИРИ этом, если 0 — диффеоморфизм, то ф — изоморфизм групп Г и Г.
Говорят, что диффеоморфизм / многообразия Q, имеет конечный порядок к, если fk = fo...of = idn. Лемма 1.1.1. Если f — диффеоморфизм конечного порядка связного многообразия Г2, причем f\n0 = ido,0 для некоторого открытого подмножества По С Г2, то f = idft. Доказательство. Обозначим через Г группу, порожденную диффеоморфизмом /. Поскольку / — диффеоморфизм конечного порядка к, то порядок группы Г конечен и равен к. Поэтому на многообразии Г] суще ствует риманова метрика д, для которой Г является группой изометрий.
Как известно, изометрия / связного риманова многообразия (1,д), рав ная тождественному преобразованию на открытом подмножестве Qo С О, совпадает с тождественным преобразованием idfi. Лемма 1.1.2. Пусть ф: О, — Q — инъекция карты (Г2 , Т ,р ) в карту (Q, Г,р), соответствующая включению U С U. Если (ф{0, ))Пф(0, ) Ф 0 для некоторого 7 Є Г, то 7( (0 )) = Ф№) 7 (Г;), где ф: Г —» Г — мономорфизм групп, индуцированный ф. »
Доказательство. Прежде всего отметим, что множество точек гу в П, для которых подгруппа изотропии Гш :={7 Є Г 7( ) = ги} тривиаль на, является открытым, всюду плотным подмножеством в Q. Это можно получить из [14, теорема 3.1, С. 179], если в качестве компактной груп пы взять конечную группу (другое доказательство имеется в работе [59, Р. 52-53]). Так как пересечение ,){ф(С1 ))Пф{0!) открыто в О, то существует такое открытое подмножество V С 7(0( 0) Ф№) в чт0 Г = {idfi}, \fz Є V. Поскольку ф и 7 Ф — вложения, то для каждого z Є V суще ствует и единственные х, у Є 7 такие, что z = ф{х) = {ф{у)). Равен ства р {х) = р о ф{х) =ро г){ф{у)) = р {у) влекут существование такого а Є Г , что а{х) = у. Так как Vz = {idfi}, а инъекции ф и 7 Ф ин дуцируют мономорфизмы группы Г в группу Г, то Т х = Г у = {idfi/}. Отсюда вытекает, что а Є Г , для которого а(х) = у, единственно. Заме тим, что ф(а)(ф(х)) = ф((т(х)) = ф(у) = "у(ф(х)), то есть ф(а)(х) = f(z). Благодаря равенству Гг = {idfi} получаем ф(о ) = 7 и, следовательно, 7(0(0 )) = ф(М) и 7 Є ф(Т )
Лемма 1.1.3. Пусть ф: Q — О, — инъекция карты (О , Г ,р ) в карту (Q, Г,р), соответствующая включению U С U, причем U = U. Тогда ф: Q — О, является диффеоморфизмом и, следовательно, осуществляет изоморфизм карт (1 ,Т ,р ) и (П,Г,р).
Доказательство. Достаточно показать, что П = 0(0 ). Предположим противное, пусть С1\ф(0, ) ф 0. Прежде, всего, заметим, что ф(0!) открыто в П как образ открытого множества О! относительно открытого отображения ф. Пусть у Є 0,\ф(} ). Из сюръективности отображения p : Q! — U вытекает существование такого z Є fi , что p (z) = p(y). Равенство pо ф = p влечет р(ф(г)) = p (z) = р(у), откуда /у(ф(г)) = у для некоторого 7 Є Г.
Если 7(0Ф )) п ДО ) 7 0» то согласно лемме 1.1.2 у(ф(0!)) = ф(0!) и, следовательно, у = 7( (2)) Є 0( ). Но, по предположению у ф(1 ), поэтому 7( ( )) ( ) = $ Таким образом , для каждой точки у Є fi\0(fi ) нашлось 7 б Г и окрестность 7(0( 0) в \ / ( )- Следовательно, множество 0\ф(С1 ) открыто в О, а ф{&!) — непустое, открыто-замкнутое подмножество связного топологического пространства Г2, откуда О, = ф{0!). Последнее равенство противоречит с предположением П\ф(1 ) 0.
