Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия и определения
1. Определение ЛС-структуры. Адаптированный репер 22
2. Структурные уравнения АС-структуры 26
Глава 2. Структурные тензоры АС-структуры и их преобразование при конформном преобразовании структуры
1. Структурные тензоры АС-структуры и их преобразование 29
2. Инвариантность структурных тензоров 34
3. Нормальные АС-многообразия 43
Глава 3. Тензор Вейля для основных типов многообразий
1. Определение и свойства тензора Вейля 46
2. Спектр тензора Вейля для сасакиева многообразия 48
3. Спектр тензора Вейля для косимплектического многообразия 60
4. Спектр тензора Вейля для многообразия Кенмоцу 64
Список литературы 69
- Структурные уравнения АС-структуры
- Инвариантность структурных тензоров
- Спектр тензора Вейля для сасакиева многообразия
- Спектр тензора Вейля для многообразия Кенмоцу
Введение к работе
Предметом исследования настоящей работы являются сасакиевы, косимплектические структуры и структуры Кенмоцу, свойства структур при их конформном преобразовании, свойства структур полученных в результате конформного преобразования этих структур, а также конформные инварианты вышеуказанных структур.
Актуальность темы:
Как известно, одним из методов изучения геометрии является полевой. Согласно этому методу, геометрия задаётся полевой величиной ("геометрической структурой") на многообразии М. Первым важнейшим примером такой геометрии явилась риманова геометрия, задаваемая римановой метрикой - полем скалярных произведений в касательных пространствах. Г.Вейлем было получено, что по аналогии с римановой геометрией можно рассматривать геометрии, которые задаются другими геометрическими структурами, и развил геометрию пространства линейной связности, задаваемую некоторой геометрической структурой - линейной связностью.
Э.Картан определил и исследовал ряд новых типов геометрий, задаваемых различными геометрическими структурами. Он обнаружил, что с каждой из этих геометрий связана некоторая группа, действующая в многообразии кореперов. Э.Картан также развил общий метод изучения таких геометрий, основанный на выборе специальной неголономной системы координат - поля кореперов и рассмотрении продолжений. Данный метод называют "метод подвижного репера".
Класс геометрий, определяемых геометрическими структурами, к которым применим метод подвижного репера Картана, определил С. Черн. Подобные геометрические структуры можно охарактеризовать некоторой группой G и описать в терминах главных G-расслоений кореперов. Черн назвал эти геометрические структуры G-структурами и развил их теорию, которая является вариантом метода подвижного репера Картана в инвариантном изложении.
Саму теорию G-структур можно рассматривать как синтез группового подхода Клейна и полевого подхода Римана. Большинство изучаемых в дифференциальной геометрии структур (рим анову. псевдориманову, (почти) симплектическую, (почти) комплексную, кэлерову, кватернионную, афинную, проективную, флаговую, конформную и т.д.) можно рассматривать как G-структуры. Общие методы, развитые в теории G-структур, позволяют с единых позиций исследовать разнообразные геометрические структуры.
Основные геометрические задачи, решаемые в рамках теории G-структур можно сформулировать так: описание структуры группы автоморфизмов; классификация геометрических структур с максимальной группой автоморфизмов; построение полного набора дифференциальных инвариантов до порядка к, полностью описывающих
дифференциально-геометрическую окрестность порядка к данной структуры; проблема эквивалентности, а именно, нахождение необходимых и достаточных условий эквивалентности геометрических структур, и проблема интегрируемости - нахождение условий эквивалентности данной геометрической структуры стандартной плоской структуре; проблема модулей - описание классов эквивалентных G-структур.
В настоящем исследовании примененен метод подвижного репера с целью определения условий нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности рассматриваемых дифференциально геометрических структур.
Говоря о предмете исследования диссертационной работы, можно отметить, что изучение дифференциально геометрических структур, их свойств на гладком многообразии является сновной задачей дифференциальной геометрии. Поскольку само понятие дифференциально геометрической структуры является общим, дать его чёткое, ясное, полное определение достаточно сложно. Однако, можно сказать, что среди дифференциально геометрических структур наибольшее значение имеют структуры, которые определены совокупностью тензорных полей на многообразии. Задание такой структуры на многообразии естественно влечёт задание некоторой G-структуры на этом многообразии, что равносильно заданию редукции расслоения реперов в некоторой подгруппе структурной группы.
На нечётномерном римановом многообразии особую дифференциально-геометрическую структуру, называемую контактной метрической структурой, порождают дифференциальные 1-формы максимального ранга. Такая структура естественно обобщается до так называемой почти контактной (метрической) структуры. Почти контактные (метрические) структуры являются частным случаем (метрических) /-структур и тесно связаны с почти эрмитивыми структурами.
