Введение к работе
Актуальность темы исследования. Предметом геометрического исследования диссертации является структура на дифференцируемом многообразии, задаваемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка:
Дифференциальные уравнения уже давно стали объектом геометрического исследования, история которого восходит к мемуарам Э. Картана W1,H51 и предшествующим им работам Трессе Г\Ч~\ и Коппиша СЛ%^ , В статье СЪ1 Картан связывает с обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка нормальную проективную связность; предметом исследования Трессе C4U1 являлась теория дифференциальных инвариантов данного уравнения относительно группы точечных преобразований переменных ("*V^ Мемуар''Э,Картана CASl посвящен изучении геометрии обыкновенного дифференциального уравнения третьего.порядка; данная тема также нашла свое освещение в работах Ш.-Ш.Чженя
Картановское стремление к развитию инвариантного геометрического языка для описания дифференциальных уравнений получило новый импульс в работах А.М.Васильева С*Л и Г.Ф.Лаптева С*оъ,САМ ; основой этому послужил развитый Г.ФЛаптевым инвариантный метод дифференциально-геометрических исследований, базирующийся на понятиях продолжения, охвата, канонизации.
, Непосредственное применение к геометрии дифференциальных уравнений имеет дифференциально-геометрические построения Л.Е.Евтушка CVl-CTi . Так, в С^1 предметом исследования является система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка и присоединенная к ней редуктивная связность
Картана, что представляет особый интерео для нашего исследования.
Геометрия системы дифференциальных уравнений четвертого порядка рассматривается в С.53 . В работах С51,СЧ1 специальный класс систем обыкновенных дифференциальных утачнен/й третьего и четвертого порядков редуцируется к структуре нелинейной связности соответствующего порядка.
_ 4 -
Большое количество работ, имеющихся в настоящее время
по данной теме собрано в следующих обзорах: Э.Бомяиани C
Н.Х.Ибрагимов Z&1 , Я.В.Степанов !ИЪ1 , А.«.Вино-
градов tbl ,
В математическом мире, в особенности в теоретической физике, укореняется инвариантный /геометрический/ подход к исследованию дифференциальных уравнений, имеющих теоретико-механический смысл. Особенно повышенный интерес проявляется к нелинейным уравнениям, к уравнениям высших порядков. Это привело к тому, что одной из самых актуальных проблем в геометрии стала проблема инвариантного описания структур математического анализа - дифференциальных уравнений и их систем.
В данной диссертации такой структурой является обыкновенная дифференциальная система произвольного порядка р>2
определенная на дифференцируемом многообразии V* как сечение
расслоения касательных р-элементов S. Ww| над пространством (p-l) - элементов касания пространства *4н , а полученные в работе результаты составляют основу геометрической теория рассматриваемой дифференциальной системы и на основании всего вышеизложенного подтверждают актуальность проведенного исследования.
Цель диссертационной работы заключается:
І/ в присоединении к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений произвольного порядка рассматриваемого типа' инвари
антно определяемой структуры главного расслоения со связностью,
полностью определяющего геометрию исходной системы; .
2/ в исследовании структурной группы присоединенного расслоения;
З/ в изучении объекта кривизны-кручения ассоциированной связно
сти; -
4/ в построении полной системы дифференциально-геометрических инвариантов исследуемой структуры за счет ее редукции к структуре ассоциированной связности картановского типа и, следователь-
-Ъ-
но, в инвариантном описании заданной дифференциальной системы в терминах связности Харгана.
Метод исследования. Применяется метод внешних дифференциальных алгебр Картана и инвариантный метод продолжений и охватов Лаптева в современной форие теории расслоенных пространств и связностей в них.
Научная новизна. В такой общности, когда система дифференциальных* уравнений задана на многообразии произвольной размерности и ее порядок сколь угодно высок, перечисленные выше задачи решаются впервые. До' настоящего времени было исследовано в общих чертах лишь обыкновенное уравнение произвольного порядка на плоскости. В данной диссертации решается задача построения дифференциально-геометрической структуры вксшего порядка и ее полной системы дифференциальных инвариантов, в терминах которой находит полное геометрическое описание система обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка на любом гладком многообразии. Сама система и ее интегральные кривые получили геометрическое истолкование в современных терминах теории расслоенных пространств с картановской связностью. Все полученные в работе результаты, составляют основу геометрической теории рассматриваемых дифференциальных систем и являются существенно новыми.
Практическая и теоретическая ценность работы. Данное исследование имеет теоретическое значение как новый опыт при-.ложеяия инвариантных геометрических методов и структур к бес-координатному описанию структур математического анализа на многообразиях /систем обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков/. Практическое значение обусловлено возможностью использования результатов работы в дальнейшем развитии геометрической теории систем дифференциальных уравнений высшего порядка, имеющей приложения в различных аспектах математического анализа и теоретической физики. Полученные результаты могут послужить основой для разработки и чтения спецкурсов в вузах, где ведутся исследования по близкой тематике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсу.гдалгсь на Ш Осенней школе "Применение толологну в алгебре и дифферент-ачыюЛ геометрии" /Тарту I5SI/,
на семинзре по классической ди44еренциальной геометрии МГУ им. .М.Б.Ломоносова /руководитель проф. Л.Е.Евтушик/, на научном семинаре по геометрии ари Московском институте стали и сплавов /руководитель проф. М.А.Акивис/, на научно-исследовательском семинаре по геометрии МШУ им. В.ИЛенина /руководитель проф. В.Ф.Кириченко/, на научных конференциях МШУ шл. В.И.Ленина.
Публикации. Основнне результаты диссертации опубликованы в работах CWi - tJb».^ . Работы написаны без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоят из введения и трех глав, включающих 12 параграфов; список цитированной литературы содержит 65 работ отечественных и зарубежных авторов; работа выполнена на 139 страницах машинописного текста, основной текст диссертации изложен на 127 страницах.