Таким образом, Q = ф(1 ) и ф: ГУ — П является диффеоморфизмом. Лемма 1.1.4. Для любой карты (Г2, Т,р) с координатной окрестностью U и произвольного связного открытого подмноэюества U С U существует единственный класс изоморфных карт [(ГУ,Г ,р )] с координатной окрестностью U , индуцированных картой (Г), Г,р). Класс [(О/, Г",р )], в частности, содерэ/сит карту (П ,Т ,р ), где Г2 — компонента связности подмноэюества p l{U ) в О, р := рр/, Г := {7ІП 7 Є Г, 7( 0 = О!}.
Доказательство. Включение ф: О! - Г2 является инъекцией карты (Сі , Г , р ) в карту (Г2,Г,р), и, следовательно, класс карт, индуцированных картой (Г2, Т,р) на [/ С С/, не пуст. Докажем единственность этого класса.
Прежде всего заметим следующее. Так как для любых двух компонент связности ГУ и ГУ прообраза p l (U ) существует диффеоморфизм 7 Є Г и 7(ГУ) = ГУ , то различные компоненты связности p l(U ) дают изоморфные карты.
Пусть фо: Q,q — Г2 — произвольная инъекция карты (Г2о, Го,ро) в карту (Г2,Г,р), соответствующая включению U С U, ро{&о) = U . Равенство Р Фо = Ро влечет включение фо(Г о) С p l(U ). В силу связности 0о( о) лежит в некоторой компоненте связности p l(U ). Обозначим эту компоненту связности через О, а через (U, Г,р) — индуцированную карту, соответствующую Сі.
Стратификация орбиобразий и ее свойства
Гладкое отображение /: N —» N орбиобразия (Л/", Л) в орбиобра-зие (Л/7, Л ) называется иммерсией (субмерсией), если для каждой точки х Є N существуют: линеаризованные карты (Rn, Г,р) и (Rn , Г ,р ) в точках я и /(я), соответственно, и лифт /, являющийся иммерсией (соответственно, субмерсией) в точке О Є Ш.п. Иммерсия /: N — Л/" , гомеоморфно отображающая орбиобразие N на его образ, называется влоэюением.
Поскольку инъекции карт являются гладкими отображениями максимального ранга, то определения иммерсии и субмерсии не зависят от выбора карт в точках х и f(x).
Пусть N — подмножество орбиобразия N. Если N — гладкое орбиобразие и включение г: N с- N является гладким вложением орбиобразия Л/7 в N, то будем говорить, что Л/7 — гладкое подорбиобразие орбиобразия Л/"; при этом, если Л/7 является гладким многообразием, то N будем называть гладким подмногообразием орбиобразия N.
На любом открытом связном подмножестве n-мерного орбиобразия N индуцируется структура гладкого n-мерного подорбиобразия. Стратификация орбиобразий и ее свойства В этом разделе мы предлагаем свой подход к стратификации орбиобразия, а также указываем его связь с другими подходами [74, 66, 67]. Орбифолдный тип точек орбиобразия
Пусть (N, Л) — гладкое орбиобразие. Зададим на орбиобразий N отношение эквивалентности. Мы будем говорить, что точки х и у из N имеют один орбифолдный тип, если существуют координатные окрестности Ux и Uy точек х и у и такой изоморфизм в категории Dxb f:Ux— Uy, что f(x) = у. Будем считать две точки орбиобразия эквивалентными, если они имеют один орбифолдный тип.
Лемма 1.2.1. Введенное отношение на мнооюестве точек орбиобразия N является отношением эквивалентности.
Доказательство. Симметричность и рефлексивность введенного отношения выполняется очевидным образом. Проверим транзитивность. Пусть пары точек я, у и у, z имеют один орбифолдный тин. Тогда су ществуют изоморфизмы /: Ux —» Uy и д: U y —» Uz координатных окрест ностей точек х и у, у и z. Пусть V — произвольная связная окрестность точки у в UynUy. Тогда согласно определению атласа орбиобразия включе ния V CUy iiV С Uy индуцируют один и тот же класс изоморфных карт с координатной окрестностью V. Поэтому отображение h: f l(y) —» g{V), определяемое равенством h := д о //-i(y), является изоморфизмом ко ординатных окрестностей /-1(V) и д(у) точек х и z. Это означает, что точки х и z также имеют один орбифолдный тип. Для полноты изложения приведем доказательство следующей леммы, принадлежащее Н.И. Жуковой [38, lemma 1].