Почти контактные метрические структуры представляют один из самых содержательных примеров дифференциально геометрических структур. Только в 50-е года 20 в. начинается развитие теории почти контактных структур. Почти контактные и почти контактные метрические многообразия введены как понятия Дж.Греем. Почти контактные метрические структуры индуцируются естественным образом на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий, а также на пространствах главных тороидальных расслоений над почти эрмитовыми многообразиями.
Контактное многообразие, т.е. многообразие M2n+l, с фиксированной контактной формой г] : г] A (di])n ф 0, допускает G-структуру со структурной группой U(n) х е. Это обнаружил в своих исследованиях Чжень. Позже Дж. Грей такие многообразия, допускающие указанную G-структуру, назвал почти контактными многообразиями. Дальнейшее развитие тематики привело к тому, что в 1960 году Сасаки доказал, что многообразие, допускающее G-структуру
со структурной группой U(n) х е, внутренним образом определяет тройку Ф,,7/ тензоров, которые обладают свойствами т/() = 1, г] о Ф = 0} ф2 = — id + г/ .
Огромный интерес для исследований представили специальные классы почти контактных метрических и почти контактных многообразий. Это и косимплектические, и сасакиевы, и квазисасакиевы многообразия. Косимплектические и сасакиевы структуры представляют собой некий аналог келеровых структур в почти эрмитовой геометрии.
Изучением косимплектических и сасакиевых многообразий занимались Блэр, Шоуэрс, Гольдберг, Яно, Танно, Сасаки, Моримото, Исихара, Огиуэ и пр. Танно классифицировал сасакиевы пространственные формы и пространства максимальной подвижности. Исихара и Огиуэ установили геометрический смысл сасакиевых пространственных форм.
Как таковая теория квазисасакиевых многообразий возникла в исследованиях Блэра, а сами их исследования проведены в работах Сасаки, Канемаки, Янамото, Танно. Как известно, частным случаем квазисасакиевых многообразий, обусловленных рангом 1-формы г/, являются косимплектические многообразия, определяемые условием d'f] = 0 (гд г/ = 1), и сасакиевы многообразия, для которых r\ A (di])n ф 0 (гд г\ = 2п + 1). Блэр нашёл условия, при которых квазисасакиево многообразие является произведением сасакиева и келерова многообразий, доказал, что не существует квазисасакиевой структуры чётного ранга, а также, что характеристический вектор является вектором Киллинга. Помимо этого Блэром же было доказано, что квазисасакиево многообразие постоянной кривизны является, с точностью до гомотетического преобразования структуры, сасакиевым или косимплектическим, в частности, квазисасакиево многообразие строго положительной постоянной кривизны является многообразием, гомотетичным сасакиеву.
Своё обобщение почти контактные структуры вместе с почти комплексными структурами получили в работе Яно, который ввёл понятие /-структуры в 1961 г. В дальнейшем /-структуры изучались Блэром, Голдбергом, Окумурой, Ладденом и рядом других исследователей, которые получили ряд интересных результатов, исспользуемых до сих пор современными исследователями /-структур.
Особый интерес исследования представляют конформно-инвариантные свойства гладких многооборазий, изучение которых до сих пор являются актуальной задачей современной дифференциальной геометрии.
Исследованием конформных преобразований почти контактных метрических структур занимались Чиней и Марреро. Под конформным преобразованием почти контактной метрической структуры Ф,^,г],д они понимали преобразование вида:
Ф = Ф; ?j=eari; Є = е"стЄ; 9 = е2ад,
где о - дифференцируемая функция на многообразии.
Чиней и Марреро нашли условия, при которых почти контактное метрическое многообразие является локально конформно (почти) косимплектическим, и доказали, что в таких многообразиях на листах голономного распределения г/ = 0 индуцируется локально конформно-келерова структура.
Учитывая всё изложенное выше, можно чётко сказать, что квазисасакиевы, в частности, косимплектические и сасакиевы структуры, играют большую роль в контактной геометрии. К тому же эти структуры имеют важные общие свойста, которые заключаются в том, что все эти структуры являются нормальными структурами и их структурный ковектор является формой Киллинга.
Особым интересом пользуются исследования многообразий Кенмоцу. Впервые, структуры, характеризуемые тождеством Ух(Ф)^ = (ФХ,У) — Г](У)ФХ были введены в 1971 году самим Кенмоцу, в честь которого впоследствии и были названы.
Такие структуры естественным образом возникают в классификации Танно связных почти контактных метрических многообразий, группа автоморфизмов которых имеет максимальную размерность.
Одним из самых замечательных и значимых свойств структур Кенмоцу является их нормальность и интегрируемость. Структуры Кенмоцу не являются контактными, а значит, и сасакиевыми, но в некоторым смысле им полярны вопреки, на первый взгляд кажущегося, сходства определяющих тождеств.
