Введение к работе
Актуальность темы. В своей замечательной работе 1925 года1 П. А. Широков исследовал класс псевдоримановых многообразий, допускающих невырожденное ковариантно постоянное тензорное поле J. удовлетворяющее условию
Jj'Jk — 9jb -Jк ~ Jn 9 % hi — —Jik-
Эти многообразия, названные П. А. Широковым Л-пространствами, были позже заново открыты Э. Келеродг и стали называться "келеровыми" многообразиями.
Методы геометрии келеровых многообразий (келеровой геометрии) играют исключительно важную роль в различных областях математики и математической физики: теории динамических систем, алгебраической геометрии, геометрии многообразий Эйнштейна, квантовой механике, квантовой теории поля, теории относительности, теории суперструн и нелинейных сигма-моделей, и вызывают постоянный интерес у геометров и физиков-теоретиков.
Важным разделом келеровой геометрии является теория голоморфно-проективных или. короче, //-проективных отображений почти комплексных и келеровых многообразий. Понятие об Н-проективном отображении было введено Т. Оцуки и Я. Тасиро2. Н-проективные отображения являются частным случаем почти геодезических отображений, которые, в свою очередь, обобщают геодезические отображения псевдоримановых многообразий3.
Теория геодезических отображений, а также их обобщений ;— Я-проективных отображений почти комплексных и, в частности, келеровых многообразий, — представляет безусловный интерес и
1 Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в Riemann'oBbix пространствах. // Известия фііз.-мат. об-ва при КГУ. - 1925. - T.XXV. - С.86-114.
20tsuki Т.. Tashiro Y. On curves in Kahlerian spaces. // Math. J. . Univ. - 1954. - V.4. - P.57-78.
3 Аминова А. В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. // УМЕ. - 1993. - Т.48. - С.107-159. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. - М.: Наука. 1979. - 256 с.
с точки зрения приложений в области теории динамических систем, теоретической механики и математической физики. Этот интерес основан на том, что движение многих типов механических систем, а также тел или частиц в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде происходит по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические или почти геодезические линии на некоторых псевдоримановых многообразиях, определенных энергетическим режимом, при котором протекает процесс. Уравнение геодезической или почти геодезической линии представляет собой динамическую систему второго порядка, и геодезическое или почти геодезическое отображение определяет ее гомоморфизм. На этом основана, предложенная А. 3. Петровым4 в конце 60-х годов идея моделирования физических полей.
Другой важной областью приложений методов келеровой геометрии является квантовая физика. Широко известны замечательные достижения последних десятилетий в развитии теории фундаментальных взаимодействий: открытие теории струн, суперсимметричных моделей, современные подходы в теории Ка-луцы-Клейна, которые позволили вплотную приблизиться к построению единой теории поля. Однако эти достижения выявили трудности, которые проявляются на этапе квантования и которые, по-видимому, нельзя преодолеть без удовлетворительного математического описания основ квантовой теории.
В работах А. А. Кириллова5, Б. Костанта6 и Ж. М. Сурьо' был предложен метод геометрического квантования, который позволяет во многих случаях решить проблему построения квантового объекта, исходя из геометрии дифференцируемого симплек-тического многообразия — фазового пространства соответствующей классической гамильтоновой системы.
Известно, что келеровы многообразия обладают естественной
4 Петров А.З. Моделирование физических полей. // Гравитация
и теория относительности. - 1968. - вып. 4-5.
5 Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных
групп Ли. // УИН. - 1962. - Т.17. - С.57-110.
6 Kostant В. Quantization and unitary representations. // Lecture Notes
Math.. - 1970. - V.170. - P.87-208.
"Souriau J. M. Structures des systems dynamiques. - Paris: Dunod, 1970.
симплектической структурой, определяемой фундаментальной 2-формой, и. следовательно, их можно интерпретировать как фазовые пространства некоторых классических гамильтоновых механических систем. При построении соответствующих квантовых объектов большой интерес, как правило, представляет группа симметрии фазового пространства. В случае келеровых многообразий естественно рассматривать группу Я-проективных преобразований келерова многообразия. Поскольку келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны имеют группу Я-проективных преобразований максимальной размерности, представляет интерес построение квантования гамильтоновых систем, фазовыми пространствами которых являются указанные многообразия.
Степень разработанности проблемы. Современное состояние теории Я -проективных отображений почти комплексных и келеровых многообразий было достигнуто в основном благодаря усилиям геометров казанской и одесской школ (А. П. Нор-ден, Н. С. Синюков. И. Микеш и др.). а также японских математиков (Т. Ьцуки. Я. Тасиро. С. Исихара. К. Яно. Т. Сакагучи).