Лемма 1.2.2. Пусть N — гладкое п-мерпое орбиобразие. Тогда подпространство Л/о точек одного орбифолдного типа является гладким, вообще говоря, несвязным подмногообразием в N.
Доказательство. Пусть х — произвольная точка No и (Жп, Г, р) — линеаризованная карта в от с координатной окрестностью U. Множество неподвижных точек ПхГ := {у Є Жп \ (у) = у, V7 Є Г} группы Г является А;-мерным векторным подпространством Оо в Мп. Не нарушая общности, можно считать, что fio = k х {0}. Сужение ро := рп0 непрерывного отображения p:Rn — U на Qq является гомеоморфизмом на образ = Ро( о)- Нетрудно видеть, что каждая точка из Щ имеет тот же орбифолдный тип, что и х. Поэтому Uq С U П Nq. Обратное включение вытекает из того, что для любой точки а Є Мп\ПхГ группа изотропии Га := {7 Є Г 7(а) = а} является подгруппой группы изотропии Г& = Г, Ь Є Fixl\ Таким образом, Щ = U C\Nq. Откуда множество Л/о с индуцированной топологией становиться топологическим многообразием, вообще говоря, несвязным.
Обозначим через (ро обратный гомеоморфизм р$1: Щ — Оо- Условие согласованности карт из атласа А влечет, что таким образом определенные пары (Uo, (ро) задают гладкую структуру многообразия на Л/о- Поскольку любые две точки х и у из Nq имеют такие линеаризованные карты (Rn,Ti,pi) и (Rn,Tj,pj) с координатными окрестностями Ui и Uj, которые изоморфны в категории Dtb, то множество фиксированных точек Fixl и FixFj диффеоморфны и, следовательно, точки х и у имеют го меоморфные окрестности pi(FixVi) и pj(FixTj) соответственно. Поэтому размерность компонент связности Л/о равна к. Таким образом, Л/о являет ся гладким fc-мерным, вообще говоря, несвязным многообразием. Так как включение г: Щ — U вложение многообразия Щ в орбиобразие U С Л/ , то многообразие Л/о вложено в орбиобразие
Из раздела 1.2.1 вытекает, что гладкое n-мерное орбиобразие Л/" разбивается на гладкие многообразия. Заметим, что многообразия орбифолдных точек различных типов могут иметь одинаковую размерность. Обозначим через А объединение fc-мерных многообразий орбифолдных точек, а через Дп — многообразие регулярных точек орбиобразия Л/". Семейство А (Л/") = {Afc}, где к принимает значения в множестве {0,..., п}, называется стратификацией орбиобразия Л/", а сами А& — стратами.
Как известно [42, 38, 61], страта Ап n-мерного орбиобразия Я представляет собой связное открытое всюду плотное гладкое подмногообразие орбиобразия Л/". Кроме того, как показано Н.И. Жуковой [38, proposition 2, theorem 1], каждая компонента связности А страты Д& образована точками одного орбифолдного типа, а замыкание Д компоненты связности А является гладким А;-мерным подорбиобразием орбиобразия Л/", множество регулярных точек которого совпадает с Д.
Замечание 1.2.1. Отметим (см. [38, theorem 1]), что граница 9(Д) замыкания Д компоненты связности Д состоит из (некоторых) компонент связности страт размерности меньше к. Следовательно, если к — наименьшая размерность допускаемых страт орбиобразия Л/", то страта Д& замкнута.