Всякое конформно-плоское многообразие Кенмоцу, а также всякое локально-симметрическое многообразие Кенмоцу локально эквивалентно многообразию Кенмоцу такого типа.
Как известно, класс многообразий Кенмоцу совпадает с классом почти контактных метрических структур, получаемых из косимплектических многообразий каноническим конформным преобразованием косимплектической структуры.
Если говорить о тензоре кривизны Вейля, используемого в исследованиях по тематике диссертационной работы, то следует напомнить, что тензор кривизны Вейля назван в честь Германа Вейля. Это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием, которое заключается в том, что построенный к тензору Вейля тензор Риччи равен нулю. Сам тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах размерности больше трёх, тогда как в двумерном и трёхмерном пространствах тензор Вейля тождественно равен нулю.
В компонентах тензор Вейля имеет следующий вид:
Wijki = Rijki + ^z^(rikgji + TjiQik - rugjk - rjkgu) + -^z^z^(9u9jk ~ 9ik9ji), где і, j, к, I = 1,..., 2n-\-1, Rijki ~ компоненты тензора Римана-Кристоффеля, r\j - компоненты
тензора Риччи.
Тензор Вейля обладает тем свойством, что остаётся инвариантным при конформных преобразованиях метрики. Зная это свойство и значения компонент тензора Вейля, можно изучать конформную геометрию пространств и их свойства.
Цель диссертационной работы:
Изучение геометрии основных классов почти контактных метрических структур, а именно сасакиевых, косимплектических структур и структур Кенмоцу на гладком многообразии.
Основные задачи:
1. Вывести формулы преобразованных структурных тензоров почти контактного
метрического многообразия при конформном преобразовании структуры с определяющей
гладкой функцией с;
2. Найти условия инвариантности структурных тензоров почти контактного
метрического многообразия при конформном преобразовании структуры с определяющей
гладкой функцией с;
3. На основе полученных формул преобразования структурных тензоров почти
контактной метрической структуры для сасакиевых, косимплектических структур и
структур Кенмоцу определить, в какие структуры и при каких условиях рассматриваемые
структуры перейдут при конформном преобразовании структуры с определяющей гладкой
функцией с;
Вычислить, когда при конформном преобразовании сасакиевых, косимплектических структур и структур Кенмоцу сохраняется условие их нормальности. Определить сами условия нормальности рассматриваемых структур, если таковые имеют место быть;
Вычислить компоненты тензора Вейля для сасакиевых, косимплектических структур и структур Кенмоцу;
Исследовать геометрический смысл обращения в нуль элементов спектра тензора Вейля для сасакиевых, косимплектических структур и структур Кенмоцу;
Найти условия, при которых сасакиева, косимплектическая структура и структура Кенмоцу являются эйнштейновыми.
Методика исследования:
В работе используется аппарат классического тензорного анализа, метод инвариантного исчисления Кошуля, а также метод подвижного репера и внешних форм Картана в их современной трактовке - метод присоединённых G-структур, теория конформных преобразований структур, аппарат векторных полей и внешних форм, методы восстановления тождеств, классические методы теории гладких многообразий, теории
почти контактных метрических структур. Научная новизна:
1. Найден закон преобразования структурных тензоров почти контактной метрической
структуры при её конформном преобразовании;
2. Найдены условия инвариантности структурных тензоров при конформном
преобразовании почти контактной метрической структуры;
3. Определено конформное преобразование, переводящее косимплектическую структуру
в структуру Кенмоцу, и обратное преобразование, переводящее структуру Кенмоцу в
косимплектическую структуру;
Найдено условие нормальности конформно преобразованной структуры косимплектического типа;
Вычислены все компоненты тензора Вейля для многообразий Сасаки, косимплектического многообразий и многообразия Кенмоцу;
6. Найдены условия обращения в нуль элементов спектра тензора Вейля для
многообразия Сасаки, косимплектического многообразия и многообразия Кенмоцу;
7. Получены тождества, эквивалентные обращению в нуль элементов спектра тензора
Вейля для многообразия Сасаки, косимплектического многообразия и многообразия
Кенмоцу;
8. Получены условия для тензора Вейля конформной кривизы, при которых
многообразия Сасаки, косимплектические многообразия и многообразия Кенмоцу являются
эйнштейновы, ^-эйнштейновыми.
Практическое значение:
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейших работах по изучению почти контактных метрических структур, в частности сасакиевых, косимплектических многообразий и многообразий Кенмоцу. Кроме того они могут найти своё применение в качестве материала для спецкурсов по близкой тематике в высших учебных заведениях.
Апробация работы:
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании объединённого Семинара кафедры геометрии, семинаре кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кириченко В.Ф.); на Международной конференции "Геометрия в Астрахани-2007", Международной конференции "Геометрия в Астрахани-2008"в АГУ г. Астрахань в 2007 и 2008 гг. соответственно, на научном семинаре кафедры геометрии под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора В.В. Шурыгина в
Казанском государственном университете.