К настоящему времени в этой области получены фундаментальные результаты. Т. Оцуки и Я. Тасиро нашли необходимые и достаточные условия существования Я-проективных отображений. В работах Т. Сакагучи. Н. С. Синюкова, В. В. Домашева и И. Ми-кеша8 выделены большие классы келеровых многообразий, не допускающих собственных Я-проективных отображений: эквидистантные, обобщенно симметрические и рекуррентные многообразия, отличные от пространств постоянной голоморфной секционной кривизны. В. В. Домашев и И. Микеш разработали регулярные методы нахождения Я-проективных отображений для данного келерова многообразия. Однако до сих пор в теории Я-лроективных отображений существует много нерешенных проблем. К таким проблемам, в первую очередь, относится задача определения метрик келеровых многообразий, допускающих неаффинные Я-проективные отображения, которая не решена до
* Домашев В. В.. Микеш И. К теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств. // Мат. зиметхи. - 1978. -Т.23. - С.297-303.
сих пор даже в случае многообразий малых размерностей.
Целью диссертационной работы является изучение келеровых многообразий, допускающих Н-проективные отображения и возникающих на их основе физических моделей.
В диссертации решаются следующие взаимосвязанные задачи:
-
определяются И -проективно-эквивалентные римановы связности на келеровых многообразиях любой (четной) размерности п > 2 и произвольной допустимой сигнатуры;
-
находятся метрические формы неэйнштейновых четырехмерных келеровых многообразий, допускающих Н-проективные отображения: .
-
изучаются механические системы с произвольным числом степеней свободы, алгебры наблюдаемых которых определяются алгебрами Ли инфинитезимальных изометрий келеровых много-бразий постоянной голоморфной секционной кривизны. Строится геометрическое квантование этих систем;
-
исследуются траектории заряженных частиц в магнитных полях специального вида на келеровых многообразиях постоянной голоморфной секционной кривизны.
Научная новизна работы. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми. В частности, в работе
-
найдены формы Н-проективно эквивалентных римановых связностей келеровых многообразий произвольной допустимой сигнатуры и любой размерности;
-
определены все неэйнштейновы четырехмерные келеровы многообразия, допускающие if-проективные отображения (в отличие от работ Н. С. Синюкова и И. Микеша, в которых в основном определяются классы келеровых многообразий, не допускающих Я-проективные отображения);
-
доказано, что всякое четырехмерное келерово многообразие, которое допускает неаффинное инфинитезимальное ІзГ-проектив-ное преобразование, является обобщенно эквидистантным келе-ровым многообразием;
-
построена механическая система —- деформированный гармонический осциллятор, алгебра наблюдаемых которой изоморфна алгебре Ли инфинитезимальных изометрий келерова много-
образия постоянной голоморфной секционной кривизны, методом геометрического квантования проведено квантование этой системы;
5) с помощью метода моделирования физических полей исследование системы уравнений, определяющих траекторию частицы в келеровом магнитном поле, сведено к исследованию одного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, при этом рассматриваются келеровы многообразия произвольной допустимой сигнатуры (в отличие от работ Т. Адачи, в которых были рассмотрены собственно келеровы многообразия).
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты исследования могут быть использованы для определения келеровых многообразий произвольной размерности, допускающих if-проективные отображения, при изучении инфинитезимальных if-проективных преобразований келеровых многообразий, а также в теории дифференциальных уравнений и теории алгебр Ли.
Результаты четвертой и пятой глав работы могут быть использованы при рассмотрении классических и квантовых физических систем в релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля, теории частиц со спином и т.д.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались в Казанском государственном университете на семинаре кафедры теории относительности и гравитации под руководством проф. В. Р. Кайгородова (1995 г.) и на геометрическом семинаре под руководством проф. Б. Н. Шапукова (1995 г.), на научном семинаре, руководимом проф. А. В. Аминовой (1992-1995 гг.), на геометрическом семинаре Пензенского государственного педагогического университета под руководством доц. А. Я. Султанова (1995 г.). Материалы диссертации были также представлены на международных конференциях "Геометризация физики" (г. Казань. 1993. 1995 гг.), на VIII Российской гравитационной конференции (г. Пушино. 1993 г.), на международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям (г. Афины, Греция, 1994 г.). на международном научном семинаре, посвященном 100-летию со дня рождения П. А. Широкова (г. Казань, 1995), на XXXI научной конференции факультета физико-математических
и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов (г. Москва, 1995 г.), на международной научной конференции GR14 (г. Флоренция, Италия, 1995 г.), на международной школе-семинаре "Основания теории гравитации и космологии" (г. Одесса, 1995 г.), на международной школе-семинаре "Квантовая теория поля под влиянием внешних условий" (г. Лейпциг, Германия, 1995 г.) и на международном семинаре "Гравитационные волны и гравитационная энергия" (г. Дубна, 1995 г.).
Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 174 наименования. Работа изложена на 144 страницах машинописного текста.