Замечание 1.2.2. Введенная нами стратификация Д(Л/") = {Afcbe{o,...,n} для n-мерного орбиобразия М совпадает со стратификацией К. Сито-на [74] {Sfc}fce{o,...,n}j ПРИ этом многообразие Х = Д& определяется как множество точек орбиобразия Л/", касательное векторное пространство к которым имеет размерность к. К. Ситон в [74] не использует понятие
Векторные расслоенные пространства и их сечения
Касательное расслоение. Пусть Я — гладкое n-мерное орбиобразие с максимальным атласом Л = {( ,Гг-,рг) \ і J}. Обозначим через щ: TQ,i -4 Q{ касательное расслоение над многообразием fij. Антимономорфизм bi группы Tj в группу автоморфизмов расслоения ТПг- зададим по формуле bi(i)(Xx) := (у 1) х(Хх), у Є Ті, где Хх Є TxQi -касательный вектор в точке х Є Qi. Для произвольной инъекции карт фц\ Qi - Qj, i,j Є J, определим отображение фц\ TQj .. .) - TQi равенством фі Хфф)) := (Ф ) ф..{х)(Хфф)), Хф..{х) Є Тф..{х) , х Є Qt. Таким образом заданное расслоенное пространство со стандартным слоем — векторным пространством, изоморфным R", и структурной группой G — GL(n,R) называется касательным расслоением к орбиобразию Я. Тотальное пространство ТЯ этого расслоения представляет собой гладкое 2п-мерное орбиобразие.
Кокасательное расслоение. Для каждой карты (Qi, Гг-,рг) Є Л гладкого n-мерного орбиобразия Я обозначим через щ: T Qi — Qi кокасательное расслоение над многообразием Qi. Равенство Ь ){шх) := (7-1) (с4г), 7 Є Ті, где ujx — 1-форма в точке х Є Qi, определяет антимономорфизм bi группы Г; в группу автоморфизмов расслоенного пространства T fij. Для произвольной инъекции фіу. Qi -» fij, i,j Є J, положим фіі(и}ф..(х)) := (ФцУ(шфф)), х Є Qi, Шфф) Є T ..{x)Qj. Тогда семейство {T fi , 6; Д-укіє./ является векторным расслоенным пространством над орбиобразием Я со стандартным слоем — векторным пространством, изоморфным Rn, и структурной группой GL(n, R) и называется кокасателъным расслоением к орбиобразию Я. Тотальное пространство Т Я построенного расслоения является гладким 2п-мерным орбиобразием.
Аналогично определяется [39, 73] тензорное расслоение типа (р, q) над орбиобразием. Гладкое сечение тензорного расслоения типа (р, q) называется [39, 73] тензорным полем типа (р, q) на орбиобразии. В частности, гладким векторным полем на орбиобразии (ЛГ, Л) называется гладкое сечение касательного расслоения к Л/", то есть такое семейство {Xi}iEj -инвариантных векторных полей Х{ на Q{, что для любой инъекции карт фц: Пг- — Qj, i,j Є J, выполнено равенство (фц) {Х{) = Xj.
Определим на множестве Х(ЛҐ) гладких векторных нолей операции сложения, умножения на число и скобку Ли следующим образом. Сумма двух векторных нолей X = {Xi}i zj иУ= {YijieJ есть векторное поле X + Y, представленное семейством {Xi + Yj}iej, векторное поле аХ, а Є Ж, есть векторное поле, задаваемое семейством {gtXi}ij, а скобка Ли двух векторных ПОЛеЙ ЄСТЬ векторное ПОЛЄ [X, Y]- СООТВеТСТВуЮЩее {[Xj, Yf]}tej, где Х{ + Yi, aXi, [Xi, Yi] — обычные операции сложения двух векторных полей, умножения векторного поля на число и скобка Ли двух векторных нолей на многообразии fi;. Непосредственная проверка показывает, что семейства {Xi + Y{\iej, {aXi}iej, {[Xi,Yi\}iGj действительно задают гладкие векторные поля на Л/".
С введенным операциями Х(АҐ) становится алгеброй Ли.