Публикации:
Основное содержание диссертации изложено в 6 публикациях (3-х тезисов и 3-х статей), которые приведены в конце автореферата.
Структура и объём диссертации:
Диссертация состоит из введения, трёх глав, состоящих из 9 параграфов, заключения и списка литературы, использованной в ходе работы над диссертацией, список публикаций автора по теме диссертации. Список литературы содержит 39 наименований. Основное содержание диссертации изложено на 72 страницах.
II. Краткое содержание основного текста диссертации
Во введении обосновывается актуальность темы, представляется исторический обзор по развитию тематики, формулируются основные цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты, полученные в работе.
Структурные уравнения АС-структуры
Пусть ш - форма смещения, а 9 - форма римановой связности V на пространстве этой G-структуры. Тогда, как известно [9], структурные уравнения связности V имеют вид: d9 = -\[9,9] + R где R - форма кривизны связности. На пространстве присоединённой G-структуры форма связности 9 задаётся 1-формами {# }, форма смещения ш - 1-формами {со1}. Тогда первое из структурных уравнений примет вид: Согласно полученному ранее в 1, элементы матрицы оператора Ф в А-репере имеют вид: П = /=% Ф = -УГЇ5\- Ф = Ф = 0. Поскольку Ф - тензор типа (1,1) будет справедливо равенство: где Ф} к - система функций на пространстве присоединённой G-структуры, служащая компонентами ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма. Далее, мы знаем [4], что для тензорных компонент римановой связности имеют место следующие соотношения на пространстве присоединённой G-структуры: Согласно [4] тензор Нейенхейса структурного эндоморфизма Ф имеет вид: компоненты на пространстве присоединённой G-структуры имеют вид: Остальные компоненты этого тензора тождественно равны нулю. С учётом выражений для тензорных компонент формы римановой связности первая группа структурных уравнений римановой связности на пространстве присоединённой G-структуры примет вид: где а; = а;0 = ъ {т)) ж - естественная проекция пространства присоединённой G—структуры на многообразие М, при этом Нетрудно увидеть, что С" = Ваъ — ДА Введём следующие определения: Определение 3. [4] Фундаментальной формой АС-структуры называется тензор Q : ft{X,Y) = {X,ФУ), где X,Y Є Х(М). Определение 4. [14] Конформным преобразованием ЛС-структуры S = = (г/, , Ф, д) на многообразии М называется переход от S к АС-структуре S = (г},,Ф,9), где f = е , т/ = е ац, Ф = Ф, ? = е 2(Тд, а -произвольная гладкая функция на М, называемая определяющей функцией преобразования. Для дальнейших исследований введём обозначение: сг" = grad сг, а также Глава 2. Структурные тензоры АС-структуры и их преобразование при конформном преобразовании структуры. 1.
Структурные тензоры АС-структуры и их преобразование. Рассмотрим следущие семейства функций на пространстве присоединённой С-структуры: нулевые. нулевые. Как известно [4], эти системы функций определяют тензоры соответствующих типов на многообразии М, которые называются первым, вторым, ..., шестым структурными тензорами АС-структуры, соответственно. Согласно [4], структурные тензоры АС-структуры обладают следующими свойствами: Рассмотрим структурный тензор 5. При конформном преобразовании ЛС-структуры с определяющей функцией а структурный тензор В переходит в структурный тензор В. Как известно [4], выражение структурного тензора В имеет вид: Получим выражения для каждого из слагаемых тензора В(Х, У). Итак, тензор С является абсолютным инвариантом, а тензоры D и F -относительными инвариантами относительно конформного преобразования АС -структуры. Напомним следующее. Введём в рассмотрение линейные пространства В, С,Т), ,JF тензоров на , обладающие свойствами структурных тензоров АС-структуры соответственно. Эти тензоры будут С-линейны либо С-антилинейны по соответствующим аргументам, а соответствующие им Ж-линейные пространства имеют естественную структуру С-линейного пространства. Рассмотрим прямую сумму Т = ВСТ Т($С. Как известно [4] пространство В распадается в прямую сумму Во 0 В\ подпространств бесследных и примитивных тензоров, пространство С - в прямую сумму Со Ф С\ подпространств квазисимметричных и абсолютно кососимметричных тензоров, пространства V и Т расспадаются в прямую сумму подпространств симметричных и кососимметричных тензоров, т.