Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи механики и физики описываются при помощи динамических систем специального вида, так называемых гамильтоновых систем. Исследование этих систем было начато в работах У. Р. Гамильтона1 и является одной из активно развивающихся областей математики сегодня (см. обзоры2,3,4). Исследование геометрических свойств фазового пространства гамильтоновых систем, восходящее к С. Ли, привело к созданию ашплектпческой геометрии, методы которой (см. работу5) можно успешно применять при решении задач гамильтоновой механики.
Диссертация посвящена исследованию некоторых вопросов, появляющихся на пересечении симшіектической геометрии и гамильтоновой механики. В ней, в основном, рассматриваются нерезонансные интегрируемые в боттов-ском смысле гамильтоновые системы на неособой гиперповерхности постоянной энергии. Теория и методы исследования систем такого вида были заложены и развиты в работах А. Т. Фоменко, А. В. Болсинова, СВ. Матвеева, X. Цишанга и др. (см. работы4,6).
В 1993 году А. Т. Фоменко и А. В. Болсин'ов получили полную траєкторную классификацию рассматриваемых систем в непрерывной категории7. Важной составляющей этой работы является получаемая после редукции задача о точной классификации гамильтоновых векторных полей на поверхностях. В гладкой категории такая редукция также существует8. Решение соответствующей задачи точной классификации — одна го наиболее существенных частей диссертации. С другой стороны, этот результат можно рассматривать как обобщение классификации симплектических поверхностей с (простым) слоением Морса9. Более того, в диссертации получена точная классификация га-
1У.Р. Гамильтон, "Избранные труды", М., "Наука", 1994.
2 В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, " Математические аспекты классической и небесной механики", Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, т.З, М., ВИНИТИ, 1935.
3Б. А. Дубровин, И.М. Кричивер, СП. Новиков, "Интегрируемыесистемы I", Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, т.4, с. 179-285, М., ВИНИТИ, 1985.
4А.Т. Фоменко, "Симплектическая геометрия. Методы и приложения", М., МГУ, 1988.
5В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь, "Симплектическая геометрия", Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, т.4, с. 5-139, М., ВИНИТИ, 1985.
6А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А.Т. Фоменко, "Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систе'м малой сложности", Успехи Мат. наук, 45, вып. 2 (272), с. 59-77, 1990.
7А. В. Болсинов, А.Т. Фоменко, "Траєкторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. Части 1,11", Математический сборник, 185, ЛҐ 4,5, с. 27-80, 27-78, 1Э94.'
8А. В. Болсинов, "Гладкая траєкторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы", Математический сборник, Л/"1, 1994.
9Jean-Paul Dufour, Pierre Molino et Anne Toulet. "Classification des systemes integrables en
мильтоновых векторных полей на поверхностях с инволюцией, что позволяет продолжить теорию траекторной классификации на так называемые системы со звездочками (см. работу6).
Цель работы. Построить теорию классификации с точностью до гладкой сопряженности гампльтоновых векторных полей на двумерных многообразиях. Исследовать интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы на изоэнергетпческих подмногообразиях. Получить критерии реализуемости бифуркационных диаграмм общего вида. Найти элементарные конструкции полных симплектических упаковок и получить новые оценки на полноту упаковок.
Методы исследования. Доказательство основных теорем опирается на методы маломерной топологии, теории Морса, симплектической и дифференциальной геометрии, теории динамических систем, а также на использование нового подхода в исследовании интегрируемых гамильтоновых систем, предложенного А. Т. Фоменко.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
-
Построена теория точной классификации гамильтоновых векторных полей на двумерных многообразиях в категории Ск, к = 1,..., оо, т.е. произведено сопоставление каждому такому полю набора объектов (инвариантов, в нашем случае это графы и числа), причем два поля Ситочно эквивалентны тогда и только тогда, когда наборы инвариантов совпадают.
-
Пункт 1 обобщен на векторные поля, инвариантные относительно инволюции специального вида.
-
Классифицированы симплектические поверхности со слоением Морса.
-
Доказана эквивалентность двух определений резонансности гамильтоновых систем.
-
Найден критерий продолжения лагранжева расслоения на двумерные торы над кольцом до лагранжева расслоения над диском, а также некоторые обобщения.
-
Найден образ в когомологиях множества симплектических форм в окрес ности гиперповерхности симплектического многообразия с заданным
ядром при ограничении на гиперповерхность.
-
Получена полная симшіектігческая упаковка элементарными средствами а также получены новые оценки на полноту упаковки.
-
Топологически классифицированы гамильтоновы системы Леггетта.
dimension 2 et invariants des modeles de Fomenko", Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. 318. вып. 10. с. 949-952. 1994.
9. Получено геометрическое описание явления монотонности функции вра-. щения.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть полезны специалистам по гамильтоновой механике, теории динамических систем и симплек-тической геометрии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:
на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложении под руководством акад. А. Т. Фоменко (МГУ),
на семинаре " Современные геометрические методы" под руководством акад. А. Т. Фоменко (МГУ),
на семинаре под руководством акад. Д.В. Аносова и проф. A.M. Степана (МГУ),
в рамках конференцій! молодых ученых на семинаре под руководством проф. В. В. Козлова (МГУ),
на конференции по дифференциальной геометрии и квантовой физике организованной техническим университетом Берлина (г. Миедзиэдройа, Польша, Март, 1994),
на отделении постеров на международном математическом конгрессе (Цюрих, Швейцария, Август, 1994),
на международной конференции по динамическим системам в институте Капицы (Москва, Август, 1994),
на Московской общетопологической конференции им. П. С. Александрова (МГУ, Май, 1995),
t на международной конференции по топологии (Киев, Май-Июнь, 1995) Также некоторые результаты обсуждались с участниками
международной конференции ц рабочего совещания в международном
центре теоретической физики в Триесте (Италия, Октябрь, 1994)
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, пяти глав, віслючающих 22 параграфа и 71 рисунок, и приложения. Объем диссертации — 121 страница. Список литературы содержит 78 названий.