Замечание 2.1.2. Тензорное поле типа (р, q) на гладком орбиобразии Я с максимальным атласом Л := {(Г ,Гг-,рг) г Є J} есть семейство Т = {Tj}ij, где Ті — ІУинвариантное тензорное иоле тина (р, q) на гладком многообразии fy, a {Tj}jj удовлетворяет условию согласования. Отметим, что Т{ тензорное поле на многообразии Qi в обычном смысле, то есть оно в каждой точке х Є О есть полилинейное отображение (Ti)x: Vx...xVxV x .хГ-»К, (q раз) (р раз) где V — дуальное пространство к касательному векторному пространству V = TxQi. При этом [24, гл. I, предложение 3.1] тензорное иоле Ті типа (l,q) может рассматриваться как полилинейное отображение из X(Qi) х х X(Cli) в #(1 -), а тензорное поле Т[ типа (0, q) — как полили-нейное отображение из X(Qi) х х Х(Сії) в Х(Пг), где #(Аі) алгебра гладких функций на Сіі, Х(Сіі) — алгебра Ли гладких векторных полей на Ні, причем для всех fi Є #(ЗД, Xi Є X(Qi), I = 1,..., q, выполнено равенство Ti{f\X\,..., fqXq) = /i... fqTi(X\,..., Xq), и аналогичное равенство для Т[. Опять же, Т{ и Т[ определены на всех гладких векторных полях на Qi, а не только на Г -инвариантных векторных полях.
Пусть N — орбиобразие с максимальным атласом Л := {(Q Y pi) \ і Є J}. Будем говорить, что билинейная симметричная форма t = {U}i zj на орбиобразии Я отрицательно (или неполоэюителыю) определена в точке х Є Л/", если существует такая карта (Qi, Гг-,рг) Є Л с координатной окрестностью Ui Э х, что форма U отрицательно (соответственно, неположительно) определена в точке х Є pjl(x). Условия а) и Ь) определения сечения влекут независимость приведенного определения от выбора карты (Сіі,Гі,Рі) с координатной окрестностью Щ Э х и точки х Є pjl(x). Будем также говорить, что билинейная симметричная форма t отрицательно (соответственно, неположительно) определена на Л/", если t обладает этим свойством в каждой точке х Є М. Аналогично определяется равенство нулю произвольного тензора в точке и на орбиобразии.
Касательное векторное пространство к орбиобразию
Предложенное ниже определение касательного векторного пространства к орбиобразию и доказательство теоремы 2.1.1 принадлежат диссертанту [38, theorem 2]. И. Сатаки [73] определил касательное векторное пространство к орбиобразию следующим образом. Пусть 7Г: TAf — касательное расслоение над n-мерным орбиобразием, х Є ЛҐ — произвольная точка, (ft , Yi,pi) — карта с координатной окрестностью Ui Э х, у Є pjl(x). Пусть, как и раньше, pi: Tfy -» Tfif/Г,- обозначает фактор-отображение, ag; := q о j: ТІЇі/Ті — ТМ — отображение, определенное при доказательстве предложения 2.1.1 и являющееся гомеоморфизмом на образ. Обозначим через Vy векторное подпространство касательного векторного пространства TyQi к многообразию fy в точке у, образованное векторами, неподвижными относительно действия подгруппы изотропии (Гі)у = {7 Є Ті j(y) = у}. Тогда образ qiOpi(Vy) биективен с Vy и поэтому естественным образом наделяется структурой векторного пространства.
Влияние стратификации не размерность группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности
Группы автоморфизмов различных геометрических структур на многообразиях исследовались ван Данцигом (van D. Dantzig) и ван дер Вар-деном (van der B.L. Waerden), Ш. Эресманом (С. Ehresmann), А. Лихне-ровичем (A. Lichnerowicz), Д. Монтгомери (D. Montgomery), Л. Ципии-hom(L. Zippin), П. Либерманн (P. Libermann), Р. Пале (R. Palais), С. Бох-нером (S. Bochner), С. Стернбергом (S. Sternberg), К. Яно (К. Yano), Т. Нагано (Т. Nagano), Ш. Кобаяси (S. Kobayashi), Е. Ру (Е.А. Ruh), X. Ямабе (Н. Yamabe), Н. Танака (N. Tanaka), X. Чжу (Н. Chu) (см. обзоры [2, 3, 24, 25]).
Инфинитезимальным группам автоморфизмов римановых многообразий и многообразий аффинной связности, а также оценкам их размерностей посвящены работы И.П. Егорова [18, 19, 20]. Исследованию и классификации римановых пространств по группам проективных преобразований посвящены труды Г. Фубини [52], А.С. Солодовникова [29, 30, 31]. А.В. Аминовой и ее учениками решается проблема классификации лорен-цевых многообразий по алгебрам Ли проективных и аффинных преобразований [3].