е. Т = Х?оФХ і, Т = оФ- і) а пространство Є в прямую сумму подпространств бесследных и скалярных эндоморфизмов модуля : = о В \. Таким образом, После переобозначений имеем Т = ф/,=1 Th-
Указанное разложение максимально мелкое. Соответственно, внутренним образом определены 211 = = 2048 различных классов АС-структур. Такая классификация является, так сказать, "контактным"аналогом классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур. Каждый класс будем обозначать символом АС — N, где JV - десятичное число, в двоичной записи которого на к-м месте стоит нуль, если составляющая соответствующего структурного тензора, лежащая в подпространстве 7 , равна нулю. В дальнейшем мы будем использовать введённые обозначения. Итак, продолжим. Выясним при каких условиях тензоры В, Е и G будут являться какими-либо инвариантами. Тензор G будет относительным инвариантом тогда и только тогда, когда Ф2( т ) = 0, что равносильно условию т" Є 9Л. Тензор Е будет относительным инвариантом тогда и только тогда, когда і т()(ФХ) = 0, что равносильно (&$,) = 0 или по другому e -L, а значит Сравнивая (5) и (б), в силу линейной независимости векторов {X, ФХ, У, ФУ} получаем, в частности, что da{X) = 0, т.е. (сг",Х) = = 0 (I Е ), а это значит а = grad а Є 9DT. Обратно, если сг" 6 SPT, зная выражение для В, легко убедиться, что справедливо В = В. Следствие. Пусть М - ЛС-многообразие размерности свыше 3. Тогда следующие условия равносильны: 1) В - абсолютный инвариант конформного преобразования АС-структуры с определяющей функцией сг; 2) G - относительный ивариант конформного преобразования АС-структуры с определяющей функцией а\ 3) а" Є Ш. П Для дальнейших рассуждений напомним следующие определения различных ЛС-структур и укажем свойства, доказанные в качестве предложений, теорем в [4]. Определение 5. [14] ЛС-структура называется нормальной, если тензор Нейенхейса іУф её структурного эндоморфизма удовлетворяет тождеству
Инвариантность структурных тензоров
Рассмотрим следущие семейства функций на пространстве присоединённой С-структуры: нулевые. нулевые. Как известно [4], эти системы функций определяют тензоры соответствующих типов на многообразии М, которые называются первым, вторым, ..., шестым структурными тензорами АС-структуры, соответственно. Согласно [4], структурные тензоры АС-структуры обладают следующими свойствами: Рассмотрим структурный тензор 5. При конформном преобразовании ЛС-структуры с определяющей функцией а структурный тензор В переходит в структурный тензор В. Как известно [4], выражение структурного тензора В имеет вид: Получим выражения для каждого из слагаемых тензора В(Х, У). Итак, тензор С является абсолютным инвариантом, а тензоры D и F -относительными инвариантами относительно конформного преобразования АС -структуры. Напомним следующее. Введём в рассмотрение линейные пространства В, С,Т), ,JF тензоров на , обладающие свойствами структурных тензоров АС-структуры соответственно. Эти тензоры будут С-линейны либо С-антилинейны по соответствующим аргументам, а соответствующие им Ж-линейные пространства имеют естественную структуру С-линейного пространства. Рассмотрим прямую сумму Т = ВСТ Т($С. Как известно [4] пространство