Одной из центральных задач дифференциальной геометрии является вопрос о том, когда группа автоморфизмов геометрической структуры является группой Ли [23]. С. Майерс и Н. Стипрод [63] доказали, что группа всех изометрий риманова многообразия, наделенная компактно-открытой топологией, есть группа Ли. К. Номидзу [64] показал, что группы всех автоморфизмов полного многообразия аффинной связности является группой Ли. Позже Дж. Хано и А. Моримото [53] получили этот результат без предположения полноты аффинной связности. Теорема о том, что группа автоморфизмов G-структуры конечного Типа на многообразии допускает структуру группы Ли, принадлежит Ш. Эресману [51]. Известно также, что группа изометрий n-мерного риманова многообразия имеет максимальную размерность п(п + 1)/2 только тогда, когда оно является одним из следующих n-мерных римановых многообразий постоянной кривизны: евклидово пространство Е"; сфера Sn; проективное пространство RPn; од носвязное гиперболическое пространство ЕР, а размерность группы автоморфизмов n-мерного многообразия аффинной связности Л/" максимальна и равна п2 + п только тогда, когда N есть обычное n-мерное аффинное пространство А".
Исследованию групп автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях в зависимости от топологических свойств стратификации орбиобразий посвящена данная диссертационная работа.
Одним из аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии является техника Бохнера, основанная на получении и использовании интегральных формул. Этот метод, нашел развитие и применение в работах А. Лихнеровича, К. Номидзу, Б.-Я. Чена (B.-Y. Chen), К. Яно, что отражено в обзорах [32,40, 65, 76, 79, 80] и монографиях [34, 75, 81, 83], а также в работах отечественных геометров Н.С. Синюкова, СЕ. Степанова [76, 77].
Интегральные формулы для орбиобразий применяется нами при получении аналогов указанных ниже теорем Бохнера и Яно для римановых орбиобразий.
Цель диссертационной работы — исследование взаимосвязи между кривизнами, стратификациями и размерностями групп автоморфизмов римановых орбиобразий и орбиобразий аффинной связности.
Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной и глобальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, а также теории расслоенных пространств.
Научная новизна. Все результаты диссертационной работы, выноси-мые на защиту, являются новыми и заключаются в следующем:
1. Доказана теорема о том, что группа У(ЛҐ) всех изометрий произвольного n-мерного риманова орбиобразия Л/", наделенная компактно-открытой топологией, является группой Ли преобразований N размерности dim0(Af) " 2 пРичем равенство d\m3(Af) = n(n2+ возможно только в случае, когда N изометрично одному из следующих n-мерных римановых многообразий постоянной кривизны: а) евклидову пространству En; Ь) сфере Sn; с) проективному простран ству RPn; d) односвязному гиперболическому пространству ЕР (теорема 3.2.1).
2. Доказана теорема о конечности группы изометрий компактного ри-манова орбиобразия с неположительно определенным тензором Рич-чи, имеющего точку, в которой тензор Риччи отрицательно определен (аналог теоремы Бохнера) (теорема 3.2.2).
3. Найдены оценки размерности группы автоморфизмов n-мерного орбиобразия аффинной связности в следующих двух случаях: когда ор-биобразие допускает А;-мерную страту, и когда орбиобразие допускает незамкнутую А мерную страту, где к п в обоих случаях, а также доказана точность полученных оценок (теорема 3.1.2, предложение 3.1.5). Таким образом показано как существование орбифолдных точек орбиобразия аффинной связности уменьшает размерность его группы автоморфизмов.
4. Доказана теорема о совпадении компонент связности единицы группы Ли 3(ftf) всех изометрий и группы Ли A{J\f) всех аффинных преобразований компактного риманова орбиобразия N (аналог теоремы Яно). С помощью этой теоремы получены оценки размерности группы аффинных преобразований собственного риманова орбиобразия, имеющего либо компактную компоненту связности страты, либо незамкнутую компоненту связности, замыкание которой компактно. Доказана точность полученных оценок (теорема 3.3.1, следствие 3.3.1, теорема 3.3.2, предложение 3.3.1).
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использованы при исследовании геометрии орбиобразий, в теории слоений и расслоений, применены в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов-математиков.
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались: на международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, ТГПУ, 2003); на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, МГУ, 2003);