В распадается в прямую сумму Во 0 В\ подпространств бесследных и примитивных тензоров, пространство С - в прямую сумму Со Ф С\ подпространств квазисимметричных и абсолютно кососимметричных тензоров, пространства V и Т расспадаются в прямую сумму подпространств симметричных и кососимметричных тензоров, т.е. Т = Х?оФХ і, Т = оФ- і) а пространство Є в прямую сумму подпространств бесследных и скалярных эндоморфизмов модуля : = о В \. Таким образом, После переобозначений имеем Т = ф/,=1 Th- Указанное разложение максимально мелкое. Соответственно, внутренним образом определены 211 = = 2048 различных классов АС-структур. Такая классификация является, так сказать, "контактным"аналогом классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур. Каждый класс будем обозначать символом АС — N, где JV - десятичное число, в двоичной записи которого на к-м месте стоит нуль, если составляющая соответствующего структурного тензора, лежащая в подпространстве 7 , равна нулю. В дальнейшем мы будем использовать введённые обозначения. Итак, продолжим. Выясним при каких условиях тензоры В, Е и G будут являться какими-либо инвариантами. Тензор G будет относительным инвариантом тогда и только тогда, когда Ф2( т ) = 0, что равносильно условию т" Є 9Л. Тензор Е будет относительным инвариантом тогда и только тогда, когда і т()(ФХ) = 0, что равносильно (&$,) = 0 или по другому e -L, а значит Сравнивая (5) и (б), в силу линейной независимости векторов {X, ФХ, У, ФУ} получаем, в частности, что da{X) = 0, т.е. (сг",Х) = = 0 (I Е ), а это значит а = grad а Є 9DT. Обратно, если сг" 6 SPT, зная выражение для В, легко убедиться, что справедливо В = В. Следствие. Пусть М - ЛС-многообразие размерности свыше 3. Тогда следующие условия равносильны: 1) В - абсолютный инвариант конформного преобразования АС-структуры с определяющей функцией сг; 2) G - относительный ивариант конформного преобразования АС-структуры с определяющей функцией а\ 3) а" Є Ш. П Для дальнейших рассуждений напомним следующие определения различных ЛС-структур и укажем свойства, доказанные в качестве предложений, теорем в [4]. Определение 5. [14] ЛС-структура называется нормальной, если тензор
Нейенхейса іУф её структурного эндоморфизма удовлетворяет тождеству Примерами нормальных ЛС-многообразий могут служить нечётномерные компактные группы Ли, а также некоторый класс гиперповерхностей келеровых многообразий [28]. Можно показать [14], что ЛС-структура нормальна тогда и только тогда, когда УХ(Ф)(ФУ) = УФХ(Ф)(Ф2У), где X, Y Є Х(М) Определяющее свойство нормальной АС-структуры [4]: Пусть S = (г), , Ф,д) - АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны: 1) S - нормальная АС-структура; 3) Распределения Ш Є D и 9Я Є Щ на М инволютивны, а форма dr) удовлетворяет тождеству dr)(X, Y) = (ФХ, ФУ). Определение 6. [4] АС-структура, для которой справедливо соотношение dr] = 2Q, называется контактной метрической структурой. Иногда контактные метрические структуры называют также почти сасакиевыми структурами. Для таких структур форма г\ является контактной структурой, чем и объясняется термин "контактная метрическая структура". Как пример, подобные структуры возникают на расширенном фазовом пространстве механических систем [13]. Определяющее свойство АС-структуры [4]: Пусть S = (г), , Ф, ?) - АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны: 1) S - контактная метрическая структура; Определение 7. [14] Сасакиевой структурой называется нормальная контактная метрическая структура. Сасакисвы структуры по своему внутреннему содержанию, свойствам дифференциально-геометрической структуры являются наиболее содержательными и исследованными. Примером таким структур может служить структура, индуцированная на вещественной гиперсфере S2n_1 пространства R2n = Сп, снабжённая канонической келеровой структурой. Сами же такие структуры, к примеру, индуцируются на вещественных вполне омбилических гиперповерхностях келеровых многообразий. Определяющее свойство сасакиевой АС -структуры [4]: Пусть S — (77,;Ф5#) - ЛС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны: 1) S — сасакиева структура; 2)B = C = D = E1 = F = G = 0, Е = -Ф.П Помимо этого можно доказать, что ЛС-многообразие М является многообразием Сасаки тогда и только тогда, когда на нём выполняется тождество Vx( )Y = X,Y) - r)(Y)X, X,Y Є X(M). Это тождество позволяет нам сказать, что в какой-то степени сасакиевы структуры в контактной
Спектр тензора Вейля для сасакиева многообразия
Пусть теперь М - многообразие Эйнштейна с космологической константой є = 2п. Тогда Tij = 2n5ij, а значит УС — 4п2 + 2п. Поскольку гас = А — 25% легко получить, что А — 2{п + 1)5%. Подставим полученные выражения в формулу для Whicd Waled = gSf 0 - Л) + fcl№S + 4 - - ) = - m) + ШФЛ - %ь) = 8n2S(2;8r8n№ - « = о Подсчитаем теперь WaocO- Итак, WfiOcO = -RaOcO + 2 ї(Г«с 00 + r00#uc - Tao9oc - Oc ao) + 2n(2n-l) І9аО90с -9ac9oo) = -5% + {A%-25% + 2n5%) - 5% = + (-1 + я Ug 1 Ла/і і -4n2+2n+4re2-4n—я: rg __ 1 ло/г __ 2п+я fa 2n(2n-l) Uc — 2п-1Лс/г "г" 2n(2n-l) с 2гг-1Лс/і 2тг(2гг-1)ис Таким образом, И аосо = 0 ЛЙ = Тогда ra = bgtga _ 2Sa = Пусть х = 4n2 + 2п. Тогда a 4rc2+2n-2n rg о ra c 2n c Lll0ci а следовательно и 7 = 2n5ij, т.е. М - многообразие Эйнштейна с космологической константой є — 2п. Пусть теперь М - многообразие Эйнштейна с космологической константой є = 2п. Тогда rij = 2nSij, а значит УС = 4п2 + 2п. Поскольку rac = А%% — 25% легко получить, что Аа — 2(п + 1)#с- Подставим полученные выражения в формулу для Wa0c0 W _ 2(та+1) ха 2n+4n2+2n g _ rv йОсО - -2п=Гс - 2n(2n-l) c Легко подсчитать, что все остальные компоненты тензора Вейля для многообразия Сасаки равны нулю. Таким образом, имеем следующие значения компонент тензора Вейля для многообразий Сасаки: WflOcO = 2 ТЛЙ - 2п(2п-1)5с аш = -А& + П% + =гМс І + А&5Ї) + 1 « Waooo = О, Wam = 0, Wa0c0 = 0, Wabc0 = 0, Wabcd = 0, WabOQ = О, Wabrt = 0. ИЪМО = 0, Wabcd = 0 Рассмотрим значения компонент тензора Риччи с другой стороны. Как установлено ранее г&ъ = -251 + А$, ГаЬ = 0, Га0 = 0, Гоо = 2п Рассмотрим равенство rab = 0. Тогда справедливо, г(єа,єь) = 0 г(еа - гФеа, еь - гФеь) = 0 г(еа, еь) - г(Феа, Феь) - г(г(Феа, еъ) + г(еа, Феь)) = 0 г(еа, еь) - г(Феа, Феь) = 0 г(Х, У) - г(ФХ, ФУ) = 0 , X, У е г(Ф2Х, Ф2У) - г(ФХ, ФУ) = 0 , X, У Є Х{М) Откуда, г(Ф2Х, Ф2У) = г(ФХ, ФУ) , X, У Є (М). Ранее мы установили, что Waobo = 0 Ф г% = а 5, где a = + 1. Значит, 7 аь = седы, что равносильно г(єа, єь) = а{єй, єь) r(ea + гФеа, єь - гФеь) = а(еа + гФеа, еь - іФеь) г{еа, еь) + г(Феа,Феь) = а({еа, еь) + (Феа, Феь)) г(Х, У) + г(ФХ, ФУ) = а((Х, У) + ФХ, ФУ)) , X, У Є Мы знаем, что (X, У) = (ФХ, ФУ) + т7(Х)г?(У) , X, У є Х(М) ФХ, ФУ) = (X, У) - ТІ(Х)ТІ(У) , X, У є Х(М) Тогда, г(Х,У) + г(ФХ,ФУ) = a((X,Y) + (Х,У) - т/(Х)ту(У)) = = 2 (Х,У), Х,Ує г(Ф2Х, Ф2У) + г(ФХ, ФУ) = 2а(ФХ, ФУ) , X, У є Х{М) 2г(Ф2Х, Ф2У) = 2а(ФХ, ФУ) , X, У Є (М) г(Ф2Х, Ф2У) = а(ФХ, ФУ) , X, У є Х{М) С другой стороны, r{X,Y) = r(lX,lY) + г(тХ,тУ) = г(Ф2Х, Ф2У) + r](X)r](Y)r(, f) = = а(ФХ, ФУ) + 2ПТ?(Х)Т7(У) = "(X, У) + (2п - а)ту(Х)т?(У) Введём обозначение Р — 2п — а.
Тогда предыдущее равенство примет вид: г(Х, У) = а(Х, У) + /?7/(Х)т7(У) , X, У Є Х(М) Рассмотрим теперь условие равенства нулю компоненты WaocO- Проведём так называемую процедуру восстановления тождеств [4]. Итак, И аосо = О (W(ec, є0)є0, єй) = 0 (W(eeit)tlu) = 0 Из равенства нулю компонент WaOcO и Wood) слеДУют соответствеено следующие равенства Wecifle,ea = OH (eCJoe,e = o Значит, обобщая, получаем: (W(ec,Oe,X) = 0, УХєТДМ) Тогда, W(ec, 0Є = 0. Помимо этого, W(c,) — 0 и VK(o,С)С = 0, а значит, \(є{,) = 0 или, что аналогично, W(X,) = 0, VX Є 3t(M). Таким образом доказана Теорема 7. Пусть М - многообразие Сасаки. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) Waoco = 0; 2)W(X,0 = 0, ХеХ(М); 3) г = ад + /3rj g ?, где а = — 1, /? = 2п — а. Пусть Waecd = 0. (W{ec + гФес, ed + гФей){еь - іФеь), (е« - іФеа) = 0 {W(ec + іФес,е,і + гФеа)(еь - іФеь),еа) - (W(ec + гФес,егі + іФей)(еь --іФеь),іФеа) = 0 (W(ec + гФес, ed + гФе )еь, еа) - (VK(ec + гФес, ed + гФе )гФеь, еа) - (W(ec + гФес, ed + гФегі)еь, гФеа + (W(ec + іФес, ed + іФей)іФеь, іФеа) = 0 (W(ec, ed)eb, еа) + (И (гФес,е )еь,еа) + {W{ec, іФе і)еь, еа) + + (Ж(гФес, гФегі)еб, еа) - (W(ec, е г)гФе6, еа - (И (ес,гФе гФеь,еа) - (ТУ(гФес, егі)гФеь, еа - (И (гФес, гФегі)гФеь, еа) - {\(ес,ей)еь,іФеа) - (ТУ(гФес,е еь,гФеа) - (ТУ(ес,гФегі)еь,гФеа) - (ТУ(гФес,гФегі)еь,гФеа + + (W(ec, егі)гФеь, гФеа) + (И (гФес, егі)гФе6, гФеа) + (ТУ (єс, гФегі)гФеь, гФеа) + + (И (гФес,гФегі)гФеь,гФеа) = 0 (W(ec,ed)e6,ea) + г(ЩФес, ed)eb, еа) + і(Ш(ес,Феа)еЬ:еа) - (\(Фес,Феа)еь,еа) - г(И (ес,егі)Феь,еа) + (W(ec, Фе )Феь, еа) + + (И (Фес, егі)Феь, еа) + г(И (Фес, Фе Феь, еа - i{W(ec,ed)eb,$ea) + + (Ж(Фес, ed)eb: Феа) + (Щес, Фегі)еь, Феа) + г(И (Фес,Фей)еь,Феа - (№(ес,еа)Феь,Феа) - г(И (Фес,егі)Феь,Феа) - i(W(ec, Фегі)Феь, Феа) + + И (Фес,Фесг)Феь,Феа) = 0 Равенство нулю будет возможно тогда и только тогда, когда равны нулю действительная и мнимая части. Сгруппируем действительную и мнимую части. Выделим действительную часть и приравняем её нулю. Тогда, {W(ec,ed)eb,ea) - (И (Фес, Феа)еь, еа) + (УУ(ес,Феа)Феъ,еа) +
Спектр тензора Вейля для многообразия Кенмоцу
Подсчитаем компоненты тензора Вейля для многообразия Кенмоцу и выясним смысл обращения в 0 той или иной компоненты. Аналогично случаю для многообразий сасаки можно получить следующие значения компонент тензора Римана-Кристоффеля и тензора Риччи для многообразий Кенмоцу: а остальные компоненты равны 0. Компоненты тензора Риччи вычисляются по формуле Тогда, ГаЬ = R\bi = Rcabc + Rcabc + RoabO = Rcabc Racbc R&ObO &bc Acb c c rab — Rabi — Rcabc + Rcabc + RoabO = 0 fob — RQU — RcObc + RcObc + RoObO 0 Too — RoOi — RcOOc + RcOOc + RQOOO = RcOOc — 2ДЙ0С0 = c = 2n Следствие. Пусть M - многообразие Кенмоцу. Многообразие М является многообразием Эйнштейна с космологической константой є, равной —2га, тогда и только тогда, когда А%% — 0. Доказательство: В самом деле, гоо = єдоо- С другой стороны гоо = —2те. Значит є — —2га. Тогда г = є5% — —2nS а но полученному г = — 2п8 —А . Сравнивая оба равенства, очевидно получаем, что А = 0. Таким образом, необходимость доказана. Достаточность очевидна. Итак, мы имеем следующие значения компонент элементов тензора Риччи для многообразия Кенмоцу Заметим, что а значит, Используя формулы (11), (27) и (29) посчитаем компоненты тензора Вейля для многообразий Кенмоцу. Равенство нулю компоненты Waod) будет равносильно тому, что г" = = с откуда г" = ± , что равносильно xr = 2(г% — п). С другой стороны из (29) мы имеем гас = —2nd с — Afy. Тогда Замечание: Если Аас\ = 0, то х — —2п(2п + 1). Таким образом справедлива
Теорема 13. Пусть М - многообразие Кенмоцу. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) М — многообразие Эйнштейна; 2) М - многообразие Эйнштейна с космологической константой є = —2п; 3) А% = 0. Рассмотрим теперь следующую компоненту тензора Вейля для структур Кенмоцу. Свернём последнее равенство по b и d. Получим: Свернём теперь равенство по а и с. Тогда (п - 2)r« + nrj = ( -МД"-і))("-і) В частности 2(п — 1)г" = 1Х п(, п Жп )_ А следовательно г" = п п С другой стороны мы знаем (16), что r" = 2п+ . Тогда х-2та(2га-1) _ 2п+лг 4 2 х - 2n(2n - 1) = 4n + 2х x = -2n(2n + l) Следовательно, Гд = —2n2. Подставим значения х и г в равенство (18). Имеем: (П - 2)ГСЙ - ЧпЧі = (-M2n+l)-M2n-l))(n-l)Sa (п - 2)гас - 2п25ас = -4п(п - 1)5 (п - 2)г - -2п(п - 2)5 Эйнштейна с космологической константой є = —2п. Теперь наоборот, предположим, что М - многообразие Эйнштейна с космологической константой є — —2п. Тогда тг- = —2п5р с = —4п2 — 2п. Подставим эти значения в формулу для W . Имеем: Подсчитаем Wabcj. Итак,
